江蘇省無錫市梅村高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高一年級上冊期中數(shù)學(xué)試題

江蘇省無錫市梅村高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中

數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.下列關(guān)系中正確的是()

A.-eQB.V2IRC.0GN*D.TCGZ

2

2.下列四組函數(shù)，表示同一函數(shù)的是()

2

y-

A.f(x)=E，g(x)=xB.f(x)=x,g(x)=—

X

2

C,/(x)=V?>g(x)=—D./(x)-x,g(x)=松口

X

3.己知xeR,則條件是條件“x<2”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件.

4.函數(shù)〃力=后4+(，7。的定義域為()

A.(|,+8)

C.|,1]D(1,+8)

5.函數(shù)〃力=/-土的圖象大致為(

I巾

6.若/(x)=|x+al與g(x)=：在區(qū)間[1,2]上都是增函數(shù)，則。的取值范圍是()

x

A.(-1,0)(0,1)B.(0,1)C.(-1,0)D.[-1,0)

7.古希臘科學(xué)家阿基米德在《論平面圖形的平衡》一書中提出了杠桿原理，它是使用

天平秤物品的理論基礎(chǔ)，當(dāng)天平平衡時，左臂長與左盤物品質(zhì)量的乘積等于右臀長與右

盤物品質(zhì)量的乘積，某金店用一桿不準確的天平(兩邊臂不等長)稱黃金，某顧客要購

買10g黃金，售貨員先將5g的祛碼放在左盤，將黃金放于右盤使之平衡后給顧客；然后

又將5g的祛碼放入右盤，將另一黃金放于左盤使之平衡后又給顧客，則顧客實際所得黃

金()

A.大于10gB.小于10gC.大于等于10gD.小于等于10g

8.若/(x)在R上滿足f(x+2)=/(f)=-/(x),當(dāng)xe[0,l]時，f{x)=x+a,則

A.0B.gC.1D.-

22

二、多選題

9.下列說法正確的有()

A.若a>b,貝!B.若=>4，則a>b

cc-

C.若a>6>0,m>0,則夕十.>」D.若一I<a<5,2<h<3,則

a+ma

-4<67—Z?<3

10.在整數(shù)集Z中，被7除所得余數(shù)為&的所有整數(shù)組成一個“類”，記為伏],即

[k]={ln+k\neZ,keZ},%=0,123,4,5,6,給出如下四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論為

()

A.2021e[5]B.-2e[2]

C.Z=[0]o[l]o[2]u[3]u[4]o[5]o[6]D.若?！煌?則整數(shù)”，6屬于同一

類

11.已知x>0,y>。，且x+y+^-3=0,則錯誤的是()

A.孫的取值范圍是1L9]B.x+y的最小值是2

C.x+4y的最小值是3D.x+2y的最小值是4及-3

12.已知函數(shù)“X)的定義域為R,%,weR,且x產(chǎn)"，’』)一八々)VT,則()

試卷第2頁，共4頁

A./(-2)>/(2)+4B./(x)>/(x+l)+l

C.3+42〃0)D.力|+司+同+百<"2)+3

三、填空題

13.已知函數(shù)y=a-+3">0且awl)過定點P,且P點在幕函數(shù)/⑶的圖象上，則

/(3)的值為.

14.若命題pHxeR,??-以v-1為假命題，則。的取值范圍為.

15.己知x>l,y>0,x+'=4,則一匚+>的最小值為_______.

yx-\

四、雙空題

x,x>a

{-x+2x,x<a

①若玉eR,使得〃l+x)="l-x)成立，則實數(shù)。的取值范圍是.

②若函數(shù)/(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是.

五、未知

17.化簡求值：

⑴J(-4)2-16i+&-0.008-3；

(2)若工+r|=4，求下列各式的值:

①f+x~2;

②--六

六、解答題

18.已知集合4=XI—<0m4-1<x<2m—11.

x+2

⑴當(dāng)"?=3時，求集合A(。3)；

(2)若AB=B,求實數(shù)機的取值范圍.

19.已知關(guān)于1的不等式ax?—(a+i)x+人<0.

(1)若不等式的解集是{x[l<x<5},求a+方的值；

(2)若a>0,6=1,求此不等式的解集.

2

20.對于函數(shù)f(x)=a—k；(aeR).

