湘豫名校聯(lián)考2024年2月高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題(含答案)

湘豫名校聯(lián)考2024年2月高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.本試卷共6頁(yè)。時(shí)間120分鐘,滿分150分。答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷指定位置,并將姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上,然后認(rèn)真核對(duì)條形碼上的信息,并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。作答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將試卷和答題卡一并收回。一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合,則A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)滿足,復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為,則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知向量,若反向共線,則實(shí)數(shù)的值為A.-7 B.3 C.3或-7 D.-3或74.已知正實(shí)數(shù)滿足,則的最小值為A.8 B.9 C.10 D.115.已知等比數(shù)列的公比與等差數(shù)列的公差均為2,且,設(shè)數(shù)列滿足,則數(shù)列的前20項(xiàng)的和為A. B. C. D.6.黨的二十大報(bào)告提出:“深化全民閱讀活動(dòng).”今天,我們思索讀書的意義、發(fā)掘知識(shí)的價(jià)值、強(qiáng)調(diào)閱讀的作用,正是為了更好地滿足人民群眾精神文化生活新期待.某市把圖書館、博物館、美術(shù)館、文化館四個(gè)公共文化場(chǎng)館面向社會(huì)免費(fèi)開放,開放期間需要志愿者參與協(xié)助管理.現(xiàn)有A,B,C,D,E共5名志愿者,每名志愿者均參與本次志愿者服務(wù)工作,每個(gè)場(chǎng)館至少需要一名志愿者,每名志愿者到各個(gè)場(chǎng)館的可能性相同,則A,B兩名志愿者不在同一個(gè)場(chǎng)館的概率為A. B. C. D.7.已知函數(shù)的圖象過原點(diǎn),且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,若函數(shù)在上單調(diào),則圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為A. B. C. D.8.已知角為銳角,則的最小值為A.2 B. C.1 D.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法中,正確的是A.設(shè)有一個(gè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程為,變量增加1個(gè)單位時(shí),平均增加2個(gè)單位B.已知隨機(jī)變量,若,則C.兩組樣本數(shù)據(jù)和的方差分別為.若已知且,則D.已知一系列樣本點(diǎn)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為,若樣本點(diǎn)與的殘差相等,則10.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示、則下列結(jié)論正確的是A.在上有兩個(gè)極值點(diǎn) B.C.函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱 D.若,則的最小值為11.已知雙曲線上一點(diǎn)到其兩條漸近線的距離之積為,則下列結(jié)論正確的是A. B. C. D.12.如圖1,在直角梯形ABCD中,,,點(diǎn)E,F分別為邊AB,CD上的點(diǎn),且.將四邊形AEFD沿EF折起,如圖2,使得平面平面EBCF,點(diǎn)是四邊形AEFD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且直線MB與平面AEFD所成的角和直線MC與平面AEFD所成的角相等,則下列結(jié)論正確的是A.B.點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C.點(diǎn)到平面EBCF的最大距離為D.當(dāng)點(diǎn)到平面EBCF的距離最大時(shí),三棱錐外接球的表面積為三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.在的展開式中,的系數(shù)為______________.14.已知圓,點(diǎn),若直線與圓相交于A,B兩點(diǎn),且,則實(shí)數(shù)的值為______________.15.已知曲線與曲線關(guān)于直線對(duì)稱,則與兩曲線均相切的直線的方程為______________.16.已知直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)位于第二象限,拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)位于曲線AB之間（不含端點(diǎn)），以線段AB為直徑的圓與直線AP交于異于點(diǎn)的另一點(diǎn),則的取值范圍是______________.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分10分)在中,角的對(duì)邊分別為且.