2024中考數(shù)學(xué)幾何模型12講第9講隱圓模型含解析

2024中考數(shù)學(xué)幾何模型12講第9講隱圓模型含解析中考數(shù)學(xué)幾何模型9：隱圓模型名師點(diǎn)睛撥開(kāi)云霧開(kāi)門見(jiàn)山【點(diǎn)睛1】觸發(fā)隱圓模型的類型（1）動(dòng)點(diǎn)定長(zhǎng)模型若P為動(dòng)點(diǎn)，但AB=AC=AP原理：圓A中，AB=AC=AP則B、C、P三點(diǎn)共圓，A圓心，AB半徑備注：常轉(zhuǎn)全等或相似證明出定長(zhǎng)（2）直角圓周角模型固定線段AB所對(duì)動(dòng)角∠C恒為90°原理：圓O中，圓周角為90°所對(duì)弦是直徑則A、B、C三點(diǎn)共圓，AB為直徑備注：常通過(guò)互余轉(zhuǎn)換等證明出動(dòng)角恒為直角（3）定弦定角模型固定線段AB所對(duì)動(dòng)角∠P為定值原理：弦AB所對(duì)同側(cè)圓周角恒相等則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)軌跡為過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓備注：點(diǎn)P在優(yōu)弧、劣弧上運(yùn)動(dòng)皆可（4）四點(diǎn)共圓模型①若動(dòng)角∠A+動(dòng)角∠C=180°原理：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)則A、B、C、D四點(diǎn)共圓備注：點(diǎn)A與點(diǎn)C在線段AB異側(cè)（5）四點(diǎn)共圓模型②固定線段AB所對(duì)同側(cè)動(dòng)角∠P=∠C原理：弦AB所對(duì)同側(cè)圓周角恒相等則A、B、C、P四點(diǎn)共圓備注：點(diǎn)P與點(diǎn)C需在線段AB同側(cè)【點(diǎn)睛2】圓中旋轉(zhuǎn)最值問(wèn)題條件：線段AB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)M是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C是定點(diǎn)（1）求CM最小值與最大值（2）求線段AB掃過(guò)的面積（3）求最大值與最小值作法：如圖建立三個(gè)同心圓，作OM⊥AB，B、A、M運(yùn)動(dòng)路徑分別為大圓、中圓、小圓結(jié)論：①CM1最小，CM3最大②線段AB掃過(guò)面積為大圓與小圓組成的圓環(huán)面積③最小值以AB為底，CM1為高；最大值以AB為底，CM2為高典題探究啟迪思維探究重點(diǎn)例題1.如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A`MN，連接A`C，則A`C長(zhǎng)度的最小值是__________．變式練習(xí)>>>1．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)F在邊AC上，并且CF=2，點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是__________．例題2.如圖，已知圓C的半徑為3，圓外一定點(diǎn)O滿足OC=5，點(diǎn)P為圓C上一動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直線l上有兩點(diǎn)A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則AB的最小值為_(kāi)_______．變式練習(xí)>>>2．如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分別是直線BC、AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，連接PF、PD，則PF+PD的最小值是_________．例題3.如圖，E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=DF，連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H，若正方形邊長(zhǎng)為2，則線段DH長(zhǎng)度的最小值是________．變式練習(xí)>>>3．如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長(zhǎng)的最小值是_________．例題4.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，點(diǎn)D是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以CD為直徑作圓O，連接BD交圓O于點(diǎn)E，則AE的最小值為_(kāi)________．變式練習(xí)>>>4．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，動(dòng)點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度分別沿AB、CD向終點(diǎn)B、D移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，過(guò)點(diǎn)B作直線EF的垂線BG，垂足為點(diǎn)G，連接AG，則AG長(zhǎng)的最小值為．例題5.如圖，等邊△ABC邊長(zhǎng)為2，E、F分別是BC、CA上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且BE=CF，連接AE、BF，交點(diǎn)為P點(diǎn)，則CP的最小值為_(kāi)_______．變式練習(xí)>>>5．在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B，則BC的長(zhǎng)的取值范圍是________．例題6.如圖，ABCD為正方形，O為AC、BD的交點(diǎn)，△DCE為Rt△，∠CED＝90°，∠DCE＝30°，若OE＝，則正方形的面積為（）A．5 B．4 C．3 D．2變式練習(xí)>>>6．如圖，BE，CF為△ABC的高，且交于點(diǎn)H，連接AH并延長(zhǎng)交于BC于點(diǎn)D，求證：AD⊥BC.例題7.如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，AC為對(duì)角線，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為E，交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若AC＝CF，∠CAD＝∠CFD，DF﹣AD＝2，AB＝6，則ED的長(zhǎng)為．變式練習(xí)>>>7．（1）如圖1，E是正方形ABCD的邊AB上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作DE的垂線交∠ABC的外角平分線于點(diǎn)F，求證：FE=DE.（2）如圖2，正方形ABCD，∠EAF＝45°，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在對(duì)角線BD、邊CD上，若FC＝6，則BE的長(zhǎng)為．圖1圖2例題8.在銳角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到△A1BC1，點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P1，求線段EP1長(zhǎng)度的最大值與最小值．變式練習(xí)>>>8．如圖，已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合）．直線l是經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的一條直線，把△ABC沿直線l折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B’．當(dāng)PB=6時(shí)，在直線l變化過(guò)程中，求△ACB’面積的最大值．達(dá)標(biāo)檢測(cè)領(lǐng)悟提升強(qiáng)化落實(shí)1.如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓O上，AB=10，AC=8．D是弧BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于E，連接BE．在點(diǎn)D移動(dòng)的過(guò)程中，BE的最小值為．2.如圖，以正方形的邊AB為斜邊在正方形內(nèi)作直角三角形ABE，∠AEB＝90°，AC、BD交于O．已知AE、BE的長(zhǎng)分別為3，5，求三角形OBE的面積．3.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，點(diǎn)E是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BE于點(diǎn)F，點(diǎn)P是AD邊上另一動(dòng)點(diǎn)，則PC+PF的最小值為_(kāi)_______．4.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，D是BC上一動(dòng)點(diǎn)，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于點(diǎn)F，則CF的最大值是_________．5.如圖，△ABC為等邊三角形，AB=3，若P為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠ACP，則線段PB長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)________．6.如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是弧BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)B，不含端點(diǎn)C），連接AD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于E，連接BE，在點(diǎn)D移動(dòng)的過(guò)程中，BE的取值范圍是_________．7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，點(diǎn)D為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)．