(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并證明；

(2)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，求。的值；

⑶在(2)的條件下，若存在實數(shù)人使得不等式-2f)+/(2/-％)<0成立，求實

數(shù)々的取值范圍.

21.2023年，8月29日，華為Mate60Pro在華為商城正式上線，成為全球首款支持衛(wèi)

星通話的大眾智能手機.其實在2019年5月19日，華為被美國列入實體名單，以所謂科

技網(wǎng)絡(luò)安全為借口，對華為施加多輪制裁.為了進一步增加市場競爭力，華為公司計劃

在2020年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新手機，通過市場分析，生產(chǎn)此款手機全年需投入固定

成本300萬，每生產(chǎn)x(干部)手機，需另投入成本R(x)萬元，且

10x2+l00x,0<x<50

R(x)={c10000八c由市場調(diào)研知此款手機售價0.7萬元,且每年內(nèi)生產(chǎn)

701XH-------9450,x>50

的手機當(dāng)年能全部銷售完.

(1)求出2020年的利潤w(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(干部)的表達式；

(2)2020年年產(chǎn)量為多少(千部)時，企業(yè)所獲利潤最大？最大利潤是多少？

22.定義在。上的函數(shù)/(x),如果滿足：對任意xe。，存在常數(shù)M>0,都有l(wèi)f(x)區(qū)M

成立，則稱Ax)是。上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)/(x)的上界.

(1)試證明：設(shè)M>0,N>0,若f(x),g(x)在。上分別以N為上界，求證：函數(shù)

/(x)+g(x)在。上以M+N為上界.

⑵若函數(shù)f(x)=l+a1￡|+(：)在[0,一)上是以3為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)〃的取

值范圍.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.A

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系逐個分析判斷即可.

【詳解】對于A,因為!為有理數(shù)，所以;eQ,所以A正確，

對于B,因為正為無理數(shù)，所以正是實數(shù)，所以啦iR,所以B錯誤，

對于C,因為0不是正整數(shù)，所以O(shè)eN*，所以C錯誤，

對于D,因為兀為無理數(shù)，所以7i￡Z,所以D錯誤，

故選：A

2.D

【分析】根據(jù)函數(shù)的三要素逐一判斷即可.

【詳解】/(x)=的值域為似+刈，8。)=》的值域為R,A錯誤；

2

f(x)=x的定義域為R,8。)='的定義域為｛》|工*0｝,B錯誤；

X

I--工2

f(x)="7的定義域為R，g(x)=工的定義域為WXNO｝，C錯誤；

X

fM=x,g(x)=庫定義域，值域，解析式都相同，是同一函數(shù)，D正確.

故選：D

3.A

【分析】若命題，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件

【詳解】因為,一“<1,所以0<x<2,所以0<x<2nx<2.

故選：A

4.B

【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)大于等于0,分式的分母不為0,以及零次基的底數(shù)不等

于0,建立不等式組，求解即可.

[3x-2>02

【詳解】解：由己知得,八，解得且X",

[x-lwO3

所以函數(shù)”x)=^^^+(x-l)。的定義域為悖1卜(1，+8)，

故選：B.

5.D

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除選項A,B；根據(jù)函數(shù)在(0,+8)上的單調(diào)性可排除選項C,

答案第1頁，共11頁

進而可得正確選項.

【詳解】函數(shù)"X)的定義域為{xlxeR且XHO},關(guān)于原點對稱，

因為f(-X)=(-X)2-七=、一==〃x),

IrIIxI

所以/(X)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，故排除選項A,B,

當(dāng)x>0時，/(x)=x2--,

由y=V在(0,+8)上單調(diào)遞增，y」在(0,+<?)上單調(diào)遞減，

X

可得/(x)=V-T在(0,X0)上單調(diào)遞增，排除選項C,

故選：D.

6.D

【分析】根據(jù)絕對值函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)求解.

【詳解】f(x)=|x+4在*<一4時遞減，在時遞增，因此一a>-\,

雙工)=@在(-8,0)和(0,”)上為增函數(shù)，則avO,即在口,2]上增函數(shù)時，a<09

X

所以—l<a<0.

故選：D.

