2022-2023學(xué)年北京市高一年級下冊期中考試數(shù)學(xué)模擬試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年北京市高一下冊期中考試數(shù)學(xué)模擬試卷

(含解析)

一、單選題(本大題共10小題，共50分.在每小題列出的選項中，選出符合

題目的一項)

1.給出下列命題正確的是()

A.若卜卜W，則Q=加B.若Q=坂，B=C,則Q=C

C若W=W且α〃B，則α=BD.若4〃B,B〃c，則4〃C

【正確答案】B

【分析】根據(jù)向量平行及相等定義分別判斷各個選項即可.

【詳解】對于A,當(dāng)Z與B方向不同時，￡=弓不成立，，人錯誤，

對于B,若a=b，b=c，貝∣Jα=c,，B正確，

對于c,當(dāng)Z與B方向相反時，Z=B不成立，，c錯誤，

對于D,當(dāng)B=G時，滿足￡〃B，b∕∕c'但￡〃"不一定成立.所以D錯誤.

故選：B.

2.在“8C中，A為鈍角，則點(diǎn)P(tan8,cos4)()

A.在第一象限B.在第二象限C.在第三象限D(zhuǎn).在第四

象限

【正確答案】D

【分析】根據(jù)題意，得到A為鈍角，所以8為銳角，可得tan8>0,cosΛ<0,即可求解.

【詳解】因?yàn)椤?C中，A為鈍角，所以B為銳角，可得tan8>0,CoSN<0,

所以點(diǎn)尸(tanB,cos4)在第四象限.

故選：D.

3.要得到函數(shù)V=COS2x+。的圖象，只需將函數(shù)y=cos2x的圖象()

tTT

A.向左平移。個單位長度B.向左平移土?個單位長度

6

TT

C.向右平移一個單位長度D.向右平移。個單位長度

6

【正確答案】B

【分析】直接利用三角函數(shù)的平移變換求解.

(7r?Γ(7r?

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=cos2x+w=Cos2%+-,

\3J[_V6人

所以要得到函數(shù)y=cos(2x+。]的圖象，只需將函數(shù)V=CoS2x的圖象向左平移?個單位

長度，

故選：B

本題主要考查三角函數(shù)的圖象的平移變換，屬于基礎(chǔ)題.

4,函數(shù)/(x)=COS22x—sin?2x的最小正周期是()

π

A.—B.πC.2乃D.4萬

2

【正確答案】A

【分析】利用二倍角公式化簡/(x)解析式，由此求得其最小正周期.

【詳解】依題意/(x)=COS4x,

所以/(x)的最小正周期為T=今='.

故選：A

5.已知tana=2,tan/?=3,則tan(α+P)=

11

A.1B.—1C.—D.

77

【正確答案】B

【詳解】tan(α+0=產(chǎn)3=三三=T,故選B.

1-tan??tanβl-2×3

6.設(shè)a，b,C是非零向量，則"a石=a?c"是"B=c"的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】B

【分析】分別判斷充分性和必要性成立情況得出結(jié)論.

【詳解】若a?6=a?c,則a,僅—c)=O,a_L(B—c)4b=c；

若E=C'則B—c=a?G=O即—c)=Ona?B=a?c-

,ia-b=a-c,'Mub=c,'的必要而不充分條件;

故選：B.

7,已知COS-a)=g,則sin2a=()

1177

A.-B.—C.—D.——

552525

【正確答案】C

【分析】

方法一：因?yàn)閟in2a=sin--2----a=cos2--a所以根據(jù)余弦的二倍角公

[214〃(4JJ

式求解即可；

方法二：將條件式打開，然后觀察其與目標(biāo)式的關(guān)系然后求解.

【詳解】法一：因?yàn)镃oS-aj=∣?,

所以sin2a=siny-2^-a]=cos21?一a1-2cos2Z)7

、4J25

故選：C.

πΓ所以爭

法二：因?yàn)镃oS--crCOSa+sinα)=±

)5

所以COSa+sinα=勺&，平方得l+sin2α=%?，得sin2tz=1".

52525

故選：C.

本題考查三角恒等變換，考查給值求值問題，難度一般.通常求解給值求值問題，要先將目

標(biāo)式化簡，觀察其與條件式的關(guān)系，然后再運(yùn)用公式求解.

