2024年高考數(shù)學一輪復習講練測：復數(shù)（講義）

第03講復數(shù)

目錄

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

(1)通過方程的解，認識復高考對集合的考查相對穩(wěn)定，每年必考

數(shù).題型，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均

(2)理解復數(shù)的代數(shù)表示及變化不大.復數(shù)的運算、概念、復數(shù)的

2022年/卷〃卷第2題，5分

其幾何意義，理解兩個復數(shù)相模、復數(shù)的幾何意義是?？键c，難度較

2021年〃卷第1題，5分

等的含義.低，預測高考在此處仍以簡單題為主.

2021年/卷第2題，5分

(3)掌握復數(shù)的四則運算，

了解復數(shù)加、減運算的幾何意

義.

形如a+bi(a,beR)的致叫復孜，記作a+biwC

兩個支部相等,底部互為相反軟的復數(shù)互為共旎復淑

兩個復數(shù)a+尻,c+di(a,b,c,dER)相7iu>a=c,b

復致的微念

22

員數(shù)的模??|z|=|a+姐=\/a+6

(a+fet)±(c4-di)=(a±c)+(b±d)i

(a4-W)?(c4-di)(acbd)+(ad+bc)i

復數(shù)運算

a+6i(a+6t)?(c-di)(ar+M)4-(fcc-ad)i(<?+/#o)

(c-d?)?(c-di)

史數(shù)z=a十bi(a,b€R)對應平面內(nèi)的點z(a,b)

$2數(shù)z=a+6t(a,b6A)對應平而向￡OZ

復數(shù)的幾何意義

復數(shù)z=a+呵Q,6WR)的模|z|表示U平面內(nèi)的點z(a,b)到原點的距離

復數(shù)的三角表示式：r(cos8+isin8)

輻角的主信

三角形式下的兩個復數(shù)相等：兩個非零復教相等

當且僅當它們的根與輻角的主值分別相等

復教三角形式的乘法運算：

復數(shù)的三角形式

ri(cos^i+isin6*i)?r2(cosg+isin02)=[cos(%+%)+isin(%+.)]

復故三角形式的除法運算：

ri(cos^i+isin0i)

—|cos(01—02)+tfiin(g—02)]

/2(8$。2+dsin%)「2

夯基?必備基礎知識梳理

知識點一、復數(shù)的概念

(1)i叫虛數(shù)單位，滿足尸=-1,當AcZ時，產(chǎn)=1,產(chǎn)M=7?，產(chǎn)+2=_1，*+3=_j.

(2)形如〃+陽a,人eR)的數(shù)叫復數(shù)，記作a+>wC.

①復數(shù)z=a+陽a,%eR)與復平面上的點Z(a,b)一—對應，a叫z的實部,6叫z的虛部：b=OozcR,

Z點組成實軸；b*O,z叫虛數(shù)；6*0且a=0,z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對應點組成虛軸(不包括原點).兩個

實部相等，虛部互為相反數(shù)的復數(shù)互為共施復數(shù).

d—C

(兩復數(shù)對應同一點)

{b=d

③復數(shù)的模：復數(shù)a+〃(“/￡R)的模，也就是向量OZ的模，即有向線段OZ的長度，其計算公式為

\z\=\a+hi|=y/a2+b2,顯然，|z|=|a-Z>i|=>/?TP",z?z=a：!.

知識點二、復數(shù)的加、減、乘、除的運算法則

1、復數(shù)運算

(1)(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(Z?±d)i

(2)(a+bi)-(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

(a+bi)?(a-bi)=z-z=?2+Z?2=|z|2

■(注意Z?=|zF)

z+z=2a

其中|z|=Ja。+t>2,叫z的模；z=a-bi是z=a+bi的共甄復數(shù)(a,AeR).

(3)a+bi_{a+bi)?(c-di)_(ac+bd)+(be-ad)i2+建豐0)

c+di(c+di)■(c-di)c2+d~

實數(shù)的全部運算律(加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)累運算法則)都適用于復數(shù).

注意：復數(shù)加、減法的幾何意義

以復數(shù)z“Z2分別對應的向量。4,OZ2為鄰邊作平行四邊形O4ZZ2,對角線OZ表示的向量OZ就是復

數(shù)Z1+Z?所對應的向量.Z|-Z?對應的向量是Z?Z].

