2024年廣東省高三數(shù)學(xué)新改革適應(yīng)性模擬試卷（一）附答案解析

年廣東省高三數(shù)學(xué)新改革適應(yīng)性模擬試卷（一）（九省聯(lián)考題型）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．樣本數(shù)據(jù)16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位數(shù)為（

）A．14 B．16 C．18 D．202．若橢圓的離心率為，則橢圓的長軸長為（

）A．6 B．或 C． D．或3．記為等差數(shù)列的前項和，若，則（

）A．20 B．16 C．14 D．124．已知m、n是兩條不同直線，、、是三個不同平面，則下列命題中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則5．2023年10月23日，杭州亞運(yùn)會歷時16天圓滿結(jié)束.亞運(yùn)會結(jié)束后，甲?乙?丙?丁?戊五名同學(xué)排成一排合影留念，其中甲?乙均不能站左端，且甲?丙必須相鄰，則不同的站法共有（

）A．18種 B．24種 C．30種 D．36種6．若O是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，則的形狀為（）A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形7．已知，，則（

）A． B． C． D．8．已知、分別為雙曲線的兩個焦點(diǎn)，雙曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，且，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．函數(shù)的圖象如圖所示，將其向左平移個單位長度，得到的圖象，則下列說法正確的是（

）A． B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 D．函數(shù)在上單調(diào)遞減10．歐拉是科學(xué)史上最多才的一位杰出的數(shù)學(xué)家，他發(fā)明的公式為，i虛數(shù)單位，將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，這個公式也被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”為自然對數(shù)的底數(shù)，為虛數(shù)單位依據(jù)上述公式，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．復(fù)數(shù)為純虛數(shù)B．復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是半圓11．已知函數(shù)定義域?yàn)镽，滿足，當(dāng)時，.若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)為，，，(其中表示不超過的最大整數(shù))，則（