TT

8.已知函數(shù)/(x)=Sin3x-cos3x(3>0)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為一，則下

2

列結(jié)論錯誤的是()

A.7(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一事,0)對稱

B./(尤)在上單調(diào)遞增

c?/(χ)在θ?上的值域?yàn)閇—1,1]

D.將/(X)的圖象向右平移工個單位長度，得到的函數(shù)圖象關(guān)于V軸對稱

8

【正確答案】C

【分析】利用輔助角公式將函數(shù)化簡，再根據(jù)函數(shù)的最小正周期求出。，即可得到函數(shù)的

解析式，由正弦函數(shù)的對稱性可判斷A；根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性通過解不等式可判斷B；根據(jù)

X的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)直接求解可判斷C；由函數(shù)圖象的平移變換，結(jié)合余弦函數(shù)的性

質(zhì)可判斷D

【詳解】解：/(x)=sinωx-cosωxV∑sinlωx-^?(ω>0),

TT

???函數(shù)/(X)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為一,

2

π2TT

函數(shù)的最小正周期是一x2=7，.?.T=7=—,

2ω

.'.ω=2,/(x)=V∑sinf2x-^j,

:一~—J≈sinl—---J=sin(-?)=O,/(x)關(guān)于[--^-,0J對稱，故A正確；

77"TTJTJTj7Γ

由----?-2kπ<Ix≤——?-2kn,k∈Z,解得----?-kιt<x<-----?-k‰k∈Z,

24288

<^ΓΓ^τ,?,rr

所以/(X)的一個單調(diào)增區(qū)間為一7,丁，而—~~~O9~O~，

_OoJ|_124J[_oo

.??∕(x)在q,?上單調(diào)遞增，故B正確；

當(dāng)0≤x<工時，有0≤2x≤π,則一工≤2x-工<3不，所以一^^<sin2x--≤1,

24442I4)

Λ∕(X)∈[-1,√2],故C錯誤；

將/(x)的圖象向右平移C個單位長度得到

8

V=J∑sin2(》一方)一；=&5也(2》一:1]=一&(：052%關(guān)于3;軸對稱，故D正確.

故選：C

9.己知AZ8C的外接圓的圓心為O,/8=20，AC=2y∕2'/氏4。為鈍角，M是線段

BC的中點(diǎn)，則痂.近=()

【正確答案】C

---------1——-ULUUUU

【分析】將/Λ∕=Q(45+/C)表示出來，代入運(yùn)算即可，AB與No的夾角用半徑表

示出來即可.

【詳解】?.?M為BC的中點(diǎn)，.?.萬7=；(益+萬)，設(shè)外接圓的半徑為R,NC與/BAO

互余，

故CoS∕BAO=sinNC,

uuurUUir1uurUUirιuuuruuιrι..∕Ξι.?

AM-AO=-AB-AO+-AC-AO=-×2yrβ×R×-+-×2r^×R×-=3+2=5.

222R2R

此題考查基本向量運(yùn)算，關(guān)鍵的在與半徑形成的兩向量的夾角余弦值用半徑和邊長表示出來

即可，屬于較易題目.

10.17世紀(jì)德國著名的天文學(xué)家開普勒曾經(jīng)這樣說過：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個是勾股定

理，另一個是黃金分割.如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦

黃金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認(rèn)為是最美的三角形，它

是一個頂角為36°的等腰三角形（另一種是頂角為108。的等腰三角形）.例如，五角星由五個黃

金三角形與一個正五邊形組成，如圖所示，在其中一個黃金AZ8C中，生=避二L根據(jù)

AC2

這些信息，可得sin234°=（）

,l-2√5r3+√5r√5+l

484

4+√5

8

【正確答案】C

【分析】先求出CoSN/CB=避二?,再根據(jù)二倍角余弦公式求出CoSI44'，然后根據(jù)誘導(dǎo)

4

公式求出Sin234n?

【詳解】由題意可得：NACB=7*，且“°后―1，

COSZ-Zzι?^D——

AC4

√5+l

所以COSl44'=2cos272,-l=2χ

4

所以sin234"=Sin(144"+90')=cos144°=一占十∣,

故選：C

本題考查了二倍角的余弦公式和誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題(本大題共6小題，共30.0分)

一C,.2sina-cosα

11.已知tana=2,r則------------=___________.

Sina+cosα

【正確答案】1

.—2sina-COSa2tana—12×2-l,

【詳解】-------------=----------=--------=1.

sina+cosatanα+12+1

12.已知向量力=(3-2),?=(1,3),若萬工5,則歸+同=.

【正確答案】5√2

【分析】由)工B可得∕l=6,G+B的坐標(biāo)表示，后由向量模的坐標(biāo)表示可得答案.

【詳解】因)從，則2—6=0=>2=6,方+B=(7,1),則B+N=ΛΛ77T=5√Σ.

??5√2

35

13.已知α,/?都為銳角，Sina=M,cos(α+/7)=百，則COS夕的值為.

【正確答案】—

65

【分析】首先利用角的變換得COS夕=CoS[(α+A)-α],再結(jié)合兩角差的余弦公式，以及

同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，即可求解.