2、復數(shù)的幾何意義

(1)復數(shù)z=a+」(a,AwR)對應平面內(nèi)的點z(a,b)；

(2)復數(shù)z=a+陽對應平面向量OZ；

(3)復平面內(nèi)實軸上的點表示實數(shù)，除原點外虛軸上的點表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點都表示復數(shù).

(4)復數(shù)z=a+bi(a,beR)的模|z|表示復平面內(nèi)的點z(a,b)到原點的距離.

3、復數(shù)的三角形式

(1)復數(shù)的三角表示式

一般地，任何一個復數(shù)z=a+〃都可以表示成r(cos0+isin，)形式，其中r是復數(shù)z的模；。是以x軸

的非負半軸為始邊，向量OZ所在射線(射線OZ)為終邊的角，叫做復數(shù)2=。+初的輻角.r(cose+isin6)

叫做復數(shù)z=a+4?的三角表示式，簡稱三角形式.

(2)輻角的主值

任何一個不為零的復數(shù)的輻角有無限多個值，且這些值相差2萬的整數(shù)倍.規(guī)定在04。＜2)范圍內(nèi)的

輻角6的值為輻角的主值.通常記作argz,即04argz＜2復數(shù)的代數(shù)形式可以轉(zhuǎn)化為三角形式，三角

形式也可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式.

(3)三角形式下的兩個復數(shù)相等

兩個非零復數(shù)相等當且僅當它們的模與輻角的主值分別相等.

(4)復數(shù)三角形式的乘法運算

①兩個復數(shù)相乘，積的模等于各復數(shù)的模的積，積的輻角等于各復數(shù)的輻角的和，即

(cos+isinr2(cos02+isin02)=r,r2[cos(^,+a)+isin(4+g)]

②復數(shù)乘法運算的三角表示的幾何意義

復數(shù)4,4對應的向量為oz「0Z?,把向量04繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角2(如果冬＜0,就要把。4

繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)角網(wǎng)I)，再把它的模變?yōu)樵瓉淼?倍，得到向量oz,OZ表示的復數(shù)就是積Z|Z2.

(5)復數(shù)三角形式的除法運算

兩個復數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)

的輻角所得的差，即爪cos』+isin〃J=2L[COS(4-a)+isin(q—&)].

L

『cos^+ising)r2」

?提升?必考題型歸納

題型一：復數(shù)的概念

例1.(2023?河南安陽?統(tǒng)考三模)已知(l+2i)(a+i)的實部與虛部互為相反數(shù)，則實數(shù)。=()

A.—B.—C.[D.—

3322

【答案】A

[解析]由于(l+2i)(a+i)=q_2+(l+2a)i,

(l+2i)(“+i)的實部與虛部互為相反數(shù)，故。-2+(1+2/=0,.?/=:,

故選：A

例2.(2023?浙江紹興?統(tǒng)考二模)已知復數(shù)z滿足z(K-i)=2i,其中i為虛數(shù)單位，則z的虛部為()

A.迫B.回C.--D.-走

2222

【答案】A

/廠、2i2i（g+i）-2+2石i16.

------------=------1-----1

【解析】因為zMT=2i,所以2=后=a＞（上。422

所以z的虛部為史.

2

故選：A.

例3.（2023?海南?？?校聯(lián)考一模）若復數(shù)z=/-4+（a-2）i為純虛數(shù)，則實數(shù)。的值為（）

A.2B.2或-2C.-2D.-4

【答案】C

一4二0

【解析】因為復數(shù)z=/-4+（a-2）i為純虛數(shù)，則有.二，解得。=一2,

74-2x0

所以實數(shù)。的值為-2.

故選：C

例4.（多選題）（2023?河南安陽?安陽一中?？寄M預測）若復數(shù)2==配，則（）

1-1

A.|z|=V17B.z的實部與虛部之差為3

C.z=4+iD.z在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限

【答案】ACD

【解析】3言(3-5i)(l+Lj

0-i)(l+i)

.?.z的實部與虛部分別為4,-1,

22

|Z|=^4+（-1）=V17,A正確；

z的實部與虛部之差為5,B錯誤;

z=4+i,C正確；

z在復平面內(nèi)對應的點為（4-1）,位于第四象限，D正確.

故選：ACD.

7

例5.（2023?遼寧?校聯(lián)考一模）若z是純虛數(shù)，目=1,則;一的實部為.

【答案】1

【解析】z是純虛數(shù)，且|z|=l,則有Z=±i,故乎=1土i,實部為1.