(1)求角;(2)若的平分線交BC于點(diǎn),求AD的長(zhǎng).18.(本小題滿分12分)已知數(shù)列,若.(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為,不等式對(duì)任意的正整數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(本小題滿分12分)象棋是中國(guó)棋文化之一，也是中華民族的文化瑰寶，源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，雅俗共賞。某地舉辦象棋比賽,規(guī)定:每一局比賽中勝方得1分,負(fù)方得0分,沒有平局.(1)若甲、乙兩名選手進(jìn)行象棋比賽冠亞軍的激烈角逐,每局比賽甲獲勝的概率是,乙獲勝的概率是,先得3分者奪冠,比賽結(jié)束.(i)求比賽結(jié)束時(shí)，恰好進(jìn)行了3局的概率;(ii)若前兩局甲、乙各勝一局,記表示到比賽結(jié)束還需要進(jìn)行的局?jǐn)?shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望;(2)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn),本賽季參賽選手總得分近似地服從正態(tài)分布,.若,則參賽選手可獲得“參賽紀(jì)念證書”;若,則參賽選手可獲得“優(yōu)秀參賽選手證書”.若共有200名選手參加本次比賽,試估計(jì)獲得“參賽紀(jì)念證書”的選手人數(shù).(結(jié)果保留整數(shù))附:若,則.20.(本小題滿分12分)如圖,在幾何體中,平面平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,四邊形為平行四邊形,四邊形為菱形,為棱的中點(diǎn),點(diǎn)在棱上,平面BDF.(1)證明平面ABCD；(2)求平面AB1D與平面BDF夾角的余弦值.21、(本小題滿分12分)在橢圓(雙曲線)中,任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上,該圓的圓心是橢圓(雙曲線)的中心,半徑等于橢圓(雙曲線)長(zhǎng)半軸(實(shí)半軸)與短半軸(虛半軸)平方和(差)的算術(shù)平方根,則這個(gè)圓叫蒙日?qǐng)A.已知橢圓的蒙日?qǐng)A的面積為,該橢圓的上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)分別為,且,設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（不與兩點(diǎn)重合）且直線.(2)證明：AP1,BP2的交點(diǎn)在直線上;(2)求直線圍成的三角形面積的最小值.22.(本小題滿分12分)已知,不等式恒成立.(1)求的值;(2)若方程有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解,求ab的值.湘豫名校聯(lián)考2024年2月高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.題號(hào)123456789101112答案DCABBDDABCACACDBCD1.D【命題意圖】本題考查集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【解析】由題意可得,因?yàn)?所以.故選D.2.C【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的幾何意義,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【解析】因?yàn)?所以,所以,所以,所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,位于第三象限.故選C.3.A【命題意圖】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及反向共線滿足的條件,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【解析】因?yàn)?所以.因?yàn)楣簿€,所以,解得或.又反向共線,代入驗(yàn)證可知時(shí)為同向,舍去.滿足條件.所以.故選.4.B【命題意圖】本題考查利用基本不等式求最值,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng).【解析】由,且,可得.所以.又因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),所以.故選B.5.B【命題意圖】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【解析】因?yàn)?所以.根據(jù)題意,,所以.故選B.6.D【命題意圖】本題考查排列組合的基本運(yùn)算以及古典概型的概率,考查學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).【解析】5名志愿者分配到4個(gè)場(chǎng)館,共有種不同的方法,A,B兩名志愿者在同一個(gè)場(chǎng)館共有種不同的方法,所以A,B兩名志愿者不在同一個(gè)場(chǎng)館的概率為.故選.7.D【命題意圖】本題主要考查三角函數(shù)單調(diào)性、周期性和對(duì)稱性的綜合,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【解析】因?yàn)?所以或.又,所以,所以.因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,所以,所以.因?yàn)?所以.又函數(shù)在上單調(diào),所以解得.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，因?yàn)閳D象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為半個(gè)周期,所以.