中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)解析-分式的運(yùn)算

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題解析一分式的運(yùn)算

復(fù)習(xí)目標(biāo)

1.了解分式的概念

2.會(huì)利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分。

3.會(huì)進(jìn)行分式的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算

4.能夠根據(jù)具體問(wèn)題數(shù)量關(guān)系列出簡(jiǎn)單的分式方程

5.會(huì)解簡(jiǎn)單的可化為一元一次方程的分式方程；

考點(diǎn)梳理

一、分式的有關(guān)概念及性質(zhì)

1.分式

設(shè)A、B表示兩個(gè)整式.如果B中含有字母，式子且就叫做分式.注意分

B

母B的值不能為零，否則分式?jīng)]有意義.

2.分式的基本性質(zhì)

A_AxMA_A^M

（M為不等于零的整式）.

~B~B-M

3.最簡(jiǎn)分式

分子與分母沒(méi)有公因式的分式叫做最簡(jiǎn)分式.如果分子分母有公因式，要進(jìn)

行約分化簡(jiǎn).

【歸納總結(jié)】分式的概念需注意的問(wèn)題：

（1）分式是兩個(gè)整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分?jǐn)?shù)線則

可以理解為除號(hào)，還含有括號(hào)的作用;

A

（2）分式《中，幺和8均為整式，2可含字母，也可不含字母，但8中必須含

B

有字母且不為0；

（3）判斷一個(gè)代數(shù)式是否是分式，不要把原式約分變形，只根據(jù)它的原有形式

進(jìn)行判斷.

（4）分式有無(wú)意義的條件:在分式—中,

B

①當(dāng)5加時(shí)，分式有意義;當(dāng)分式有意義時(shí)，B鈍.

②當(dāng)8=0時(shí)，分式無(wú)意義;當(dāng)分式無(wú)意義時(shí)，B=0.

③當(dāng)5加且Z=0時(shí)，分式的值為零.

例I、若把x,了的值同時(shí)縮小X為原來(lái)的;倍，則下列分式的值保持不變的是

()

C(x+y『2x

A.上B?/D

x+y-

【答案】C

【解析】

111

—XX—y—xy

1XV

A.33-3=—X——,選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意;

11x+y3x+y

—x+—V

33

1,y+6

-V+29----A

B.—=?="!，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意;

L+2葉6…

33

2

11

—X+—V(j2(x+y)2(x+y)2

C.33.,選項(xiàng)說(shuō)法正確，符合題意;

(*（歹x123

2x-xx

2x6x

D.3等T，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意

(―)…

故選c

二、分式的運(yùn)算

1.基本運(yùn)算法則

分式的運(yùn)算法則與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則類似,具體運(yùn)算法則如下：

bcb+c

(1)加減運(yùn)算-±-==

aaa

同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.

a.cad±bc

—±—--------；

bdbd

異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的

加減法則進(jìn)行計(jì)算.

/八、工、上、一ga匕etc

(2)乘法運(yùn)算=r

bd'ho^d

兩個(gè)分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分

母.

(3)除法運(yùn)算巴+±=土士=姓,

bdbcbe

兩個(gè)分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘.

⑷乘方運(yùn)算(/=9(分式乘方)

分式的乘方，把分子分母分別乘方.

2.零指數(shù)a0=l(ax0).

3.負(fù)整數(shù)指數(shù)為正整數(shù))

af

4.分式的混合運(yùn)算順序

先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的.

5.約分

把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分.

6.通分

根據(jù)分式的基本性質(zhì)，異分母的分式可以化為同分母的分式，這一過(guò)程稱為

分式的通分.

例2、計(jì)算工一叫的結(jié)果是()

m-1m-l

A.m+1B.m-lC.m-2D.-m-2

【答案】B

【解析】

解.m22m-1m2-2m+l(m-1)-「

m—1m-lm—\m-\

故選B.

【歸納總結(jié)】約分需明確的問(wèn)題：

(1)對(duì)于一個(gè)分式來(lái)說(shuō)，約分就是要把分子與分母都除以同一個(gè)因式，使約分前

后分式的值相等；

(2)約分的關(guān)鍵是確定分式的分子和分母的公因式，其思考過(guò)程與分解因式中提

取公因式時(shí)確定公因式的思考過(guò)程相似；在此，公因式是分子、分母系數(shù)的最大

公約數(shù)和相同字母最低次募的積.

【特別提醒】通分注意事項(xiàng)

(1)通分的關(guān)鍵是確定最簡(jiǎn)公分母；最簡(jiǎn)公分母應(yīng)為各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與

所有因式的最高次易的積.

