高考數(shù)學(xué)人教B版一輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練2-6冪函數(shù)與二次函數(shù)

核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.冪函數(shù)f(x)=(m2-4m+4)QUOTE在(0,+∞)上為增函數(shù),則m的值為()A.1或3 B.1 C.3 D.22.若四個(gè)冪函數(shù)y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖所示,則a,b,c,d的大小關(guān)系是 ()A.d>c>b>a B.a>b>c>dC.d>c>a>b D.a>b>d>c3.(2019·全國(guó)卷Ⅱ)若a>b,則 ()A.ln(ab)>0 B.3a<3C.a3b3>0 D.|a|>|b|4.設(shè)a=QUOTE,b=QUOTE,c=QUOTE,則a,b,c的大小關(guān)系為 導(dǎo)學(xué)號(hào)()A.a>c>b B.a>b>cC.c>a>b D.b>c>a【解析】1.選B.由題意知QUOTE解得m=1.2.選B.由冪函數(shù)的圖象可知,在(0,1)上冪函數(shù)的指數(shù)越大,函數(shù)圖象越接近x軸,由題圖知a>b>c>d.3.選C.當(dāng)a=3,b=2時(shí),選項(xiàng)A錯(cuò).由于a>b,而y=3x是增函數(shù),所以3a>3b,故B錯(cuò).當(dāng)a=3,b=5時(shí),選項(xiàng)D錯(cuò).因?yàn)閥=x3是增函數(shù),故a3>b34.選A.因?yàn)?<QUOTE<QUOTE<1,指數(shù)函數(shù)y=QUOTE在R上單調(diào)遞減,故QUOTE<QUOTE.又由于冪函數(shù)y=QUOTE在R上單調(diào)遞增,故QUOTE>QUOTE,所以QUOTE<QUOTE<QUOTE,即b<c<a.1.冪函數(shù)圖象的特點(diǎn)掌握冪函數(shù)圖象只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個(gè)區(qū)域,即x=1,y=1,y=x分的區(qū)域.根據(jù)α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值確定位置后,其余象限部分由奇偶性決定.2.比較冪值大小的方法在比較冪值的大小時(shí),必須結(jié)合冪值的特點(diǎn),選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),借助其單調(diào)性進(jìn)行比較.【秒殺絕招】題3可以用特殊值法求解,令a=0,b=1,則可排除選項(xiàng)A,B,D.考點(diǎn)二二次函數(shù)的圖象與解析式

【典例】1.設(shè)函數(shù)f(x)=x2+x+a(a>0),已知f(m)<0,則 ()A.f(m+1)≥0 B.f(m+1)≤0C.f(m+1)>0 D.f(m+1)<02.已知二次函數(shù)f(x)=x2bx+c滿足f(0)=3,對(duì)?x∈R,都有f(1+x)=f(1x)成立,則f(x)的解析式為________.

3.已知二次函數(shù)f(x)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)和(2,0)且有最小值1,則f(x)=________.

【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題1由f(x)=x2+x+a,想到該函數(shù)的對(duì)稱軸為x=QUOTE2由f(1+x)=f(1x),想到該函數(shù)的對(duì)稱軸為x=13由二次函數(shù)f(x)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)和(2,0),想到f(x)=ax(x+2)(a≠0)【解析】1.選C.因?yàn)閒(x)的對(duì)稱軸為x=QUOTE,f(0)=a>0,所以f(x)的大致圖象如圖所示,由f(m)<0,得1<m<0,所以m+1>0,所以f(m+1)>f(0)>0.2.由f(0)=3,得c=3,又f(1+x)=f(1x),所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,所以QUOTE=1,所以b=2,所以f(x)=x22x+3.答案:f(x)=x22x+33.設(shè)函數(shù)的解析式為f(x)=ax(x+2)(a≠0),所以f(x)=ax2+2ax,由QUOTE=1,得a=1,所以f(x)=x2+2x.答案:x2+2x1.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式關(guān)鍵是靈活選取二次函數(shù)解析式形式,選法如下:2.二次函數(shù)解析式的三種形式(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).(2)頂點(diǎn)式:f(x)=a(xm)2+n(a≠0).(3)兩根式:f(x)=a(xx1)(xx2)(a≠0).1.對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)與二次函數(shù)y=(a1)x2x在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是 ()【解析】選A.若0<a<1,則y=logax在(0,+∞)上單調(diào)遞減,y=(a1)x2x開口向下,其圖象的對(duì)稱軸在y軸左側(cè),排除C,D.若a>1,則y=logax在(0,+∞)上是增函數(shù),y=(a1)x2x圖象開口向上,且對(duì)稱軸在y軸右側(cè),因此B項(xiàng)不正確,只有選項(xiàng)A正確.2.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R,a≠0),x∈R,若函數(shù)f(x)的最小值為f(1)=0,則f(x)=________.