7.A

【分析】設(shè)天平左臂長為“，右臂長為b(不妨設(shè)。>8),先稱得的黃金的實際質(zhì)量為犯，

后稱得的黃金的實際質(zhì)量為機2.根據(jù)天平平衡，列出等式，可得叫，，為表達式，利用作差法

比較叫+嗎與■的大小,即可得答案.

【詳解】解：由于天平的兩臂不相等，故可設(shè)天平左臂長為。，右臂長為6(不妨設(shè)"〉>)，

先稱得的黃金的實際質(zhì)量為犯，后稱得的黃金的實際質(zhì)量為機”

由杠桿的平衡原理：bmy=ax5,am,=bx5.解得見=學(xué)，a=%，

ba

p5b5a

則見+〃/2=—+—.

ab

下面比較叫+叫與10的大?。?作差比較法)

因為(見+,%)-]()=毀+：一]0=5([j),

答案第2頁，共11頁

因為標b,所以5傳j)2>0,即孫+g>10.

ab

所以這樣可知稱出的黃金質(zhì)量大于l()g.

故選：A

8.B

【分析】由/(x+2)=/(-x)=-/(x)可知函數(shù)/⑶為奇函數(shù)且周期為4,由定義在R上的奇

函數(shù)有/(0)=。即可算出。=0,由周期性與對稱性即可求出答案.

【詳解】因為/(-x)=-/(x)

所以函數(shù)/(*)為奇函數(shù)，關(guān)于(0,0)點對稱.

因為/(x+2)=-/(x)

所以函數(shù)/5)為周期函數(shù)，周期7=4.

因為/(X+2)=/(-x)=-/(x),

令x=0.則/(2)=/(0)=0nn=0.

所以當(dāng)xe[0/l時，fM=x.

因為f(x+2)=f(-x)

令x=T可得

所以〃2)+/(等〉0+《等卜心5'4+野川|卜也卜；.

故選:B.

9.BCD

【分析】特值法判斷A；根據(jù)不等式的性質(zhì)分析判斷B、D；根據(jù)作差法分析判斷C.

【詳解】對A：若c=0,則改2=必，故A錯誤;

對B：若可知5>0,則j，故B正確;

b+mbm{a-b)

對C：作差得:

a+maa(a+m)

Va>h>0,m>0f則。+m>0,。一〃>0,

.m(a-b)h+mb

..--------r>0,則---->-.故C正確;

a(a+m)a+ma

對D,2<Z?<3,<,?—3<—b<—2,又一1<a<5,則—4<a—/?<3,故D正確.

故選：BCD.

10.ACD

答案第3頁，共11頁

【分析】根據(jù)“類”的定義逐一判斷四個選項的正誤即可得正確選項.

【詳解】對于A：因為2021=288x7+5,所以2021w[5],故選項A正確;

對于B：因為—2=7x(-1)+5,所以—2e[5],故選項B錯誤;

對于C：根據(jù)“類”的概念知2=同31]32]33]34]3司36]正確，故選項C正確；

對于D：若a-6e[0],設(shè)a-6=7〃,〃eZ,即a=7〃+/?,〃eZ,不妨令b=1m+k,mwZ,k-0,

1,2,3,4,5,6,

則。=7m+7〃+Z=7("z+〃)+Z,mwZ,neZ,所以。與〃屬于同一類，故選項D正確；

故選：ACD

11.AC

【分析】根據(jù)基本不等式可求得。<外41,判斷A；將x+y+^-3=0變形為

3-(x+y)=孫4(中產(chǎn)，結(jié)合基本不等式，判斷B；由x+y+初一3=0整理得至以=-1+2,

結(jié)合基本不等式可判斷CD.

【詳解】對于A,因為x>0,y>0,所以x+y'RH，當(dāng)且僅當(dāng)x=V時取等號，

即3-孫22^/^,+2y/xy-3<0,解得即0<盯41,A錯誤；

對于B,由x>0,y>0,3—(x+y)=w*g)2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時取等號，

得(x+y)2+4(x+y)-12N0,解得x+yN2,當(dāng)x=y=l取等號，

故x+y的最小值是2,故B正確;

—y+34

對于C,由x>0,y>0,x+y+--3=0,Wx=—-r=-1+---7,因為冗>0,所以。<9<3,

y+1y+1

44

則x+4y=-l+——+4y=——+4(y+l)-5>2-4(y+l)-5=3,

y+\y+1

4

當(dāng)且僅當(dāng)一;=4(y+l),即y=0時等號成立，但0vyv3,

y+i

所以x+4y>3.(等號取不到)，故C錯誤；

八八4

對于D,由C的分析知：x>0,y>0,x=-l+----,

44

x+2y=-14-----b2y=----4-2(y+l)-3>2

y+1y+1

答案第4頁，共11頁

4

當(dāng)且僅當(dāng)一;=2(y+l),即丫=0-1時等號成立，D正確.

