新教材高中數(shù)學(xué)人教A版學(xué)案7-1-2復(fù)數(shù)的幾何意義

7．1.2復(fù)數(shù)的幾何意義[目標(biāo)]1.能說(shuō)出復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、平面向量之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；2.會(huì)分析復(fù)數(shù)的幾何意義，記住復(fù)數(shù)的模的幾何意義．[重點(diǎn)]復(fù)數(shù)的幾何意義與復(fù)數(shù)的模．[難點(diǎn)]復(fù)數(shù)的幾何意義．要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)一復(fù)平面[填一填]建立直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面．x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸，虛軸上的點(diǎn)(0,0)不對(duì)應(yīng)虛數(shù)．[答一答]1．實(shí)軸上的點(diǎn)一定表示實(shí)數(shù)，虛軸上的點(diǎn)一定表示虛數(shù)嗎？提示：在復(fù)平面中，實(shí)軸上的點(diǎn)一定表示實(shí)數(shù)，但虛軸上的點(diǎn)不一定表示虛數(shù)．事實(shí)上，虛軸上的點(diǎn)(0,0)是原點(diǎn)，它表示實(shí)數(shù)0，虛軸上的其他點(diǎn)都表示純虛數(shù)．知識(shí)點(diǎn)二復(fù)數(shù)的兩種幾何意義[填一填]復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)一一對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)．復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)一一對(duì)應(yīng)平面向量eq\o(OZ,\s\up15(→)).[答一答]2．(1)在復(fù)平面中，復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是Z(a，bi)嗎？(2)復(fù)平面中，復(fù)數(shù)與向量一一對(duì)應(yīng)的前提條件是什么？提示：(1)不是，在復(fù)平面中，復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)應(yīng)該是Z(a，b)，而不是(a，bi)．(2)前提條件是復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的對(duì)應(yīng)向量eq\o(OZ,\s\up15(→))是以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的，否則就談不上一一對(duì)應(yīng)，因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)與eq\o(OZ,\s\up15(→))相等的向量有無(wú)數(shù)個(gè)．知識(shí)點(diǎn)三復(fù)數(shù)的模[填一填]向量eq\o(OZ,\s\up15(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).[答一答]3．(1)復(fù)數(shù)的模一定是正數(shù)嗎？(2)若復(fù)數(shù)z滿足|z|＝1，那么在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的軌跡是什么？提示：(1)不一定，復(fù)數(shù)的模是非負(fù)數(shù)，即|z|≥0，當(dāng)z＝0時(shí)，|z|＝0；反之，當(dāng)|z|＝0時(shí)，必有z＝0.(2)點(diǎn)Z的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半徑等于1的一個(gè)圓．知識(shí)點(diǎn)四共軛復(fù)數(shù)[填一填]一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)．復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用eq\x\to(z)來(lái)表示．[答一答]4．互為共軛復(fù)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)有什么特點(diǎn)？提示：實(shí)部相等，虛部相反，模相同．典例講練破題型類型一復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系[例1]已知復(fù)數(shù)z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R.當(dāng)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)滿足下列條件時(shí)，求a的值(或取值范圍)(1)在實(shí)軸上；(2)在第三象限．[分析]解答本題可先確定復(fù)數(shù)z的實(shí)部、虛部，再根據(jù)要求列出關(guān)于a的方程(組)或不等式(組)求解．[解]復(fù)數(shù)z＝(a2－1)＋(2a－1)i的實(shí)部為a2－1，虛部為2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(a2－1,2a－1)(1)若z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，則有2a－1＝0，解得a＝eq\f(1,2).(2)若z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1<0，,2a－1<0，))解得－1<a<eq\f(1,2).復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)組成的集合之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.每一個(gè)復(fù)數(shù)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)，復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，從而討論復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的位置，關(guān)鍵是確定復(fù)數(shù)的實(shí)、虛部，由條件列出相應(yīng)的方程或不等式組.