14.2.2乘法公式（二）完全平方公式（解析版）

乘法公式（二）完全平方公式知識(shí)點(diǎn)管理知識(shí)點(diǎn)管理歸類(lèi)探究夯實(shí)雙基，穩(wěn)中求進(jìn)歸類(lèi)探究知識(shí)點(diǎn)一：完全平方公式完全平方公式：．可巧記為：“首平方，末平方，首末兩倍中間放”．題型一：利用完全平方公式計(jì)算【例題1】（2022·山東濟(jì)南·七年級(jí)期末）化簡(jiǎn)：_________．【答案】【分析】根據(jù)完全平方公式解答即可．【詳解】解：．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式的計(jì)算法則．變式訓(xùn)練【變式1-1】（2022·河北石家莊·八年級(jí)期末）計(jì)算__________．【答案】【分析】利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式，解題關(guān)鍵在于熟記該公式．【變式1-2】（2022·河南三門(mén)峽·八年級(jí)期末）運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：（﹣3x+2）2=_________．【答案】9x2﹣12x+4【分析】根據(jù)完全平方公式即可求出答案．【詳解】解：原式＝9x2﹣12x+4．故答案為：9x2﹣12x+4．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用完全平方公式，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式1-3】（2022·浙江寧波·七年級(jí)期中）計(jì)算①___；②___．【答案】

【分析】①根據(jù)平方差公式計(jì)算即可；②根據(jù)完全平方公式計(jì)算即可．【詳解】解：①，②，故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查平方差和完全平方公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平方差和完全平方公式的形式計(jì)算．題型二：利用完全平方公式簡(jiǎn)便運(yùn)算【例題2】（2021·平泉市教育局教研室八年級(jí)期末）將變形正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，判斷即可．【詳解】解：故選擇：C【點(diǎn)睛】本題考查的是完全平方公式，完全平方公式：．可巧記為：“首平方，末平方，首末兩倍中間放”．變式訓(xùn)練【變式2-1】（2021·撫州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中）利用乘法公式簡(jiǎn)便計(jì)算【答案】998001；【分析】原式變形后，利用完全平方公式計(jì)算即可得到結(jié)果；【詳解】解：原式＝（1000-1）2＝1000000-2000+1＝998001；【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022·四川成都·七年級(jí)期中）利用平方差公式或完全平方公式計(jì)算：【答案】(1)9801【分析】應(yīng)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；原式；題型三：利用完全平方公式化簡(jiǎn)求值【例題3】（2022·湖南懷化·七年級(jí)期中）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中

．【答案】；【分析】先根據(jù)完全平方公式，平方差公式進(jìn)行計(jì)算，再合并同類(lèi)項(xiàng)，最后代入的值進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算—化簡(jiǎn)求值，涉及平方差公式，完全平方公式，去括號(hào)，合并同類(lèi)項(xiàng)等知識(shí)點(diǎn)．能正確根據(jù)整式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式3-1】（2022·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)期中）先化簡(jiǎn)，再求值：（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y），其中x=2，y=-1．【答案】，16【分析】首先對(duì)中括號(hào)內(nèi)的式子用完全平方公式和平方差公式計(jì)算，合并同類(lèi)項(xiàng)即可化簡(jiǎn)，然后代入數(shù)值計(jì)算即可．【詳解】解：原式=將代入上式，可得原式=16．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的化簡(jiǎn)求值，掌握整式的加減混合運(yùn)算法則以及完全平方公式，平方差公式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2022·江蘇連云港·七年級(jí)期中）先化簡(jiǎn)再求值：已知，求代數(shù)式的值．【答案】-4xy+3y2，0【分析】先根據(jù)整式的混合運(yùn)算法則計(jì)算化簡(jiǎn)原式，再把已知代入計(jì)算即可．【詳解】解：=x2-4xy+4y2-x2+y2-2y2=-4xy+3y2，∵4x=3y，∴原式=-3y2+3y2=0.【點(diǎn)睛】本題考查整式化簡(jiǎn)求值，熟練掌握整式運(yùn)算法則和完全平方公式、平方差公式是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022·山東威?！て谥校┗?jiǎn)求值：，其中，．【答案】，【分析】首先根據(jù)完全平方公式及平方差公式進(jìn)行運(yùn)算，再合并同類(lèi)項(xiàng)，即可化簡(jiǎn)，最后把x、y的值代入化簡(jiǎn)后的式子，即可求得．【詳解】解：當(dāng)，時(shí)，原式【點(diǎn)睛】本題考查了整式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，熟練掌握和運(yùn)用完全平方公式及平方差公式進(jìn)行運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵．題型四：利用添括號(hào)計(jì)算整式乘法【例題4】（2021·四川·成都七中七年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算．．【答案】【分析】根據(jù)整式的混合運(yùn)算的法則和順序，結(jié)合平方差公式和完全平方公式計(jì)算即可．解：原式，，．