4.3 對(duì)數(shù)（九大題型）（解析版）

4.3對(duì)數(shù)【題型歸納目錄】題型一：對(duì)數(shù)的定義題型二：指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化及其應(yīng)用題型三：利用對(duì)數(shù)恒等式化簡(jiǎn)求值題型四：積、商、冪的對(duì)數(shù)題型五：一類與對(duì)數(shù)有關(guān)方程的求解問(wèn)題題型六：對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用題型七：換底公式的運(yùn)用題型八：由已知對(duì)數(shù)求解未知對(duì)數(shù)式題型九：證明常見的對(duì)數(shù)恒等式【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、對(duì)數(shù)概念1、對(duì)數(shù)的概念如果，那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作：．其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．知識(shí)點(diǎn)詮釋：對(duì)數(shù)式中各字母的取值范圍是：且，，．2、對(duì)數(shù)（且）具有下列性質(zhì)：（1）0和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)，即；（2）1的對(duì)數(shù)為0，即；（3）底的對(duì)數(shù)等于1，即．3、兩種特殊的對(duì)數(shù)通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，．以e（e是一個(gè)無(wú)理數(shù)，）為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，簡(jiǎn)記為．4、對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系由定義可知：對(duì)數(shù)就是指數(shù)變換而來(lái)的，因此對(duì)數(shù)式與指數(shù)式聯(lián)系密切，且可以互相轉(zhuǎn)化．它們的關(guān)系可由下圖表示．由此可見a，b，N三個(gè)字母在不同的式子中名稱可能發(fā)生變化．知識(shí)點(diǎn)二、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則已知，（且，、）（1）正因數(shù)的積的對(duì)數(shù)等于同一底數(shù)各個(gè)因數(shù)的對(duì)數(shù)的和；推廣：（2）兩個(gè)正數(shù)的商的對(duì)數(shù)等于被除數(shù)的對(duì)數(shù)減去除數(shù)的對(duì)數(shù)；（3）正數(shù)的冪的對(duì)數(shù)等于冪的底數(shù)的對(duì)數(shù)乘以冪指數(shù)；知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則時(shí)，要注意各個(gè)字母的取值范圍，即等式左右兩邊的對(duì)數(shù)都存在時(shí)等式才能成立．（2）不能將和、差、積、商、冪的對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)的和、差、積、商、冪混淆起來(lái)，即下面的等式是錯(cuò)誤的：，，．知識(shí)點(diǎn)三、對(duì)數(shù)公式1、對(duì)數(shù)恒等式：2、換底公式同底對(duì)數(shù)才能運(yùn)算，底數(shù)不同時(shí)可考慮進(jìn)行換底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：（1）令，則有，，即，即，即：．（2），令，則有，則有即，即，即當(dāng)然，細(xì)心一些的同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)（1）可由（2）推出，但在解決某些問(wèn)題（1）又有它的靈活性．而且由（2）還可以得到一個(gè)重要的結(jié)論：．【典型例題】題型一：對(duì)數(shù)的定義例1．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）在對(duì)數(shù)式中，實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】要使對(duì)數(shù)式有意義，需滿足，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選:D.例2．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）給出下列說(shuō)法:①零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù);②任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成對(duì)數(shù)式;③以10為底的對(duì)數(shù)叫作常用對(duì)數(shù);④以為底的對(duì)數(shù)叫作自然對(duì)數(shù).其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)，命題①正確；，不能寫成對(duì)數(shù)式，命題②錯(cuò)誤，；以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，命題③正確；以為底的對(duì)數(shù)叫作自然對(duì)數(shù)，命題④正確；故正確命題是①③④，故選：C.例3．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知對(duì)數(shù)式有意義，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由有意義可知，解得且，所以a的取值范圍為.故選：B變式1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）使式子有意義的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】要使式子有意義，則，即，解得或，所以x的取值范圍是.故選：D變式2．（2023·四川廣安·高一廣安二中?？计谥校┦褂幸饬x的實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意知，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故選：C.【方法技巧與總結(jié)】對(duì)數(shù)式中各字母的取值范圍是：且，，．題型二：指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化及其應(yīng)用例4．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）將下列指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【解析】（1）因?yàn)?