以CD為⊙O直徑，作AD交⊙O于點(diǎn)E，連BE，則BE的最小值為_(kāi)________．8.如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，點(diǎn)D是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，以AD為直徑的圓交BD于點(diǎn)E，則線段CE長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)________．9.如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝8，點(diǎn)O、P分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，點(diǎn)H是邊CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OH，將四邊形OBCH沿OH折疊，得到四邊形OFEH，連接PE，則PE長(zhǎng)度的最小值是_________．10.如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，且AE＝2，點(diǎn)F是邊BC上的任意一點(diǎn)，把△BEF沿EF翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G，連接AG，CG，則四邊形AGCD的面積的最小值為．中考數(shù)學(xué)幾何模型9：隱圓模型名師點(diǎn)睛撥開(kāi)云霧開(kāi)門見(jiàn)山【點(diǎn)睛1】觸發(fā)隱圓模型的類型（1）動(dòng)點(diǎn)定長(zhǎng)模型若P為動(dòng)點(diǎn)，但AB=AC=AP原理：圓A中，AB=AC=AP則B、C、P三點(diǎn)共圓，A圓心，AB半徑備注：常轉(zhuǎn)全等或相似證明出定長(zhǎng)（2）直角圓周角模型固定線段AB所對(duì)動(dòng)角∠C恒為90°原理：圓O中，圓周角為90°所對(duì)弦是直徑則A、B、C三點(diǎn)共圓，AB為直徑備注：常通過(guò)互余轉(zhuǎn)換等證明出動(dòng)角恒為直角（3）定弦定角模型固定線段AB所對(duì)動(dòng)角∠P為定值原理：弦AB所對(duì)同側(cè)圓周角恒相等則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)軌跡為過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓備注：點(diǎn)P在優(yōu)弧、劣弧上運(yùn)動(dòng)皆可（4）四點(diǎn)共圓模型①若動(dòng)角∠A+動(dòng)角∠C=180°原理：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)則A、B、C、D四點(diǎn)共圓備注：點(diǎn)A與點(diǎn)C在線段AB異側(cè)（5）四點(diǎn)共圓模型②固定線段AB所對(duì)同側(cè)動(dòng)角∠P=∠C原理：弦AB所對(duì)同側(cè)圓周角恒相等則A、B、C、P四點(diǎn)共圓備注：點(diǎn)P與點(diǎn)C需在線段AB同側(cè)【點(diǎn)睛2】圓中旋轉(zhuǎn)最值問(wèn)題條件：線段AB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)M是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C是定點(diǎn)（1）求CM最小值與最大值（2）求線段AB掃過(guò)的面積（3）求最大值與最小值作法：如圖建立三個(gè)同心圓，作OM⊥AB，B、A、M運(yùn)動(dòng)路徑分別為大圓、中圓、小圓結(jié)論：①CM1最小，CM3最大②線段AB掃過(guò)面積為大圓與小圓組成的圓環(huán)面積③最小值以AB為底，CM1為高；最大值以AB為底，CM2為高典題探究啟迪思維探究重點(diǎn)例題1.如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A`MN，連接A`C，則A`C長(zhǎng)度的最小值是__________．【分析】考慮△AMN沿MN所在直線翻折得到△A’MN，可得MA’=MA=1，所以A’軌跡是以M點(diǎn)為圓心，MA為半徑的圓?。B接CM，與圓的交點(diǎn)即為所求的A’，此時(shí)A’C的值最?。畼?gòu)造直角△MHC，勾股定理求CM，再減去A’M即可，答案為．變式練習(xí)>>>1．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)F在邊AC上，并且CF=2，點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是__________．【分析】考慮到將△FCE沿EF翻折得到△FPE，可得P點(diǎn)軌跡是以F點(diǎn)為圓心，F(xiàn)C為半徑的圓弧．過(guò)F點(diǎn)作FH⊥AB，與圓的交點(diǎn)即為所求P點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)P到AB的距離最?。上嗨葡惹驠H，再減去FP，即可得到PH．答案為1.2.例題2.如圖，已知圓C的半徑為3，圓外一定點(diǎn)O滿足OC=5，點(diǎn)P為圓C上一動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直線l上有兩點(diǎn)A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則AB的最小值為_(kāi)_______．【分析】連接OP，根據(jù)△APB為直角三角形且O是斜邊AB中點(diǎn)，可得OP是AB的一半，若AB最小，則OP最小即可．連接OC，與圓C交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P，此時(shí)OP最小，AB也取到最小值．答案為4.變式練習(xí)>>>2．如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分別是直線BC、AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，連接PF、PD，則PF+PD的最小值是_________．答案為8.【分析】F點(diǎn)軌跡是以E點(diǎn)為圓心，EA為半徑的圓，作點(diǎn)D關(guān)于BC對(duì)稱點(diǎn)D’，連接PD’，PF+PD化為PF+PD’．連接ED’，與圓的交點(diǎn)為所求F點(diǎn)，與BC交點(diǎn)為所求P點(diǎn)，勾股定理先求ED‘,再減去EF即可．例題3.如圖，E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=DF，連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H，若正方形邊長(zhǎng)為2，則線段DH長(zhǎng)度的最小值是________．【分析】根據(jù)條件可知：∠DAG=∠DCG=∠ABE，易證AG⊥BE，即∠AHB=90°，所以H點(diǎn)軌跡是以AB為直徑的圓弧當(dāng)D、H、O共線時(shí)，DH取到最小值，勾股定理可求．答案為變式練習(xí)>>>3．如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長(zhǎng)的最小值是_________．答案為【分析】∵∠PBC+∠PBA=90°，∠PBC=∠PAB，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，∴P點(diǎn)軌跡是以AB為直徑的圓?。?dāng)O、P、C共線時(shí)，CP取到最小值，勾股定理先求OC，再減去OP即可．例題4.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，點(diǎn)D是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以CD為直徑作圓O，連接BD交圓O于點(diǎn)E，則AE的最小值為_(kāi)________．【分析】連接CE，由于CD為直徑，故∠CED=90°，考慮到CD是動(dòng)線段，故可以將此題看成定線段CB對(duì)直角∠CEB．取CB中點(diǎn)M，所以E點(diǎn)軌跡是以M為圓心、CB為直徑的圓?。B接AM，與圓弧交點(diǎn)即為所求E點(diǎn)，此時(shí)AE值最小，．變式練習(xí)>>>4．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，動(dòng)點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度分別沿AB、CD向終點(diǎn)B、D移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，過(guò)點(diǎn)B作直線EF的垂線BG，垂足為點(diǎn)G，連接AG，則AG長(zhǎng)的最小值為．【分析】首先考慮整個(gè)問(wèn)題中的不變量，僅有AE=CF，BG⊥EF，但∠BGE所對(duì)的BE邊是不確定的．重點(diǎn)放在AE=CF，可得EF必過(guò)正方形中心O點(diǎn)，連接BD，與EF交點(diǎn)即為O點(diǎn)．∠BGO為直角且BO邊為定直線，故G點(diǎn)軌跡是以BO為直徑的圓．記BO中點(diǎn)為M點(diǎn)，當(dāng)A、G、M共線時(shí)，AG取到最小值，利用Rt△AOM勾股定理先求AM，再減去GM即可．答案為例題5.如圖，等邊△ABC邊長(zhǎng)為2，E、F分別是BC、CA上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且BE=CF，連接AE、BF，交點(diǎn)為P點(diǎn)，則CP的最小值為_(kāi)_______．答案為【分析】由BE=CF可推得△ABE≌△BCF，所以∠APF=60°，但∠APF所對(duì)的邊AF是變化的．所以考慮∠APB=120°，其對(duì)邊AB是定值．所以如圖所示，P點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)O為圓心的圓?。?gòu)造OA=OB且∠AOB=120°）當(dāng)O、P、C共線時(shí)，可得CP的最小值，利用Rt△OBC勾股定理求得OC，再減去OP即可．變式練習(xí)>>>5．在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B，則BC的長(zhǎng)的取值范圍是________．