空間向量-2023上海市高三數(shù)學(xué)一模匯編【教師版】

2023一模匯編【空間向量】

一、填空題

1.【青浦9】已知空間三點A(T,3,1),8(2,4,0),C(0,2,4),則以A3、AC為一組鄰邊的平行四邊形

的面積大小為.【答案】2聞

【解析】依題意,Aβ=(3,1,-1),AC=(1,-1,3),IAB∣=∣ACI=√ΓT

ABAC1I--------；---------2廊

cosZBAC=-------------=——nsinZBAC=√1-cos2ZBAC=——

IABIlACl1111

所以以AB、AC為一組鄰邊的平行四邊形的面積S=IABHACISinZBAC=2回

2.【長寧9］若OA=(I,-2,0),08=(2,1,0),OC=(Ll,3),則三棱錐O—ABC的體積為.

【答案】I

2

【解析】根據(jù)己知可得：OA?O8=lχ2-2x1=0，即QAJ

22

又囪+Ry=yβ,∣OB∣=√2+1=√5，故AQ4B的面積S=gx√^Xj^=I

10C?n∣3

不妨取平面046的一個法向量”=(0,0,1),則點C到平面。鉆的距離及=?^i=,=3

H1

故三棱錐。一43C的體積V=LSX/∕=Jχ9χ3=2

3322

3.【靜安11】在空間直角坐標系。-型中，點P(7,4,6)關(guān)于坐標平面XOy的對稱點p，在第卦

限；若點。的坐標為(8,-1,5),則向量PQ與向量PP，夾角的余弦值是.【答案】五:

12_73

【提示】戶。=(1,-5,-1),PP,=(0,0,-12)所以COS(尸Q,PP)

√27×12-9

4.【嘉定11】在空間直角坐標系中，點A(l,0,0),點8(5,-4,3),點C(2,0,1),則AB在CA方向上的投

影向量的坐標為.【答案】

【解析】依題意：AB=(4,T,3),C4=(—1,0,—1),所以AB在C4方向上的投影向量為

(AB?CA)l-×CA=y(-l,0,-l)=∣

∣AB∣cosAB,CA)X=■

"FTS碼

二、解答題

5.【崇明17］（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題7分，第2小題7分

如圖，長方體ABC。一A4GA中，AB=BC=0,AC與底面ABC。所成的角為45。.

（1）求四棱錐A-ABC。的體積；

（2）求異面直線AB與用2所成角的大小.

4

【答案】（1）一；（2）arccos.

36

【分析】（1）先求得長方體ABC。一A∣BC∣R的高AA的值，進而求得四棱錐A-ABCO的體積;

（2）先作出異面直線/B與片A所成角，再利用余弦定理求其大小即可解決.

【解析】（1）因為4A_L平面ABCr）,所以NAe4是AC與底面ABCD所成的角為45°

AB=BC=C.?.AC=2=Λ>A=2,...................................................4分

114

所以匕-ABCD=力=g?2?2=37分

（2）聯(lián)結(jié)BD，BDHBR:.NΛ,8。是力出與耳R所成的角.....3分

在ΔAR。中，Λ1B=4Z）=√6,BD=2,

向“∕ΛonAB2+BD2-AD2√6S

所以CoSZAlBO=-2i------------------i——=——,...........................................6分

N2Aβ?BD6

所以異面直線AB與片R所成角的大小為arccosY5.................................7分

6

6.【金山17］如圖，在四棱錐產(chǎn)一ABC。中，已知1%，底面ABC。，底面ABe。是正方形，PA^AB.

(1)求證：直線Bo，平面PAC；

(2)求直線PC與平面PQ所成的角的大小.

【答案】(1)證明見解析；(2)aresin?.

3

【分析】(1)由線面垂直的判定定理即可證明；

(2)以A為坐標原點，分別以ARA。、AP為XYZ軸,

建立空間直角坐標系.分別求出直線PC的方向向量與平面PBD的法向量，由線面角的向量公式代入即可

求解.

【解析】(1)證明：因為PA_L平面ABCr>，且5。U平面A8C。，所以B4_L6。.......2分

在正方形ABCD中，ACYBD.……4分

而PAnAC=A,……5分

故Br)，平面PAC；……6分

(2)如圖，以A為坐標原點，分別以AB、AD.AP為1、V、Z軸，建立空間直角坐標系.

設(shè)AB=I,則3(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,l),C(1,1,O),

從而PB=(1,0,T),PD=(O,1,-1),PC=(1,1,-1),……8分

設(shè)平面PBr)的法向量為n=(x,y,z)>

PBn=Gx-z=0x=z.、

則■="=?,=,令Z=I,貝加=(1,1,1),……10分

PDH=Oy-z=0.yZ

1D「I?PCn?1

設(shè)直線PC與平面PBD所成的角為氏貝IJSmae=Icos<PC∕>∣=網(wǎng)方=Q,...12

分

故尸C與平面PB。的所成角大小為arcsin,.……14分

3

7.【徐匯17](本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)

如圖，在直三棱柱ABC-446中，AB=AC=2,M=4,ABlAC,BE,A4交Aa于點

E,。為CG的中點.

