協(xié)方差完整版本

概率論與數理統(tǒng)計一、協(xié)方差的概念與性質

二、相關系數的意義與性質

三、協(xié)方差矩陣§3.3協(xié)方差及相關系數協(xié)方差一、協(xié)方差的概念與性質1.

問題的提出若隨機變量X和Y相互獨立,那么若隨機變量X和Y不相互獨立,2.協(xié)方差與相關系數的定義定義3.7(X,Y)是二維隨機變量,量稱為隨機變量X與Y的協(xié)方差,記為cov(X,Y),即而稱為隨機變量X與Y的相關系數．注1

X和Y的相關系數是標準化的隨機變量又稱為標準協(xié)方差,是個無量綱的量.2

若隨機變量X與Y相互獨立

E[X

E(X)]E[Y

E(Y)]3

cov(X,X)

D(X).

0.的協(xié)方差.3、協(xié)方差的計算公式證(1)cov(X,Y)

E(XY)

E(X)E(Y);(2)D(X

Y)

D(X)

D(Y)

2cov(X,Y).(1)cov(X,Y)

E{

X

E(X)][Y

E(Y)}

E[XY

XE(Y)

YE(X)

E(X)E(Y)]

E(XY)

2E(X)E(Y)

E(X)E(Y)

E(XY)

E(X)E(Y).(2)D(X

Y)4、協(xié)方差的性質性質3.11性質3.12性質3.13性質3.14性質3.15cov(X,Y)

cov(Y,X).cov(X,Y)

E(XY)

E(X)E(Y).cov(aX,bY)

abcov(X,Y),a,b為常數．cov(X1+X2,Y)

cov(X1,Y)

cov(X2,Y).若X與Y獨立,則cov(X,Y)

0.性質3.16D(X

Y)

D(X)

D(Y)

2cov(X,Y).推廣解設隨機變量X與Y的相關系數為0.5,例1例2解相關系數.由

X與Y的相關系數;(證明見P46例2.12)注1

二維正態(tài)分布密度函數中,參數代表了2

對于二維隨機變量

X,Y,二、相關系數的意義與性質1.

問題的提出

問a,b應如何選擇,可使得隨機變量a

bX最接近隨機變量Y?接近的程度又如何來衡量?分析解之得2.相關系數的意義定義3.8

聯(lián)系較緊密．設隨機變量X與Y的相關系數例3解X與Y不相關;因此,X與Y不獨立.存在線性關系.由可知:

3.獨立與不相關的關系(1)不相關與相互獨立的關系(性質3.19)相互獨立不相關(2)不相關的充要條件例4A

不相關的充分條件,但不是必要條件B

獨立的充分條件,但不是必要條件C

不相關的充分必要條件D

獨立的充分必要條件顯然應該選擇C.

隨機變量X與Y的方差存在且不等于0,則D(X

Y)

D(X)

D(Y)是X和Y

.(考研試題)解例5A

不獨立B獨立C不相關D

相關所以X與Y不相關.解設隨機變量X與Y獨立同分布,記U

X

Y,V

X

Y,則隨機變量U與V必然().X與Y同分布4、相關系數的性質性質3.17證則即設隨機變量性質3.18證

(

)因而因而其中

(

)(數學期望定義)性質3.19若X與Y相互獨立,則X與Y不相關,反之不真.三、協(xié)方差矩陣1.

n維隨機變量協(xié)方差矩陣設n維隨機變量的二階混合中心矩,都存在,則稱矩陣為n維隨機變量的協(xié)方差陣.2.二維隨機變量的協(xié)方差矩陣其中注10

由于cij=

cji協(xié)方差矩陣為對稱的非負定矩陣.注20

協(xié)方差矩陣的應用.由于引入矩陣由此可得由于內容小結1.

協(xié)方差與相關系數的定義相關系數.X與Y的協(xié)方差,2.相關系數的意義聯(lián)系較緊密.再見例1-1設X與Y是兩個隨機變量,且D

X

1,D

Y

3,cov

X,Y

0.3,求方差D

X

Y

與D2X3Y.備用題解例1-2設隨機變量X和Y均服從參數

1/2U2X,V

X

Y,求U與V的協(xié)方差cov

U,V.的指數分布,令函數解由隨機變量X和Y均服從參數

1/2的指數分布,則而D

X

4,D

Y

4.

設二維連續(xù)型隨機變量

X,Y

的聯(lián)合密度函數為試計算D

2X

3Y

8

.解由性質3.16得D

2X

3Y

8

D

2X

D

3Y2cov2X,3Y

4D

X9D

Y12covX,Y

例2-1為了計算上述方差和協(xié)方差,需要先計算E

X,E

X2,E

Y,E

Y2

和E

XY.為此,先計算X和Y的邊緣分布.由此計算得于是可得協(xié)方差代回原式,可得D

2X

3Y

8

設二維連續(xù)型隨機變量

X,Y

的聯(lián)合密度函數為解例2-2

由協(xié)方差公式得求Z的數學期望和方差;(2)求X與Z的相關系數;解例2-3例2-4解例4-1設隨機變量X,Y有方差,求證:隨機變量U

X

Y與V

X

Y不相關的充分必要條件為D

X

D

Y.解因為因此,cov

U,V0的充要條件是D

X

D

Y.例4-1例4-2設擲三次均勻硬幣,隨機變量X表示出現的正面次數,Y表示正面次數與反面次數的差的絕對值,(1)X與Y是否不相關?(2)X與Y是否相互獨立?解計算概率,得聯(lián)合分布律YX0123