浙江省寧波市慈溪市2024屆高三上學(xué)期期末測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省寧波市慈溪市2024屆高三上學(xué)期期末測(cè)試數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題1.設(shè)全集，集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗集合,，，,，．故選：B．2.設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C. D.3〖答案〗D〖解析〗依題意，，則，所以的虛部為3.故選：D.3.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.3〖答案〗A〖解析〗向量，，由得，，解得.故選：A.4.已知函數(shù)，若，則（）A.3 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋?又，所以.所以.故選：C5.圖①中的“馬頭墻”是我國(guó)江南傳統(tǒng)民居建筑的重要特色之一，它的頂部稱之為垛．每只垛的結(jié)構(gòu)如圖②，可近似看成由一個(gè)正三棱柱和兩個(gè)完全相同的正四面體構(gòu)成的幾何體．已知，，，現(xiàn)計(jì)劃覆以小青瓦，覆蓋面為“前”“后”兩面，“前面”如圖③陰影部分，則小青瓦所要覆蓋的面積為（）圖①圖②圖③A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意，，且，則，則正四面體的一個(gè)面為邊長(zhǎng)為的正三角形，其面積為；又，則正三棱柱的一個(gè)側(cè)面為長(zhǎng)為，寬為的矩形，其面積為；所以小青瓦所要覆蓋的面積為個(gè)正三角形與個(gè)矩形的面積和，則.故選：A.6.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，則（）A.2024 B. C. D.0〖答案〗D〖解析〗由題意，在中，定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，解得：，……函數(shù)值周期性變化，周期為3，∵，可得：，故選：D.7.已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，則“A，B，C，D四點(diǎn)共圓”是“直線AC與BD傾斜角互補(bǔ)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗設(shè)直線AB的方程為，CD的方程為，又四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，過(guò)A，B，C，D四點(diǎn)的二次曲線系為，即，充分性：若A，B，C，D四點(diǎn)共圓，則曲線系方程表示圓，有，，可得，即直線AC與BD傾斜角互補(bǔ)，充分性成立必要性：當(dāng)直線AC與BD傾斜角互補(bǔ)，有，則，若取，曲線系方程為，這種形式的方程表示的曲線有且僅有三種情形：一個(gè)圓、一個(gè)點(diǎn)、無(wú)軌跡，而A，B，C，D四點(diǎn)都在曲線上，所以曲線表示圓，也即A，B，C，D四點(diǎn)共圓.必要性成立.所以“A，B，C，D四點(diǎn)共圓”是“直線AC與BD傾斜角互補(bǔ)”的充要條件.故選：C.8.已知數(shù)列滿足，，令．若數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，則，即，.故選：B二、選擇題9.某電商平臺(tái)為了對(duì)某一產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，采用不同的單價(jià)在平臺(tái)試銷，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：?jiǎn)蝺r(jià)x/元88.599.510銷量y/萬(wàn)件8985807868根據(jù)以上數(shù)據(jù)得到與具有較強(qiáng)的線性關(guān)系，若用最小二乘估計(jì)得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（）A.相關(guān)系數(shù) B.點(diǎn)一定在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上C. D.時(shí)，對(duì)應(yīng)銷量的殘差為〖答案〗BC〖解析〗由表中數(shù)據(jù)可得，所以樣本中心為，故在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上，B正確，由可得與具負(fù)相關(guān)，故A錯(cuò)誤，將代入可得，解得，C正確，當(dāng)時(shí)，，所以殘差為，D錯(cuò)誤，故選：BC10.已知為直線上的一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為2，則（）A.動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為 B.C.的最小值為 D.的最大角為〖答案〗ACD〖解析〗設(shè)，依題意有，化簡(jiǎn)得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，A選項(xiàng)正確；方程表示圓心為半徑為2的圓，圓心到直線的距離，所以的最小值為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，最小值為點(diǎn)到直線的距離，C選項(xiàng)正確；的最大時(shí)，與圓相切，此時(shí)，，，D選項(xiàng)正確；故選：ACD.11.對(duì)于任意實(shí)數(shù)，表示為不超過(guò)的極大整數(shù)，如，，（）A.若時(shí)，則B.若，，則C.若，，則D.若，，則〖答案〗ABD〖解析〗由題意，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，表示為不超過(guò)的極大整數(shù)，設(shè)，其中分別是的整數(shù)部分，分別是的小數(shù)部分，A項(xiàng)，，故，則，故A正確；B項(xiàng)，，，，∴，B正確；C項(xiàng)，，，，∴，故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，，∴，故D正確；故選：ABD.12.已知直三棱柱，，，，，，平面EFG與直三棱柱相交形成的截面為，則（）A.存在正實(shí)數(shù)，，，使得截面為等邊三角形B.存在正實(shí)數(shù)，，，使得截面為平行四邊形C.當(dāng)，時(shí)，截面為五邊形D.當(dāng)，，時(shí)，截面為梯形〖答案〗AC〖解析〗由題意，在直三棱柱中，，，，，，平面EFG與直三棱柱相交形成的截面為，A項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，截面為等邊三角形，此時(shí)，且，A正確；B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在三棱錐內(nèi)部，為三角形，當(dāng)時(shí)，不平行四邊形，當(dāng)時(shí)，不為平行四邊形，當(dāng)時(shí)，不為平行四邊形，當(dāng)有兩個(gè)大于時(shí)，不為平行四邊形,當(dāng)有三個(gè)大于時(shí)，截面為,∴不存在正實(shí)數(shù)，，，使得截面為平行四邊形，B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，解得：（舍）或，當(dāng)時(shí)，，在三棱柱外，在三棱柱內(nèi)，截面為五邊形,故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，當(dāng)，，時(shí)，截面為四邊形,易知與相交，假設(shè)，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，所以（矛盾），故四邊形不是梯形，故D錯(cuò)誤.