）A．是偶函數(shù) B． C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知的定義域?yàn)锳，集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.13．已知四面體，其中，，，為的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為；四面體外接球的表面積為．14．在同一平面直角坐標(biāo)系中，P，Q分別是函數(shù)和圖象上的動點(diǎn)，若對任意，有恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，證明：.16．多項選擇題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常見題型，從，，，四個選項中選出所有正確的答案（四個選項中至少有兩個選項是正確的），其評分標(biāo)準(zhǔn)為全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.(1)甲同學(xué)有一道多項選擇題不會做，他隨機(jī)選擇至少兩個選項，求他猜對本題得5分的概率；(2)現(xiàn)有2道多項選擇題，根據(jù)訓(xùn)練經(jīng)驗(yàn)，每道題乙同學(xué)得5分的概率為，得2分的概率為；丙同學(xué)得5分的概率為，得2分的概率為.乙、丙二人答題互不影響，且兩題答對與否也互不影響，求這2道多項選擇題乙比丙總分剛好多得5分的概率.17．如圖，在三棱柱中，，，，二面角的大小為.(1)求四邊形的面積；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的正弦值為？若存在，求出的長；若不存在，說明理由.18．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交于兩點(diǎn)，過與垂直的直線交于兩點(diǎn)，其中在軸左側(cè)，分別為的中點(diǎn)，且直線過定點(diǎn).(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)為直線與直線的交點(diǎn);（i）證明在定直線上；（ii）求面積的最小值.19．若數(shù)列滿足：，且，則稱為一個數(shù)列．對于一個數(shù)列，若數(shù)列滿足：，且，則稱為的伴隨數(shù)列．(1)若數(shù)列中，，寫出其伴隨數(shù)列中的值；(2)若為一個數(shù)列，為的伴隨數(shù)列①證明：“為常數(shù)列”是“為等比數(shù)列的充要條件；②求的最大值．1．B【分析】由中位數(shù)定義即可得.【詳解】將這些數(shù)據(jù)從小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，則其中位數(shù)為16.故選：B.2．D【分析】根據(jù)離心率的計算公式，分焦點(diǎn)的位置，討論即可求解．【詳解】當(dāng)焦點(diǎn)在軸時，由，解得，符合題意，此時橢圓的長軸長為；當(dāng)焦點(diǎn)在軸時，由，解得，符合題意，此時橢圓的長軸長為．故選：D．3．D【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)求得，然后依次求得，公差，最后求得．【詳解】∵是等差數(shù)列，∴，，所以，∴公差，∴，∴，故選：D．4．D【分析】利用長方體中線面的關(guān)系，逐一確定各選項.【詳解】A選項：令平面為平面，為直線，為直線，有：，，但，A錯誤；B選項：令平面為平面，令平面為平面，令平面為平面，有：，，而，B錯誤；C選項：令平面為平面，令平面為平面，為直線，有：，，則，而，C錯誤；D選項：垂直與同一平面的兩直線一定平行，D正確.故選：D5．C【分析】分類當(dāng)丙站在左端時及丙不站在左端時的情況計算即可得.【詳解】由題意可知，當(dāng)丙站在左端時，有種站法；當(dāng)丙不站在左端時，有種站法.由分類加法計數(shù)原理可得，一共有種不同的站法.故選：C.6．D【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可以得出，進(jìn)而得到，由此可判斷出的形狀.【詳解】∵，，∴，兩邊平方，化簡得∴.∴為直角三角形.因?yàn)椴灰欢ǖ扔?，所以不一定為等腰直角三角?故選：D.7．A【分析】結(jié)合二倍角公式和兩角和差公式化簡即可求得.【詳解】，.，，，，，又因?yàn)?，所以，則，所以..故選：A8．A【分析】本題首先可以結(jié)合題意繪出雙曲線的圖像，然后根據(jù)得出，根據(jù)雙曲線的定義得出，再然后根據(jù)得出以及，根據(jù)得出，最后將點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線中，通過化簡即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)為雙曲線的下焦點(diǎn)，為雙曲線的上焦點(diǎn)，繪出雙曲線的圖像，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn),因?yàn)椋裕?，因?yàn)?，所以，因?yàn)殡p曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，即，且，所以，，故，，因?yàn)椋?，將代入雙曲線中，即，化簡得，，，，解得或（舍去），，，則該雙曲線的漸近線方程為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，考查雙曲線定義以及等面積法的靈活應(yīng)用，考查計算能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)形結(jié)合思想，體現(xiàn)了綜合性，是難題.9．ABD【分析】首先化簡函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的圖象求函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷A，B；利用圖象平移求函數(shù)的解析式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷C，D.【詳解】函數(shù)，當(dāng)，此時，，因?yàn)椋?，所以，故A正確；，所以關(guān)于點(diǎn)對稱，故B正確；函數(shù)圖象向左平移個單位長度后得到，，當(dāng)時，，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對稱，故C錯誤；，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故D正確.故選：ABD10．ABD【分析】根據(jù)給定的公式，結(jié)合復(fù)數(shù)的相關(guān)概念逐項分析判斷即得.【詳解】對于A，，則為純虛數(shù)，A正確；對于B，，而，即，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，B正確；對于C，，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，C錯誤；對于D，，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是半徑為的半圓，D正確．故選：ABD11．BC【分析】舉例說明判斷A；分析函數(shù)與的性質(zhì)，作出部分函數(shù)圖象，結(jié)合圖象與性質(zhì)推理、計算判斷BCD.【詳解】函數(shù)，顯然，而，即，因此不是偶函數(shù)，A錯誤；函數(shù)定義域?yàn)?，滿足，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，因此當(dāng)時，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時，取得最大值，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，因此當(dāng)時，函數(shù)，在同一坐標(biāo)平面內(nèi)作出函數(shù)的部分圖象，如圖，

