17.5 第2課時 建立一次函數(shù)的模型解決實際問題 華東師大版八年級下冊數(shù)學學案

第2課時建立一次函數(shù)的模型解決實際問題學習目標：1.通過圖象獲取函數(shù)相關(guān)信息，運用圖象來解釋實際問題中相關(guān)量的含義.2.了解到函數(shù)是刻畫和研究現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要數(shù)學模型，也是一種重要的數(shù)學思想，提高學生應用函數(shù)的能力.自主學習一、知識鏈接1.函數(shù)的表示方法有、、.2.說一說用待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達式的步驟.3.直線y1=2x+1與y2=1-x的交點坐標是，當x時，y1>y2.二、新知預習問題:為了研究某合金材料的體積V(cm3)隨溫度t(℃)變化的規(guī)律，對一個用這種合金制成的圓球測得相關(guān)數(shù)據(jù)如下：能否據(jù)此求出V和t的函數(shù)關(guān)系？1.畫一畫將這些數(shù)值所對應的點在坐標系中作出．我們發(fā)現(xiàn)，這些點大致位于一條直線上，可知V和t近似地符合一次函數(shù)關(guān)系．我們可以用一條直線去盡可能地與這些點相符合，求出近似的函數(shù)關(guān)系式．如下圖所示的就是一條這樣的直線，較近似的點應該是(10，1000.3)和(60，1002.3)．設(shè)V＝kt＋b(k≠0)，把(10，1000.3)和(60，1002.3)代入，可得k＝，b＝．V＝．你也可以將直線稍稍挪動一下，不取這兩點，換上更適當?shù)膬牲c．2.學習歸納我們曾采用待定系數(shù)法求得一次函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式．但是現(xiàn)實生活中的數(shù)量關(guān)系是錯綜復雜的，在實踐中得到一些變量的對應值，有時很難精確地判斷它們是什么函數(shù)，需要我們根據(jù)經(jīng)驗分析，也需要進行近似計算和修正，建立比較接近的函數(shù)關(guān)系式進行研究．合作探究一、探究過程探究點1：用一次函數(shù)刻畫實際問題中的數(shù)量關(guān)系例1為了學生的身體健康，學校課桌、凳的高度都是按一定的關(guān)系科學設(shè)計的．小明對學校所添置的一批課桌、凳進行觀察研究，發(fā)現(xiàn)它們可以根據(jù)人的身高調(diào)節(jié)高度．于是，他測量了一套課桌、凳相對應的四檔高度，得到如下數(shù)據(jù)：(1)小明經(jīng)過對數(shù)據(jù)探究，發(fā)現(xiàn)：桌高y是凳高x的一次函數(shù)，請你求出這個一次函數(shù)的關(guān)系式（不要求寫出x的取值范圍）；(2)小明回家后，測量了家里的寫字臺和凳子，寫字臺的高度為77cm，凳子的高度為43.5cm，請你判斷它們是否配套？說明理由．【針對訓練】酒精的體積隨溫度的升高而增大，在一定范圍內(nèi)近似于一次函數(shù)關(guān)系.現(xiàn)測得一定量的酒精在0℃時的體積是5.250升，在40℃時的體積是5.481升.求出其函數(shù)關(guān)系式.這些酒精在10℃和30℃時的體積各是多少(精確到0.001升)？探究點2：獲取實際問題中的圖象信息例2小剛上午7：30從家里出發(fā)步行上學，途徑少年宮時走了1200步，用時10分鐘，到達學校的時間是7：55.為了估測路程等有關(guān)數(shù)據(jù)，小剛特意在學校的田徑跑道上，按上學的步行速度，走完100米用了150步．(1)小剛步行的平均速度是多少米/分？小剛家和少年宮之間、少年宮和學校之間的路程分別是多少米？(2)下午4：00，小剛從學校出發(fā)，以45米/分的速度行走，按上學時原路回家，在未到少年宮300米處與同伴玩了半個小時后，趕緊以110米/分的速度回家，中途沒有再停留．問：①小剛到家的時間是下午幾時？②小剛回家過程中，離家的路程s(米)與時間t(分)之間的函數(shù)關(guān)系如圖，請寫出點B的坐標，并求出線段CD所在直線的函數(shù)表達式．解析：由于速度＝路程÷時間，可以算出每分鐘的步數(shù)，再根據(jù)走100米用了150步，可求出每步走幾米，兩者結(jié)果的乘積就是速度．再由路程公式就可求出小剛家和少年宮之間、少年宮和學校之間的路程；問題(2)玩之前的步行時間是(1200－300)÷45＝20分鐘，玩之后的步行時間是(800＋300)÷110＝10,20＋10＋30＝60分鐘，于是到達家的時間是5：00；B點是表示小剛和玩伴玩的地點，所以點B的坐標為(20,1100)．求線段CD所在直線的函數(shù)表達式可用待定系數(shù)法也可以用路程與時間的關(guān)系去解決．【針對訓練】如圖表示一騎自行車者和一騎摩托車者沿相同的路線，由甲地到乙地行駛過程中路程和時間之間的關(guān)系圖，已知兩地相距80千米.根據(jù)圖象回答：(1)出發(fā)得早，早個小時；(2)到達乙地較早，早個小時；(3)求出兩人的平均速度分別是多少？探究點3：用一次函數(shù)解決方案問題例3某公司到果園基地購買某種優(yōu)質(zhì)水果，慰問醫(yī)務工作者．