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文檔簡介
中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題解析一分式的運(yùn)算
復(fù)習(xí)目標(biāo)
1.了解分式的概念
2.會(huì)利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分。
3.會(huì)進(jìn)行分式的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算
4.能夠根據(jù)具體問題數(shù)量關(guān)系列出簡單的分式方程
5.會(huì)解簡單的可化為一元一次方程的分式方程;
考點(diǎn)梳理
一、分式的有關(guān)概念及性質(zhì)
1.分式
設(shè)A、B表示兩個(gè)整式.如果B中含有字母,式子且就叫做分式.注意分
B
母B的值不能為零,否則分式?jīng)]有意義.
2.分式的基本性質(zhì)
A_AxMA_A^M
(M為不等于零的整式).
~B~B-M
3.最簡分式
分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式.如果分子分母有公因式,要進(jìn)
行約分化簡.
【歸納總結(jié)】分式的概念需注意的問題:
(1)分式是兩個(gè)整式相除的商,其中分母是除式,分子是被除式,而分?jǐn)?shù)線則
可以理解為除號(hào),還含有括號(hào)的作用;
A
(2)分式《中,幺和8均為整式,2可含字母,也可不含字母,但8中必須含
B
有字母且不為0;
(3)判斷一個(gè)代數(shù)式是否是分式,不要把原式約分變形,只根據(jù)它的原有形式
進(jìn)行判斷.
(4)分式有無意義的條件:在分式—中,
B
①當(dāng)5加時(shí),分式有意義;當(dāng)分式有意義時(shí),B鈍.
②當(dāng)8=0時(shí),分式無意義;當(dāng)分式無意義時(shí),B=0.
③當(dāng)5加且Z=0時(shí),分式的值為零.
例I、若把x,了的值同時(shí)縮小X為原來的;倍,則下列分式的值保持不變的是
()
C(x+y『2x
A.上B?/D
x+y-
【答案】C
【解析】
111
—XX—y—xy
1XV
A.33-3=—X——,選項(xiàng)說法錯(cuò)誤,不符合題意;
11x+y3x+y
—x+—V
33
1,y+6
-V+29----A
B.—=?="!,選項(xiàng)說法錯(cuò)誤,不符合題意;
L+2葉6…
33
2
11
—X+—V(j2(x+y)2(x+y)2
C.33.,選項(xiàng)說法正確,符合題意;
(*(歹x123
2x-xx
2x6x
D.3等T,選項(xiàng)說法錯(cuò)誤,不符合題意
(―)…
故選c
二、分式的運(yùn)算
1.基本運(yùn)算法則
分式的運(yùn)算法則與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則類似,具體運(yùn)算法則如下:
bcb+c
(1)加減運(yùn)算-±-==
aaa
同分母的分式相加減,分母不變,把分子相加減.
a.cad±bc
—±—--------;
bdbd
異分母的分式相加減,先通分,化為同分母的分式,然后再按同分母分式的
加減法則進(jìn)行計(jì)算.
/八、工、上、一ga匕etc
(2)乘法運(yùn)算=r
bd'ho^d
兩個(gè)分式相乘,把分子相乘的積作為積的分子,把分母相乘的積作為積的分
母.
(3)除法運(yùn)算巴+±=土士=姓,
bdbcbe
兩個(gè)分式相除,把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘.
⑷乘方運(yùn)算(/=9(分式乘方)
分式的乘方,把分子分母分別乘方.
2.零指數(shù)a0=l(ax0).
3.負(fù)整數(shù)指數(shù)為正整數(shù))
af
4.分式的混合運(yùn)算順序
先算乘方,再算乘除,最后加減,有括號(hào)先算括號(hào)里面的.
5.約分
把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去,這種變形稱為分式的約分.
6.通分
根據(jù)分式的基本性質(zhì),異分母的分式可以化為同分母的分式,這一過程稱為
分式的通分.
例2、計(jì)算工一叫的結(jié)果是()
m-1m-l
A.m+1B.m-lC.m-2D.-m-2
【答案】B
【解析】
解.m22m-1m2-2m+l(m-1)-「
m—1m-lm—\m-\
故選B.
【歸納總結(jié)】約分需明確的問題:
(1)對(duì)于一個(gè)分式來說,約分就是要把分子與分母都除以同一個(gè)因式,使約分前
后分式的值相等;
(2)約分的關(guān)鍵是確定分式的分子和分母的公因式,其思考過程與分解因式中提
取公因式時(shí)確定公因式的思考過程相似;在此,公因式是分子、分母系數(shù)的最大
公約數(shù)和相同字母最低次募的積.