故選：AC.

12.ABD

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可得g(x)=/(x)+x單調(diào)遞減，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性逐項

分析即得.

【詳解】設(shè)X|>*2，則/(尤1)-/(毛)<-(西一&)，即/(xj+玉</(.)+々，

令g(x)=/(x)+x,則g(%)<g(x2)，所以g(x)在R上單調(diào)遞減，

由g(-2)>g(2),得/(一2)-2>〃2)+2,即/(一2)>/(2)+4,A正確；

因為XCX+1,所以g(x)=/(x)+x>g(x+l)=/(x+l)+x+l,

即/(x)>J.(x+l)+l,B正確；

因為?20,所以g(五)=/(4)+?4g(0)=/(0),C錯誤；

因為14+/2(當(dāng)且僅當(dāng)時=百，即。=±1時，等號成立)，

所以g1|4+同尸卜|+畝+同+時X⑵=八2)+2<〃2)+3,D正確.

故選：ABD.

13.9

【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)易得函數(shù)過定點(2,4),再由基函數(shù)過該定點求解析式，進而可

求〃3).

【詳解】由…I+3知:函數(shù)過定點(2,4),若/(x)=x",則2"=4,即〃=2,

fM=x2,故1(3)=9.

故答案為:9.

14.[0,4)

【分析】由它的否定是真命題求解.

【詳解】由題意W：VxeR,奴2-or>_1是真命題，B|Jax1-or+1>0>

。=0時顯然滿足，

答案第5頁，共11頁

a>0

"0時,解得0<a<4,

A=a2-4a<0

綜上”的范圍是［0,4).

故答案為：［0,4).

【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解.

［詳解】因為x>l,y>0,x+^=4,所以

yy

女‘7+g=泉-1+工］(白+)，=<2+(x-l)^+-一.

x-l3(y八X-1)3|_(x-l)y

14

>-2+2(x-l)y

~3(i)y3

|i5)

當(dāng)且僅當(dāng)(xT)y=77F：且x+-=4,即x=W，y=；時，等號成立,

\x~~［)yy23

1414

所以—；+>2彳，則—>的最小值為彳.

x-\3x-13

_4

故答案為：—.

16.a>\或。=1

【分析】①由〃1+式)=/。-力知,函數(shù)“力關(guān)于直線x=l對稱,結(jié)合圖像可知。的取值

范圍;

②令g(x)=_f+2x,〃(x)=x,根據(jù)g(x)與〃(X)的單調(diào)性，結(jié)合圖像知,440或4=1

【詳解】①由〃l+x)=〃l-x)知，函數(shù)”X)關(guān)于直線X=1對稱，由函數(shù)解析式

“>匕Ix+2,x—2a繪制出其圖象的幾種大致情況,如下圖示

答案第6頁，共11頁

結(jié)合圖像知：當(dāng)玉eR,使得f(l+x)=/(l-x)時，需”>1.

②分別令g(x)=-x?+2x,/i(x)=x,則y=g(x)在(7,1)上單增，力(犬)=苫在口上單增,

結(jié)合上述圖像可知：若〃x)=F',X""在R上單增，則需440或0=1.

''[-X+2x,x<a

故答案為：①。>1；②或。=1.

17.(1)-1

⑵①14；②土加

【分析】(1)由指數(shù)基運算性質(zhì)運算求解即可；

(2)①將原式平方后求解即可；②設(shè)[一平方后求解即可.

【詳解】(1)7(~4)2-1+~0-008-(24)U^(|7-[(0.2)3]-^

…5u1

=4-2H-----5=—

22

(2)①x+無々=4,則(%+/)2=16,則Y+2+—=16,則/+廠2=14；

②設(shè)則/=芯-2+」=2,則/=土應(yīng)，即，土應(yīng)

18.(l){x|-2<x<4}

(2){m\m<3}

【分析】(1)解不等式求出集合A,再根據(jù)集合交集，補集運算求解即可;

(2)由題知8=4,再分8=0和8H0兩種情況討論求解即可.