【解析】設(shè)函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=a(x+1)2=ax2+2ax+a(a≠0),又f(x)=ax2+bx+1,所以a=1,故f(x)=x2+2x+1.答案:x2+2x+1考點(diǎn)三二次函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用

命題精解讀考什么:(1)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì),二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),求值或解不等式,求參數(shù)值等問題.(2)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).怎么考:冪函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的周期性以及對(duì)稱性等知識(shí)單獨(dú)或交匯考查,也可能以分段函數(shù)的形式呈現(xiàn).新趨勢(shì):冪函數(shù)、二次函數(shù)與其他基本初等函數(shù)交匯,圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)、方程、不等式交匯考查.學(xué)霸好方法一元二次不等式恒成立的條件(1)“ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立”的充要條件是“a>0且Δ<0”(2)“ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立”的充要條件是“a<0且Δ<0”二次函數(shù)的單調(diào)性問題【典例】已知函數(shù)f(x)=2x2+bx,若對(duì)任意的實(shí)數(shù)t都有f(4+t)=f(4t),則f(2),f(4),f(5)的大小關(guān)系為 ()A.f(5)>f(2)>f(4)B.f(4)>f(5)>f(2)C.f(4)>f(2)>f(5)D.f(2)>f(4)>f(5)【解析】選B.因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)t都有f(4+t)=f(4t),所以函數(shù)f(x)=2x2+bx的圖象關(guān)于直線x=4對(duì)稱,所以f(2)=f(10),又函數(shù)f(x)=2x2+bx的圖象開口向下,所以函數(shù)f(x)在[4,+∞)上是減函數(shù),因?yàn)?<5<10,所以f(4)>f(5)>f(10),即f(4)>f(5)>f(2).如何確定二次函數(shù)的單調(diào)性?提示:關(guān)鍵看二次函數(shù)圖象的開口方向與對(duì)稱軸.二次函數(shù)中的恒成立問題【典例】1.若不等式(a2)x2+2(a2)x4<0對(duì)一切x∈R恒成立,則a的取值范圍是 ()A.(∞,2] B.[2,2]C.(2,2] D.(∞,2)2.若關(guān)于x的不等式x24x≥m對(duì)任意x∈(0,1]恒成立,則m的取值范圍為________. 導(dǎo)學(xué)號(hào)