(1)求證：BE_L平面AgC;

(2)求直線與。與平面ASC所成角的大小.

【答案】(1)證明見解析；(2)arcsin15?

15

【分，「】(1)先證明A4∣LAC,從而可得AC_L平面A44B,進而可得ACLBE,再由線面垂直的

判定定理即可證明；

(2)建立空間直角坐標系，求出平面48。的一個法向量，利用向量法求解即可

【解析】(1)因為三棱柱ABC-A4G為直三棱柱，所以AA，平面ABC,所以A41,AC.

因為AC_LAS,ABA41=A,所以AC_L平面AABIB.

因為BEU平面AAI48,所以ACj_8E.

因為BE±ABt,AC?ABl^A,所以，平面AB1Ci

(2)由(1)知AB,AC,AA兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標系A(chǔ)-*.

則A(0,0,0),B1(2,0,4),0(0,2,2),B(2,0,0),

設(shè)E(0,0,α),則做=(2,0,4),BE=[-2,0,a),

因為A4_LBE,所以4O-4=0,即α=l.

所以平面ABC的一個法向量為8E=(-2,0,l),XB1￡)=(-2,2,-2)

TT

設(shè)直線用。與平面ABC所成角的大小為6(0<9≤,)，

.但RBE?B∣D而

則πιlsinaθ=cosθ—∏=,

(2)BE∣∣BιZ)15

因此，直線與。與平面ABC所成角的大小為arcsinM5.

8.【黃浦18］（本題滿分14分）本題共有2小題，第小題滿分6分，第小題滿分8分.

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ΛBCD為菱形，且Q4，平面ΛBCD,又棱R4=A5=2,E為

棱CD的中點，ZABC=ωo.

（1）求證：直線AE_L平面E4B；（2）求直線他與平面PCD所成角的正切值.

【答案】（1）證明見解析；（2）直線他與平面PeD所成角的正切值為亞.

3

【解析】（1）因為底面ABeD為菱形，JiZABC=60°.

所以ΔΛ8C,ΔACO是等邊三角形,又點E是CD的中點，所以AEd.8,

又因為AB//CD,所以.........3分

由R4J_平面ABC。，AEU平面MCD,可得R4,AE,..................4分

又P4與45相交，所以Afj_平面P4B；..................6分

(1)因為P4J_平面ABcD,CD平面/WCD,所以R4_LCD,又A￡_LCD,可知CD_L平面Rl?,

又因為CDU平面PC。，所以平面Pa）J_平面R4E.……8分

連PE,過A作4尸J_PE,垂足為尸，可知4尸，平面PCD,

所以44￡尸就是AE與平面PCD所成的角.......................10分

ApOO/3

又PA=AB=2,AE=?/?,所以tan/AEF=tanZ.AEP=----=-J==-------，

AE63

所以直線AE與平面PcD所成角的正切值為述................14分

3

（法二）以A為坐標原點，AB,A￡,AP分別為x,%z軸建立空間直角坐標系。-xyz,

LUUU—UlU—UUU

可得P(0,0,2),3(2,0,0),E(0,√3,0),OE=(0,√3,0),EP=(0,-√3,2),DC

設(shè)〃=（X,y,l）是平面PeC）的一個法向量，AE與平面所成角為.…8分

rLiuiIx=0

H?DC=2X=02√3＞故;=(0,亞,1)，……10分

由,rUir,可得“

π?EP=-√3y÷2=0y=^-3

3

?UlW

n?AE22

所以Sine=

曬?L12分

可得tand=2=竺……13分,故直線AE與平面PcD所成角的正切值為辿....14分

√333

（法三：用體積法求點A到平面PCQ的距離，然后再求所求線面角的正弦值和正切值）

9.【靜安19］（本題滿分16分，其中第1小題滿分8分，第2小題滿分8分）

如圖所示，在矩形ABC。中，AB=4.AD=2.E是Cr）的中點，。為AE的中點，以AE為折

痕將AM）E向上折起，使。點折到P點，且尸C=P3.

（1）求證：PO上面/LBCE；

（2）求AC與面PAB所成角。的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）叵.

15

【分析】（1）取BC的中點/，連OF,PF,證明OR_L3C,BCSF,得到BCI面PoF從

而證明BCLPO,然后可得POl面ABCE；

（2）作OG//BC交AB于G,則OGLOF,然后以點。為原點建立空間直角坐標系，然后利用向量

求解即可.

