結(jié)構(gòu)位移和剛度-圖乘法（建筑力學(xué)）

圖乘法1主要內(nèi)容圖乘法的公式和適用條件圖乘計算中的常見問題圖乘法一、

圖乘法1、圖乘法的公式和適用條件

用單位荷載法求梁或剛架的位移時，其積分計算過程往往比較繁雜。如果結(jié)構(gòu)滿足以下兩個條件：就可以用圖乘法代替積分運算，從而簡化計算工作。(1)桿件（或桿段）為等截面直桿，且EI為常數(shù)；

（2）在M和兩個彎矩圖中至少由一個是直線圖形。圖乘法設(shè)桿件的M圖與圖已知（如圖），且EI為常數(shù)，其中ab段的圖為直線圖形。取圖的延長線與x軸交點O為坐標(biāo)原點。則(a)，dA=Mdx，利用位移計算公式有圖乘法代入式(a)，得

(b)

又因為yC=xCtan

，則有(c)

式中，稱為M圖的面積對y軸的靜矩，它等于M圖的面積乘以其形心C的坐標(biāo)xC，即圖乘法式中，yC為M圖的形心C下相應(yīng)的圖中的豎標(biāo)。

對于多根桿件組成的結(jié)構(gòu)，只要將每段桿圖乘的結(jié)果相加，即=

用圖乘法計算位移時，需要確定彎矩圖的圖形面積及其形心位置。下圖給出幾種簡單圖形的面積和形心位置，以備查用。式(c)表明，積分式之值等于M圖的面積A乘以其形心所對應(yīng)的圖(直線圖形)中的豎標(biāo)yC，再除以桿的彎曲剛度EI。當(dāng)A與yC在桿的同一側(cè)時，兩者乘積取正號，反之取負(fù)號。這就是圖乘法。圖乘法簡單圖形的面積和形心位置圖乘法

2.圖乘計算中的常見問題下面對圖乘計算中將可能會遇到的一些問題加以討論。

(1)兩個彎矩圖都為三角形。當(dāng)兩個三角形的高在同一邊時(如圖)有圖乘法當(dāng)兩個三角形的高在兩邊時(如圖)，有圖乘法(2)復(fù)雜圖形分解為簡單圖形

①當(dāng)其中一個彎矩圖為梯形時，可將其分解為兩個三角形（如圖）。設(shè)兩個三角形的面積分別為A1和A2，該兩面積形心下相應(yīng)的圖的豎標(biāo)分別為yC1和yC2，則有圖乘法

②當(dāng)兩個彎矩圖都是梯形時，可將彎矩圖都分解為兩個等高的三角形(如圖)。計算時A1、A2要分別與圖中的兩個三角形相乘，然后再相加，即圖乘法

③當(dāng)兩個彎矩圖都是直線圖形，但都含有不同符號的兩部分時(如圖)，可將其中一個圖形分解為ABC和ABD兩個三角形，分別與另一個圖形相乘并求和，即圖乘法

④當(dāng)M圖如圖a、b所示圖形時，可將其分解為三角形（或梯形）和拋物線形，分別與圖相乘，然后再求和。圖乘法

(3)豎標(biāo)yC必須在直線圖形上取得。當(dāng)兩個彎矩圖都是直線圖形時，yC可取自任意一個彎矩圖。

(4)每個面積只能對應(yīng)一條直線圖形。當(dāng)M圖對應(yīng)的不是一條直線圖形時(如圖)，則要將其分割成幾個面積，使每個面積對應(yīng)一條直線圖形，分別進(jìn)行圖乘再相加，即圖乘法二、應(yīng)用圖乘法計算求位移解：例1圖示一懸臂梁，已知EI，求B端截面的撓度yB和轉(zhuǎn)角

B1、畫MP圖BA

lFFl

2、求yB

在B端加單位力F1=1，得虛擬狀態(tài)F1=11

C

面積A=Fl2/22l/3=2l/3BAMP圖3、

求

B

在B端加單位力M2=1，得虛擬狀態(tài)畫圖BA圖BA圖M2=1=1l

畫圖

由圖乘法得：

由圖乘法得：圖乘法

例2試用圖乘法求圖示簡支梁跨中點C截面的豎向位移

CV和B截面的角位移

B。設(shè)梁的彎曲剛度EI為常數(shù)。圖乘法正號表示

CV的方向與所設(shè)=1的方向相同，即鉛直向下。=1，繪出圖(圖c)。解：(1)求豎向位移

CV

。繪出荷載作用下M圖(圖b)在C截面虛加一豎向單位力因M圖和圖都為折線，故必須分AC、CB兩段圖乘后相加，得圖乘法將兩圖相乘，得（逆時針）

（2）求角位移

B。在B截面虛加一單位力偶=1，繪出圖（圖d）負(fù)號表示

B的轉(zhuǎn)向與所設(shè)=1的轉(zhuǎn)向相反，即逆時針方向。圖乘法

例3試用圖乘法求圖示外伸梁C截面的豎向位移

CV。設(shè)梁的彎曲剛度EI為常數(shù)。

圖乘法解：繪出荷載作用下的M圖（圖b）。

在C截面虛加一豎向單位力=1，繪出圖(圖c)。應(yīng)分AB、BC兩段圖乘，并將AB段的M圖分解為三角形和拋物線形。分段圖乘后相加，得：正號表示

CV的方向與所設(shè)=1的方向相同，即鉛直向下。圖乘法三、應(yīng)用圖乘法計算求位移圖乘法計算位移的解題步驟是:1)畫出結(jié)構(gòu)在實際荷載作用下的彎矩圖MP；2)根據(jù)所求位移選定相應(yīng)的虛擬狀態(tài)，畫出單位荷載作用下的彎矩圖；3)分段計算一個彎矩圖形面積及形心C對應(yīng)的另一彎距圖豎標(biāo)yC；4)將A、yC代入圖乘法公式計算所求位移。圖乘法圖乘法2主要內(nèi)容6-8圖乘法2出鏡利用圖乘法計算結(jié)構(gòu)位移圖示剛架，已知EI，求結(jié)點B的水平位移

BX和角位移

B。

c)BCA圖解：2.求

Bx

在B端加水平單位力F1=1得虛擬狀態(tài)a)llBCAqIIFAxFAyFC=ql/2=ql/2=0F1=11111.畫MP圖畫圖b)BCAMP圖ql2/8

由圖乘法得：ll圖示剛架，已知EI，求結(jié)點B的水平位移

BX和角位移

B。

a)llBCAqIIFAx