故選：AC.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題13.在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____．（用數(shù)字作答）〖答案〗252〖解析〗設(shè)展開(kāi)式的第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則.由.所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為：.故〖答案〗為：14.若，，且，則的最小值為_(kāi)______．〖答案〗〖解析〗由題意，，，，∴，∴，解得：（舍）或當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，故〖答案〗為：.15.若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則正整數(shù)的最小值為_(kāi)______．（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）〖答案〗18〖解析〗令，顯然不是函數(shù)的零點(diǎn)，所以，記，則，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且恒成立，且，故作出的大致圖象如下：要使有兩個(gè)零點(diǎn)，則的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，或，由于，故正整數(shù)的最小值18，故〖答案〗為：1816.已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為F，P為雙曲線右支上的點(diǎn)，若雙曲線的離心率為2，且，則_______．〖答案〗〖解析〗由已知，由于離心率確定，的具體大小并不會(huì)影響題目中的角度，故不妨取，則，雙曲線方程，不妨取在第一象限，如圖：設(shè)，且則直線，與聯(lián)立消去得，則，所以，代入可得，所以，即，所以.故〖答案〗為：.四、解答題17.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c,且.（1）求；（2）若，BC邊上的中線，求的面積．解：（1）因?yàn)?，即，所以，又因?yàn)?，所以，所以．?）方法1：因?yàn)椋?，即，所以①；由余弦定理得，②；所以由①②得，所以．方?：由余弦定理得：，因?yàn)?，所以①；又②；所以由①②得，所以?8.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．解：（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，則，解得，所以；（2）由（1）知，所以①，②，由①－②相減得：，故，明顯，所以，所以，所以.19.如圖，在四棱錐中，，，，．（1）求證：；（2）若四棱錐的體積為12，求平面與平面的夾角的余弦值．（1）證明：由題意證明如下，在四棱錐中，連接,因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，，所以，所以，即．因?yàn)?，平面，所以平面，所以，由，平面，所以平面，平面，所以．?）解：由題意及（1）得，在四棱錐中，因?yàn)?，所以．建立以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸的空間直角坐標(biāo)系，，，，，設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為，則，即，取，設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為，則，即，取所以，所以平面PBC與平面PCD的夾角的余弦值為．20.已知A，B分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)，在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率不為零的直線與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，若直線AC與BD相交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上．（1）解：由題意知，，解得，所以橢圓方程為；（2）證明：由橢圓對(duì)稱性及點(diǎn)在軸上，故若點(diǎn)在定直線上，則該定直線關(guān)于軸對(duì)稱.設(shè)直線的方程為，，，由得，，所以，．則有，又，則直線AC方程為，直線BD方程為，由得，．又因?yàn)?，，所以，所以點(diǎn)在定直線上..21.某城市的青少年網(wǎng)絡(luò)協(xié)會(huì)為了調(diào)查該城市中學(xué)生的手機(jī)成癮情況，對(duì)該城市中學(xué)生中隨機(jī)抽出的200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查中使用了兩個(gè)問(wèn)題．問(wèn)題1：你的學(xué)號(hào)是不是奇數(shù)？問(wèn)題2：你是否沉迷手機(jī)？調(diào)查者設(shè)計(jì)了一個(gè)隨機(jī)化裝置，這是一個(gè)裝有大小、形狀和質(zhì)量完全一樣的50個(gè)白球和50個(gè)紅球的袋子，每個(gè)被調(diào)查者隨機(jī)從袋中摸取一個(gè)球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的學(xué)生如實(shí)回答第一個(gè)問(wèn)題，摸到紅球的學(xué)生如實(shí)回答第二個(gè)問(wèn)題，回答“是”的人往一個(gè)盒子中放一個(gè)小石子，回答“否”的人什么都不要做．由于問(wèn)題的〖答案〗只有“是”和“否”，而且回答的是哪個(gè)問(wèn)題也是別人不知道的，因此被調(diào)查者可以毫無(wú)顧慮地給出符合實(shí)際情況的〖答案〗．（1）如果在200名學(xué)生中，共有80名回答了“是”，請(qǐng)你估計(jì)該城市沉迷手機(jī)的中學(xué)生所占的百分比．（2）某學(xué)生進(jìn)入高中后沉迷手機(jī)，學(xué)習(xí)成績(jī)一落千丈，經(jīng)過(guò)班主任老師和家長(zhǎng)的勸說(shuō)后，該學(xué)生開(kāi)始不玩手機(jī)．已知該學(xué)生第一天沒(méi)有玩手機(jī)，若該學(xué)生前一天沒(méi)有玩手機(jī)，后面一天繼續(xù)不玩手機(jī)的概率是0.8；若該學(xué)生前一天玩手機(jī)，后面一天繼續(xù)玩手機(jī)的概率是0.5．（i）求該學(xué)生第三天不玩手機(jī)的概率P；（ii）設(shè)該學(xué)生第n天不玩手機(jī)的概率為，求．解：（1）設(shè)“回答問(wèn)題1”記為事件，“回答問(wèn)題2”記為事件，回答“是”記為事件，則，，，因?yàn)?，所以，即該城市沉迷手機(jī)的中學(xué)生所占；（2）（?。唬áⅲ┯深}意知，第天不玩手機(jī)的概率是，第天玩手機(jī)的概率是，所以，即，所以，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比等比數(shù)列，所以，所以.22.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）若，求的