【詳解】因?yàn)橐?都是銳角，所以0<α+4<π,

cosa=Vl-sin2a=-sin(α+A)=JI-cos?(α+/?)12

13

所以

cosβ=COS[(α+/?)—α]=cos(α+P)c°sα+sin(α+0Sina=乜3巴L史

'713513565

故些

65

14.求值：tan55o+tan65o-?/?tan55otan65o

【正確答案】-6

【分析】利用兩角和的正切公式展開變形后可以求值

【詳解】因?yàn)閠an120°=tan(55o+650)=Jan550+tan65：=Y

1-tan55tan65

即：-√3+√3tan55otan65°=tan55°+tan65o

故：tan55o+tan65o-?/?tan55otan65o=-?/?

故答案為?-JJ

15.如圖所示，點(diǎn)尸是單位圓上的一個動點(diǎn)，它從初始位置《。,0)開始沿單位圓按逆時針

方向運(yùn)動角ɑ[θ<α<])到達(dá)點(diǎn)片，然后繼續(xù)沿單位圓逆時針方向運(yùn)動?到達(dá)點(diǎn)￡,若

【正確答案】3--4

10

【分析】由E在單位圓上，得出鳥的坐標(biāo)，再根據(jù)三角函數(shù)的定義得出COSa的值,

從而求出sin[α+?J的值，再運(yùn)用兩角差的余弦公式求解.

（Jr?4TtTtSTT

【詳解】由題意得CoSla+=I=-?.?-<α+-<——,

I3J5336

??.sin(α+33

I3J5

(πy?π

：.cosα=cosa+———

Ll3j3

(兀\π.(π?.π

-cosa+—cos—+s?na+—sin—

I3j3I3)3

%"斗與電+公

2I?j2I3；

14+V3x3=3^3-4

=—×

252510

故填.地心

10

本題考查三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和兩角差的余弦公式的應(yīng)用，本題運(yùn)用

了角的配湊思想：用已知角表示待求的角，此配湊思想是解決此類問題的常用方法，如果本

Jl?JIJl

?+—I=COSaCoS二一SinaSin不展開來求CoSa的值，運(yùn)

（3）33

算比較復(fù)雜，此題屬于中檔題.

16.“勾股定理”在西方被稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”，三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾

股圓方圖”，用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的詳細(xì)證明.如圖所示的“勾股圓方圖“中，

四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個大正方形.若直角三角形中較小的銳角為

現(xiàn)已知陰影部分與大正方形的面積之比為3，則銳角α=.

【正確答案】—

【分析】先設(shè)大正方形的邊長為α再表示小正方形邊長,利用幾何圖形面積比找到。,與ɑ的關(guān)

系，最后應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合二倍角公式即可求解

【詳解】如圖所示：設(shè)NZDN=α,大正方形邊長為。，

則DN=acosa，AN=QSina，MN=acosa-QSina,

y+??cosα

則S陰=(QCOSa—QSina)×(QSina

f2v

O(QCOSa-QSHIa)+(QCOSa)X(QSnla

3陰J2'''

S-2

JABCDa

sin2(7+COS2(7-2sinacosα+—sinαcosa=-,

28

331

化為一Sin2a=-,則sin2a=-,

482

由題意α∈[θ,;,則2α∈(θ,5),

TTTr

故2。二一，解得α=L.

612

π

故答案為.--

12

三、解答題（本大題共6小題，共72.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或

演算步驟）

17.已知平面向量問=1,同=2,向量Z與B的夾角為60°.

(I)求U與卜+34；

(2)求證：

【正確答案】(1)a-b=?^p+36∣=√43

(2)證明見解析

【分析】(1)代入向量數(shù)量積，以及模的計算公式，即可求解;

(2)要證明向量垂直，轉(zhuǎn)化為證明僅-B)?Z=o.

【小問1詳解】

由題意，<7?Λ=∣<7∣?∣?∣COS60O=1×2×-?=1,

+6a?b+9b^=Jl+6xl+9x4=yj43;

【小問2詳解】

證明：由(1)得Q?B=1,

所以(α-1)?α=Q-a`b=1—1=0,

故α.

18.如圖，已知：正方形/BCZ)邊長為1,尸是正方形48C。的對角線8。上一點(diǎn)，四邊形

PE4E為矩形.建立坐標(biāo)系用向量法證明：

(2)PCLEF.

【正確答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】直接建系，設(shè)。尸=廠，則每個點(diǎn)的坐標(biāo)都可以表示，用向量的坐標(biāo)運(yùn)算證明即可.

