預習08正弦定理（六大考點）

預習08正弦定理一、正弦定理1.正弦定理的語言（1）文字語言:在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等（2）符號語言:在中,2.正弦定理的推論及變形公式（1）正弦定理的推論：設R是外接圓的半徑,則;（2）正弦定理的變形①;②;③.知識點3三角形的面積公式（1）分別表示邊上的高）（2）；（3）是內切圓的半徑).二、判斷三角形的解的個數已知兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角，此時可能出現一解、兩解或無解的情況，三角形不能被唯一確定．具體做法如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式解的個數一解兩解一解一解無解考點01已知兩角及一邊解三角形【方法點撥】解題思路：①若所給邊是已知角的對邊時,可由正弦定理求另一角所對的邊,再由三角形內角和定理求出第三個角；②若所給邊不是已知角的對邊時,先由三角形內角和定理求出第三個角,再由正弦定理求另外兩邊.【例1】在中，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由同角三角函數之間的基本關系可得，再由正弦定理可求得.【詳解】易知，由可得；利用正弦定理可得.故選：D【例2】在中，已知，解這個三角形.【答案】答案見解析【分析】根據題意，結合三角形的內角和定理，以及正弦定理，即可求解.【詳解】在中，因為且，可得，又由，由正弦定理得，所以.【變式11】在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則（

）A．8 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】根據同角三角函數的基本關系求出，結合正弦定理即可得解.【詳解】在中，，因為，所以，則由正弦定理得.故選：B．【變式12】在中，已知，，，則；；．【答案】【分析】借助計算即可得，借助正弦定理即可計算、.【詳解】由，故，則，由正弦定理得，.故答案為：；；.【變式13】在中，若，，，則．【答案】/【分析】利用正弦定理可求得的長.【詳解】因為，在中，，，，由正弦定理得.故答案為：.考點02已知兩邊及其中一邊的對角解三角形【方法點撥】解題思路：①首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值；②如果已知的角為大邊所對的角時,由三角形中大邊對大角,大角對大邊的法則能判斷另一邊所對的角為銳角,由正弦值可求銳角唯一；③如果已知的角為小邊所對的角時,則不能判斷另一邊所對的角為銳角,這時由正弦值可求兩個角,要分類討論.【例3】在中，角，，所對的邊分別為，，．，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】運用正弦定理結合題目條件計算即可得.【詳解】由正弦定理，得，因為，所以，又，所以．故選：C.【例4】在中，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可求得角A，由余弦定理求得，再根據正弦定理求得.【詳解】由，得，又，所以，由余弦定理得，得，由正弦定理得，即，所以，故選：A．【變式21】在中，角所對的邊分別為，已知，，．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先求出，然后利用正弦定理求解；（2）利用余弦定理列方程求解；（3）先求出，，然后利用兩角差的正弦公式計算即可.【詳解】（1）根據為三角形的內角可得，根據正弦定理得；（2）根據余弦定理，解得，（負值舍去）；（3）因為，所以為銳角，所以，所以，，所以.【變式22】在中，已知，，.求、及.【答案】，，【分析】由余弦定理可求邊，根據正弦定理可求角，根據內角和定理可求角.【詳解】由余弦定理，得，故，由正弦定理，得，因為,所以或，當時，由三角形內角和定理，可得，當時，，又因為，所以，所以，，.【變式23】在中，角所對的邊分別為，已知.(1)求；(2)求.【答案】(1)；(2).【分析】（1）應用余弦定理解三角形；（2）由正弦定理求得，根據平方關系、二倍角正弦公式求結果.【詳解】（1）因為，所以，所以.（2）因為及（1）結果，所以.因為，所以為銳角，則，故.考點03利用正弦定理判定解的個數【方法點撥】已知和,用正弦定理求時的情況：（1）當為銳角時，①若，三角形無解；②若，三角形一解；③若，三角形兩解；④若，三角形一解;（2）當為銳角時，①若，三角形無解；②若，三角形一解【例5】在中，，，，滿足條件的（