當(dāng)時，函數(shù)的圖象有唯一公共點(diǎn)，因?yàn)?，因此，，而滿足的整數(shù)有個，即，B正確；顯然，所以，C正確；，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，D錯誤.故選：BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求兩個分段函數(shù)的公共點(diǎn)的坐標(biāo)，確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，再代入該段的解析式求值是關(guān)鍵.12．【分析】先求出的定義域得到集合A，再根據(jù)子集的定義即可求得a的取值范圍.【詳解】，則或，即或.①當(dāng)時，，滿足，符合題意；②當(dāng)時，，所以若，則有或（舍），解得；③當(dāng)時，，所以若，則有或（舍），解得.綜上所述，.故答案為：13．##【分析】將四面體補(bǔ)成長方體，根據(jù)勾股定理求出、、的長，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求出直線與所成角的余弦值，求出四面體外接球的半徑，結(jié)合球體表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】在四面體中，，，，將四面體補(bǔ)成長方體，則，解得，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，所以，，，則，所以，直線與所成角的余弦值為，長方體的體對角線長為，所以，四面體外接球半徑為，故四面體外接球的表面積為.故答案為：；.14．【分析】利用同構(gòu)思想構(gòu)造，得到其單調(diào)性，得到，再構(gòu)造，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性及其最小值，設(shè)設(shè)，利用基本不等式得到，求出答案.【詳解】，令，，則當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故在處取得極小值，也是最小值，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，令，，則，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也時最小值，最小值為，設(shè)，由基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)，，時，等號成立，故，則．故答案為：【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)求解取值范圍時，當(dāng)函數(shù)中同時出現(xiàn)與，通常使用同構(gòu)來進(jìn)行求解，本題變形得到，從而構(gòu)造進(jìn)行求解.15．(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）將原函數(shù)求導(dǎo)，就參數(shù)進(jìn)行分類討論導(dǎo)函數(shù)的符號，即得函數(shù)的單調(diào)性；（2）構(gòu)造函數(shù)，在條件下，判斷的符號，得到得證.【詳解】（1）的定義域,若則在上單調(diào)遞增；若當(dāng)時，則單調(diào)遞減，時，則單調(diào)遞增.綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，無減區(qū)間；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）因，設(shè)則，則在上單調(diào)遞減，故.16．(1)(2)【分析】（1）求出樣本空間基本事件總數(shù)，由古典概型概率計算公式即可求解.（2）由互斥加法以及獨(dú)立乘法公式即可求解.【詳解】（1）甲同學(xué)所有可能的選擇答案有11種：，其中正確選項只有一個，樣本空間,共11個基本事件，所以他猜對本題得5分的概率為.（2）由題意得乙得0分的概率為，丙得0分的概率為，乙比丙剛好多得5分的情況包含：事件：乙得10分，丙得5分，則；事件：乙得7分，丙得2分，則；事件：乙得5分，丙得0分，則；所以乙比丙總分剛好多得5分的概率.17．(1)；(2)存在，.【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，由給定條件結(jié)合余弦定理求出，再推證即可求出四邊形面積.（2）由已知可得兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法求解即得.【詳解】（1）在三棱柱中，取的中點(diǎn)，連接，在中，由，，得，，在中，由，，得，，則為二面角的平面角，即，在中，由余弦定理得，解得，又，平面，則平面，而平面，于是，顯然，則，所以平行四邊形的面積.（2）由（1）知，有，則，同理，又，，即，則，以為原點(diǎn)，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，不妨設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)直線與平面所成的角為，則，解得，此時，所以存在點(diǎn)滿足題意，且的長為.18．(1)(2)（i）證明見解析；（ii）【分析】（1）設(shè)出直線，和的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，得出，，從而求出直線為，再利用條件，即可求出結(jié)果；（2）（i）根據(jù)條件得出和，聯(lián)立方程，結(jié)合（1）中的韋達(dá)定理，即可求出結(jié)果；（ii）過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，得出的面積為，再利用幾何關(guān)系及基本不等式即可求出結(jié)果.【詳解】（1）易知直線，直線斜率均存在，且不為，設(shè)，，，由，消得到，由韋達(dá)定理得到，所以，得到，同理可得，，所以，故直線為，又直線過定點(diǎn)，所以，得到，故，所以拋物線的方程為.（2）（i）因?yàn)椋瑒t，又，所以，同理可得，由，消得到，又由（1）知，所以，故點(diǎn)在定直線上，（ii）過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，則的面積為，由，，知，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，下證，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)，則，當(dāng)時，，則點(diǎn)在軸左側(cè)，點(diǎn)也在軸左側(cè)，有，又直線過定點(diǎn)，此時，同理，當(dāng)時，，則點(diǎn)在軸右側(cè)，點(diǎn)也在軸右側(cè)，有，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，，，故恒成立所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：第二問關(guān)鍵在于借助直線聯(lián)立及第一問中韋達(dá)定理得出點(diǎn)的縱坐標(biāo)恒為，再根據(jù)三角形的面積公式及基本不等式求取最值.19．(1)(2)①證明詳見解析；②【分析】（1）根據(jù)伴隨數(shù)列的知識求得正確答案.（2）①根據(jù)伴隨數(shù)列、常數(shù)列、等比數(shù)列、充要條件等知識證得結(jié)論成立.②對的取值進(jìn)行分類討論，利用放縮法求得正確答案.【詳解】（1）.（2）①，充分性：若數(shù)列為常數(shù)列，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)椋园殡S數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.必要性：（反證法）假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，而數(shù)列不是常數(shù)