【小問1詳解】

證明：以點(diǎn)。為原點(diǎn)，ZM所在的直線為Jr軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖:

y↑CB

設(shè)C(0,1),力《,0),5(1,1),

設(shè)PPl=尸，則尸??-r,?r,

\/

?^PC=[--rl--r]

,?[2"2J，

E點(diǎn)、為?,???'>"'[(?匕0)，

-I?(√ΣYf√ΣY

Λ122

R=O?W邛KJlJ

.?.PC=EF；

【小問2詳解】

______(√∑Y√∑斗「爭(爭)

由(1)得，PC?EF=--r—r-

I2A2

，八也一身+L』，

2222

所以無_1_而，即尸CJ?E77?

19.已知α,α為銳角，sin(α:店,cos(α÷∕7)=-ll.

(1)求COSa的值;

（2）求角4.

【正確答案】（1）?

7

'、"12

【分析】（1）一方面由題設(shè)條件可解得eos[ɑ-^j=]^,另一方面，

Tl

H+-利用和角公式展開即得所求

（2）要求角〃，可以先求sin/7,而SinA=Sin[（α+力）一ɑ]利用差角公式展開即可，結(jié)

合夕的范圍即得所求

【小問1詳解】

所以COSa=CoSa——+—

?3√3.

’兀、π.(.π1

I3j3I3；37

【小問2詳解】

因?yàn)棣?僅為銳角，所以0<α+夕<π,則sin(α+∕J)>O,

因?yàn)镃OS(α+，)=—荷,所以sin(α+4)=JI-CoS??(α+β)-~~~^?

又α為銳角，COSa=L,所以Sina=JI-COS2a=4"，

77

故Sinβ=Sin[(α+p)-α]=Sin(O+/?cosα-COS(α+/?sinɑ

=辿XTlIX拽=亙

1471472

Tr

因?yàn)槭瑸殇J角，所以4=g?

八兀兀'

20.己知函數(shù)/(x)=SinOX+9)(υ>0,——<φ<-的部分圖像如圖所示.

22)

（1）求函數(shù)/（x）的解析式：

（2）若X?0,兀］,求函數(shù)/（x）的最值.

（?Jl

【正確答案】（1）/（x）=sin-X+—

126

（2）最小值為最大值為1

【分析】（1）最值求A,周期求特殊點(diǎn)求求0；（2）先求出ox+。的范圍，再求/,（X）

最大和最小值即可.

【小問1詳解】

2ππ,2π1

由圖像知，/（X）的最小正周期T=4一+—=4π=—CD=-

33ω2

又函數(shù)/（χ）過點(diǎn)（年,1）,

、

/.sinlχ‰=1.

23/

712兀，~兀兀兀

?，?—?-φ—z,κτιH—,Zτ∈Z,—<0<_f：?(P=一

32226

1πj

/.f(X)=sin—x+-.

26)

【小問2詳解】

π1π2π

x∈[θ,π],—≤-x+-≤——

6263

TCTt兀2兀

?.?函數(shù)y=sinX在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,

6223

τ7...π1.π,2π√3

又?sin—=—，sin—=1,sin—=—，

62232

函數(shù)N=SinX在?-?上的最小值為J,最大值為1.

632

...函數(shù)/(x)的最小值為最大值為L

.f*?

21.已知函數(shù)［(x)=2。Qsxsmx+-

I6J2

(1)求/(χ)的最小正周期;

(2)求/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間以及在區(qū)間一五，一W上的最值.

JT2乃

【正確答案】(1)T=?：(2)遞減區(qū)間是％萬+%■,?萬+于CkeZ),最小值是-1,最

大值是0.

【分析】

(1)先利用三角恒等變換化簡函數(shù)解析式，再求最小值:

(2)將3X+9代入正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解單調(diào)區(qū)間，通過計算&X+9的范圍求值域.

π

【詳解】(1)/'(X)=2cosXsinx+-

62

2鵬皿21

I22J2

Λ∕3sinxcosx+COS2X-?

2

√3.C1+cosIx1

——s?nZxH---------------------

222

=—sin2x÷lcos2x

22

=sin2x-?——

I6j

所以/(x)的最小正周期T=芳=".

JII3TT

(2)由2kτιH—≤2x4—≤2k兀H----QkwZ),

262

7127

得kτιH—≤X≤kτcH-----QkwZ),

63

所以/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是口乃+工,版■+瑪(AreZ).

63

,77Γ7Γ,7VTl

當(dāng)XE-----,----時，2xH-----∈―兀,---,

~L124J6L3」

則sin(2x+令∈[-l,θ].

/JTJ1T

故/(χ)在區(qū)間一五，一區(qū)上的最小值是-1，最大值是O?

本題考查利用恒等變換化簡三角函數(shù)解析式，求解函數(shù)性質(zhì)；涉及單調(diào)區(qū)間、最小正周期以

及值域的求解，屬三角函數(shù)綜合基礎(chǔ)題.

22.某游樂場的摩天輪示意圖如圖.已知該摩天輪的半徑為30米，輪上最低點(diǎn)與地面的距

離為2米，沿逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)