）A．有無數多個 B．有兩個 C．有一個 D．不存在【答案】D【分析】利用正弦定理求出，再結合正弦函數的性質判斷即可.【詳解】因為，，，由正弦定理，即，所以，又，由正弦函數的性質可得不存在，所以滿足條件的不存在.故選：D【例6】在中，已知，，若有唯一值，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由可求，對的取值進行討論，求出使得B唯一時的取值范圍，此時有唯一值.【詳解】由可得：，且，若，則，由正弦定理可得,則，所以B為銳角，此時B唯一，則C也唯一，所以有唯一值.當時，，則此時B唯一，則C也唯一，所以有唯一值.當時，因為，根據正弦函數圖像易知，在上存在兩個根，所以存在兩個值滿足，所以不成立.故選：C【變式31】下列條件判斷三角形解的情況，正確的是（填序號）；①，，，有兩解；②，，，有一解；③，，，無解；④，，，有一解．【答案】④【分析】對于①，由正弦定理求得，可判斷三角形解的個數；對于②，由正弦定理求得，結合三角形中大邊對大角性質，可判斷三角形解的個數；對于③，由正弦定理，結合，可得解的個數；對于④，由正弦定理得，結合可得三角形的解有一個，由此可得答案.【詳解】對①：由正弦定理，所以，又因為，所以有一解，故①錯誤；對②：正弦定理，所以，又因為，所以，則三角形的解有兩解，故②錯誤；對③：由正弦定理，所以，又因為且，可得有一解，所以三角形的解有一個，故③錯誤；對于④，由正弦定理，所以，又因為且，可得有一解，所以三角形的解有一個，故④正確，故答案為：④.【變式32】在中，已知角的對邊分別為，且，若有兩解，則的取值范圍是．【答案】【分析】法一，結合圖形，得到有兩解的充要條件；法二，由正弦定理，結合三角函數圖象和性質由解的個數得的取值范圍.【詳解】法一：由題意，，如圖，作，在角的一邊取，過作另一邊的垂線，垂足為，要使有兩解，則以為圓心，以為半徑的圓與射線有兩個交點，即若使有兩解，則有，即，解得.法二：由題意，，由正弦定理得，則，由，如圖，作的圖象，若使有兩解，則有，即，解得.故答案為：.【變式33】設的角，，所對的邊分別為，，，且，，當有兩個解時，的取值范圍是.【答案】【分析】利用正弦定理計算可得.【詳解】由正弦定理可知，即，所以，因為有兩個解，即有兩解，又，則，由正弦函數的性質，可得且，所以，即，解得，即的取值范圍是.故答案為：考點04判斷三角形的形狀【方法點撥】判斷三角形形狀時,應圍繞三角形的邊角關系,利用正弦或余弦定理進行邊角互化,要么把角轉化為邊,通過代數變形找出邊之間的關系,要么把邊轉化為角,通過三角變換找出角之間的關系,當然也可以邊角同時考慮.【例7】在中，角所對的邊分別為，已知，，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】利用正弦定理邊化角可求得，得到；結合特殊角三角函數值和三角形內角和為可求得結果.【詳解】由正弦定理得：，，又，，，則；，，或，又，，，為等邊三角形.故選：C.【例8】在中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】A【分析】已知條件用正弦定理邊化角，由展開后化簡得，可得出等腰三角形的結論.【詳解】，由正弦定理，得，即∴，可得，又，∴，則的形狀為等腰三角形.故選：A.【變式41】在中，已知，判斷的形狀.【答案】等腰三角形【分析】借助正弦定理將原式化簡即可得.【詳解】法一：由正弦定理，故可化為，即，故為等腰三角形.法二：由正弦定理，故可化為，又，故，則或（舍），故，故為等腰三角形.【變式42】在中，若，則的形狀是（）A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】首先根據正弦定理邊化角得到，再結合三角函數恒等變換得到，即可得到答案.【詳解】因為，所以，所以.因為，所以.又因為，所以，為直角三角形.故選：B【變式43】設的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形 D．銳角三角形【答案】B【分析】根據正弦定理邊角互化可得，進而由三角函數的性質求解.【詳解】由得,由二倍角公式可得或，由于在，,所以或,故為等腰三角形或直角三角形故選：B考點05與三角形面積有關的計算【方法點撥】一般用公式進行求解,可分為以下兩種情況:（1）若所求面積為多邊形的面積,可通過作輔助線或其他途徑構造三角形,轉化為求三角形的面積.（2）若所給條件為邊角關系,則需要運用正、余弦定理求出某兩邊及夾角,再利用三角形面積公式進行求解.【例9】在中，若，則的面積為（