故選D.8.A【命題意圖】本題考查利用三角函數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算,利用導(dǎo)數(shù)求最值等基本知識(shí),考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng).【解析】.令,因?yàn)闉殇J角,所以.令,則.所以在時(shí)是單調(diào)遞增函數(shù).又,所以當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,所以.所以當(dāng)時(shí),的最小值為2.故選A.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.BC【命題意圖】本題考查概率統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí),考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).【解析】若有一個(gè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程,隨著的增大,會(huì)減小,錯(cuò)誤;曲線關(guān)于對(duì)稱,因?yàn)?所以,所以,B正確;因?yàn)?所以,所以,同理可得:,故,C正確;經(jīng)驗(yàn)回歸方程為,且樣本點(diǎn)與的殘差相等,則,D錯(cuò)誤.故選.10.AC【命題意圖】本題根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)、圖象的變換性質(zhì),結(jié)合已知圖象逐一判斷即可,考查三角函數(shù)的基本運(yùn)算以及其圖象的應(yīng)用,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng).【解析】由題圖知,,所以周期.所以在上有兩個(gè)極值點(diǎn),A正確.又,所以,所以.因?yàn)?所以令,即.所以.所以,B錯(cuò)誤.因?yàn)楹瘮?shù)的周期為,將圖象上的所有點(diǎn)沿軸向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象,為偶函數(shù),所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱,C正確.若,則的最小值為錯(cuò)誤.故選.11.ACD【命題意圖】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)和基本不等式,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng).【解析】雙曲線的漸近線方程為.設(shè)點(diǎn)到兩條漸近線的距離分別為,則利用點(diǎn)到直線的距離公式可得.因?yàn)?所以,所以,所以,A正確;因?yàn)?所以,B錯(cuò)誤;因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,C正確;因?yàn)?所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,D正確.故選ACD.12.BCD【命題意圖】本題主要考查空間中線面位置關(guān)系,考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【解析】如圖,連接CE,EM.因?yàn)槠矫嫫矫鍱BCF,平面平面平面AEFD,又,所以平面EBCF.所以CE為CA在平面EBCF內(nèi)的射影.易得為等邊三角形,顯然CE不垂直于BF,所以AC不可能垂直于錯(cuò)誤.易知,所以平面AEFD,所以為直線MB與平面AEFD所成的角.同理為直線MC與平面AEFD所成的角.所以,所以,所以.因?yàn)?所以.在平面AEFD內(nèi),以為坐標(biāo)原點(diǎn),以為軸正方向,為軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系,則,設(shè),則有,化簡(jiǎn)得,即點(diǎn)在平面AEFD內(nèi)的軌跡方程為,所以點(diǎn)在平面AEFD內(nèi)的軌跡為以為圓心,2為半徑的圓.易得點(diǎn)在四邊形AEFD內(nèi)的軌跡為該圓的一段弧,弧所對(duì)的圓心角為,所以弧長(zhǎng)為,B正確.要使三棱錐的體積最大,只要點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值最大即可.令0,則,又,所以,此時(shí)到平面EBCF的最大距離為,C正確.三棱錐外接球的球心在過的外接圓圓心且垂直于平面BCF的直線上.在三棱錐中,設(shè)點(diǎn)為等邊外接圓的圓心,設(shè)三棱錐外接球的球心為,半徑為,設(shè),則有,解得,所以,所以三棱錐外接球的表面積.D正確.故選BCD.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.-240【命題意圖】本題主要考查二項(xiàng)式定理,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【解析】由題意,得的系數(shù)為.14.1【命題意圖】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【解析】由題意,易得圓的圓心為,半徑為2,點(diǎn)在圓上.因?yàn)?所以PB.所以線段AB為圓的一條不過點(diǎn)的直徑.直線與圓相交于A,B兩點(diǎn),圓心在直線上,所以,解得.檢驗(yàn)知符合題意.15.