數(shù)學(xué)北師大版必修2學(xué)案1-5-1平行關(guān)系

§5平行關(guān)系5．1平行關(guān)系的判定知識點一直線與平面平行的判定定理[填一填][答一答]1．直線和平面平行的判定定理中如果沒有“不在一個平面內(nèi)”的限制條件，結(jié)論還成立嗎？為什么？提示：結(jié)論不一定成立．因為直線a可能在平面α內(nèi)．2．證明直線和平面平行的關(guān)鍵是什么？提示：證明直線和平面平行的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找一條與已知直線平行的直線．3．如果一條直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線平行，那么這條直線與這個平面平行嗎？提示：不一定平行，有可能直線在平面內(nèi)．知識點二平面與平面平行的判定定理[填一填][答一答]4．如果把定理中的“相交”去掉，這兩個平面是否一定平行，為什么？提示：不一定平行．如果不是兩條相交直線，即使在一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個平面平行，也不能判定這兩個平面平行，這是因為在兩個相交平面的一個平面內(nèi)，可以畫出無數(shù)條直線與交線平行，顯然這無數(shù)條直線都與另一個平面平行，但這兩個平面不平行．1．直線與平面平行的判定定理直線與平面平行的判定定理是判定直線與平面平行的最常用、最基本的方法，它體現(xiàn)了空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的基本思路．在具體證明過程中，常需要解決兩個問題，一是在平面內(nèi)找到一條直線，二是證明平面外的直線與該直線平行．第一個問題的解決常借助已知條件或構(gòu)造過平面外直線的平面與已知平面相交，這時交線就是要尋找的直線；第二個問題，也就是在平面內(nèi)證明兩條直線平行的問題，這時可能會用到如下定理或性質(zhì)：三角形的中位線定理，梯形的中位線定理，平行四邊形的性質(zhì)，梯形的性質(zhì)等．總之，在證明時要由具體條件選擇合理的方法．2．直線與平面平行的判定方法(1)利用定義：說明直線與平面無公共點(往往用反證法)．(2)利用直線與平面平行的判定定理．3．應(yīng)用判定定理的思維誤區(qū)(1)直線與直線的平行有傳遞性，直線與平面的平行沒有傳遞性，如eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b∥α))?/a∥α，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,b∥α))?/a∥b等．(2)應(yīng)用判定定理注意三個條件，漏掉一個條件就可能出錯，如aα，b∥a?/b∥α，此時，b可能在平面α內(nèi)，也可能與α平行．4．對平面與平面平行的判定定理的三點說明(1)具備兩個條件．判定平面α與平面β平行時，必須具備兩個條件：①平面β內(nèi)兩條相交直線a，b，即aβ，bβ，a∩b＝P；②兩條相交直線a，b都與平面α平行，即a∥α，b∥α.(2)體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．此定理將證明面面平行的問題轉(zhuǎn)化為證明線面平行．(3)此定理可簡記為：線面平行?面面平行.類型一線面平行、面面平行判定定理的理解【例1】能保證直線a與平面α平行的條件是()A．bα，a∥bB．bα，c∥α，a∥b，a∥cC．bα，A，B∈a，C，D∈b，且AC＝BDD．a(chǎn)α，bα，a∥b【思路探究】判定線面平行，可用定義，也可用判定定理．【解析】A錯誤，若bα，a∥b，則a∥α或aα；B錯誤，若bα，c∥α，a∥b，a∥c，則a∥α或aα；C錯誤，若滿足此條件，則a∥α或aα或a與α相交；D正確，恰好是定理所具備的不可缺少的三個條件．故選D.【答案】D規(guī)律方法正確理解直線與平面平行的判定定理和掌握直線和平面的位置關(guān)系是解決此類題目的關(guān)鍵，可以采用直接法，也可以使用排除法．在以下說法中，正確的個數(shù)是(B)①平面α內(nèi)有一條直線和平面β平行，那么這兩個平面平行；②平面α內(nèi)有兩條直線和平面β平行，那么這兩個平面平行；③平面α內(nèi)有無數(shù)條直線和平面β平行，那么這兩個平面平行；④平面α內(nèi)任意一條直線和平面β都無公共點，那么這兩個平面平行．A．0B．1C．2D．3解析：①平面α和平面β相交時，平面α內(nèi)與兩平面交線平行的直線與平面β都平行，所以該命題不正確；②當(dāng)兩條直線相交時，兩個平面平行；當(dāng)兩條直線平行時，平面α和平面β可能相交，所以該命題不正確；③α內(nèi)這無數(shù)條直線相互平行時，兩平面可能相交，此時這些直線和兩平面的交線平行，所以該命題不正確；④由直線和平面平行的定義可知，平面α內(nèi)任意一條直線與平面β都平行，所以平面α和平面β沒有公共點，即兩個平面平行，所以該命題正確．