[變式訓(xùn)練1](1)已知a∈R，則復(fù)數(shù)(a2＋a＋1)－(a2－2a＋3)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的第四象限(2)已知復(fù)數(shù)x2－6x＋5＋(x－2)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為(1,2)．解析：(1)因?yàn)閍2＋a＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，－(a2－2a＋3)＝－(a－1)2故復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限．(2)因?yàn)閺?fù)數(shù)x2－6x＋5＋(x－2)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－6x＋5<0，,x－2<0.))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1<x<5，,x<2.))所以1<x<2.即1<x<2為所求實(shí)數(shù)x的取值范圍．類型二復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系[例2]已知向量eq\o(OA,\s\up15(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是4＋3i，點(diǎn)A關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)為A1，將向量eq\o(OA1,\s\up15(→))平移，使其起點(diǎn)移動(dòng)到A點(diǎn)，這時(shí)終點(diǎn)為A2.(1)求向量eq\o(OA1,\s\up15(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；(2)求點(diǎn)A2對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．[分析]根據(jù)復(fù)數(shù)與點(diǎn)、復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系求解．[解](1)∵向量eq\o(OA,\s\up15(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是4＋3i，∴點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)也是4＋3i，因此點(diǎn)A坐標(biāo)為(4,3)，∴點(diǎn)A關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)A1為(4，－3)，故向量eq\o(OA1,\s\up15(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是4－3i.(2)依題意知eq\o(OA1,\s\up15(→))＝eq\o(AA2,\s\up15(→))，而eq\o(OA1,\s\up15(→))＝(4，－3)，設(shè)A2(x，y)，則有(4，－3)＝(x－4，y－3)，∴x＝8，y＝0，即A2(8,0)，∴點(diǎn)A2對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是8.1.根據(jù)復(fù)數(shù)與平面向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可知當(dāng)平面向量的起點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)，向量的終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)即為向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).反之，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)確定后，從原點(diǎn)引出的指向該點(diǎn)的有向線段，即為復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量.2.解決復(fù)數(shù)與平面向量一一對(duì)應(yīng)的題目時(shí)，一般以復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)為工具，實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量之間的轉(zhuǎn)化.[變式訓(xùn)練2]在復(fù)平面內(nèi)，O是原點(diǎn)，向量eq\o(OA,\s\up15(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋i.(1)如果點(diǎn)A關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，求向量eq\o(OB,\s\up15(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；(2)如果(1)中的點(diǎn)B關(guān)于虛軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，求點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．解：(1)設(shè)向量eq\o(OB,\s\up15(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x1，y1)，由題意可知，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1)．根據(jù)對(duì)稱性可知：x1＝2，y1＝－1，故z1＝2－i.(2)設(shè)點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x2，y2)，由對(duì)稱性可知：x2＝－2，y2＝－1，故z2＝－2－i.類型三復(fù)數(shù)模的計(jì)算[例3]已知復(fù)數(shù)z1＝－eq\r(3)＋i，z2＝－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i.(1)求|z1|與|z2|的值，并比較它們的大?。?2)設(shè)復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足|z2|≤|z|≤|z1|，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合是什么？[分析](1)利用復(fù)數(shù)模的定義來(lái)求解．若z＝a＋bi(a，b∈R)，則|z|＝eq\r(a2＋b2).(2)先確定|z|的范圍，再確定點(diǎn)Z滿足的條件，從而確定點(diǎn)Z的圖形．[解](1)|z1|＝eq\r(－\r(3)2＋12)＝2，|z2|＝eq\r(－\f(1,2)2＋－\f(\r(3),2)2)＝1.