【特別提醒】通分注意事項(xiàng)
(1)通分的關(guān)鍵是確定最簡公分母;最簡公分母應(yīng)為各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與
所有因式的最高次易的積.
(2)不要把通分與去分母混淆,本是通分,卻成了去分母,把分式中的分母丟掉.
(3)確定最簡公分母的方法:
最簡公分母的系數(shù),取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù);
最簡公分母的字母,取各分母所有字母因式的最高次募的積.
三、分式方程及其應(yīng)用
1.分式方程的概念
分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.
2.分式方程的解法
解分式方程的關(guān)鍵是去分母,即方程兩邊都乘以最簡公分母將分式方程轉(zhuǎn)化
為整式方程.
3.分式方程的增根問題
驗(yàn)根:因?yàn)榻夥质椒匠炭赡艹霈F(xiàn)增根,所以解分式方程必須驗(yàn)根.驗(yàn)根的方
法是將所得的根帶入到最簡公分母中,看它是否為0,如果為0,即為增根,不
為0,就是原方程的解.
4.分式方程的應(yīng)用
列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題類似,但要稍復(fù)雜一些.解
題時(shí)應(yīng)抓住“找等量關(guān)系、恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)、確定主要等量關(guān)系、用含未知數(shù)的分
式或整式表示未知量”等關(guān)鍵環(huán)節(jié),從而正確列出方程,并進(jìn)行求解.另外,還
要注意從多角度思考、分析、解決問題,注意檢驗(yàn)、解釋結(jié)果的合理性.
【特別提醒】
1.解分式方程注意事項(xiàng)
(1)去分母化成整式方程時(shí)不要與通分運(yùn)算混淆;
(2)解完分式方程必須進(jìn)行檢驗(yàn),驗(yàn)根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中,
看它是否為0,如果為0,即為增根,不為0,就是原方程的解.
2.列分式方程解應(yīng)用題的基本步驟
⑴審——仔細(xì)審題,找出等量關(guān)系;
(2)設(shè)——合理設(shè)未知數(shù);
(3)列——根據(jù)等量關(guān)系列出方程;
(4)解——解出方程;
(5)驗(yàn)——檢驗(yàn)增根;
(6)答——答題.
例3、隨著快遞業(yè)務(wù)的增加,某快遞公司為快遞員更換了快捷的交通工具,公司
投遞快件的能力由每周6000件提高到8400件,平均每人每周比原來多投遞80
件,若快遞公司的快遞人數(shù)不變,求原來平均每人每周投遞快件多少件?設(shè)原來
平均每人每周投遞快件x件,根據(jù)題意可列方程為()
60008400c60008400
T.------=---------B.——+80=——
xx+80XX
、8400_60006000_8400
八=
xxxx-80
【答案】A
【解析】
解:設(shè)原來平均每人每周投遞快件X件,則更換交通工具后平均每人每周投遞快
件(x+80)件,
60008400
依題意得:
Xx+80
故選:A.
綜合訓(xùn)練
1.(2022?全國九年級(jí)課時(shí)練習(xí))若代數(shù)式£有意義,則x的取值范圍是(3
A.x。3B.xw1C.x>-3D.
【答案】D
【分析】根據(jù)分式有意義的條件分析即可.
【詳解】:數(shù)式生!有意義,
x+3
x+3w0,
解得"-3.
故選D.
2.(2022?老河口市教學(xué)研究室九年級(jí)月考)化簡-里]+*的結(jié)果是()
(a)a
A.a-bB.a+bC.D.-^-―
a-ba+b
【答案】A
【分析】直接將括號(hào)里面通分,進(jìn)而分解因式,再利用分式的除法運(yùn)算法則計(jì)算
得出答案.
【詳解】解:
a2-b1a
----------x--------
aa+b
_(?+Z>)(47-Z>);;a
aa+b
=a-b.故選:A.
3.(2022?廈門市第九中學(xué)九年級(jí)二模)港珠澳大橋是我國橋梁建筑史上的又一
偉大奇跡,東接香港,西接珠海、澳門,全程55千米.通車前需走水陸兩路共
約170千米,通車后,約減少時(shí)間3小時(shí),平均速度是原來的2.5倍,如果設(shè)原
來通車前的平均時(shí)速為x千米/小時(shí),則可列方程為()
17055,-55170.八17055x2.5,一17055、
A.--------=3B.---------=3C.------------=3D.---------=3
2.5xx2.5xxxxx2.5%
【答案】D
【分析】設(shè)原來通車前的平均時(shí)速為x千米/小時(shí),所以通車后,的平均時(shí)速為
2.5x千米/小時(shí),根據(jù)它們行駛的時(shí)間差為3小時(shí)列出分式方程.