，所以?）因?yàn)椋裕?）因?yàn)?，所以?）因?yàn)椋裕?）因?yàn)?，所以?）因?yàn)?，所以?．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）將下列對(duì)數(shù)式改寫為指數(shù)式（，且）：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）因?yàn)椋?（2）因?yàn)?，所?（3）因?yàn)椋?（4）因?yàn)?，所?例6．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）將下列指數(shù)式改寫為對(duì)數(shù)式（，且）：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）因?yàn)椋?，且），所?（2）因?yàn)椋?，且），所?（3）因?yàn)椋?，且），所?（4）因?yàn)椋?，且），所?變式3．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）將下列指數(shù)式改寫為對(duì)數(shù)式：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）（且）化為對(duì)數(shù)式是，所以化為對(duì)數(shù)式是；（2），對(duì)數(shù)式是；（3），對(duì)數(shù)式是；（4），對(duì)數(shù)式是.變式4．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）將下列對(duì)數(shù)式改寫為指數(shù)式：(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）由得.（2）由得.（3）由得.（4）由得.【方法技巧與總結(jié)】對(duì)數(shù)的定義是對(duì)數(shù)形式和指數(shù)形式互化的依據(jù)，而對(duì)數(shù)形式和指數(shù)形式的互化又是解決問(wèn)題的重要手段.題型三：利用對(duì)數(shù)恒等式化簡(jiǎn)求值例7．（2023·河南·高三階段練習(xí)）計(jì)算：___________.（可保留根式）【答案】【解析】.故答案為：例8．（2023·上海市楊浦高級(jí)中學(xué)高一期中）化簡(jiǎn)的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，故選：C例9．（2023·新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)高三階段練習(xí)）化簡(jiǎn)：＝________．【答案】2【解析】.故答案為：2．變式5．（2023·貴州·遵義四中高一期末）______．【答案】【解析】.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】對(duì)數(shù)恒等式中要注意格式：①它們是同底的；②指數(shù)中含有對(duì)數(shù)形式；③其值為真數(shù).題型四：積、商、冪的對(duì)數(shù)例10．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【解析】（1）（2）例11．（2023·北京東城·高一?？计谥校┯?jì)算；

；．【答案】421【解析】;;.故答案為：4；2；1.例12．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）．【答案】【解析】.故答案為：變式6．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）歐拉是十八世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他不但在數(shù)學(xué)上作出偉大的貢獻(xiàn)，而且把數(shù)學(xué)用到了幾乎整個(gè)物理領(lǐng)域．函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)．在數(shù)論中，對(duì)于正整數(shù)n，是不大于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)，例如：，則．【答案】【解析】與互質(zhì)的數(shù)有，共有（個(gè)），所以，故.故答案為：變式7．（2023·湖北荊州·高一沙市中學(xué)校考階段練習(xí)）.【答案】/【解析】，故答案為：變式8．（2023·甘肅天水·高一校聯(lián)考期末）．【答案】1【解析】.故答案為：.變式9．（2023·陜西商洛·高一?？茧A段練習(xí)）計(jì)算．【答案】【解析】原式.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】利用對(duì)數(shù)恒等式、對(duì)數(shù)性質(zhì)及其運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)是化簡(jiǎn)對(duì)數(shù)式的重要途徑，因此我們必須準(zhǔn)確地把握它們．在運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，一要注意真數(shù)必須大于零；二要注意積、商、冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算對(duì)應(yīng)著對(duì)數(shù)的和、差、積得運(yùn)算．題型五：一類與對(duì)數(shù)有關(guān)方程的求解問(wèn)題例13．（2023·湖南岳陽(yáng)·高一?？茧A段練習(xí)）解關(guān)于的方程：(1)(2)【解析】（1）因?yàn)?，所以①，解得或；②，解得或；③，解得或，?dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意；綜上，方程的解為或或或或或；（2）由得，所以，由于，所以，故，故方程的解為例14．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）方程的實(shí)數(shù)解為.【答案】【解析】由，得，所以，即，即，所以或（舍去），所以.故答案為：.例15．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）方程的實(shí)數(shù)解為.【答案】【解析】方程可得：，即，化簡(jiǎn)得：，所以，由題意令（），則，所以，即.故答案為：.變式10．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）請(qǐng)寫出滿足方程的一組實(shí)數(shù)對(duì)：．【答案】（答案不唯一）【解析】∵，∴，∴令得：，即：.故答案為：（答案不唯一）.變式11．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）若，是方程的兩個(gè)根，則．