【分析】先作圖，如下答案為：條件不多，但已經(jīng)很明顯，AB是定值，∠C=60°，即定邊對(duì)定角．故點(diǎn)C的軌跡是以點(diǎn)O為圓心的圓?。ㄗ鰽O=BO且∠AOB=120°）題意要求∠A>∠B，即BC>AC，故點(diǎn)C的軌跡如下圖．當(dāng)BC為直徑時(shí)，BC取到最大值為，考慮∠A為△ABC中最大角，故BC為最長(zhǎng)邊，BC>AB=4．無(wú)最小值．例題6.如圖，ABCD為正方形，O為AC、BD的交點(diǎn)，△DCE為Rt△，∠CED＝90°，∠DCE＝30°，若OE＝，則正方形的面積為（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延長(zhǎng)線于N，∵∠CED＝90°，∴四邊形OMEN是矩形，∴∠MON＝90°，∵∠COM+∠DOM＝∠DON+∠DOM，∴∠COM＝∠DON，∵四邊形ABCD是正方形，∴OC＝OD，在△COM和△DON中，∴△COM≌△DON（AAS），∴OM＝ON，∴四邊形OMEN是正方形，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a，∵∠DCE＝30°，∠CED＝90°∴DE＝a，CE＝a，亦可按隱圓模型解答設(shè)DN＝x，x+DE＝CE﹣x，解得：x＝，∴NE＝x+a＝，∵OE＝NE，∴＝?，∴a＝1，∴S正方形ABCD＝4故選：B．變式練習(xí)>>>6．如圖，BE，CF為△ABC的高，且交于點(diǎn)H，連接AH并延長(zhǎng)交于BC于點(diǎn)D，求證：AD⊥BC.例題7.如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，AC為對(duì)角線，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為E，交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若AC＝CF，∠CAD＝∠CFD，DF﹣AD＝2，AB＝6，則ED的長(zhǎng)為．【解答】解：∵∠CAD＝∠CFD，∴點(diǎn)A，F(xiàn)，C，D四點(diǎn)共圓，∴∠FAD+∠DCF＝180°，∠FAC＝∠FDC，∵∠DCF＝90°，∴∠FAD＝90°，∵AC＝FC，∴∠FAC＝∠AFC，∵DF⊥AB，∴∠ABF+∠BFE＝∠CDF+∠BFE＝90°，∴∠ABF＝∠CDF，∴∠AFB＝∠ABF，∴AF＝AB＝6，∵DF﹣AD＝2，∴DF＝AD+2，∵DF2＝AF2+AD2，∴（2+AD）2＝62+AD2，解得：AD＝8，∴DF＝10，∵∠FAD＝90°，AE⊥DF，∴△ADE∽△DAF，∴＝，∴DE＝＝＝，故答案為：．變式練習(xí)>>>7．（1）如圖1，E是正方形ABCD的邊AB上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作DE的垂線交∠ABC的外角平分線于點(diǎn)F，求證：FE=DE.（2）如圖2，正方形ABCD，∠EAF＝45°，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在對(duì)角線BD、邊CD上，若FC＝6，則BE的長(zhǎng)為3．圖1圖2證明：（1）如圖，連接DB、DF.∵四邊形ABCD是正方形，且BF是∠CBA的外角平分線，∴∠CBF=45°，∠DBC=45°，∴∠DBF=90°．又∵∠DEF=90°，∴D、E、B、F四點(diǎn)共圓．∴∠DFE=∠DBE=45°（同弧所對(duì)的圓周角相等）．∴△DEF是等腰直角三角形．∴FE=DE．（2）解：作△ADF的外接圓⊙O，連接EF、EC，過(guò)點(diǎn)E分別作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N（如圖）∵∠ADF＝90°，∴AF為⊙O直徑，∵BD為正方形ABCD對(duì)角線，∴∠EDF＝∠EAF＝45°，∴點(diǎn)E在⊙O上，∴∠AEF＝90°，∴△AEF為等腰直角三角形，∴AE＝EF，在△ABE與△CBE中，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE，∴CE＝EF，∵EM⊥CF，CF＝6，∴CM＝CF＝3，∵EN⊥BC，∠NCM＝90°，∴四邊形CMEN是矩形，∴EN＝CM＝3，∵∠EBN＝45°，∴BE＝EN＝3，故答案為：3．例題8.在銳角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到△A1BC1，點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P1，求線段EP1長(zhǎng)度的最大值與最小值．[解析]如圖，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，D為垂足，因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以點(diǎn)D在線段AC上，在Rt△BCD中，BD＝BC×sin45°＝；①當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)與AB垂直的時(shí)候，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB上時(shí)，EP1最小，最小值為：EP1＝BP1﹣BE＝BD﹣BE＝﹣2；②當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，EP1最大，最大值為：EP1＝BC+BE＝2+5＝7．變式練習(xí)>>>8．如圖，已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合）．直線l是經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的一條直線，把△ABC沿直線l折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B’．當(dāng)PB=6時(shí)，在直線l變化過(guò)程中，求△ACB’面積的最大值．【分析】考慮l是經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的直線，且△ABC沿直線l折疊，所以B’軌跡是以點(diǎn)P為圓心，PB為半徑的圓弧．考慮△ACB’面積最大，因?yàn)锳C是定值，只需B’到AC距離最大即可．過(guò)P作作PH⊥AC交AC于H點(diǎn)，與圓的交點(diǎn)即為所求B’點(diǎn)，先求HB’，再求面積．答案為.達(dá)標(biāo)檢測(cè)領(lǐng)悟提升強(qiáng)化落實(shí)1.如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓O上，AB=10，AC=8．D是弧BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于E，連接BE．在點(diǎn)D移動(dòng)的過(guò)程中，BE的最小值為．答案為：【分析】E是動(dòng)點(diǎn)，E點(diǎn)由點(diǎn)C向AD作垂線得來(lái)，∠AEC=90°，且AC是一條定線段，所以E點(diǎn)軌跡是以AC為直徑的圓?。?dāng)B、E、M共線時(shí)，BE取到最小值．連接BC，勾股定理求BM，再減去EM即可．2.如圖，以正方形的邊AB為斜邊在正方形內(nèi)作直角三角形ABE，∠AEB＝90°，AC、BD交于O．已知AE、BE的長(zhǎng)分別為3，5，求三角形OBE的面積．3.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，點(diǎn)E是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BE于點(diǎn)F，點(diǎn)P是AD邊上另一動(dòng)點(diǎn)，則PC+PF的最小值為_(kāi)_______．答案為：【分析】∠AFB=90°且AB是定線段，故F點(diǎn)軌跡是以AB中點(diǎn)O為圓心、AB為直徑的圓．考慮PC+PF是折線段，作點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)C’，化PC+PF為PC’+PF，當(dāng)C’、P、F、O共線時(shí)，取到最小值．4.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，D是BC上一動(dòng)點(diǎn)，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于點(diǎn)F，則CF的最大值是_________．【分析】∠AEC=90°且AC為定值，故E點(diǎn)軌跡是以AC為直徑的圓?。紤]EF⊥AB，且E點(diǎn)在圓上，故當(dāng)EF與圓相切的時(shí)候，CF取到最大值．連接OF，易證△OCF≌△OEF，∠COF=30°，故CF可求．答案為5.如圖，△ABC為等邊三角形，AB=3，若P為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠ACP，則線段PB長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)________．答案為6.如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是弧BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)B，不含端點(diǎn)C），連接AD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于E，連接BE，在點(diǎn)D移動(dòng)的過(guò)程中，BE的取值范圍是﹣2≤BE＜3．【解答】解：如圖，由題意知，∠AEC＝90°，∴E在以AC為直徑的⊙M的上（不含點(diǎn)C、可含點(diǎn)N），∴BE最短時(shí)，即為連接BM與⊙M的交點(diǎn)（圖中點(diǎn)E′點(diǎn)），∵AB＝5，AC＝4，∴BC＝3，CM＝2，則BM＝＝＝，∴BE長(zhǎng)度的最小值BE′＝BM﹣ME′＝﹣2，BE最長(zhǎng)時(shí)，即E與C重合，∵BC＝3，且點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合，∴BE＜3，綜上，﹣2≤BE＜3，故答案為：﹣2≤BE＜3．7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，點(diǎn)D為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)．以CD為⊙O直徑，作AD交⊙O于點(diǎn)E，連BE，則BE的最小值為8．