）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】利用余弦定理求，進而利用面積公式求面積.【詳解】由題意可得：，即，整理得，解得或（舍去），所以的面積為.故選：D.【例10】在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求角B的大??；(2)若的面積為6，，求b的長.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二倍角公式化簡得，即可求解.（2）利用三角形面積公式求解，然后利用余弦定理求解即可.【詳解】（1）因為，所以.因為，所以，又，，所以.（2）因為，所以.由余弦定理可得，所以.【變式51】在中，內角、、的對邊分別為、、，的面積為，，，則.【答案】或【分析】利用三角形的面積公式求出角的值，再利用余弦定理可求得的值.【詳解】由三角形的面積公式可得，則，因為，則或.當時，由余弦定理可得；當時，由余弦定理可得.綜上所述，或.故答案為：或.【變式52】《九章算術》是中國古代的數學名著，其中《方田》一章給出了弧田面積的計算方法．弧田是由圓弧和其對弦圍成的圖形，如圖中陰影部分所示．若弧田所在圓的半徑為，為圓心，弦的長是3，則弧田的面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦定理得到，再利用扇形面積公式與三角形面積公式即可得解.【詳解】依題意，，，所以，因為，所以，故的弧長為，則扇形的面積為，的面積為，所以弧田的面積為．故選：D.【變式53】的周長為20，面積為，，則邊的長是【答案】【分析】利用面積公式得到的值，結合的周長與余弦定理列出關于的方程，從而求出的值，即的值.【詳解】因為面積公式，所以，得，又的周長為，故，即，由余弦定理得，所以，解得.故答案為：.考點06正弦定理邊角互化的其他應用【方法點撥】出現關于邊的齊次式(方程),或關于角的正弦的齊次式(方程),可通過正弦定理,進行邊角互化.【例11】在銳角中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求角C的大小；(2)若，且，求周長.【答案】(1)60°(2)9【分析】（1）根據正弦定理即可邊角化求解，（2）由余弦定理即可求解.【詳解】（1）,由正弦定理得，

，或是銳角三角形，（2）由余弦定理得,,,所以的周長【例12】記的內角的對邊分別為，已知.(1)求：(2)若，求面積.【答案】(1)2(2)【分析】（1）由余弦定理化簡已知等式，可求；（2）由正弦定理和兩角和的正弦公式化簡等式，求出角，面積公式求面積.【詳解】（1）由余弦定理，得，所以.（2）若，由正弦定理，，，所以，因為，故，所以，又，所以，故的面積為.【變式61】的內角A，B，C所對邊分別為a，b，c，滿足．(1)求角C；(2)若，求c的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理的邊角變換，結合余弦定理即可得解；（2）利用正弦定理與整體法即可得解.【詳解】（1）因為，由正弦定理得，即，由余弦定理得，又，所以．（2）由正弦定理，得，因為，所以，則，所以．【變式62】設的內角的對邊分別為，且．(1)求的大小；(2)若，且的周長為，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據正弦定理和余弦定理進行求解即可；（2）根據三角形公式、結合余弦定理進行求解即可.【詳解】（1）根據正弦定理，由，由余弦定理可知：，所以，因為，所以；（2）因為，所以有，而的周長為，所以，于是有，所以的面積為.【變式63】在中，角，，所對的邊分別為，，，若，且的外接圓的半徑為，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在中，由正弦定理邊角關系得，由余弦定理求出角，由余弦定理結合基本不等式可得，進而可求出三角形面積的最大值.【詳解】在中，，由正弦定理得：，由余弦定理得：，因為為的內角，則，所以，因為的外接圓的半徑為，由正弦定理得：，所以，由余弦定理得，即，因為，所以，當且僅當時取等號，故的面積，所以面積的最大值為.故選：B一、單選題1．中，，，，則角C的大小為（