∵2>1，∴|z1|>|z2|.(2)由(1)知|z2|≤|z|≤|z1|，則1≤|z|≤2.因?yàn)椴坏仁絴z|≥1的解集是圓|z|＝1上和該圓外部所有點(diǎn)的集合，不等式|z|≤2的解集是圓|z|＝2上和該圓的內(nèi)部所有點(diǎn)組成的集合，所以滿足條件1≤|z|≤2的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)O為圓心，以1和2為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)(包括邊界，如圖陰影部分所示)．1.兩個(gè)復(fù)數(shù)不全為實(shí)數(shù)時(shí)不能比較大??；而任意兩個(gè)復(fù)數(shù)的模均可比較大小.2.復(fù)數(shù)模的意義是表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，這可以類比實(shí)數(shù)的絕對(duì)值，也可以類比以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量的模來(lái)加深理解.3.|z1－z2|表示點(diǎn)Z1，Z2兩點(diǎn)間的距離，|z|＝r表示以原點(diǎn)為圓心，以r為半徑的圓.[變式訓(xùn)練3]已知復(fù)數(shù)z＝3＋ai，且|z|<4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：∵z＝3＋ai(a∈R)，|z|＝eq\r(32＋a2)，由已知得eq\r(32＋a2)<4，∴a2<7，即－eq\r(7)<a<eq\r(7)，∴a∈(－eq\r(7)，eq\r(7))．類型四共軛復(fù)數(shù)[例4]已知復(fù)數(shù)z＝2－i，則|eq\x\to(z)|的值為()A．5B.eq\r(5)C．3D.eq\r(3)[解析]因?yàn)閦＝2－i，所以由共軛復(fù)數(shù)的定義知eq\x\to(z)＝2＋i，所以|eq\x\to(z)|＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5).[答案]B共軛復(fù)數(shù)的求法及其關(guān)系(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的共軛復(fù)數(shù)為eq\x\to(z)＝a－bi.(2)互為共軛復(fù)數(shù)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱．(3)互為共軛復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)相等．[變式訓(xùn)練4]在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(D)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：z的共軛復(fù)數(shù)eq\x\to(z)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i，eq\x\to(z)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))，位于第四象限.課堂達(dá)標(biāo)練經(jīng)典1．在復(fù)平面內(nèi)，若eq\o(OZ,\s\up15(→))＝(0，－5)，則eq\o(OZ,\s\up15(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(C)A．0B．－5C．－5iD．5解析：eq\o(OZ,\s\up15(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z＝0－5i＝－5i.2．已知復(fù)數(shù)z＝6－2i(i為虛數(shù)單位)，則在復(fù)平面內(nèi)z的共軛復(fù)數(shù)eq\x\to(z)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(B)A．(6，－2)B．(6,2)C．(－2,6)D．(2,6)解析：由題意，可知eq\x\to(z)＝6＋2i，則在復(fù)平面內(nèi)eq\x\to(z)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(6,2)．故選B.3．已知復(fù)數(shù)z＝eq\r(2)－3i，則復(fù)數(shù)的模|z|是(D)A．5B．8C．6D.eq\r(11)解析：|z|＝eq\r(\r(2)2＋－32)＝eq\r(11).4．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)6＋5i，－2＋3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，若C為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是(C)A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i解析：復(fù)數(shù)6＋5i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A(6,5)，復(fù)數(shù)－2＋3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為B(－2,3)．利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得線段AB的中點(diǎn)C(2,4)，故點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋4i.5．已知復(fù)數(shù)z滿足z＋|z|＝2＋8i，求復(fù)數(shù)z.解：設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則|z|＝eq\r(a2＋b2)，代入方程得，a＋bi＋eq\r(a2＋b2)＝2＋8i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋\r(a2＋b2)＝2，,b＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－15，,b＝8.))∴z＝－15＋8i.——本課須掌握的兩大問(wèn)題1．對(duì)復(fù)數(shù)幾何意義的理解(1)復(fù)數(shù)集中的復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)是一一對(duì)應(yīng)的．(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)與平面向量eq\o(OZ,\s\up15(→))＝(a，b)也是一一對(duì)應(yīng)的．