(2)不要把通分與去分母混淆，本是通分，卻成了去分母，把分式中的分母丟掉.

(3)確定最簡(jiǎn)公分母的方法：

最簡(jiǎn)公分母的系數(shù)，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；

最簡(jiǎn)公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次募的積.

三、分式方程及其應(yīng)用

1.分式方程的概念

分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.

2.分式方程的解法

解分式方程的關(guān)鍵是去分母，即方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母將分式方程轉(zhuǎn)化

為整式方程.

3.分式方程的增根問(wèn)題

驗(yàn)根：因?yàn)榻夥质椒匠炭赡艹霈F(xiàn)增根，所以解分式方程必須驗(yàn)根.驗(yàn)根的方

法是將所得的根帶入到最簡(jiǎn)公分母中，看它是否為0,如果為0,即為增根，不

為0,就是原方程的解.

4.分式方程的應(yīng)用

列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題類似，但要稍復(fù)雜一些.解

題時(shí)應(yīng)抓住“找等量關(guān)系、恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)、確定主要等量關(guān)系、用含未知數(shù)的分

式或整式表示未知量”等關(guān)鍵環(huán)節(jié)，從而正確列出方程，并進(jìn)行求解.另外，還

要注意從多角度思考、分析、解決問(wèn)題，注意檢驗(yàn)、解釋結(jié)果的合理性.

【特別提醒】

1.解分式方程注意事項(xiàng)

(1)去分母化成整式方程時(shí)不要與通分運(yùn)算混淆;

(2)解完分式方程必須進(jìn)行檢驗(yàn)，驗(yàn)根的方法是將所得的根帶入到最簡(jiǎn)公分母中,

看它是否為0,如果為0,即為增根，不為0,就是原方程的解.

2.列分式方程解應(yīng)用題的基本步驟

⑴審——仔細(xì)審題，找出等量關(guān)系；

(2)設(shè)——合理設(shè)未知數(shù)；

(3)列——根據(jù)等量關(guān)系列出方程；

(4)解——解出方程；

(5)驗(yàn)——檢驗(yàn)增根；

(6)答——答題.

例3、隨著快遞業(yè)務(wù)的增加，某快遞公司為快遞員更換了快捷的交通工具，公司

投遞快件的能力由每周6000件提高到8400件，平均每人每周比原來(lái)多投遞80

件，若快遞公司的快遞人數(shù)不變，求原來(lái)平均每人每周投遞快件多少件？設(shè)原來(lái)

平均每人每周投遞快件x件，根據(jù)題意可列方程為()

60008400c60008400

T.------=---------B.——+80=——

xx+80XX

、8400_60006000_8400

八=

xxxx-80

【答案】A

【解析】

解：設(shè)原來(lái)平均每人每周投遞快件X件，則更換交通工具后平均每人每周投遞快

件(x+80)件，

60008400

依題意得:

Xx+80

故選：A.

綜合訓(xùn)練

1.（2022?全國(guó)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若代數(shù)式￡有意義,則x的取值范圍是（3

A.x。3B.xw1C.x>-3D.

【答案】D

【分析】根據(jù)分式有意義的條件分析即可.

【詳解】：數(shù)式生!有意義，

x+3

x+3w0,

解得"-3.

故選D.

2.（2022?老河口市教學(xué)研究室九年級(jí)月考）化簡(jiǎn)-里］+*的結(jié)果是（）

（a）a

A.a-bB.a+bC.D.-^-―

a-ba+b

【答案】A

【分析】直接將括號(hào)里面通分，進(jìn)而分解因式，再利用分式的除法運(yùn)算法則計(jì)算

得出答案.

【詳解】解:

a2-b1a

----------x--------

aa+b

_(?+Z>)(47-Z>)；；a

aa+b

=a-b.故選：A.

3.（2022?廈門市第九中學(xué)九年級(jí)二模）港珠澳大橋是我國(guó)橋梁建筑史上的又一

偉大奇跡，東接香港，西接珠海、澳門，全程55千米.通車前需走水陸兩路共

約170千米，通車后，約減少時(shí)間3小時(shí)，平均速度是原來(lái)的2.5倍，如果設(shè)原

來(lái)通車前的平均時(shí)速為x千米/小時(shí)，則可列方程為（）

17055,-55170.八17055x2.5,一17055、

A.--------=3B.---------=3C.------------=3D.---------=3

2.5xx2.5xxxxx2.5%

【答案】D

【分析】設(shè)原來(lái)通車前的平均時(shí)速為x千米/小時(shí)，所以通車后，的平均時(shí)速為

2.5x千米/小時(shí)，根據(jù)它們行駛的時(shí)間差為3小時(shí)列出分式方程.