故答案為：L

【解題方法總結(jié)】

無論是復數(shù)模、共較復數(shù)、復數(shù)相等或代數(shù)運算都要認清復數(shù)包括實部和虛部兩部分，所以在解決復

數(shù)有關問題時要將復數(shù)的實部和虛部都認識清楚.

題型二：復數(shù)的運算

例6.(2023?黑龍江哈爾濱?哈師大附中統(tǒng)考三模)已知復數(shù)2=罟，則同-2=()

1—1

A.1+iB.1C.1-iD.i

【答案】A

【解析】依題意，z=7；―霍一=j=則|z|=l,z=-i,

(1-i)(l+i)2

所以|z|G=l+i.

故選：A

例7.(2023?河北衡水?模擬預測)若(i—l)(z—2i)=2+i,則彳=()

【答案】B

【解析】由己知得2=-2+方=一包辿±D+2i=-匕三+2i

1-i22

1.

故2=——1

22

故選：B.

例8.(2023?陜西榆林?高三綏德中學?？茧A段練習)已知復數(shù)z滿足(z-2i)i=3+i,則2=()

A.1-iB.3-iC.l-5iD.-l+3i

【答案】A

【解析】因為(z-2i)i=3+i,

所以z=±^+2i=(3+i)(f

+2i=l-3i+2i=l-i.

1i(-i)

故選：A.

例9.(2023?全國?模擬預測)已知復數(shù)z滿足3z+i=l-4iz,則|z|=()

A.2B.-C.—D.-

2555

【答案】C

1-i-l-7i、6

【解析】解法一：由3z+i=l—4iz得Z=3=-R，所以|Z|=號,故選C.

解法二：由3z+i=l-4iz得(3+4i)z=l-i,所以5|z|=正,即|z|=￥，

故選：C.

【解題方法總結(jié)】

設Z]=a+hi,z2=c+di(a,b,c,deR),則

(1)z,±z2=a±c+(b±d)i

(2)z}?z2=ac—hd+(ad+bc)i

z.ac+bdbe-ad八、

(3)t=7w+7wz(z^0)

題型三：復數(shù)的幾何意義

例10.（2023?河南鄭州?三模）復平面內(nèi)，復數(shù)^對應的點位于（）

1+V15

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

3-i3-i3-i（3-iMl+i）

【解析】由題得=,=K=擊1=2+i,即復平面內(nèi)對應的點為（2,1）,在第一象限.

故選：A.

例U.（2023?全國?高三專題練習）已知復數(shù)山=3+i在復平面內(nèi)對應的點關于實軸對稱，則含二（）

A.1+iB.1-iC.—1+iD.-1-

【答案】B

【解析】因為復數(shù)4與z=3+i在復平面內(nèi)對應的點關于實軸對稱，所以4=3-i,

所以言二卜平=1

故選：B.

例12.（2023?湖北?校聯(lián)考三模）如圖，正方形OABC中，點A對應的復數(shù)是3+5i,則頂點8對應的復數(shù)是

2-8iC.-l+7iD.-2+7i

【答案】A

【解析】由題意得：。4=（3,5）,不妨設。點對應的復數(shù)為。+萬（?！?力）0）,則OC=（〃M，

a2+b2=32+52a=-5

由QA,℃,|Qd=|o4，得.n

3〃+5b=0b=3

即C點對應的復數(shù)為-5+3i,

由OB=0A+0C得：B點對應復數(shù)為(3+5i)+(-5+3i)=-2+8i.

故選：A.

例13.(2023.全國.校聯(lián)考模擬預測)在復平面內(nèi),設復數(shù)，4，%對應的點分別為Z40,2),Z2(l,-1),則生=

Z2

()

A.2B.73C.y/2D.1

【答案】C

【解析】由題意，知4=2i,z2=l-i,所以2=g=-l+i,所以五=0.

Z21TZ2

故選：C.

【解題方法總結(jié)】

復數(shù)的幾何意義在于復數(shù)的實質(zhì)是復平面上的點，其實部、虛部分別是該點的橫坐標、縱坐標，這是

研究復數(shù)幾何意義的最重要的出發(fā)點.

題型四：復數(shù)的相等與共物復數(shù)

例14.(2023?湖北?黃岡中學校聯(lián)考模擬預測)已知2-式1是虛數(shù)單位)是關于8的方程》2+灰+。=0(6,。€11)

的一個根，則6+c=()

A.9B.1C.-7D.2i-5

【答案】B

【解析】已知2-i(i是虛數(shù)單位)是關于x的方程x?+公+c=0S,ceR)的一個根，

.,[3+2/?+c=0

RiJ(2-i)2+/?(2-i)+c=0,即4—4i—i+力-6i+c=0,即Jy—o—o，

[Z?=—4

解得<u，故b+c=l.