綜上所述，只有④正確，故選B.類型二線面平行的判定【例2】如下圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中點．證明：BC1∥平面A1CD【思路探究】eq\x(\a\al(在平面A1CD內(nèi)找到,與BC1平行的直線))→eq\x(\a\al(利用線面平行的,判定定理證明))【證明】連接AC1交A1C于點F，則F為AC1又D是AB的中點，連接DF，則BC1∥DF.因為DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.規(guī)律方法判定直線與平面平行有兩種方法：一是用定義；二是用判定定理．使用判定定理時關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，一般是遵循先找后作的原則，即現(xiàn)有的平面中沒有出現(xiàn)與已知直線平行的直線時，我們再考慮添加輔助線．具體操作中，我們可以利用幾何體的特征，合理利用中位線定理，或者構(gòu)造平行四邊形等證明兩直線平行．如右圖，直三棱柱ABC-A′B′C′，點M，N分別為A′B和B′C′的中點．證明：MN∥平面A′ACC′.證明：連接AB′，AC′，則點M為AB′的中點．又點N為B′C′的中點，所以MN∥AC′.又MN平面A′ACC′，AC′平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′.類型三面面平行的判定【例3】如圖所示，在空間六邊形A1B1C1C2D2A2中，每相鄰兩邊互相垂直，邊長均為a，且A2A1∥C2C1，求證：平面A2B1C2∥【思路探究】本題主要考查面面平行的判定定理，解題關(guān)鍵是由已知條件將圖形補為正方體，通過正方體中的平行關(guān)系證明．【證明】如圖所示，可將圖形補成正方體A1B1C1D1－A2B2C2D由正方體的性質(zhì)可得A2C2∥A1C∵A2C2?平面A1C1D2，A1C1平面A1C1D2，∴A2C2∥平面A同理可得B1C2∥平面A1C1D又∵B1C2平面A2B1C2，A2C2平面A2B1C2，且B1C2∩A2C2＝C2，∴平面A2B1C2∥規(guī)律方法“補形”是解決此題的關(guān)鍵，割補法是立體幾何中常用的方法，即把空間的特殊直線放入具體的幾何體中來研究有關(guān)的線面關(guān)系，從而使問題得以解決．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，若D1，D分別為B1C1，BC的中點，求證：平面A1BD1∥平面AC1證明：如圖所示，連接A1C交AC1于點H，因為四邊形A1ACC1所以H是A1C的中點，連接HD因為D為BC的中點，所以A1B∥DH.因為DH平面A1BD1，A1B平面A1BD1，所以DH∥平面A1BD1.又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1∥BD，D1C1＝BD，所以四邊形BDC1D1為平行四邊形，所以DC1∥BD又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，所以DC1∥平面A1BD1，又因為DC1∩DH＝D，所以平面A1BD1∥平面AC1D.類型四平行的綜合應(yīng)用【例4】如右圖所示，三棱錐A－BCD中，M，N，G分別是△ABC，△BCD，△ABD的重心．(1)求證：平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNGS△ACD.【思路探究】(1)可綜合利用三角形重心和平行線段成比例定理證明．(2)可證明△MNG∽△DAC，從而將兩三角形的面積之比轉(zhuǎn)化為求三角形對應(yīng)邊比的平方．【解】(1)證明：如右圖所示，連接BM，BN，BG并延長，分別交AC，CD，DA于P，E，F(xiàn)，由M，N，G分別是△ABC，△BCD，△ABD的重心知P，E，F(xiàn)分別是AC，CD，DA的中點．連接PE，EF，PF，則PE∥AD，且PE＝eq\f(1,2)AD，EF∥AC，且FE＝eq\f(1,2)AC，PF∥CD，且PF＝eq\f(1,2)CD.又eq\f(BM,MP)＝eq\f(BN,NE)＝eq\f(BG,GF)＝2，∴MN∥PE，∴MN∥AD，又∵M(jìn)N平面ACD，AD平面ACD，∴MN∥平面ACD.同理MG∥平面ACD.∵M(jìn)N∩MG＝M，∴平面MNG∥平面ACD.(2)由(1)知eq\f(BM,BP)＝eq\f(BN,BE)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(MN,PE)＝eq\f(2,3)，即MN＝eq\f(2,3)PE.