【解答】解：解：如圖，連接CE，∴∠CED＝∠CEA＝90°，∴點(diǎn)E在以AC為直徑的⊙Q上，∵AC＝10，∴QC＝QE＝5，當(dāng)點(diǎn)Q、E、B共線時(shí)BE最小，∵BC＝12，∴QB＝＝13，∴BE＝QB﹣QE＝8，∴BE的最小值為8，故答案為8．8.如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，點(diǎn)D是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，以AD為直徑的圓交BD于點(diǎn)E，則線段CE長(zhǎng)度的最小值為2﹣2．【解答】解：連結(jié)AE，如圖1，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，∴AB＝AC＝4，∵AD為直徑，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＝90°，∴點(diǎn)E在以AB為直徑的⊙O上，∵⊙O的半徑為2，∴當(dāng)點(diǎn)O、E、C共線時(shí)，CE最小，如圖2，在Rt△AOC中，∵OA＝2，AC＝4，∴OC＝＝2，∴CE＝OC﹣OE＝2﹣2，即線段CE長(zhǎng)度的最小值為2﹣2．故答案為2﹣2．9.如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝8，點(diǎn)O、P分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，點(diǎn)H是邊CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OH，將四邊形OBCH沿OH折疊，得到四邊形OFEH，連接PE，則PE長(zhǎng)度的最小值是2﹣2．【解答】解：如圖，連接EO、PO、OC．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠OAP＝90°，在Rt△OBC中，BC＝8，OB＝2，∴OC＝＝2，在Rt△AOP中，OA＝2，PA＝4，∴OP＝＝2，∵OE＝OC＝2，PE≥OE﹣OP，∴PE的最小值為2﹣2．故答案為2﹣2．10.如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，且AE＝2，點(diǎn)F是邊BC上的任意一點(diǎn)，把△BEF沿EF翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G，連接AG，CG，則四邊形AGCD的面積的最小值為．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°，根據(jù)勾股定理得，AC＝5，∵AB＝3，AE＝2，∴點(diǎn)F在BC上的任何位置時(shí)，點(diǎn)G始終在AC的下方，設(shè)點(diǎn)G到AC的距離為h，∵S四邊形AGCD＝S△ACD+S△ACG＝AD×CD+AC×h＝×4×3+×5×h＝h+6，∴要四邊形AGCD的面積最小，即：h最小，∵點(diǎn)G是以點(diǎn)E為圓心，BE＝1為半徑的圓上在矩形ABCD內(nèi)部的一部分點(diǎn)，∴EG⊥AC時(shí)，h最小，即點(diǎn)E，點(diǎn)G，點(diǎn)H共線．由折疊知∠EGF＝∠ABC＝90°，延長(zhǎng)EG交AC于H，則EH⊥AC，在Rt△ABC中，sin∠BAC＝，在Rt△AEH中，AE＝2，sin∠BAC＝，∴EH＝AE＝，∴h＝EH﹣EG＝﹣1＝，∴S四邊形AGCD最?。絟+6＝+6＝．故答案為：．中考數(shù)學(xué)幾何模型10：胡不歸最值模型中考數(shù)學(xué)幾何模型10：胡不歸最值模型名師點(diǎn)睛撥開(kāi)云霧開(kāi)門見(jiàn)山在前面的最值問(wèn)題中往往都是求某個(gè)線段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我們還可能會(huì)遇上形如“PA+kP”這樣的式子的最值，此類式子一般可以分為兩類問(wèn)題：（1）胡不歸問(wèn)題；（2）阿氏圓．【故事介紹】從前有個(gè)少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無(wú)反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說(shuō)，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”（“胡”同“何”）而如果先沿著驛道AC先走一段，再走砂石地，會(huì)不會(huì)更早些到家？【模型建立】如圖，一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使的值最小．【問(wèn)題分析】，記，即求BC+kAC的最小值．【問(wèn)題解決】構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，即，CH=kAC．將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過(guò)B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。灸Ｐ涂偨Y(jié)】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問(wèn)題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．而這里的PB必須是一條方向不變的線段，方能構(gòu)造定角利用三角函數(shù)得到kPB的等線段．典題探究啟迪思維探究重點(diǎn)例題1.如圖，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于點(diǎn)E，D是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是_______．【分析】本題關(guān)鍵在于處理“”，考慮tanA=2，△ABE三邊之比為，，故作DH⊥AB交AB于H點(diǎn)，則．問(wèn)題轉(zhuǎn)化為CD+DH最小值，故C、D、H共線時(shí)值最小，此時(shí)．【小結(jié)】本題簡(jiǎn)單在于題目已經(jīng)將BA線作出來(lái)，只需分析角度的三角函數(shù)值，作出垂線DH，即可解決問(wèn)題，若稍作改變，將圖形改造如下：則需自行構(gòu)造α，如下圖，這一步正是解決“胡不歸”問(wèn)題關(guān)鍵所在．變式練習(xí)>>>1．如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于________．【分析】考慮如何構(gòu)造“”，已知∠A=60°，且sin60°=，故延長(zhǎng)AD，作PH⊥AD延長(zhǎng)線于H點(diǎn)，即可得，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：求PB+PH最小值．當(dāng)B、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，可得PB+PH取到最小值，即BH的長(zhǎng)，解直角△ABH即可得BH長(zhǎng)．例題2.如圖，AC是圓O的直徑，AC＝4，弧BA＝120°，點(diǎn)D是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么OD+BD的最小值為（）A． B． C． D．【解答】解：∵的度數(shù)為120°，∴∠C＝60°，∵AC是直徑，∴∠ABC＝90°，∴∠A＝30°，作BK∥CA，DE⊥BK于E，OM⊥BK于M，連接OB．∵BK∥AC，∴∠DBE＝∠BAC＝30°，在Rt△DBE中，DE＝BD，∴OD+BD＝OD+DE，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)E與M重合時(shí)，OD+BD的值最小，最小值為OM，∵∠BAO＝∠ABO＝30°，∴∠OBM＝60°，在Rt△OBM中，∵OB＝2，∠OBM＝60°，∴OM＝OB?sin60°＝，∴DB+OD的最小值為，故選：B．變式練習(xí)>>>2．如圖，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底邊上的高AH上一點(diǎn)．若AP+BP+CP的最小值為2，則BC＝﹣．【解答】解：如圖將△ABP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMG．連接PG，CM．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴∠BAP＝∠CAP，∵PA＝PA，∴△BAP≌△CAP（SAS），∴PC＝PB，∵M(jìn)G＝PB，AG＝AP，∠GAP＝60°，∴△GAP是等邊三角形，∴PA＝PG，∴PA+PB+PC＝CP+PG+GM，∴當(dāng)M，G，P，C共線時(shí)，PA+PB+PC的值最小，最小值為線段CM的長(zhǎng)，∵AP+BP+CP的最小值為2，∴CM＝2，∵∠BAM＝60°，∠BAC＝30°，∴∠MAC＝90°，∴AM＝AC＝2，作BN⊥AC于N．則BN＝AB＝1，AN＝，CN＝2﹣，∴BC＝＝＝﹣．故答案為﹣．例題3.等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，將其放置在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，其中BC邊在x軸上，BC邊的高OA在Y軸上．一只電子蟲(chóng)從A出發(fā)，先沿y軸到達(dá)G點(diǎn)，再沿GC到達(dá)C點(diǎn)，已知電子蟲(chóng)在Y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是在GC上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，若電子蟲(chóng)走完全程的時(shí)間最短，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，）．【解答】解：如圖作GM⊥AB于M，設(shè)電子蟲(chóng)在CG上的速度為v，電子蟲(chóng)走完全全程的時(shí)間t＝+＝（+CG），在Rt△AMG中，GM＝AG，∴電子蟲(chóng)走完全全程的時(shí)間t＝（GM+CG），當(dāng)C、G、M共線時(shí)，且CM⊥AB時(shí)，GM+CG最短，此時(shí)CG＝AG＝2OG，易知OG＝?×6＝所以點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，﹣）．故答案為：（0，﹣）．變式練習(xí)>>>3．