【答案】【解析】由是方程的根，則，所以，即，又由，是方程的兩個(gè)根，所以，即，所以，所以．故答案為：變式12．（2023·江蘇南京·高一金陵中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)和是方程的兩根，則.【答案】【解析】因?yàn)楹褪欠匠痰膬筛?，所以或者，故答案為：變?3．（2023·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是方程的兩個(gè)根，則的值是．【答案】2【解析】因?yàn)槭欠匠痰膬蓚€(gè)根，根據(jù)韋達(dá)定理得所以代入得=2故答案為：2.變式14．（2023·江蘇南京·高一南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┮阎猘，b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則．【答案】【解析】因?yàn)閍，b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即知a，b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，所以，，故答案為：【方法技巧與總結(jié)】直接利用定義法或者換元法題型六：對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用例16．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）求值：(1)；(2)．【解析】（1）；（2）例17．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.例18．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）計(jì)算：(1)(2);(3).【解析】（1）原式.（2）原式.（3）原式.變式15．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）計(jì)算下列各式的值：(1)；(2)【解析】（1）原式．（2）變式16．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）求下列式子的值：(1).(2).(3)(4)【解析】（1）原式（2）原式（3）原式（4）原式變式17．（2023·江蘇南京·高一南京市第十三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【解析】（1）原式．（2）原式.【方法技巧與總結(jié)】（1）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則時(shí)，要注意各個(gè)字母的取值范圍，即等式左右兩邊的對(duì)數(shù)都存在時(shí)等式才能成立．（2）不能將和、差、積、商、冪的對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)的和、差、積、商、冪混淆起來(lái).題型七：換底公式的運(yùn)用例19．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）若正實(shí)數(shù)a、b、c均不為1，滿足，且，則的值為.【答案】1【解析】由題意，正實(shí)數(shù)a、b、c均不為1，設(shè)，則，，，即，，，由，得，即，即.故答案為：1.例20．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知，則.【答案】1【解析】由可知，，所以.故答案為：例21．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）．【答案】【解析】.故答案為：變式18．（2023·江蘇徐州·高一?？茧A段練習(xí)）若，且，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】36【解析】，，，，則，，即.故答案為：36變式19．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，，求．【答案】2【解析】由，，可得，故答案為：變式20．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，，則的值為．【答案】2【解析】因?yàn)?，，所以，，所以．故答案為?變式21．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）計(jì)算：.【答案】【解析】因?yàn)?，所?故答案為：.變式22．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b滿足且，則m＝.【答案】100【解析】由可得，又，即，所以，即故答案為：【方法技巧與總結(jié)】（1）利用換底公式可以把題目中不同底的對(duì)數(shù)化成同底的對(duì)數(shù)，進(jìn)一步應(yīng)用對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)．（2）題目中有指數(shù)式和對(duì)數(shù)式時(shí)，要注意指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，將它們統(tǒng)一成一種形式．（3）解決這類問(wèn)題要注意隱含條件“”的靈活運(yùn)用．題型八：由已知對(duì)數(shù)求解未知對(duì)數(shù)式例22．（2023·江蘇南京·高一南京市第十三中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，則．（用含a，b的代數(shù)式表示）【答案】【解析】．故答案為：．例23．（2023·上海松江·高一?？计谀┤?，則（用字母表示）.【答案】【解析】因?yàn)椋傻?，所?故答案為：.例24．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，求（用表示）．【解析】因?yàn)椋?，所?故答案為：變式23．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）設(shè)，，用，表示下列各對(duì)數(shù)：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）．（2）．（3）．變式24．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）（1）設(shè)，試用含有的代數(shù)式表示；（2）設(shè)，，試用、表示；（3）設(shè)，，試用、表示.【解析】（1）因?yàn)椋?，所以，?（2）因?yàn)?，所?（3）因?yàn)椋?變式25．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，，求.（用表示）【解析】因?yàn)椋?，所?變式26．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）設(shè)，，，用，，表示下列各式：(1)；(2)．【解析】（1）因?yàn)?，，，所以?）因?yàn)?，，，所以變?7．