重積分的概念及其計算法

三重積分的概念及其計算法第四節(jié)1編輯ppt復(fù)習二重積分的概念設(shè)函數(shù)f(x,y)

在平面有界閉區(qū)域D上有界，將

D

任意分成

n

個無公共內(nèi)點的小區(qū)域每個小區(qū)域的面積記作在每個小區(qū)域上任意取一點作和式如果上述和式的極限存在，點Pi

的取法無關(guān)，并且與區(qū)域

D

的分法及則稱此極限值為函數(shù)

f(x,y)

在區(qū)域

D

上的二重積分，記作此時也稱函數(shù)

f(x,

y)

在區(qū)域

D

上是可積的．即2編輯ppt一、三重積分的概念1.定義設(shè)函數(shù)f(x,y,z)在空間有界閉區(qū)域Ω上有界，將Ω任意

分成n個無公共內(nèi)點的小區(qū)域每個小區(qū)域的體積記作在每個小區(qū)域上任意

取一點如果上述和式的極限存在，并且與區(qū)域Ω的分法及則稱此極限值為函數(shù)f(x,y,z)

在記作此時也稱函數(shù)f(x,y,z)在區(qū)域Ω上是可積的．作和式點Pi

的取法無關(guān)，區(qū)域Ω上的三重積分，3編輯ppt由定義其中：f(x,y,z)稱為被積函數(shù)，Ω稱為積分區(qū)域，f(x,y,z)dv稱為被積表達式，dv稱為體積元素，積分和．2.函數(shù)可積的條件

可以證明：如果f(x,y,z)閉區(qū)域Ω上連續(xù)，則f(x,y,z)在Ω上可積．特別地：如果f(x,y,z)≡1，則有三重積分有與二重積分完全類似

的性質(zhì)．

4編輯ppt二、三重積分的直角坐標計算法

故在空間直角坐標系下體積元素為：從而在直角坐標系下三重積分可表示為與二重積分類似，

三重積分可化為三次積分

進行計算．5編輯ppt設(shè)區(qū)域Ω的下、上邊界曲面方程為求積分6編輯ppt三次積分

注意積分區(qū)域Ω的特點7編輯ppt8編輯ppt先關(guān)于z積分故9編輯ppt先關(guān)于x積分故10編輯ppt666x+y+z=63x+y=62x0z

y

：平面y=0,

z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所圍成的區(qū)域.例2將化為三次積分，11編輯ppt666x+y+z=63x+y=62x0z

y

：平面y=0,

z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所圍成的區(qū)域.例2將化為三次積分，12編輯ppt3x+y=63x+2y=12x+y+z=6666x0z

y42

：平面y=0,

z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所圍成的區(qū)域.例2將化為三次積分，13編輯ppt3x+y=63x+2y=12x+y+z=666426x0z

y

：平面y=0,

z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所圍成的區(qū)域.例2將化為三次積分，14編輯pptz=0y=042x+y+z=6666x0z

y

：平面y=0,

z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所圍成的區(qū)域.例2將化為三次積分，15編輯ppt42666.D0y

x624D.x0z

yx+y+z=6

：平面y=0,

z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所圍成的區(qū)域.例2將化為三次積分，16編輯ppty2=xxyzo例3將化為三次積分17編輯ppty2=xxyzo例3將化為三次積分18編輯ppt例3將化為三次積分,z=0y=0xyzo

。。0y

xy2=xD19編輯ppt例4將化為三次積分，1x+y=1yozx1z=xy.20編輯ppt例4將化為三次積分，z=01x+y=1ozx1yz=xy.21編輯ppt例4將化為三次積分，11z=0ozxx+y=1y

z=xy.22編輯ppt三重積分的截面計算法即23編輯ppt24編輯ppt解25編輯ppt三、三重積分的柱面坐標計算法0xz

yM(x,y,z)

rN(x,y,0)xyz設(shè)點M(x,y,

z)是空間任一點，

.故點M(x,y,z)且有：r

由圖可知直角坐標與柱面坐標的關(guān)系：柱面坐標，記作可以證明柱面坐標系下的體積元素為：圓柱面；半平面；平面．26編輯ppt由前面的討論可知：在柱面坐標系下三重積分可表示為解27編輯ppt10xz

yDxy1解28編輯ppt0xz

y1Dxy11解29編輯ppt解所圍立體Ω1在xoy面上的投影區(qū)域D1為：積分區(qū)域如圖，30編輯ppt所圍立體Ω2在xoy面上的投影區(qū)域D2為：31編輯ppt四、三重積分的球面坐標計算法0xz

yM(r,

,

)r

Nyxz

空間任一點M還可用球面坐標．由圖可知直角坐標與圓錐面；球面；半平面．且球面坐標的關(guān)系:32編輯ppt可以證明球面坐標系下的體積元素為:從而在球面坐標系下三重積分可表示為33編輯ppt解一、直角坐標系下

二、柱面坐標系下三、球面坐標系下

34編輯ppt35編輯ppt36編輯ppt解37編輯ppt例13

解(1)

38編輯ppt例13

解(2)

39編輯ppt40編輯ppt三重積分在物理上的應(yīng)用1.空間立體的質(zhì)量、重心

則立體的質(zhì)量為

重心坐標為當立體是均勻的，重心也稱為形心.41編輯ppt2.空間立體的轉(zhuǎn)動慣量

42編輯ppt補充：利用對稱性化簡三重積分計算使用對稱性時應(yīng)注意：１、積分區(qū)域關(guān)于坐標面的對稱性；２、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個坐標軸的奇偶性．43編輯ppt解積分域關(guān)于三個坐標面都對稱，被積函數(shù)是的奇函數(shù)，44編輯ppt解45編輯ppt46編輯ppt一、重積分的概念及性質(zhì)，函數(shù)可積的條件．二、重積分的計算1.二重積分的計算(1)直