又PE＝eq\f(1,2)AD，∴MN＝eq\f(1,3)AD，即eq\f(MN,AD)＝eq\f(1,3).易證得△MNG∽△DAC，∴eq\f(S△MNG,S△ACD)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(MN,AD)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(1,9).規(guī)律方法要證明面面平行，由面面平行的判定定理知需在某一平面內(nèi)尋找兩條相交且與另一平面平行的直線．要證明線面平行，又需根據(jù)線面平行的判定定理，在平面內(nèi)找與已知直線平行的直線，即：eq\x(線線平行)eq\o(→,\s\up17(線面平行),\s\do15(的判定))eq\x(線面平行)eq\o(→,\s\up17(面面平行),\s\do15(的判定))eq\x(面面平行)，這種轉(zhuǎn)化是處理平行問題的基本思想方法．已知正方形ABCD如圖(1)，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，將△ADE沿DE折起，如圖(2)所示，求證：BF∥平面ADE.證明：∵E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，∴EB＝FD.又∵EB∥FD，∴四邊形EBFD為平行四邊形，∴BF∥ED.∵DE平面ADE，而BF平面ADE，∴BF∥平面ADE.——規(guī)范解答系列——面面平行證明的一般思路【例5】如圖，在三棱錐S-ABC中，AS＝AB.過A作AF⊥SB，垂足為F，點E，G分別是棱SA，SC的中點．求證：平面EFG∥平面ABC.【思路分析】證明面面平行，應(yīng)依據(jù)面面平行的判定定理，在平面EFG內(nèi)找兩條相交直線平行于平面ABC，根據(jù)已知的中點，可從中位線入手證明．【精解詳析】因為AS＝AB，AF⊥SB，垂足為F，所以F是SB的中點．又E是SA的中點，所以EF∥AB.因為EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.【解后反思】面面平行的判定在高考中考查的并不多，考向單一，只能依據(jù)面面平行的判定定理，而面面平行的判定定理可以幫助轉(zhuǎn)化為線面平行．在使用判定定理證明面面平行時，需注意是其中一個平面內(nèi)的兩條相交直線．如右圖，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1，證明：平面A1BD∥平面CD1B1證明：由題設(shè)知，BB1綊DD1，∴四邊形BB1D1D是平行四邊形，∴BD∥B1D1.又BD平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.∵A1D1綊B1C1綊BC，∴四邊形A1BCD1∴A1B∥D1C.又A1B平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.又BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.一、選擇題1．若直線l不平行于平面α，且l?α，則(A)A．α內(nèi)存在直線與l異面B．α內(nèi)存在與直線l平行的直線C．α內(nèi)存在唯一的直線與l平行D．α內(nèi)的直線都與l相交解析：直線l不平行于平面α，且lα，則l與α相交，l與α內(nèi)的直線可能相交，也可能異面，但不可能平行，故B、C、D錯，選A.2．下列命題，能得出直線m與平面α平行的是(C)A．直線m與平面α內(nèi)所有直線平行B．直線m與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行C．直線m與平面α無公共點D．直線m與平面α內(nèi)的一條直線平行解析：A命題本身說法錯誤，B當(dāng)直線m在平面α內(nèi)，m與α不平行，C能得出m∥α，D當(dāng)直線m在平面α內(nèi)滿足m與α不平行，故選C.二、填空題3．在四面體A-BCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個面中與MN平行的是平面ABD與平面ABC.解析：如圖所示，取CD的中點E，連接AE，BE.則EMMA＝12，ENBN＝12，所以MN∥AB.又MN平面ABD，MN平面ABC，AB平面ABD，AB平面ABC，所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.4.如圖，長方體ABCD－A′B′C′D′的六個面中，(1)與平面AD′平行的平面是平面BC′；(2)與直線AB′平行的平面是平面DC′.三、解答題5.如圖所示