如圖，△ABC在直角坐標(biāo)系中，AB＝AC，A（0，2），C（1，0），D為射線AO上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，運(yùn)動(dòng)路徑為A→D→C，點(diǎn)P在AD上的運(yùn)動(dòng)速度是在CD上的3倍，要使整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少，則點(diǎn)D的坐標(biāo)應(yīng)為（）A．（0，） B．（0，） C．（0，） D．（0，）解：假設(shè)P在AD的速度為3V，在CD的速度為1V，總時(shí)間t＝+＝（+CD），要使t最小，就要+CD最小，因?yàn)锳B＝AC＝3，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC交AC于點(diǎn)H，交OA于D，易證△ADH∽△ACO，所以＝＝3，所以＝DH，因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形，所以BD＝CD，所以要+CD最小，就是要DH+BD最小，就要B、D、H三點(diǎn)共線就行了．因?yàn)椤鰽OC∽△BOD，所以＝，即＝，所以O(shè)D＝，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)應(yīng)為（0，）．例題4.直線y＝與拋物線y＝（x﹣3）2﹣4m+3交于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D（點(diǎn)D在點(diǎn)C的下方），設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為t（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及線段CD的長(zhǎng)（用含m的式子表示）；（2）直接用含t的式子表示m與t之間的關(guān)系式（不需寫(xiě)出t的取值范圍）；（3）若CD＝CB．①求點(diǎn)B的坐標(biāo)；②在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)F，使BF+CF的值最小，則滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)是（3，）．【解答】解：（1）拋物線y＝（x﹣3）2﹣4m+3的對(duì)稱軸為x＝3，令x＝3，則有y＝×3＝4，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，4）．拋物線y＝（x﹣3）2﹣4m+3的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，﹣4m+3），∵點(diǎn)D在點(diǎn)C的下方，∴CD＝4﹣（﹣4m+3）＝4m+1．（2）∵點(diǎn)B在直線y＝上，且其橫坐標(biāo)為t，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（t，t），將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線y＝（x﹣3）2﹣4m+3中，得：t＝（t﹣3）2﹣4m+3，整理，得：m＝﹣t+3．（3）①依照題意畫(huà)出圖形，如圖1所示．過(guò)點(diǎn)C作CE∥x軸，過(guò)點(diǎn)B作BE∥y軸交CE于點(diǎn)E．∵直線BC的解析式為y＝x，∴BE＝CE，由勾股定理得：BC＝＝CE．∵CD＝CB，∴有4m+1＝（t﹣3）＝（+﹣3），解得：m＝﹣4，或m＝1．當(dāng)m＝﹣4時(shí)，+4×（﹣4）＝﹣＜0，不合適，∴m＝1，此時(shí)t＝+＝6，y＝×6＝8．故此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，8）．②作B點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥BC于點(diǎn)M，連接B′M、BB交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)N，如圖2所示．∵直線BC的解析式為y＝x，F(xiàn)M⊥BC，∴tan∠FCM＝＝，∴sin∠FCM＝．∵B、B′關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴BF＝B′F，∴BF+CF＝B′F+FM．當(dāng)點(diǎn)B′、F、M三點(diǎn)共線時(shí)B′F+FM最?。連點(diǎn)坐標(biāo)為（6，8），拋物線對(duì)稱軸為x＝3，∴B′點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，8）．又∵B′M⊥BC，∴tan∠NB′F＝，∴NF＝B′N?tan∠NB′F＝，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3，）．故答案為：（3，）．變式練習(xí)>>>4．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中將y＝2x+1向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線l1，直線l1與x軸交于點(diǎn)C；直線l2：y＝x+2與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，且與直線l1交于點(diǎn)D．（1）填空：點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2）；（2）直線l1的表達(dá)式為y＝2x﹣2；（3）在直線l1上是否存在點(diǎn)E，使S△AOE＝2S△ABO？若存在，則求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（4）如圖2，點(diǎn)P為線段AD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接CP，一動(dòng)點(diǎn)H從C出發(fā)，沿線段CP以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P，再沿線段PD以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D后停止，求點(diǎn)H在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所用時(shí)間最少時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）直線l2：y＝x+2，令y＝0，則x＝﹣2，令y＝0，則x＝2，故答案為（﹣2，0）、（0，2）；（2）y＝2x+1向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線l1，則直線l1的表達(dá)式為：y＝2x﹣2，故：答案為：y＝2x﹣2；（3）∵S△AOE＝2S△ABO，∴yE＝2OB＝4，將yE＝4代入l1的表達(dá)式得：4＝2x﹣2，解得：x＝3，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，4）；（4）過(guò)點(diǎn)P、C分別作y軸的平行線，分別交過(guò)點(diǎn)D作x軸平行線于點(diǎn)H、H′，H′C交BD于點(diǎn)P′，直線l2：y＝x+2，則∠ABO＝45°＝∠HBD，PH＝PD，點(diǎn)H在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所用時(shí)間＝+＝PH+PC，當(dāng)C、P、H在一條直線上時(shí)，PH+PC最小，即為CH′＝6，點(diǎn)P坐標(biāo)（1，3），故：點(diǎn)H在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所用最少時(shí)間為6秒，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，3）．例題5.已知拋物線y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），與x軸從左至右依次相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線y＝﹣x+b與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D．（1）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，求拋物線的函數(shù)解析式；（2）若在（1）的條件下，拋物線上存在點(diǎn)P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（1）的條件下，設(shè)點(diǎn)E是線段AD上的一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接BE．一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BE以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E，再沿線段ED以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D后停止，問(wèn)當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)Q在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所用時(shí)間最少？【解答】解：（1）∵y＝a（x+3）（x﹣1），∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0）、點(diǎn)B兩的坐標(biāo)為（1，0），∵直線y＝﹣x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，∴b＝﹣3，∴y＝﹣x﹣3，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣5，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，﹣5），∵點(diǎn)D在拋物線上，∴a（2+3）（2﹣1）＝﹣5，解得，a＝﹣，則拋物線的解析式為y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵A的坐標(biāo)為（﹣3，0），C（0，3），∴直線AC的解析式為：y＝x+3，①∵△ACP是以AC為直角邊的直角三角形，∴CP⊥AC，∴設(shè)直線CP的解析式為：y＝﹣x+m，把C（0，3）代入得m＝3，∴直線CP的解析式為：y＝﹣x+3，解得，（不合題意，舍去），∴P（﹣，）；②∵△ACP是以AC為直角邊的直角三角形，∴AP⊥AC，∴設(shè)直線CP的解析式為：y＝﹣x+n，把A（﹣3，0）代入得n＝﹣，∴直線AP的解析式為：y＝﹣x﹣，解y＝得，，∴P（，﹣），綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，）或（，﹣）；（3）如圖2中，作DM∥x軸交拋物線于M，作DN⊥x軸于N，作EF⊥DM于F，則tan∠DAN＝＝＝，∴∠DAN＝60°，∴∠EDF＝60°，∴DE＝＝EF，∴Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝+＝BE+=BE+EF，∴當(dāng)BE和EF共線時(shí)，t最小，則BE⊥DM，此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)（1，﹣4）．