[c=5

故選：B.

例15.(2023?貴州貴陽?統(tǒng)考模擬預測)已知z,=a+2i,z2=2+bi,?beR),若(4+4)+仁互)i=4+13i,

則()

A.a=2,b=3B.a=-2,b=—3

C.a=2,/?=±3D.a=-2,b=±3

【答案】C

222

【解析】由已知可得，4+Z[=a+2i+a-2i=2a,z2z2=2+b=/?+4,

所以(4+4)+卜2%>=2〃+,2+41=4+1玉，

2a=4f?=2[a=2

所以有解得[b=3或％=-3

從+4=13

故選：C.

例16.（2023?四川宜賓?統(tǒng)考三模）已知復數(shù)z=3+4i,且z+/=9-4i,其中。是實數(shù)，則（）

A.a=—2B.a=2C.a=1D.a=3

【答案】B

【解析】因為z=3+4i,所以5=3—4i,

所以3+4i+3a-4ai=3+3a+（4-4a）i=9-4i,

所以3+3a=9,4—4a=-4,解得a=2.

故選:B.

例17.（2023?湖北?模擬預測）己知復數(shù)z滿足z+|z|=2+4i,貝口的共筑復數(shù)的虛部為（）

A.2B.-4C.4D.-2

【答案】B

【解析】設2=。+阮（凡〃€町，則目=近2+從,

則z+忖=2+4i,即a+J小尸+例=2+電,

a+y/cr+b2=2['"=-3

所以，解得、，，

b=4[b=4

所以z=—3+4i3=—3—4i,

所以z的共舸復數(shù)的虛部為T.

故選：B.

例18.（2023?四川宜賓?統(tǒng)考三模）已知復數(shù)z=3+4i,且z+后+勿=9，其中mb是實數(shù)，則（）

A.a=-2fb=3B.a=2,/?=4

C.a=1,b=2D.Q=2,b=-4

【答案】B

【解析】因為z=3+4i,所以z=3—4i,則由z+az+例=9得：

3+4i+a（3-4i）+Z?i=9,艮|J（3+3a）+（4+b—4a）i=9,

[4+人一4。=0a=2

故，3+3〃=9'解得:

h=4

故選：B.

【解題方法總結(jié)】

復數(shù)相等：a+bi=c+dioa=c且〃=d（a,b,c,dwR）

共輒復數(shù)：a+hi=c+di<=>a=。且4=—,b,c,deR）.

題型五：復數(shù)的模

例19.(2023?河南?統(tǒng)考二模)若(i+l)(z-l)=2,則|蘇+1|=

【答案】V10

【解析】由(i+l)(z-l)=2可得Z=2+I=2^+I=2—i,

1+12

故W=2+i，則|>+l|=|3+i|=j32+12=回，

故答案為：710

例20.（2023.上海浦東新?統(tǒng)考三模）已知復數(shù)z滿足上-2|=目=2,則z3=

【答案】-8

【解析】設2=。+歷，則Z-2=。-2+例，

a2+b2=4

所以/\22解得a=\,b=±A/3,

(〃-2丁+/=4

當a=l,〃=6時，z=l+6i,故z2=(l+Gi/=l+2后+與2=-2+2后，

z3十2+2后)(1+后)=-2+修=-8：

當a=l,6=-行時，z=T-揚,fez2=(1-V3i)'=l-2V3i+3i2=-2-2V3i,

z3=(-2-2^i)(l-^i)=-2+6i2=-8

故答案為：-8

例21.(2023?遼寧鐵嶺?校聯(lián)考模擬預測)設復數(shù)Z1,z?滿足|zj=|zj=2,Z|+z?=G+i,則|Z]-Zzl=

【答案】2石

【解析】方法-：設+z2=c+di,(cGR,d&R),

Z]+z2—a+c+(b+d)i=>/§+i,

__同

，又憶||=憶2|=2,所以。2+從=4,c2+d2=4?

b+d=l

?.(a+c)2+(b+d)2=a2+c2+/+J2+2(ac+/?rf)=4

：.ac+bd=—2

??|zi—z2|=|(〃-c)+(b—1/)/|=yj(a—c)24-(Z?-J)2={8-2(ac+bd)

=J8+4=2y/3.

故答案為：2G.