【解析】（1）由題意，可得∕%=FE,OA^OE,則Po_LAE,

取BC的中點F,連OF,PF，可得"〃AB,所以QFLBC,

因為PB=PC,BClPF,且尸尸OF=F,所以BCI平面POf,

又因為PoU平面尸。尸，所以BC_LP0,

又由BC與AE相交直線，所以PO工平面ABCE；

(2)作OG//5C交AB于G,則OG，。尸

如圖建立空間直角坐標系，則

A(I,T,0),5(1,3,0),C(-1,3,0),P(0,0√2)

=>AC=(-2,4,0),ΛP=(-1,1,√2),AB=(0,4,0),

n?AP=-%+y+V∑z=O

設(shè)平面QAB的法向量為"=（x,y,z）,貝卜

n?AB=4y=O

取〃=(√Σ,O,1),所以AC與面∕?5所成角。的正弦值Sine=CoS（",A。

2√5?√3

10.【虹口19](本題滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分)

如圖，在三棱柱ABC-ABG中，底面ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，側(cè)面44?！銥榱庑?，點人

在底面上的投影為AC的中點￡>,且AB=2.

(1)求證：BDLCC1.

(2)求點C到側(cè)面AAI面B的距離;

(3)在線段Ag上是否存在點E,使得直線OE與側(cè)面A4,8∕所成角的

正弦值為理？若存在，請求出AE的長；若不存在，請說明理由.

7

【答案】(1)見解析；(2)獨2;(3)A目=34q=1

72

【解析】(1)由點4在底面ABC上的投影為AC的中點O,知A。，平面ABC,又Br)U平面ABc

故AOLBD……2分

因ΔABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，故ACLBD

而AfD,ACU平面ACG",ADCAC=。,故BD1平面ACGΛ1;

由CGU平面ACG4,得BZ)ICG.……4分

(2)由點AQIAC,。為AC的中點，側(cè)面A4,C∣C

為菱形，知AC=AA=Ae.由ΔABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，AB=2,

可得DB=DA=DC=收,DA,=而由(1)知直線。8,E>C,OA兩兩垂直，故以點。

為坐標原點，直線。民OC。A分別為％，XZ軸，建立空間直角坐標系；則相關(guān)點的坐標為:

D(0,0,0),A(0,-√2,0),β(√2,0,0),C(0,√2,0),A(0,0,√6).……6分

設(shè)平面AAqB的一個法向量為n=(χ,y,z),則

nAB-(x,y,z)■(Λ∕2,y∕2,0)-y∕2(x+y)-0,《x+y=O,?

n?AAl=(X,y,z)?(O,0,7^)=0(y+VJZ)=O,(y+?/?z=O;

得〃=(√5,-6,l)..........8分又AC=(0,20,0),故點C到平面AAB0的距離為

ACn(0,2√2,0)?(√3,-√3,l)2√62√42

d=IO分

?n?∣(√3,-√3,1)∣

（3）假設(shè)滿足條件的點E存在，并設(shè)4￡=①44=九48=①（0,正,0）（/1€［0,1］）,則

DE=Π41+ΛtE=(0,0,√6)+∕l?(√2,√2,0)=(√2∕l,√2∕l,√6).12分

于是‘由直線OE與側(cè)面AAB由所成角的正弦值為q’可得

IQE?"∣(√22,√2Λ,√6)(√3,-√3,l)√6

乎=∣cos<DE,n>|=14分

|。EH“一√2Λ√2Λ√6)∣?∣(√3,-^,1)-√4Λ2+6?√7'

解得義2=5.又；le[0,l],故2=g.

因此存在滿足條件的點E,且IAEI=JA@=I.16分

11.【寶山19］（本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分）

如圖，棱長為2的正方體ABCD-AMGA中，知、N、P分別是CR、ClC,A∣A的中點.

M

（1）證明：M,N、A-B四點共面;

（2）求異面直線尸Q與MN所成角的大??；（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；小Ib'Il

（3）求三棱錐P-MNB的體積.

0I

/D

【答案】（1）證明見解析；（2）arccos—；（3）-

103

【個i；i1⑴由己知可證明AiB∕/CD1和MN//A1B,即可證明MN//AiB,進而得出結(jié)果;

（2）MNHCDx,所以/PRC即等于異面直線PR與MN所成角，在VPDC中，求出各邊長，用余弦定

理即可求出；（3）根據(jù)已知可得，四邊形MNAB為梯形，SVMNB=；SVMA,B，則L.MMB=%-MA,B，根

據(jù)等體積法可知匕一MAS=V”-PA1B，求出Vp-MAiB，即可解出.D,

【答案】法一：（幾何法）（1）證明：易知MN〃〃C，又2分小

從而MN〃A∣B,所以M,N,B,A∣四點共面;4分

D

（2）由MN知，NPDC（或其補角）即為異面直線PR與MN所成角，…6分

由正方體棱長為2,則可求得在APQC中，PD}=√5,PC=3,D1C=2√2

Oi

小

5+8-9?/iθ

分

由余弦定理得CosZPDlC=——尸——L=—9

2×√5×2√210

故異面直線尸Z)I與Λ∕N所成角的大小為arccos------；..................10分

10

(3)易證QP〃BM月.8Nu面MNbDFU面MNB,得RP〃面MN3,...11分

從而Vp_MNB~VDLMNB,..............12分

又SΔMN4=gxlxl=；,......................13分

易證BC上面MN2，點B到面MNA的距離d=BC=2,......................14分

故%-MNB=VB-M町=；,<,2=；,......................15分

所以三棱錐P—MNB的體積為』.......