變式練習(xí)>>>5．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A（2，0）、B（﹣8，0），交y軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的⊙M與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D．（1）求此拋物線的表達(dá)式及圓心M的坐標(biāo)；（2）設(shè)P為弧BC上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AP交y軸于點(diǎn)N，請(qǐng)問(wèn)：AP?AN是否為定值，若是，請(qǐng)求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）延長(zhǎng)線段BD交拋物線于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)F是線段BE上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AF．動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F，再沿線段FB以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B后停止，問(wèn)當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)Q在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所用時(shí)間最少？【解答】解：（1）拋物線解析式為y＝﹣（x+8）（x﹣2），即y＝﹣x2﹣x+4；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣x2﹣x+4＝4，則C（0，4）∴BC＝4，AC＝2，AB＝10，∵BC2+AC2＝AB2，∴△ABC為直角三角形，且∠ACB＝90°，∴AB為直徑，∴圓心M點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，0）；（2）以AP?AN為定值．理由如下：如圖1，∵AB為直徑，∴∠APB＝90°，∵∠APB＝∠AON，∠NAO＝∠BAP，∴△APB∽△AON．∴AN：AB＝AO：AP，∴AN?AP＝AB?AO＝20，所以AP?AN為定值，定值是20；（3）∵AB⊥CD，∴OD＝OC＝4，則D（0，﹣4），易得直線BD的解析式為y＝﹣x﹣4，過(guò)F點(diǎn)作FG⊥x軸于G，如圖2，∵FG∥OD，∴△BFG∽△BDO，∴＝，即＝＝＝，∴點(diǎn)Q沿線段FB以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B所用時(shí)間等于點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到G點(diǎn)的時(shí)間，∴當(dāng)AF+FG的值最小時(shí)，點(diǎn)Q在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所用時(shí)間最少，作∠EBI＝∠ABE，BI交y軸于I，作FH⊥BI于H，則FH＝FG，∴AF+FG＝AF+FH，當(dāng)點(diǎn)A、F、H共線時(shí)，AF+FH的值最小，此時(shí)AH⊥BI，如圖2，作DK⊥BI，垂足為K，∵BE平分∠ABI，∴DK＝DO＝4，設(shè)DI＝m，∵∠DIK＝∠BIO，∴△IDK∽△IBO，∴＝＝＝，∴BI＝2m，在Rt△OBI中，82+（4+m）2＝（2m）2，解得m1＝4（舍去），m2＝，∴I（0，﹣），設(shè)直線BI的解析式為y＝kx+n，把B（﹣8，0），I（0，﹣）代入得，解得，∴直線BI的解析式為y＝﹣x﹣，∵AH⊥BI，∴直線AH的解析式可設(shè)為y＝x+q，把A（2，0）代入得+q＝0，解得q＝﹣，∴直線AH的解析式為y＝x﹣，解方程組，解得，∴F（﹣2，﹣3），即當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是（﹣2，﹣3）時(shí)，點(diǎn)Q在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所用時(shí)間最少．達(dá)標(biāo)檢測(cè)領(lǐng)悟提升強(qiáng)化落實(shí)1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)__________.[答案]：2.如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，點(diǎn)M為對(duì)角線BD（不含點(diǎn)B）上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)__________.[答案]：3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）點(diǎn)M為拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面內(nèi)存在點(diǎn)N，使得以A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD，求PB+PD的最小值．【解答】解：（1）由題意，解得，∴拋物線解析式為y＝x2﹣x﹣，∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣）2﹣，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)（，﹣）；（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，y）．∵A（﹣1，0），B（0，﹣），∴AB2＝1+3＝4．①以A為圓心AB為半徑畫(huà)弧與對(duì)稱軸有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)AM＝AB，則（+1）2+y2＝4，解得y＝±，即此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）或（，﹣）；②以B為圓心AB為半徑畫(huà)弧與對(duì)稱軸有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)BM＝AB，則（）2+（y+）2＝4，解得y＝﹣+或y＝﹣﹣，即此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，﹣+）或（，﹣﹣）；③線段AB的垂直平分線與對(duì)稱軸有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)AM＝BM，則（+1）2+y2＝（）2+（y+）2，解得y＝﹣，即此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，﹣）．綜上所述，滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）或（，﹣）或（，﹣+）或（，﹣﹣）或（，﹣）；（3）如圖，連接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此時(shí)PB+PD最?。碛桑骸逴A＝1，OB＝，∴tan∠ABO＝＝，∴∠ABO＝30°，∴PH＝PB，∴PB+PD＝PH+PD＝DH，∴此時(shí)PB+PD最短（垂線段最短）．在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD＝，∠HAD＝60°，∴sin60°＝，∴DH＝，∴PB+PD的最小值為．4.【問(wèn)題提出】如圖①，已知海島A到海岸公路BD的距離為AB的長(zhǎng)度，C為公路BD上的酒店，從海島A到酒店C，先乘船到登陸點(diǎn)D，船速為a，再乘汽車，車速為船速的n倍，點(diǎn)D選在何處時(shí)，所用時(shí)間最短？【特例分析】若n＝2，則時(shí)間t＝+，當(dāng)a為定值時(shí)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在BC上確定一點(diǎn)D，使得+的值最?。鐖D②，過(guò)點(diǎn)C做射線CM，使得∠BCM＝30°．（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CM，垂足為E，試說(shuō)明：DE＝；（2）請(qǐng)?jiān)趫D②中畫(huà)出所用時(shí)間最短的登陸點(diǎn)D′．【問(wèn)題解決】（3）請(qǐng)你仿照“特例分析”中的相關(guān)步驟，解決圖①中的問(wèn)題．（寫(xiě)出具體方案，如相關(guān)圖形呈現(xiàn)、圖形中角所滿足的條件、作圖的方法等）【綜合運(yùn)用】（4）如圖③，拋物線y＝﹣x2+x+3與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，E為OB中點(diǎn)，設(shè)F為線段BC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接EF．一動(dòng)點(diǎn)P從E出發(fā)，沿線段EF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F，再沿著線段FC以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到C后停止．若點(diǎn)P在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少，請(qǐng)求出最少時(shí)間和此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)．