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）設(shè)，，，且，，利用對(duì)數(shù)的換底公式證明：(1)；(2)．【解析】（1），所以等式成立；（2），所以等式成立.【方法技巧與總結(jié)】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用進(jìn)行轉(zhuǎn)換.題型九：證明常見的對(duì)數(shù)恒等式例25．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知，求證：．【解析】設(shè)，可知且，則，可得，所以，即.例26．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知a，b，c均為正數(shù)，且，求證：；【解析】設(shè)，則.∴，∴，而，∴，得證.例27．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）用計(jì)算器計(jì)算：．根據(jù)計(jì)算結(jié)果寫出一個(gè)一般性結(jié)論，并證明．【解析】，，結(jié)論，證明：設(shè)且，由換底公式得：.變式28．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，求證：.【解析】令，則，，，所以.變式29．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）證明：（1）；（2）.【解析】證明：（1）.故.（2），【方法技巧與總結(jié)】利用換底公式和作差法進(jìn)行證明.【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）若滿足，則的最小值為（

）A． B． C．12 D．16【答案】D【解析】因?yàn)闈M足，所以，所以，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，故的最小值為16，故選：D.2．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)滿足，則下列關(guān)系正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以，?duì)于A：，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，B正確；對(duì)于CD：，所以CD錯(cuò)誤，故選：B3．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）若，，則＝（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】由，得，而，解得，所以.故選：B4．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）計(jì)算（）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【解析】因?yàn)?，，所?故選：B5．（2023·江蘇徐州·高一?？茧A段練習(xí)）我們知道，任何一個(gè)正實(shí)數(shù)可以表示成，此時(shí).當(dāng)時(shí)，是位數(shù).則是（

）位數(shù).A．601 B．602 C．603 D．604【答案】C【解析】由，所以是603位數(shù).故選：C.6．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）若，則下列各式的值等于1的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以，，所?故選：B.7．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知均為正實(shí)數(shù)，若，則＝（

）A．或 B．C． D．2或【答案】D【解析】令，則，所以，解得或，所以或，所以或，因?yàn)椋曰?，所以或，所以或，故選：D8．（2023·江蘇宿遷·高一泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】由，可得，所以，故選：C二、多選題9．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的有（

）A． B．C．若，則 D．若，則【答案】CD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，有意義，無(wú)意義，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則，，因?yàn)?，故，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，若，由換底公式可得，D對(duì).故選：CD.10．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列各式不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】對(duì)于A中，由，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由對(duì)數(shù)的換底公式，可得，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由對(duì)數(shù)的換底公式，可得，所以D正確.故選：ABC.11．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，則正確的有（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】，，，，，故正確，，故D不正確，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，，故B正確，（因?yàn)?，故等?hào)不成立），，故C正確.故選：12．（2023·安徽黃山·高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)x，y，z滿足等式，下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】設(shè)，則.因?yàn)?且,所以，即，故A正確；,則,故B錯(cuò)誤；,故C正確；,故D錯(cuò)誤.故選:AC.三、填空題13．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為正實(shí)數(shù)，且，則的值為.【答案】【解析】，故，即，方程同除以得，即，設(shè)，則，故，解得，故.故答案為：14．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）．【答案】8【解析】原式.故答案為：815．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知滿足，，則．【答案】【解析】由，可得，即，且，可得，設(shè)，則，原式化為，即，又由，可得，令函數(shù)，顯然為增函數(shù)，所以，則，所以．故答