果園基地對購買量在3000千克以上（含3000千克）的有兩種銷售方案，甲方案：每千克9元，由基地送貨上門；乙方案：每千克8元，由顧客自己租車運回．已知該公司租車從基地到公司的運輸費為5000元．(1)分別寫出該公司兩種購買方案的付款y（元）與所買的水果量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．(2)試討論用哪種購買方案優(yōu)惠？【方法總結(jié)】用一次函數(shù)解決方案問題的步驟：1.把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學函數(shù)問題，列出函數(shù)關(guān)系式（建立數(shù)學模型）；2.通過解不等式或畫函數(shù)圖象的方式確定自變量的范圍；3.利用一次函數(shù)的增減性選擇出最佳方案.二、課堂小結(jié)建立一次函數(shù)解決實際問題1.用一次函數(shù)刻畫實際問題中的數(shù)量關(guān)系2.獲取實際問題中的圖象信息3.用一次函數(shù)解決方案問題當堂檢測1.甲、乙兩人在一次賽跑中，路程s與時間t的關(guān)系如圖所示（實線為甲的路程與時間的關(guān)系圖象，虛線為乙的路程與時間的關(guān)系圖象），小王根據(jù)圖象得到如下四個信息，其中錯誤的是（）A.這是一次1500米賽跑B.甲、乙兩人中先到達終點的是乙C.甲、乙同時起跑D.甲在這次賽跑中的速度為5米/秒第1題圖第2題圖第3題圖2.某單位準備和一個體車主或一國營出租車公司簽訂月租車合同，設(shè)汽車每月行駛x千米，個體車主收費y1元，國營出租車公司收費為y2元，觀察下列圖象可知，當x________時，選用個體車主較合算．3.某公司市場營銷部的個人月收入y（元）與其每月的銷售量x（件）成一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示，根據(jù)圖中給出的信息可知，當營銷人員的月銷售量為0件時，他的月收入是___________元.4.近幾年來，由于經(jīng)濟和社會發(fā)展迅速，用電量越來越多.為緩解用電緊張，某電力公司特制定了新的用電收費標準，每月用電量x（度）與應付電費y（元）的關(guān)系如圖所示.⑴請你根據(jù)圖象所描述的信息，分別求出當0≤x≤50和x>50時，y與x的函數(shù)表達式；⑵根據(jù)你的分析：當每月用電量不超過50度時，收費標準是多少？當每月用電量超過50度時，收費標準是多少？參考答案自主學習一、知識鏈接1.列表法圖象法表達法2.（1）設(shè)一次函數(shù)的表達式；（2）根據(jù)已知條件，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程（組）；（3）解方程（組），求出待定系數(shù)的值；（4）寫出函數(shù)表達式.3.（0,1）>0二、新知預習1.0.04999.90.04t+999.9合作探究一、探究過程探究點1：用一次函數(shù)刻畫實際問題中的數(shù)量關(guān)系例1解：(1)設(shè)y=kx+b，將x=37,y=70和x=42,y=78代入得解得故桌高y是凳高x的函數(shù)關(guān)系式為y=1.6x+10.8.（2）y=1.6x+10.8，當y=77時，x=41.375≠43.5，故它們不配套.【針對訓練】解：設(shè)V=kT+b，將T=0,V=5.250和T=40,V=5.481代入得解得即V=0.005775T+5.250.當T=10時，V=5.30775≈5.308.當T=30時，V=5.42325≈5.423.故酒精在10℃和30℃時的體積分別為5.308升、5.423升.探究點2：獲取實際問題中的圖象信息例2解：(1)小剛每分鐘走1200÷10＝120(步)，每步走100÷150＝eq\f(2,3)(米)，所以小剛上學的步行速度是120×eq\f(2,3)＝80(米/分)．小剛家和少年宮之間的路程是80×10＝800(米)．少年宮和學校之間的路程是80×(25－10)＝1200(米)．(2)①eq\f(1200－300,45)＋30＋eq\f(800＋300,110)＝60(分鐘)，所以小剛到家的時間是下午5：00.②小剛從學校出發(fā)，以45米/分的速度行走到離少年宮300米處時實際走了900米，用時eq\f(900,45)＝20分，此時小剛離家1100米，所以點B的坐標是(20,1100)．線段CD表示小剛與同伴玩了30分鐘后，回家的這個時間段中離家的路程s(米)與行走時間t(分)之間的函數(shù)關(guān)系，由路程與時間的關(guān)系得s＝1100－110(t－50)，即線段CD所在直線的函數(shù)表達式是s＝6600－110t.【針對訓練】解：（1）騎自行車者3（2）騎摩托車者3（3）80÷8=10(km/h)；80÷（5-3）=40(km/h).故騎自行車者和騎摩托車者的速度分別為10km/h、40km/h.探究點3：用一次函數(shù)解決方案問題例3解：(1)甲方案：y=9x(x≥3000);乙方案：y=8x+5000(x≥3000).(2)令9x=8x+5000，解得x=5000.故當x=5000時，甲、乙兩方案結(jié)果一樣；