【解析】1.選C.當(dāng)a2=0即a=2時(shí),不等式為4<0,恒成立.當(dāng)a2≠0時(shí),QUOTE解得2<a<2,所以a的取值范圍是2<a≤2.2.只需要在x∈(0,1]時(shí),(x24x)min≥m即可.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x24x在(0,1]上為減函數(shù),所以當(dāng)x=1時(shí),(x24x)min=14=3,所以m≤3.答案:(∞,3]1.由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路是什么?提示:一般有兩個(gè)解題思路:一是分離參數(shù);二是不分離參數(shù).2.兩種思路目標(biāo)是什么?提示:目標(biāo)都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值.二次函數(shù)的最值問題【典例】若函數(shù)f(x)=x2+ax+b在區(qū)間[0,1]上的最大值是M,最小值是m,則Mm 導(dǎo)學(xué)號(hào)()A.與a有關(guān)且與b有關(guān) B.與a有關(guān)但與b無關(guān)C.與a無關(guān)且與b無關(guān) D.與a無關(guān)但與b有關(guān)【解析】選B.f(x)=x2+ax+b=QUOTE+bQUOTE,對(duì)稱軸為x=QUOTE,下面分情況討論:(1)若QUOTE>1,即a<2時(shí),f(x)max=f(0)=b,f(x)min=f(1)=a+b+1,此時(shí)Mm=b(a+b+1)=a1.(2)若QUOTE<QUOTE≤1,即2≤a<1時(shí),f(x)max=f(0)=b,f(x)min=fQUOTE=bQUOTE,此時(shí)Mm=bQUOTE=QUOTE.(3)若0<QUOTE≤QUOTE,即1≤a<0時(shí),f(x)max=f(1)=a+b+1,f(x)min=fQUOTE=bQUOTE,此時(shí)Mm=a+b+1QUOTE=1+a+QUOTE.(4)若QUOTE≤0,即a≥0時(shí),f(x)max=f(1)=a+b+1,f(x)min=f(0)=b,此時(shí)Mm=a+b+1b=1+a.綜上,Mm與a有關(guān),而與b無關(guān).函數(shù)f(x)=ax2+bx+c在區(qū)間[m,n]上的最大值、最小值可能在何處取得?提示:由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知:其最大值、最小值可能為f(m),f(n),fQUOTE.1.設(shè)函數(shù)f(x)=x223x+60,g(x)=f(x)+|f(x)|,則g(1)+g(2)+…+g(20)=()A.56 B.112 C.0 D.38【解析】選B.由二次函數(shù)圖象的性質(zhì)得,當(dāng)3≤x≤20時(shí),f(x)+|f(x)|=0,所以g(1)+g(2)+…+g(20)=g(1)+g(2)=f(1)+|f(1)|+f(2)+|f(2)|=112.2.已知函數(shù)y=ax2+bx1在(∞,0]上是單調(diào)函數(shù),則y=2ax+b的圖象不可能是()【解析】選B.①當(dāng)a=0,b≠0時(shí),y=2ax+b的圖象可能是A;②當(dāng)a>0時(shí),QUOTE≥0?b≤0,y=2ax+b的圖象可能是C;③當(dāng)a<0時(shí),QUOTE≥0?b≥0,y=2ax+b的圖象可能是D.3.(2019·南昌模擬)如果函數(shù)f(x)=x2axa在區(qū)間[0,2]上的最大值為1,那么實(shí)數(shù)a=________.

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2axa的圖象為開口向上的拋物線,所以函數(shù)的最大值在區(qū)間的端點(diǎn)取得.因?yàn)閒(0)=a,f(2)=4-3a,所以QUOTE或QUOTE解得a=1.答案:11.(2020·合肥模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=mx2mx1,若對(duì)于x∈[1,3],f(x)<m+4恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 ()A.(∞,0] B.QUOTEC.(∞,0)∪QUOTE D.QUOTE【解析】選D.由題意,f(x)<m+4對(duì)于x∈[1,3]恒成立,即m(x2x+1)<5對(duì)于x∈[1,3]恒成立.因?yàn)楫?dāng)x∈[1,3]時(shí),x2x+1∈[1,7],所以不等式f(x)<m+4等價(jià)于m<QUOTE.因?yàn)楫?dāng)x=3時(shí),QUOTE取最小值QUOTE,所以若要不等式m<QUOTE對(duì)于x∈[1,3]恒成立,則必須滿足m<QUOTE,因此,實(shí)數(shù)m的取值范圍為QUOTE.2.(2020·北京模擬)已知集合{a,b,c}={2,3,4},且下列三個(gè)關(guān)系:a≠3,b=3,c≠4有且只有一個(gè)正確,則函數(shù)f(x)=QUOTE的值域是________.

【解析】由{a,b,c}={2,3,4}得,a,b,c的取值有以下情況