【解答】解：（1）如圖①，∵DE⊥CM，∴∠DEC＝90°，在Rt△BCM中，DE＝CDsin30°＝CD；（2）如圖①過(guò)點(diǎn)A作AE′⊥CM交BC于點(diǎn)D′，則點(diǎn)D′即為所用時(shí)間最短的登陸點(diǎn)；（3）如圖②，過(guò)點(diǎn)C作射線CM，使得sin∠BCM＝，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CM，垂足為E交BC于點(diǎn)D，則點(diǎn)D為為所用時(shí)間最短的登陸點(diǎn)；（4）由題意得：t＝＝EF+CF，過(guò)點(diǎn)C作CD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)F作GF⊥CD交CD于點(diǎn)G，∠ACB＝∠DCB＝α，sin∠ABC＝＝，則EF＝CF，EF+CF＝EF+FH，故當(dāng)E、F、H三點(diǎn)共線且與CD垂直時(shí)，t最小，將點(diǎn)B、C坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣x+3，點(diǎn)E是OB中點(diǎn)，其坐標(biāo)為：（3，0），當(dāng)x＝3時(shí)，對(duì)于y＝﹣x+3，y＝，點(diǎn)F坐標(biāo)為（3，），t＝＝EF+CF，當(dāng)H、F、E三點(diǎn)共線時(shí)，EF+FH＝OC＝3，即：最小時(shí)間為3秒．5.如圖，△ABC是等邊三角形．（1）如圖1，AH⊥BC于H，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿高線AH向下移動(dòng)，以CP為邊在CP的下方作等邊三角形CPQ，連接BQ．求∠CBQ的度數(shù)；（2）如圖2，若點(diǎn)D為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接DA，DB，DC．證明：以DA，DB，DC為邊一定能組成一個(gè)三角形；（3）在（1）的條件下，在P點(diǎn)的移動(dòng)過(guò)程中，設(shè)x＝AP+2PC，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度為y，當(dāng)x取最小值時(shí)，寫(xiě)出x，y的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【解答】（1）解：如圖1中∵△ABC是等邊三角形，AH⊥BC，∴∠CAP＝∠BAC＝30°，CA＝CB，∠ACB＝60°，∵△PCQ是等邊三角形，∴CP＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°，∴∠ACP＝∠BCQ，∴△ACP≌△BCQ，∴∠CBQ＝∠CAP＝30°．（2）證明：如圖2中，將△ADC繞當(dāng)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABQ，連接DQ．∵△ACD≌△ABQ，∴AQ＝AD，CD＝BQ，∵∠DAQ＝60°，∴△ADQ是等邊三角形，∴AD＝DQ，∴DA，DB，DC為邊一定能組成一個(gè)三角形（圖中△BDQ）．（3）如圖3中，作PE⊥AB于E，CF⊥AB于F交AH于G．∵PE＝PA，∴PA+2PC＝2（PA+PC）＝2（PE+PC），根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)E與F重合，P與G重合時(shí)，PA+2PC的值最小，最小值為2CF．由（1）可知△ACP≌△BCQ，可得BQ＝PA，∴PA＝BQ＝AG＝CG＝y(tǒng)，F(xiàn)G＝y(tǒng)，∴x＝2（y+y），∴y＝x．6.如圖，已知拋物線y＝（x+2）（x﹣4）（k為常數(shù)，且k＞0）與x軸從左至右依次交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線y＝﹣x+b與拋物線的另一交點(diǎn)為D．（1）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為﹣5，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若在第一象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)P，使得以A，B，P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的條件下，設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AF，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F，再沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止，當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少？【解答】解：（1）拋物線y＝（x+2）（x﹣4），令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵直線y＝﹣x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（4，0），∴﹣×4+b＝0，解得b＝，∴直線BD解析式為：y＝﹣x+．當(dāng)x＝﹣5時(shí)，y＝3，∴D（﹣5，3）．∵點(diǎn)D（﹣5，3）在拋物線y＝（x+2）（x﹣4）上，∴（﹣5+2）（﹣5﹣4）＝3，∴k＝．∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y＝（x+2）（x﹣4）．即y＝x2﹣x﹣．（2）由拋物線解析式，令x＝0，得y＝﹣k，∴C（0，﹣k），OC＝k．因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限內(nèi)的拋物線上，所以∠ABP為鈍角．因此若兩個(gè)三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．①若△ABC∽△APB，則有∠BAC＝∠PAB，如答圖2﹣1所示．設(shè)P（x，y），過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，則ON＝x，PN＝y(tǒng)．tan∠BAC＝tan∠PAB，即：，∴y＝x+k．∴P（x，x+k），代入拋物線解析式y(tǒng)＝（x+2）（x﹣4），得（x+2）（x﹣4）＝x+k，整理得：x2﹣6x﹣16＝0，解得：x＝8或x＝﹣2（與點(diǎn)A重合，舍去），∴P（8，5k）．∵△ABC∽△APB，∴，即，解得：k＝．②若△ABC∽△PAB，則有∠ABC＝∠PAB，如答圖2﹣2所示．設(shè)P（x，y），過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，則ON＝x，PN＝y(tǒng)．tan∠ABC＝tan∠PAB，即：＝，∴y＝x+．∴P（x，x+），代入拋物線解析式y(tǒng)＝（x+2）（x﹣4），得（x+2）（x﹣4）＝x+，整理得：x2﹣4x﹣12＝0，解得：x＝6或x＝﹣2（與點(diǎn)A重合，舍去），∴P（6，2k）．∵△ABC∽△PAB，＝，∴＝，解得k＝±，∵k＞0，∴k＝，綜上所述，k＝或k＝．（3）方法一：如答圖3，由（1）知：D（﹣5，3），如答圖2﹣2，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥x軸于點(diǎn)N，則DN＝3，ON＝5，BN＝4+5＝9，∴tan∠DBA＝＝＝，∴∠DBA＝30°．過(guò)點(diǎn)D作DK∥x軸，則∠KDF＝∠DBA＝30°．過(guò)點(diǎn)F作FG⊥DK于點(diǎn)G，則FG＝DF．由題意，動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑為折線AF+DF，運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t＝AF+DF，∴t＝AF+FG，即運(yùn)動(dòng)的時(shí)間值等于折線AF+FG的長(zhǎng)度值．由垂線段最短可知，折線AF+FG的長(zhǎng)度的最小值為DK與x軸之間的垂線段．過(guò)點(diǎn)A作AH⊥DK于點(diǎn)H，則t最?。紸H，AH與直線BD的交點(diǎn)，即為所求之F點(diǎn)．∵A點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣2，直線BD解析式為：y＝﹣x+，∴y＝﹣×（﹣2）+＝2，∴F（﹣2，2）．綜上所述，當(dāng)點(diǎn)F坐標(biāo)為（﹣2，2）時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少．方法二：作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直線BD于點(diǎn)F，∵∠DBA＝30°，∴∠BDH＝30°，∴FH＝DF×sin30°＝，∴當(dāng)且僅當(dāng)AH⊥DK時(shí)，AF+FH最小，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)為：t＝，∵lBD：y＝﹣x+，∴FX＝AX＝﹣2，∴F（﹣2，）．7.已如二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3的圖象和x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，（1）如圖1，P是直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合）過(guò)P作PQ∥x軸交直線BC于Q，求線段PQ的最大值；（2）如圖2，點(diǎn)G為線段OC上一動(dòng)點(diǎn)，求BG+CG的最小值及此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)；（3）如圖3，在（2）的條件下，M為直線BG上一動(dòng)點(diǎn)，N為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接AM，MN，求AM+MN的最小值．