【詳解】解：設(shè)原來(lái)通車前的平均時(shí)速為x千米/小時(shí)，所以通車后，的平均時(shí)

速為2.5x千米/小時(shí)，依題意得：

17055

故選D.

x2.5%

4.（2022?哈爾濱市第十七中學(xué)校）分式方程三+—二=1的解是（）

xx-2

A.x=lB.x=-1C.x=3D.x=-3

【答案】A

【分析】觀察可得最簡(jiǎn)公分母是x（x-2）,方程兩邊乘最簡(jiǎn)公分母，可以把分

式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解即可.

【詳解】解：匕1+-=1,

去分母，方程兩邊同時(shí)乘以X（X-2）得：

(x+1)(x-2)+x=x(x-2),

x2-x-2+x=x2-2x,

x=l,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=l是原分式方程的解.故選：A.

5.（2022?四川九年級(jí)期中）關(guān)于x的方程￡=品有增根,則0的值為（）

A.-4B.-6C.0D.3

【答案】B

【分析】將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，根據(jù)方程有增根求得x=Y，代入整式方

程即可.

x-2_a

【詳解】解:

x+4x+4

兩邊同時(shí)乘x+4得：x-2=a①

??%-2a

有增根

?x+4x+4

x=-4

代入方程①得：。=-6故答案為B.

6.（2022?全國(guó)）已知實(shí)數(shù)4，6滿足。2=1,那么士+上的值為（）

a+1b+\

A.-B.vC.1D.2

42

【答案】c

【分析】把所求分式通分，再把已知條件代入求解.

【詳解】解：?."?6=1,

a2b2=（仍/=1,

]1_〃2+—2+2_/+/+2

a1+\+b1+\a2b2+b2+a2+11+b2+a2+1故選：C.

7.（2022?日照市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)一模）已知關(guān)于x的方程T+；”=2%

x-22-x

無(wú)解，則m的值是

【答案】3或1

【分析】分方程有增根，增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根.所

以應(yīng)先確定增根的可能值，讓最簡(jiǎn)公分母》-2=0,得到x=2,然后代入化為整

式方程的方程算出m的值和方程沒(méi)有增根兩種情況進(jìn)行討論.

【詳解】解：①當(dāng)方程有增根時(shí)

方程兩邊都乘x-2,得x-2m=2皿x-2),

二最簡(jiǎn)公分母》-2=0,

解得x=2,

當(dāng)x=2時(shí)，m=1

故m的值是1,

②當(dāng)方程沒(méi)有增根時(shí)

方程兩邊都乘x-2,得x-2加=2m(x-2),

當(dāng)分母為0時(shí)，此時(shí)方程也無(wú)解，

此時(shí)2m—1=0,

解得加=J，

.??綜上所述，當(dāng)加=；或1時(shí)，方程無(wú)解.故答案為：g或1.

8.(2022?山東濱州市?九年級(jí)其他模擬)已知關(guān)于x的分式方程4=/L+5的

x-22—x

解為非負(fù)數(shù)，則加的取值范圍為.

【答案】加2-10且加。-6

【分析】根據(jù)解分式方程，可得分式方程的解，根據(jù)分式方程的解為負(fù)數(shù)，可得

不等式，解不等式，可得答案.

【詳解】解：三=1+5

x—22-x

去分母，得：3x=-m+5（x-2）,

移項(xiàng)、合并，得：2x=10+m

系數(shù)化為1得：x=W丁

..?分式方程的解為非負(fù)數(shù)，

.?.3,0且U,2,

22

解得：加2-10且冽。-6,故答案為：加之T0且冽。-6.

9.（2022?云南九年級(jí)期末）先化簡(jiǎn)，再求值：（；+1）+及，其中x=2.

x+1x-1

【答案】X-1,1

【分析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式然后代值計(jì)算即可.

【詳解】解：原式=（1±小W*（”T）=1,

x+1x+2x+1x+2

Vx=2,.??原式=2—1=1.

10.（2022?河南三門峽市?）下面是小銳同學(xué)進(jìn)行分式化簡(jiǎn)的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀

并完成相應(yīng)任務(wù).

%2—92x+1

x2+6x+92x+6

(x+3)(%-3)2x+l

…第一步

(x+3『2(7+3)

x