【命題意圖】本題主要考查兩函數(shù)圖象的公切線問題,考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【解析】設(shè)曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為,則該點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為,滿足,則,化簡(jiǎn)可得.設(shè)曲線上的切點(diǎn)為,曲線上的切點(diǎn)為,又的導(dǎo)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)為,則,兩式整理得,所以1),解得,所以.所以曲線與曲線的公切線的公切點(diǎn)為,則切線的斜率為1,故與兩曲線均相切的直線的方程為.16.【命題意圖】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系及最值問題,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【解析】由題意,聯(lián)立方程解得或又點(diǎn)位于第二象限,所以,.設(shè),則.設(shè)直線AP的斜率為,則.所以直線AP的斜率的取值范圍是.因?yàn)橐訟B為直徑的圓與直線AP交于異于點(diǎn)的另一點(diǎn),所以.當(dāng)時(shí),直線AP為,直線BQ為,此時(shí),所以1,所以.當(dāng)時(shí),所以直線BQ的斜率為.易得直線AP的方程為,直線BQ的方程為,聯(lián)立解得點(diǎn)的橫坐標(biāo)是.因?yàn)?所以.令,則,所以當(dāng)且時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以在區(qū)間,上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,因此當(dāng)時(shí),取得最大值,且0,所以.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.【命題意圖】本題考查正、余弦定理,二倍角公式等,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng).【解析】(1)因?yàn)?所以,即………………….2分由正弦定理得,又由余弦定理,可得.………….4分因?yàn)?所以.……………….5分(2)在中,由等面積法得,即,即.………………….8分所以.……………10分18.【命題意圖】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和數(shù)列的求和,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng).【解析】(1)因?yàn)?所以.………………2分又因?yàn)?所以是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.………4分（2）由（1）易知,……………………5分所以.……………………7分所以.…………………9分欲使不等式對(duì)任意正整數(shù)恒成立,只要.………………10分由題意可得且,解得.只需,解得.綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是.……………………12分19.【命題意圖】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng).【解析】(1)(i)比賽結(jié)束時(shí)恰好進(jìn)行了3局,甲奪冠的概率為,乙奪冠的概率為,……………………2分所以比賽結(jié)束時(shí)恰好進(jìn)行了3局的概率為.………………3分(ii)的可能取值為2,3.…………………4分因?yàn)?,……………………6分所以的分布列如下:23故.……………………8分(2)因?yàn)楸荣惓煽?jī)近似地服從正態(tài)分布,所以比賽選手可獲得“參賽紀(jì)念證書”的概率:所以估計(jì)獲得“參賽紀(jì)念證書”的選手人數(shù)為164.…………………12分20.【命題意圖】本題主要考查線面位置關(guān)系以及利用空間向量求二面角,考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【解析】(1)如圖,連接DC1.因?yàn)樗倪呅螢榱庑?,所以,所以.因?yàn)?所以,所以.………………1分又,所以平面,所以.………2分因?yàn)樗倪呅螢榱庑?且,所以.……1分因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn),所以.又,所以.因?yàn)?所以平面ABCD.……………………4分(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別為軸、軸、軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.易知,所以,.所以.設(shè),則.…………………6分因?yàn)槠矫鍮DF,所以存在唯一的,使得.所以,解得.…………………7分所以.…………………8分設(shè)平面BDF的法向量為,則所以取,則.所以平面BDF的一個(gè)法向量為.…………9分設(shè)平面的法向量為,則所以取,則.所以平面的一個(gè)法向量為.………10分設(shè)平面與平面BDF的夾角為,則故平面與平面BDF夾角的余弦值為..……………………12分21.【命題意圖】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【解析】(1)根據(jù)題意,蒙日?qǐng)A的半徑為,所以.因?yàn)?所以,所以,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.……………1分因?yàn)橹本€過點(diǎn),且易知直線的斜率存在,所以可設(shè)直線,聯(lián)立方程消去并整理可得.由根與系數(shù)的關(guān)系可得,.……………2分因?yàn)?所以直線,直線.所以分所以,即直線的交點(diǎn)在直線上.…………