【詳解】解:設(shè)原來通車前的平均時(shí)速為x千米/小時(shí),所以通車后,的平均時(shí)
速為2.5x千米/小時(shí),依題意得:
17055
故選D.
x2.5%
4.(2022?哈爾濱市第十七中學(xué)校)分式方程三+—二=1的解是()
xx-2
A.x=lB.x=-1C.x=3D.x=-3
【答案】A
【分析】觀察可得最簡公分母是x(x-2),方程兩邊乘最簡公分母,可以把分
式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解即可.
【詳解】解:匕1+-=1,
去分母,方程兩邊同時(shí)乘以X(X-2)得:
(x+1)(x-2)+x=x(x-2),
x2-x-2+x=x2-2x,
x=l,
經(jīng)檢驗(yàn),x=l是原分式方程的解.故選:A.
5.(2022?四川九年級(jí)期中)關(guān)于x的方程£=品有增根,則0的值為()
A.-4B.-6C.0D.3
【答案】B
【分析】將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,根據(jù)方程有增根求得x=Y,代入整式方
程即可.
x-2_a
【詳解】解:
x+4x+4
兩邊同時(shí)乘x+4得:x-2=a①
??%-2a
有增根
?x+4x+4
x=-4
代入方程①得:。=-6故答案為B.
6.(2022?全國)已知實(shí)數(shù)4,6滿足。2=1,那么士+上的值為()
a+1b+\
A.-B.vC.1D.2
42
【答案】c
【分析】把所求分式通分,再把已知條件代入求解.
【詳解】解:?."?6=1,
a2b2=(仍/=1,
]1_〃2+—2+2_/+/+2
a1+\+b1+\a2b2+b2+a2+11+b2+a2+1故選:C.
7.(2022?日照市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)一模)已知關(guān)于x的方程T+;”=2%
x-22-x
無解,則m的值是
【答案】3或1
【分析】分方程有增根,增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根.所
以應(yīng)先確定增根的可能值,讓最簡公分母》-2=0,得到x=2,然后代入化為整
式方程的方程算出m的值和方程沒有增根兩種情況進(jìn)行討論.
【詳解】解:①當(dāng)方程有增根時(shí)
方程兩邊都乘x-2,得x-2m=2皿x-2),
二最簡公分母》-2=0,
解得x=2,
當(dāng)x=2時(shí),m=1
故m的值是1,
②當(dāng)方程沒有增根時(shí)
方程兩邊都乘x-2,得x-2加=2m(x-2),
當(dāng)分母為0時(shí),此時(shí)方程也無解,
此時(shí)2m—1=0,
解得加=J,
.??綜上所述,當(dāng)加=;或1時(shí),方程無解.故答案為:g或1.
8.(2022?山東濱州市?九年級(jí)其他模擬)已知關(guān)于x的分式方程4=/L+5的
x-22—x
解為非負(fù)數(shù),則加的取值范圍為.
【答案】加2-10且加。-6
【分析】根據(jù)解分式方程,可得分式方程的解,根據(jù)分式方程的解為負(fù)數(shù),可得
不等式,解不等式,可得答案.
【詳解】解:三=1+5
x—22-x
去分母,得:3x=-m+5(x-2),
移項(xiàng)、合并,得:2x=10+m
系數(shù)化為1得:x=W丁
..?分式方程的解為非負(fù)數(shù),
.?.3,0且U,2,
22
解得:加2-10且冽。-6,故答案為:加之T0且冽。-6.
9.(2022?云南九年級(jí)期末)先化簡,再求值:(;+1)+及,其中x=2.
x+1x-1
【答案】X-1,1
【分析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則化簡原式然后代值計(jì)算即可.
【詳解】解:原式=(1±小W*(”T)=1,
x+1x+2x+1x+2
Vx=2,.??原式=2—1=1.
10.(2022?河南三門峽市?)下面是小銳同學(xué)進(jìn)行分式化簡的過程,請(qǐng)認(rèn)真閱讀
并完成相應(yīng)任務(wù).
%2—92x+1
x2+6x+92x+6
(x+3)(%-3)2x+l
…第一步
(x+3『2(7+3)
x
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