江西省贛州市田頭中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析

江西省贛州市田頭中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，f'（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（）A．0＜f'（3）＜f（3）﹣f（2）＜f'（2） B．0＜f'（3）＜f'（2）＜f（3）﹣f（2）C．0＜f'（2）＜f'（3）＜f（3）﹣f（2） D．0＜f（3）﹣f（2）＜f'（3）＜f'（2）參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．【分析】由題意，作出f′（3）、f（3）﹣f（2）、f′（2）所表示的幾何意義，從而求解．【解答】解：如下圖：f′（3）、f（3）﹣f（2）、f′（2）分別表示了直線n，m，l的斜率，故0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2），故選：A．2.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足對(duì)恒成立，則下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.參考答案：A【分析】求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得出答案．【詳解】令由（x+xlnx）f′（x）<f（x），得（1+lnx）f′（x）f（x）<0，g′（x），則g′（x）<0，故g（x）在遞減；故,即,∴故選：A【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)，準(zhǔn)確構(gòu)造新函數(shù)是突破，準(zhǔn)確判斷單調(diào)性是關(guān)鍵，是中檔題3.如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)抽取一個(gè)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】幾何概型．【專題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】利用幾何概型的計(jì)算概率的方法解決本題，關(guān)鍵要弄準(zhǔn)所求的隨機(jī)事件發(fā)生的區(qū)域的面積和事件總體的區(qū)域面積，通過相除的方法完成本題的解答【解答】解：由幾何概型的計(jì)算方法，可以得出所求事件的概率為P==．故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了幾何概型，解決此類問題的關(guān)鍵是弄清幾何測(cè)度，屬于基礎(chǔ)題．4.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

A． B． C． D．參考答案：C5.已知函數(shù)()在(0,1]上的最大值為3，則a=(

)A.2 B.e C.3 D.e2參考答案：B【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，得，，令，，對(duì)進(jìn)行分類討論，求出每種情況下的最大值，根據(jù)已知條件可以求出的值.【詳解】解:，，令，，①當(dāng)時(shí)，，，，在上單調(diào)遞增，，即（舍去），②當(dāng)時(shí)，，，；時(shí)，，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即，令()，，在上單調(diào)遞減，且，，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值求參數(shù)問題，求導(dǎo)、進(jìn)行分類討論函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.6.若雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（

）A．1

B．

C.

D．3參考答案：B7.拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，其上一點(diǎn)P(m，1)到焦點(diǎn)距離為5，則拋物線方程為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C8..已知，則（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布求對(duì)應(yīng)概率【詳解】，所以選C.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

9.右面的莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測(cè)評(píng)中的成績(jī)，其中一個(gè)數(shù)字被污損，則甲的平均成績(jī)超過乙的平均成績(jī)的概率是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略10.設(shè)，若，且，則的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知雙曲線，則其漸近線方程為_________,

離心率為________.

參考答案：、12.正數(shù)滿足，則的最大值為

▲

．參考答案：

略13.不等式|x－1|＜1的解集是

▲

．參考答案：略14.若（x+i）i=﹣1+2i（x∈R），則x=

．參考答案：2【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)相等的充要條件．【分析】化簡(jiǎn)原式可得∴﹣1+xi=﹣1+2i，由復(fù)數(shù)相等的定義可得．【解答】解：∵（x+i）i=﹣1+2i，∴﹣1+xi=﹣1+2i，由復(fù)數(shù)相等可得x=2故答案為：215.曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)和的距離的積等于常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡。給出下列三個(gè)結(jié)論：（1）曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn)（2）曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；（3）若點(diǎn)P在曲線C上，則的面積不大于。其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是

。參考答案：（2）（3）略16.數(shù)式1+中省略號(hào)“…”代表無限重復(fù)，但原式是一個(gè)固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，則1+=t，則t2﹣t﹣1=0，取正值得t=，用類似方法可得=