）A． B．C． D．或【答案】A【分析】利用正弦定理及三角形的性質計算即可.【詳解】由正弦定理可知，因為，所以，故.故選：A2．中，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由正弦定理，大角對大邊，大邊對大角等證明出充分性和必要性均成立，從而求出答案.【詳解】因為，由大角對大邊可得，由正弦定理得，且，所以，故，充分性成立，同理當時，，，由正弦定理可得，由大邊對大角可得，必要性成立，“”是“”的充要條件.故選：C3．在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則的外接圓的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據三角形內角和為得到，利用正弦定理得到外接圓半徑，得到面積.【詳解】在中，，，所以.設的外接圓的半徑為R，則由正弦定理，可得，解得R＝1，故的外接圓的面積.故選：B4．記的內角所對的邊分別為，則邊上的高為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據余弦定理求出，再根據面積公式列式可求出結果.【詳解】由，得.設邊上的高為，因為，所以，即邊上的高為.故選：D5．根據下列情況，判斷三角形解的情況，其中正確的是（

）A．，，，有兩解B．，，，有一解C．，，，有一解D．，，，無解【答案】C【分析】利用正弦定理和余弦定理依次判斷A，B，C，D即可.【詳解】A中，因為，所以，又，所以，即只有一解，故A錯誤；B中，因為，所以，且，所以，故有兩解，故B錯誤；C中，因，所以，又，所以角B只有一解，故C正確；D中，因為,,，所以，有解，故D正確.故選：C.6．在中，時，角A的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據正弦定理得，再利用余弦定理結合正弦函數圖象與性質即可得到角A的范圍.【詳解】∵中，，∴由正弦定理化簡得：，即，∴，∵A為三角形的內角，∴，則A的范圍為.故選：B.二、多選題7．下列說法正確的有（

）A．中，是的充要條件B．在中，若，則一定為等腰三角形C．在中，若，則D．在中，【答案】AD【分析】利用正弦定理和充分條件、必要條件的判定方法，可判定A正確；由，得到或，可判定B錯誤；由三角函數的性質，求得或，可判定C錯誤；根據正弦定理，可判定D正確.【詳解】對于A，在中，由，利用正弦定理得，即，可得；反之：若，可得，根據正弦定理得，所以中，是的充要條件，所以A正確；對于B，在中，由，可得或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形，所以B不正確；對于C，由，因為，可得或，所以C錯誤；對于D，在中，根據正弦定理，可得，所以D正確.故選：AD.8．在中，若，，，則的面積可能為（

）.A． B． C． D．【答案】AB【分析】根據余弦定理計算或，再計算面積得到答案.【詳解】根據余弦定理：，即，解得或，，故或.故選：AB9．在中，由以下各條件分別能得出為等邊三角形的有（

）A．已知且 B．已知且C．已知且 D．已知且【答案】AC【分析】利用正弦定理、余弦定理判斷三角形的形狀.【詳解】對于A、因為，所以，由余弦定理得，，又，所以，所以，所以，所以，所以為等邊三角形..故A正確；對于B，因為，，所以或，當時，，所以，所以為等邊三角形；當時，，所以為等腰三角形.故B錯誤；對于C，因為且，所以；所以，所以，又，所以，所以為等邊三角形.故C正確；對于D，因為；所以，即，所以，所以或，所以或，當時，，所以，所以為等邊三角形；當時，，所以，，所以為直角三角形.故D錯誤.故答案為：AC.三、填空題10．在中，若，則.【答案】2【分析】根據正弦定理及其推論計算即可.【詳解】因為，，所以.故答案為：2.11．的內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，則下列命題正確的序號是．①．若，則②．若，則是銳角三角形③．若，則是直角三角形④．若，則為等腰三角形⑤．若銳角中，則恒成立【答案】①③【分析】根據正弦定理，余弦定理，三角函數恒等變換的應用逐一判斷各個選項即可．【詳