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算的法則和順序，解決此題的關(guān)鍵是掌握平方差公式和完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算．變式訓(xùn)練【變式4-1】【答案】【分析】利用完全平方公式和平方差公式求解即可．【詳解】解．【變式4-2】（2021·深圳市福田區(qū)石廈學(xué)校七年級(jí)月考）計(jì)算：（x+2﹣3y）（x+3y﹣2）；【答案】x2﹣9y2﹣4+12y【分析】利用平方差公式計(jì)算，再利用完全平方公式計(jì)算，最后去括號(hào)即可；【詳解】解：（x+2﹣3y）（x+3y﹣2）=[x﹣（3y﹣2）][x+（3y﹣2）]=x2﹣（3y﹣2）2=x2﹣（9y2﹣12y+4）=x2﹣9y2﹣4+12y；【變式4-3】（2021·黑龍江八年級(jí)期末）計(jì)算（1）（2）【答案】（1）6x-5；（2）4x2-y2+6y-9【分析】根據(jù)整式的運(yùn)算法則即可求出答案．【詳解】解：（1）原式=9x2-4-（9x2-6x+1）=9x2-4-9x2+6x-1=6x-5；（2）原式=[2x-（y-3）][2x+（y-3）]=4x2-（y-3）2=4x2-y2+6y-9．【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生的運(yùn)算能力，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式4-4】（2022·四川成都·七年級(jí)期中）利用平方差公式或完全平方公式計(jì)算：【答案】【分析】應(yīng)用平方差公式和完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式和完全平方公式，熟練掌握平方差公式和完全平方公式進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．題型五：楊輝三角【例題5】（2022·山東德州·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖為楊輝三角系數(shù)表的一部分，請(qǐng)仔細(xì)觀察下表中的規(guī)律，寫(xiě)出(a+b)4的展開(kāi)式．(a+b)＝a+b；(a+b)2＝a2+2ab+b2；(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3；則(a+b)4＝_____．【答案】a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4【分析】先根據(jù)圖形得出規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律得出即可．【詳解】解：(a+b)4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，故答案為：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式和數(shù)字的變化類(lèi)，能根據(jù)圖形得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式5-1】（2022·山東泰安·期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新和發(fā)展都位居世界前列，六下課本49頁(yè)，介紹南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》一書(shū)中，用如圖的三角形解釋二項(xiàng)和的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)，此三角形稱為“楊輝三角”.據(jù)“楊輝三角”，設(shè)的展開(kāi)式中第三項(xiàng)的系數(shù)為m，的展開(kāi)式中第三項(xiàng)的系數(shù)n，則______.【答案】60【分析】由楊輝三角的規(guī)律得到（a+b）n的展開(kāi)式的第三項(xiàng)系數(shù)是n（n?1），依此可得（a+b）6的展開(kāi)式中第三項(xiàng)的系數(shù)m，（a+b）10的展開(kāi)式中第三項(xiàng)的系數(shù)n，再代入計(jì)算即可求解．【詳解】解：根據(jù)“楊輝三角”的規(guī)律得到（a+b）n的展開(kāi)式的第三項(xiàng)系數(shù)是n（n?1），則（a+b）6的展開(kāi)式第三項(xiàng)的系數(shù)是×6×（6-1）=15，（a+b）10的展開(kāi)式第三項(xiàng)的系數(shù)是×10×（10-1）=45，則m+n=15+45=60．故答案為：60．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，能夠根據(jù)所給楊輝三角，觀察得出（a+b）n的展開(kāi)式系數(shù)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022·江西九江·七年級(jí)期中）我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例．如圖，這個(gè)三角形的構(gòu)造法則：兩腰上的數(shù)都是1，其余每個(gè)數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和，它給出了（n為正整數(shù)）的展開(kāi)式（按a的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律．例如，在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對(duì)應(yīng)展開(kāi)式中的系數(shù)，第四行的四個(gè)數(shù)1，3，3，1，恰好對(duì)應(yīng)展開(kāi)式中的系數(shù)．(1)根據(jù)上面的規(guī)律，寫(xiě)出，的展開(kāi)式；(2)利用上面的規(guī)律計(jì)算：【答案】(1)（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；(2)1【分析】（1）根據(jù)“楊輝三角”的規(guī)律求解；（2）根據(jù)規(guī)律，找出（a+b）n中a，b，n的值后計(jì)算．（1）解：如圖，∴（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）解：25-5×24+10×23-10×22+5×2-1=（2-1）5=1．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，正確理解“楊輝三角”的規(guī)律是求解本題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2022·河南鄭州·七年級(jí)期末）我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”，揭示了（為非負(fù)整數(shù)）展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律：……請(qǐng)你猜想的展開(kāi)式中所有系數(shù)的和是（