．參考答案：2【考點(diǎn)】類比推理．【分析】通過已知得到求值方法：先換元，再列方程，解方程，求解（舍去負(fù)根），再運(yùn)用該方法，注意兩邊平方，得到方程，解出方程舍去負(fù)的即可．【解答】解：由已知代數(shù)式的求值方法：先換元，再列方程，解方程，求解（舍去負(fù)根），可得要求的式子．令=m（m＞0），則兩邊平方得，2=m2，即2+m=m2，解得，m=2（﹣1舍去）．故答案為：2．17.如果一個(gè)四面體的三個(gè)面是直角三角形，那么，第四個(gè)面可能是：①直角三角形；②銳角三角形；③鈍角三角形；④等腰三角形；⑤等腰直角三角形；⑥等邊三角形。請(qǐng)寫出你認(rèn)為正確的序號(hào)_______.參考答案：①②③④⑤⑥三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．（1）計(jì)算；（2）猜想an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．參考答案：（1）依題設(shè)可得，，，；（2）猜想：．證明：①當(dāng)時(shí)，猜想顯然成立．②假設(shè)時(shí)，猜想成立，即．那么，當(dāng)時(shí)，，即．又，所以，從而．即時(shí)，猜想也成立．故由①和②，可知猜想成立．試題分析：（1）由題可知，，即，，即，依次遞推下去，得出；（2）根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法有，當(dāng)，時(shí)，猜想成立，證明當(dāng)時(shí)，猜想也正確，才能最后確定猜想正確；試題解析：（1）依題設(shè)可得，當(dāng)時(shí)，，即，即，故，，，；（2）猜想：．證明：①當(dāng)時(shí)，猜想顯然成立．②假設(shè)時(shí)，猜想成立，即．那么，當(dāng)時(shí)，，即．又，所以，從而．即時(shí)，猜想也成立．故由①和②，可知猜想成立．19.已知函數(shù)（m為常數(shù)，且m>0）有極大值9.

（1）求m的值；

（2）若斜率為-5的直線是曲線的切線，求此直線方程.參考答案：解：(Ⅰ)f’(x)＝3x2+2mx－m2=(x+m)(3x－m)=0,則x=－m或x=m,

當(dāng)x變化時(shí)，f’(x)與f(x)的變化情況如下表：x(－∞,－m)－m(－m,)(,+∞)f’(x)+0－0+f(x)

極大值

極小值

從而可知，當(dāng)x=－m時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值9，即f(－m)＝－m3+m3+m3+1=9,∴m＝2.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x3+2x2－4x+1,依題意知f’(x)＝3x2＋4x－4＝－5，∴x＝－1或x＝－.又f(－1)＝6，f(－)＝，所以切線方程為y－6＝－5(x＋1),或y－＝－5(x＋)，即5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0.略20.投擲一個(gè)質(zhì)地均勻的、每個(gè)面上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字的正方體玩具，它的六個(gè)面中，有兩個(gè)面標(biāo)的數(shù)字是0，兩個(gè)面標(biāo)的數(shù)字是2，兩個(gè)面標(biāo)的數(shù)字是3，將此玩具邊續(xù)拋擲兩次，以兩次朝上一面出現(xiàn)的數(shù)字分別作為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)．（1）求點(diǎn)P落在區(qū)域C：x2+y2=9內(nèi)（不含邊界）的概率；（2）若以落在區(qū)域C（第1問中）上的所有點(diǎn)為頂點(diǎn)作面積最大的多邊形區(qū)域M，在區(qū)域C上隨機(jī)撤一粒豆子，求豆子落在區(qū)域M上的概率．參考答案：【考點(diǎn)】幾何概型．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（1）本小題是古典概型問題，利用列舉法進(jìn)行求解即可．（2）本小題是幾何概型問題，求出對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）以0，2，3為橫，縱坐標(biāo)的點(diǎn)P的坐標(biāo)有：（0，0），（0，2），（0，3），（2，0），（2，2），（2，3），（3，0），（3，2），（3，3），共9種，其中落在區(qū)域x2+y2=9內(nèi)（不含邊界）內(nèi)的點(diǎn)P的坐標(biāo)有：（0，0），（0，2），（2，0），（2，2），共4種，故所求的概率P=．（2）區(qū)域M為一邊長(zhǎng)為2的正方形，其面積為4，區(qū)域C的面積為9π，則豆子落在區(qū)域M上的概率P=．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查概率的計(jì)算，根據(jù)古典概型以及幾何概型的概率公式是解決本題的關(guān)鍵．21.（本題滿分16分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)．已知曲線上任意一點(diǎn)（其中）到定點(diǎn)的距離比它到軸的距離大1．（1）求曲線的軌跡方程；（2）若過點(diǎn)的直線與曲線相交于A、B不同的兩點(diǎn)，求的值；（3）若曲線上不同的兩點(diǎn)、滿足，求的取值范圍．參考答案：（1）依題意知，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到直線的距離，曲線是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，為焦點(diǎn)的拋物線∵∴∴曲線方程是

（4分）（2）當(dāng)平行于軸時(shí)，其方程為，由解得、此時(shí)

（6分）當(dāng)不平行于軸時(shí)，設(shè)其斜率為，則由得設(shè)，則有，

（8分）∴

（10分）（3）設(shè)

∴∵

∴∵，化簡(jiǎn)得

（12分）∴

（14分）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立∵

∴當(dāng)?shù)娜≈捣秶牵?6分）22.設(shè)f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與2x﹣y+6=0．（1）確定a的值；（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的切線方程，根據(jù)系數(shù)相等，求出a的值即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可．【解答】解：（1）f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，（x＞0），f′（x）=2a（x﹣5）+，f′（