答案第7頁，共11頁

【詳解】⑴由=40,得[(12)(j-5)W0,解得_2<X45,故A={x|-2<x?5},

x+21x+2w0

當(dāng)m=3時，B={A-|4<X<5},所以Q8={幻x<4或x>5},

所以A低B)={x]-2<x<4}.

(2)因為AB=B,所以

當(dāng)8=0時，m+\>2m-l,解得m<2,此時3=A；

tn+\<2m-1

當(dāng)5/0時，由8=A,得<團+1>-2,解得2K〃2<3,

2/n-}<5

綜上，加43,即團的取值范圍是{加|機<3}.

19.(1)?+/>=!；(2)分類討論，答案見解析.

【分析】(1)利用根與系數(shù)關(guān)系列式，求得6的值，進而求得a+6的值.

⑵將原不等式轉(zhuǎn)化為a(x-￡|(x-l)<0,對a分成三種情況，討論不

等式的解集.

【詳解】(1)由題意知a>0,且1和5是方程以°-(a+l)x+6=0的兩根，

.—(〃+1)b

??1+5=-------，且a1x5=—,

aa

解得〃=；,h=\,

(2)若a>0,6=1,原不等式為加-(a+l)x+l<0,

?，?(6ix—l)(x—1)<0,——1)<0.

時，1<1,原不等式解集為卜!<x<l),

。=1時，-=1,原不等式解集為0,

a

0<”1時，~>\,原不等式解集為

aa\

答案第8頁，共11頁

綜上所述：當(dāng)。>1時，原不等式解集為卜

當(dāng)4=1時，原不等式解集為0.

當(dāng)0<°<1時，原不等式解集為卜卜<、</}.

【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查根與系數(shù)關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)

思想方法，屬于中檔題.

20.(l)f(x)為R上的增函數(shù)，證明見解析

(2)a=l

(3)(-；,+℃)

【分析】(1)利用單調(diào)性的定義判斷并證明；

(2)利用奇偶性的概念求解；

(3)利用單調(diào)性與奇偶性解不等式，結(jié)合二次函數(shù)的最值求解.

【詳解】(1)“X)為R上的增函數(shù)，證明如下：

〃》)定義域為口，設(shè)

/?(〃)=("高一(加言=(舌逐),

由機可得0<2"'<2",即有〃加)一/(〃)<0,

則為R上的增函數(shù).

(2)若/(x)為奇函數(shù)，即有/(0)=0,即a-1=0,解得a=l,

==/(_)===/(),

XI^IF5-X則"X)為奇函數(shù)，

則a=1.

2

(3)/(%)=1-=二為R上的奇函數(shù)，也為增函數(shù)，

2+1

不等式F(尸-2t)+f(2?-Q<0,即為—2f)<—/(2產(chǎn)—幻=fG-2f2),

即有/一2/<攵一2/，即%>3/一2/,

答案第9頁，共11頁

,1,111

由3產(chǎn)-2f=3(f-：)2-已知，當(dāng)/=>!■時，3/一2f取得最小值一：,

3333

若存在實數(shù)r,使得不等式〃產(chǎn)-〃)+/(2/-％)<0成立，

則%>-g，即實數(shù)％的取值范圍是(-g,+8).

-1Of+600x-300,0<x<50

21.(1)W(JC)=<

+9150,x>50

⑵2020年年產(chǎn)量為1()()(千部)時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤是8950萬元

【分析】(1)通過討論x的范圍，得出M*)的解析式；

(2)分別求出怦⑴在0<x<50和X250上的最大值即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)當(dāng)0<x<50時，w(x)=700x-(10x2+100x)-300

=-10X2+600X-300.

當(dāng)xN50時.，w(x)=700x-(701x+^^-9450)-300=—(x+^^)+9I50,

[―10x~+600.V-300?0<x<50

w(x)=

+9150,x>50

(2)若0<x<50,w(x)=-10(10)2+8700,

當(dāng)x=3O時，卬(x)1rax=8700萬