方法二：如圖所示，設復數(shù)4*2所對應的點為Z1,Z2，。尸=OZ1+OZ2,

由已知10P卜歷i=2=|o乙IT0Z2I，

...平行四邊形OZ/Z2為菱形，上hOPZgOPZ?都是正三角形，NZQZ?=120。,

222O22

|Z,Z21=1OZ,I+1OZ21-2\OZt||OZJCOS120=2+2-2-2-2.=12

-z?I=1*21=26.

【解題方法總結(jié)】

\z\=yja2+b2

題型六：復數(shù)的三角形式

例22.(2023?四川成中統(tǒng)考模擬預測)1748年，瑞士數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)了復指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的

關系，并寫出以下公式eu=cosx+isinx(xGR,i為虛數(shù)單位)，這個公式在復變論中占有非常重要的地位,

被譽為“數(shù)學中的天橋根據(jù)此公式，下面四個結(jié)果中不成立的是()

A.鏟+1=0B.1+g=1

(22J

C.|eir+e-hj<2D.-2<eLX-e'^<2

【答案】D

【解析】對于A,當x=7t時，因為8"=85兀+1$皿兀=-1,所以3"+1=0,故選項A正確；

2022

(?A\/\2022/12022

對于B,—+——i=cos—+isin—=e3=e674n,=cos674n+isin674K=1,

U2J(33){)

故選項B正確；

對于C,由e&=cosx+isinx,eu=cos(-x)+isin(-x)=cosx-isinx,

所以e"+e』=2cos無，得出卜"+e4v|=|2cosx|<2,故選項C正確；

對于D,由C的分析得e“-e*=2isinx,推不出-24e*-e&42,故選項D錯誤.

故選：D.

例23.(2023?全國?高三專題練習)任何一個復數(shù)z=a+bi(a/￡R)都可以表示成

z="cos6+isin，)(廠之O/cR)的形式，通常稱之為復數(shù)的三角形式.法國數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：

[r(cos0+isin0)]n=rn(cosnG+isinn0)(neZ),我們稱這個結(jié)論為棣莫弗定理.則(1-bif。"=()

A.1B.22022C.一22儂D.i

【答案】B

20222022

(l-Vsi)=2cos［一等i)+isin(—等萬］］=22。22；

故選：B.

例24.(2023?河南?統(tǒng)考模擬預測)歐拉公式屋=cos0+isin，把自然對數(shù)的底數(shù)e、虛數(shù)單位i、三角函數(shù)

聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學的和諧美.若復數(shù)z滿足(8"+。/=1,則z的虛部為()

A.gB.—C.ID.—I

22

【答案】B

【解析】由歐拉公式知：

em=cos7c+isin7t=-l,(e,R+i)-z=(-l+i)z=i,

ii(-l-i)1-i11.

z=------=-----------------------------=--------=-----------1.

-1+i(-l+i)(-l-i)222

，Z的虛部為

2

故選：B

例25.(2023?全國?高三專題練習)棣莫弗公式(cosx+isinx)"=cosnx+isinnx(其中i為虛數(shù)單位)是由法國

/、2023

數(shù)學家棣莫弗(1667-1754年)發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復數(shù)gs7+isi吟在復平面內(nèi)所對應的

點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】由棣莫弗公式知，fcos—+isin—1'=cos+jsjn=cosf337it+—1+isinf337JC+—1

V66766(6)v6)

.兀、..,71.G1.

=cos(兀+—)+isin(7i+—)=---------------1i

6622

/、2O23(苗］、

???復數(shù)cosj+isinj在復平面內(nèi)所對應的點的坐標為-一，)，位于第三象限.

<66)(22)

故選：C.

【解題方法總結(jié)】

一般地，任何一個復數(shù)z=a+4?都可以表示成r(cos6+isin。)形式，其中r是復數(shù)z的模；。是以x軸

的非負半軸為始邊，向量OZ所在射線(射線。Z)為終邊的角，叫做復數(shù)z=a+6i的輻角.r(cos〃+isin。)

叫做復數(shù)z=a+初的三角表示式，簡稱三角形式.

題型七：與復數(shù)有關的最值問題

例26.(2023?上海閔行?上海市七寶中學?？寄M預測)若|z+l-i|=l,則|z|的最大值與最小值的和為

【答案】2近

【解析】由幾何意義可得：復數(shù)z表示以（-1,1）為圓心的半徑為1的圓，

則|士［及T,夜+1］=凡”+凡「2夜.

故答案為：2A/^

例