【解答】解：（1）令y＝0，即：﹣x2+2x+3＝0，解得：x＝3或﹣1，即點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分比為（﹣1，0）、（3，0），令x＝0，則y＝3，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），直線BC過(guò)點(diǎn)C（0，3），則直線表達(dá)式為：y＝kx+3，將點(diǎn)B坐標(biāo)代入上式得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，則直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣x+3，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），n＝﹣m2+2m+3，則點(diǎn)Q坐標(biāo)為（3﹣n，n），則PQ＝m﹣（3﹣n）＝﹣m2+3m，∵a＝﹣1＜0，則PQ有最大值，當(dāng)m＝﹣＝，PQ取得最大值為；（2）過(guò)直線CG作∠GCH＝α，使CH⊥GH，當(dāng)sinα＝時(shí)，HG＝GC，則BG+CG的最小值即為HG+GB的最小值，當(dāng)B、H、G三點(diǎn)共線時(shí)，HG+GB最小，則∠GBO＝α，∵sinα＝，則cosα＝，tanα＝，OG＝OB?tanα＝3×＝，即點(diǎn)G（0，），CG＝3﹣＝，而B(niǎo)G＝，BG+CG的最小值為：；（3）作點(diǎn)A關(guān)于直線BG的對(duì)稱點(diǎn)A′，過(guò)A′作A′N⊥x軸，交BG于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，則此時(shí)AM+MN取得最小值，即為A′N的長(zhǎng)度，則：∠GBA＝∠AA′N＝∠OGB＝α，AA′＝2ABsin∠ABG＝2×4×sinα＝，A′N＝A′Acosα＝×＝，即：AM+MN的最小值為．8.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，點(diǎn)D、F分別是邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接CD，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD交BC于點(diǎn)E，垂足為G，連接GF，則GF+FB的最小值是（）A． B． C． D．【解答】解：延長(zhǎng)AC到點(diǎn)P，使CP＝AC，連接BP，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BP于點(diǎn)H，取AC中點(diǎn)O，連接OG，過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥BP于點(diǎn)Q，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4，∴AC＝CP＝2，BP＝AB＝4∴△ABP是等邊三角形，∴∠FBH＝30°∴Rt△FHB中，F(xiàn)H＝FB∴當(dāng)G、F、H在同一直線上時(shí)，GF+FB＝GF+FH＝GH取得最小值∵AE⊥CD于點(diǎn)G，∴∠AGC＝90°∵O為AC中點(diǎn)，∴OA＝OC＝OG＝AC∴A、C、G三點(diǎn)共圓，圓心為O，即點(diǎn)G在⊙O上運(yùn)動(dòng)∴當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到OQ上時(shí)，GH取得最小值∵Rt△OPQ中，∠P＝60°，OP＝3，sin∠P＝∴OQ＝OP＝，∴GH最小值為故選：C．9.拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上一點(diǎn)，PF⊥x軸于點(diǎn)F，PF與線段AC交于點(diǎn)E；將線段OB沿x軸左右平移，線段OB的對(duì)應(yīng)線段是O1B1，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求四邊形PO1B1C周長(zhǎng)的最小值，并求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)O1的坐標(biāo)．【分析】根據(jù)拋物線解析式得A、B、C，直線AC的解析式為：，可知AC與x軸夾角為30°．根據(jù)題意考慮，P在何處時(shí)，PE+取到最大值．過(guò)點(diǎn)E作EH⊥y軸交y軸于H點(diǎn)，則∠CEH=30°，故CH=，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為PE+CH何時(shí)取到最小值．考慮到PE于CH并無(wú)公共端點(diǎn)，故用代數(shù)法計(jì)算，設(shè)，則，，，，∴當(dāng)PE+EC的值最大時(shí)，x＝﹣2，此時(shí)P（﹣2，），∴PC＝2，∵O1B1＝OB＝，∴要使四邊形PO1B1C周長(zhǎng)的最小，即PO1+B1C的值最小，如圖2，將點(diǎn)P向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得點(diǎn)P1（﹣，），連接P1B1，則PO1＝P1B1，再作點(diǎn)P1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P2（﹣，﹣），則P1B1＝P2B1，∴PO1+B1C＝P2B1+B1C，∴連接P2C與x軸的交點(diǎn)即為使PO1+B1C的值最小時(shí)的點(diǎn)B1，∴B1（﹣，0），將B1向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度即得點(diǎn)O1，此時(shí)PO1+B1C＝P2C＝＝，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)O1的坐標(biāo)為（﹣，0），∴四邊形PO1B1C周長(zhǎng)的最小值為+3.名師點(diǎn)睛撥開(kāi)云霧開(kāi)門見(jiàn)山在前面的最值問(wèn)題中往往都是求某個(gè)線段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我們還可能會(huì)遇上形如“PA+kP”這樣的式子的最值，此類式子一般可以分為兩類問(wèn)題：（1）胡不歸問(wèn)題；（2）阿氏圓．【故事介紹】從前有個(gè)少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無(wú)反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說(shuō)，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”（“胡”同“何”）而如果先沿著驛道AC先走一段，再走砂石地，會(huì)不會(huì)更早些到家？【模型建立】如圖，一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使的值最?。締?wèn)題分析】，記，即求BC+kAC的最小值．【問(wèn)題解決】構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，即，CH=kAC．將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過(guò)B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．【模型總結(jié)】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問(wèn)題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．而這里的PB必須是一條方向不變的線段，方能構(gòu)造定角利用三角函數(shù)得到kPB的等線段．典題探究啟迪思維探究重點(diǎn)例題1.如圖，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于點(diǎn)E，D是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是_______．變式練習(xí)>>>1．如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于________．例題2.如圖，AC是圓O的直徑，AC＝4，弧BA＝120°，點(diǎn)D是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么OD+BD的最小值為（）A． B． C． D．變式練習(xí)>>>2．如圖，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底邊上的高AH上一點(diǎn)．若AP+BP+CP的最小值為2，則BC＝．例題3.等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，將其放置在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，其中BC邊在x軸上，BC邊的高OA在Y軸上．一只電子蟲(chóng)從A出發(fā)，先沿y軸到達(dá)G點(diǎn)，再沿GC到達(dá)C點(diǎn)，已知電子蟲(chóng)在Y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是在GC上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，若電子蟲(chóng)走完全程的時(shí)間最短，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為．變式練習(xí)>>>3．如圖，△ABC在直角坐標(biāo)系中，AB＝AC，A（0，2），C（1，0），D為射線AO上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，運(yùn)動(dòng)路徑為A→D→C，點(diǎn)P在AD上的運(yùn)動(dòng)速度是在CD上的3倍，要使整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少，則點(diǎn)D的坐標(biāo)應(yīng)為（）A．（0，） B．（0，） C．（0，） D．（0，）例題4.直線y＝與拋物線y＝（x﹣3）2﹣4m+3交于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D（點(diǎn)D在點(diǎn)C的下方），設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為t（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及線段CD的長(zhǎng)（用含m的式子表示）；（2）直接用含t的式子表示m