高考數(shù)學(xué)理北師大版習(xí)題第十三章推理與證明算法復(fù)數(shù)第3講數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用

第3講數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用一、選擇題1.用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n＞2n＋1對于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取()A.2 B.3 C.5 D.6解析∵n＝1時，21＝2，2×1＋1＝3，2n＞2n＋1不成立；n＝2時，22＝4，2×2＋1＝5，2n＞2n＋1不成立；n＝3時，23＝8，2×3＋1＝7，2n＞2n＋1成立.∴n的第一個取值n0＝3.答案B2.某個命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當(dāng)n＝k(k∈N*)時該命題成立，那么可以推出n＝k＋1時該命題也成立.現(xiàn)已知n＝5時該命題成立，那么()A.n＝4時該命題成立B.n＝4時該命題不成立C.n≥5，n∈N*時該命題都成立D.可能n取某個大于5的整數(shù)時該命題不成立解析顯然A，B錯誤，由數(shù)學(xué)歸納法原理知C正確，D錯.答案C3.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)>eq\f(n,2)(n≥2，n∈N＋)”的過程中，由“n＝k”變到“n＝k＋1”時，左邊增加了()A.1項 B.k項 C.2k－1項 D.2k項解析左邊增加的項為eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋…＋eq\f(1,2k＋1－1)共2k項，故選D.答案D4.對于不等式eq\r(n2＋n)<n＋1(n∈N＋)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程如下：(1)當(dāng)n＝1時，eq\r(12＋1)<1＋1，不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋)時，不等式eq\r(k2＋k)<k＋1成立，當(dāng)n＝k＋1時，eq\r(（k＋1）2＋k＋1)＝eq\r(k2＋3k＋2)<eq\r(（k2＋3k＋2）＋（k＋2）)＝eq\r(（k＋2）2)＝(k＋1)＋1.∴當(dāng)n＝k＋1時，不等式成立，則上述證法()A.過程全部正確B.n＝1驗得不正確C.歸納假設(shè)不正確D.從n＝k到n＝k＋1的推理不正確解析在n＝k＋1時，沒有應(yīng)用n＝k時的假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法.答案D5.用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝eq\f(n4＋n2,2)，則當(dāng)n＝k＋1時左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上()A.k2＋1B.(k＋1)2C.eq\f(（k＋1）4＋（k＋1）2,2)D.(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2解析當(dāng)n＝k時，左端＝1＋2＋3＋…＋k2.當(dāng)n＝k＋1時，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故當(dāng)n＝k＋1時，左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.故選D.答案D二、填空題6.設(shè)Sn＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n)，則Sn＋1－Sn＝________.解析∵Sn＋1＝1＋eq\f(1,2)＋…＋eq\f(1,2n)＋eq\f(1,2n＋1)＋…＋eq\f(1,2n＋2n)，Sn＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n).∴Sn＋1－Sn＝eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)＋eq\f(1,2n＋3)＋…＋eq\f(1,2n＋2n).答案eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)＋eq\f(1,2n＋3)＋…＋eq\f(1,2n＋2n)7.(2017·寶雞月考)數(shù)列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝eq\f(an,3an＋1)(n∈N＋)，依次計算出a2，a3，a4，猜想an＝________.解析a1＝2，a2＝eq\f(2,3×2＋1)＝eq\f(2,7)，a3＝eq\f(\f(2,7),3×\f(2,7)＋1)＝eq\f(2,13)，a4＝eq\f(\f(2,13),3×\f(2,13)＋1)＝eq\f(2,19).由此，猜想an是以分子為2，分母是以首項為1，公差為6的等差數(shù)列.∴an＝eq\f(2,6n－5).答案eq\f(2,6n－5)8.凸n多邊形有f(n)條對角線.則凸(n＋1)邊形的對角線的條數(shù)f(n＋1)與f(n)的遞推關(guān)系式為________.解析f(n＋1)＝f(n)＋(n－2)＋1＝f(n)＋n－1.答案f(n＋1)＝f(n)＋n－1三、解答題9.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)<2－eq\f(1,n)(n∈N＋，n≥2).