）A．2022 B．512 C．128 D．64【答案】B【分析】本題通過(guò)閱讀理解尋找規(guī)律，觀察已知給出的各式中的所有系數(shù)的和可得：（a+b）n（n為非負(fù)整數(shù)）展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和是2n，問(wèn)題即得解決.【詳解】解：（a+b）0的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為：1=20；（a+b）1的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為：1+1=2=21；（a+b）2的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為：1+2+1=4=22；（a+b）3的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為：1+3+3+1=8=23；（a+b）4的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為：1+4+6+4+1=16=24；……∴（a+b）n（n為非負(fù)整數(shù)）的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為：2n．∴（a+b）9的展開(kāi)式中所有系數(shù)的和是：29＝512.故選：B．【點(diǎn)睛】本題是閱讀理解題，考查的是完全平方公式的拓展—規(guī)律型問(wèn)題，先由特殊的數(shù)字入手去尋找一般性的數(shù)字規(guī)律是解題關(guān)鍵.鏈接中考體驗(yàn)真題，中考奪冠鏈接中考【真題1】（2022·青海西寧·中考真題）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由合并同類(lèi)項(xiàng)可判斷A，利用完全平方公式的應(yīng)用可判斷B，由積的乘方與冪的乘方運(yùn)算可判斷C，由同底數(shù)冪的除法運(yùn)算可判斷D，從而可得答案．【詳解】解：不是同類(lèi)項(xiàng)，故A不符合題意；故B不符合題意；，運(yùn)算正確，故C符合題意；，故D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是合并同類(lèi)項(xiàng)，完全平方公式的應(yīng)用，積的乘方運(yùn)算，冪的乘方運(yùn)算，同底數(shù)冪的除法運(yùn)算，掌握以上基礎(chǔ)運(yùn)算是解本題的關(guān)鍵．【真題2】（2022·江蘇鹽城·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，-9【分析】根據(jù)平方差公式和完全平方公式可以化簡(jiǎn)題目中的式子，然后將x的值代入化簡(jiǎn)后的式子即可解答本題．【詳解】解：原式．，，原式【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算-化簡(jiǎn)求值，解答本題的關(guān)鍵是明確整式化簡(jiǎn)求值的方法．【真題3】（2021·湖南永州·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，7．【分析】先計(jì)算完全平方公式、平方差公式，再計(jì)算整式的加減法，然后將代入求值即可得．【詳解】解：原式，，將代入得：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的化簡(jiǎn)求值，熟記完全平方公式和平方差公式是解題關(guān)鍵．滿分沖刺能力提升，突破自我滿分沖刺【拓展1】（2020·南陽(yáng)市第三中學(xué)）閱讀材料：如果一個(gè)數(shù)的平方等于﹣1，記為i2＝﹣1，這個(gè)數(shù)i叫做虛數(shù)單位，那么形如a+bi（a，b為實(shí)數(shù)）的數(shù)就叫做復(fù)數(shù)，a叫這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部．它有如下特點(diǎn)：①它的加，減，乘法運(yùn)算與整式的加，減，乘法運(yùn)算類(lèi)似．例如計(jì)算：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1．②若他們的實(shí)部和虛部分別相等，則稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等；若它們的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)，則稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)共軛，如1+2i的共軛復(fù)數(shù)為1﹣2i．根據(jù)材料回答：（1）填空：i3＝，i4＝；（2）求（2+i）2的共軛復(fù)數(shù)；（3）已知（a+i）（b+i）＝1+3i，求a2+b2（i2+i3+i4…+i2020）的值．【答案】（1）﹣i，1；（2）3﹣4i；（3）﹣3或3【分析】（1）按照定義計(jì)算即可；（2）先按照完全平方式及定義展開(kāi)運(yùn)算，求出實(shí)部和虛部的值，再代入要求得式子求解即可；（3）按照定義計(jì)算ab及a+b的值，分兩種情況討論，利用配方法得出（a2+b2）的值；由于i2+i3+i4+i5=-1-i+1+i=0，4個(gè)一組，每相鄰四項(xiàng)的和均為0，從而可得答案．【詳解】（1）∵i2＝﹣1，∴i3＝i2?i＝﹣1?i＝﹣i，i4＝i2?i2＝﹣1×（﹣1）＝1；故答案為：﹣i，1．（2）（2+i）2＝i2+4i+4＝﹣1+4i+4＝3+4i，故（2+i）2的共軛復(fù)數(shù)是3﹣4i；（3）∵（a+i）（b+i）＝ab﹣1+（a+b）i＝1+3i，∴ab﹣1＝1，a+b＝3，解得a＝1，b＝2或a＝2，b＝1，當(dāng)a＝1，b＝2時(shí)，a2+b2（i2+i3+i4…+i2020）＝1+4（﹣1﹣i+1+i…+1+i﹣1）＝﹣3；當(dāng)a＝2，b＝1時(shí)，a2+b2（i2+i3+i4…+i2020）＝4+1（﹣1﹣i+1+i…+1+i﹣1）＝3．故a2+b2（i2+i3+i4…+i2020）的值為﹣3或3．【點(diǎn)睛】本題考查了定義新運(yùn)算，多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則，完全平方公式等知識(shí)，讀懂定義及其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，本題的計(jì)算較