證明(1)當(dāng)n＝2時，1＋eq\f(1,22)＝eq\f(5,4)<2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，命題成立.(2)假設(shè)n＝k時命題成立，即1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,k2)<2－eq\f(1,k).當(dāng)n＝k＋1時，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,k2)＋eq\f(1,（k＋1）2)<2－eq\f(1,k)＋eq\f(1,（k＋1）2)<2－eq\f(1,k)＋eq\f(1,k（k＋1）)＝2－eq\f(1,k)＋eq\f(1,k)－eq\f(1,k＋1)＝2－eq\f(1,k＋1)，命題成立.由(1)(2)知原不等式在n∈N＋，n≥2時均成立.10.數(shù)列{an}滿足Sn＝2n－an(n∈N＋).(1)計算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項公式an；(2)證明(1)中的猜想.(1)解當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1；當(dāng)n＝2時，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝eq\f(3,2)；當(dāng)n＝3時，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝eq\f(7,4)；當(dāng)n＝4時，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴a4＝eq\f(15,8).由此猜想an＝eq\f(2n－1,2n－1)(n∈N＋).(2)證明①當(dāng)n＝1時，a1＝1，結(jié)論成立.②假設(shè)n＝k(k≥1且k∈N＋)時，結(jié)論成立，即ak＝eq\f(2k－1,2k－1)，那么n＝k＋1時，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak.∴ak＋1＝eq\f(2＋ak,2)＝eq\f(2＋\f(2k－1,2k－1),2)＝eq\f(2k＋1－1,2k).所以當(dāng)n＝k＋1時，結(jié)論成立.由①②知猜想an＝eq\f(2n－1,2n－1)(n∈N＋)成立.11.(2017·昆明診斷)設(shè)n為正整數(shù)，f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)，經(jīng)計算得f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)＞2，f(8)＞eq\f(5,2)，f(16)＞3，f(32)＞eq\f(7,2)，觀察上述結(jié)果，可推測出一般結(jié)論()A.f(2n)＞eq\f(2n＋1,2) B.f(n2)≥eq\f(n＋2,2)C.f(2n)≥eq\f(n＋2,2) D.以上都不對解析因為f(22)＞eq\f(4,2)，f(23)＞eq\f(5,2)，f(24)＞eq\f(6,2)，f(25)＞eq\f(7,2)，所以當(dāng)n≥1時，有f(2n)≥eq\f(n＋2,2).答案C12.設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當(dāng)f(k)≥k2成立時，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”.那么，下列命題總成立的是()A.若f(1)<1成立，則f(10)<100成立B.若f(2)<4成立，則f(1)≥1成立C.若f(3)≥9成立，則當(dāng)k≥1時，均有f(k)≥k2成立D.若f(4)≥16成立，則當(dāng)k≥4時，均有f(k)≥k2成立解析選項A，B的答案與題設(shè)中不等號方向不同，故A，B錯；選項C中，應(yīng)該是k≥3時，均有f(k)≥k2成立；對于選項D，滿足數(shù)學(xué)歸納法原理，該命題成立.答案D13.設(shè)平面上n個圓周最多把平面分成f(n)片(平面區(qū)域)，則f(2)＝________，f(n)＝________.(n≥1，n∈N＋)解析易知2個圓周最多把平面分成4片；n個圓周最多把平面分成f(n)片，再放入第n＋1個圓周，為使得到盡可能多的平面區(qū)域，第n＋1個應(yīng)與前面n個都相交且交點均不同，有n條公共弦，其端點把第n＋1個圓周分成2n段，每段都把已知的某一片劃分成2片，即f(n＋1)＝f(n)＋2n(n≥1)，所以f(n)－f(1)＝n(n－1)，而f(1)＝2，從而f(n)＝n2－n＋2.答案4n2－n＋214.數(shù)列{xn}滿足x1＝0，xn＋1＝－xeq\o\al(2,n)＋xn＋c(n∈N＋).(1)證明：{xn}是遞減數(shù)列的充要條件是c＜0；(2)若0＜c≤eq\f(1,4)，證明數(shù)列{xn}是遞增數(shù)列.證明(1)充分性：若c＜0，由于xn＋1＝－xeq\o\al(2,n)＋xn＋c≤xn＋c＜xn，∴數(shù)列{xn}是遞減數(shù)列.必要性：若{xn}是遞減數(shù)列，則x2＜x1，且x1＝0.又x2＝－xeq\o\al(2,1)＋x1＋c＝c，∴c＜0.故{xn}是遞減數(shù)列的充要條件是c＜0.(2)若0＜c≤eq\f(1,4)，要證{xn}是遞增數(shù)列.即xn＋1－xn＝－xeq\o\al(2,n)＋c＞0，即證xn＜eq\r(c)對任意n≥1成立.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)0＜c≤eq\f(1,4)時，xn＜eq\r(c)對任意n≥1成立.當(dāng)n＝1時，x1＝0＜eq\r(c)≤eq\f(1,2)，結(jié)論成立.②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時結(jié)論成立，即