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湖南省張家界市慈利縣宜沖橋中學(xué)高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.(5分)已知sinθ+cosθ=,則tan2θ值為() A. B. C. D. 參考答案:C考點(diǎn): 二倍角的正切.專題: 三角函數(shù)的求值.分析: 由已知sinθ+cosθ=,可得2sinθcosθ=﹣,sinθ﹣cosθ=,從而可求tan2θ的值.解答: 已知sinθ+cosθ=,有1+sin2θ=,解得2sinθcosθ=﹣,sinθ﹣cosθ==,則tan2θ===﹣.故選:C.點(diǎn)評(píng): 本題主要考察二倍角的正切公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.2.已知定義在R上的函數(shù)f(x)在(﹣∞,﹣2)上是減函數(shù),若g(x)=f(x﹣2)是奇函數(shù),且g(2)=0,則不等式xf(x)≤0的解集是()A.(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞) B.[﹣4,﹣2]∪[0,+∞) C.(﹣∞,﹣4]∪[﹣2,+∞) D.(﹣∞,﹣4]∪[0,+∞)參考答案:C【考點(diǎn)】3N:奇偶性與單調(diào)性的綜合.【分析】由g(x)=f(x﹣2)是奇函數(shù),可得f(x)的圖象關(guān)于(﹣2,0)中心對(duì)稱,再由已知可得函數(shù)f(x)的三個(gè)零點(diǎn)為﹣4,﹣2,0,畫出f(x)的大致形狀,數(shù)形結(jié)合得答案.【解答】解:由g(x)=f(x﹣2)是把函數(shù)f(x)向右平移2個(gè)單位得到的,且g(2)=g(0)=0,f(﹣4)=g(﹣2)=﹣g(2)=0,f(﹣2)=g(0)=0,結(jié)合函數(shù)的圖象可知,當(dāng)x≤﹣4或x≥﹣2時(shí),xf(x)≤0.故選:C.3.給出四個(gè)函數(shù)①;②;③;④,那么在區(qū)間上單調(diào)遞增的個(gè)數(shù)是(
). A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)參考答案:B①,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故①錯(cuò);②在上單調(diào)遞增,故②正確;③在上單調(diào)遞減,故③錯(cuò)誤;④在上單調(diào)遞增,故④正確.故選.4.擲兩顆骰子,事件“點(diǎn)數(shù)之和為6”的概率是(
).A.
B.
C.
D.參考答案:C5.設(shè)集合,,函數(shù)若,且,則的取值范圍是()A. B. C. D.參考答案:D6.若a<0,>1,則(
)
A.a(chǎn)>1,b>0
B.0<a<1,b<0
C.0<a<1,b>0
D.a>1,b<0參考答案:B略7.i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z滿足,則z=A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i參考答案:D【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則可以直接求出復(fù)數(shù)的表達(dá)式.【詳解】,故本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.8.設(shè)函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-a|的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,則a的值為(
)A.3
B.2
C.1
D.-1參考答案:A該函數(shù)的圖象是一個(gè)在x=-1,x=a兩側(cè)斜率分別為-2,2的射線,在x=-1,x=a之間為平行于x軸的線段,若要該函數(shù)圖象關(guān)于x=1對(duì)稱,只需x=-1,x=a關(guān)于x=1對(duì)稱,則,即a=3.9.閱讀如圖所示的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,輸出的結(jié)果是A.3
B.4
C.5
D.6
參考答案:C10.若點(diǎn)P(x0,y0)在圓C:x2+y2=r2的內(nèi)部,則直線xx0+yy0=r2與圓C的位置關(guān)系是()A.相交 B.相切 C.相離 D.無(wú)法確定參考答案:C【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系.【專題】計(jì)算題;方程思想;綜合法;直線與圓.【分析】先利用點(diǎn)到直線的距離,求得圓心到直線x0x+y0y=r2的距離,根據(jù)P在圓內(nèi),判斷出x02+y02<r2,進(jìn)而可知d>r,故可知直線和圓相離.【解答】解:圓心O(0,0)到直線x0x+y0y=r2的距離為d=∵點(diǎn)P(x0,y0)在圓內(nèi),∴x02+y02<r2,則有d>r,故直線和圓相離.故選:C.【點(diǎn)評(píng)】本題的考點(diǎn)是直線與圓的位置關(guān)系,主要考查了直線與圓的位置關(guān)系.考查了數(shù)形結(jié)合的思想,直線與圓的位置關(guān)系的判定.解題的關(guān)鍵是看圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在直角坐標(biāo)系xOy中,終邊在坐標(biāo)軸上的角α的集合是.參考答案:{α|α=,n∈Z}【考點(diǎn)】任意角的三角函數(shù)的定義.【分析】分別寫出終邊在x軸上的角的集合、終邊在y軸上的角的集合,進(jìn)而可得到終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合.【解答】解:終邊在x軸上的角的集合為{α|α=kπ,k∈Z},終邊在y軸上的角的集合為{α|α=kπ+,k∈Z},故合在一起即為{α|α=,n∈Z}故答案為:{α|α=,n∈Z}【點(diǎn)評(píng)】本題考查終邊相同的角的表示方法,屬于基礎(chǔ)題.12.設(shè),則=
.參考答案:13.過點(diǎn)(1,2)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線l方程為_______________.參考答案:或【分析】分類討論直線是否過原點(diǎn)確定直線方程即可.【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí),設(shè)直線方程為,則,直線方程為,即,當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí),直線的斜率為,直線方程為,整理可得:.故答案為:或.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程的求解,分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.14.若,則___▲___.參考答案:110由題意得.
15.若函數(shù)y=sinx+cosx的圖象向左平移φ>0個(gè)單位后,所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則φ的最小值是.參考答案:【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換;三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用.【分析】由條件根據(jù)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性,求得φ的最小值.【解答】解:把函數(shù)y=sinx+cosx=2sin(x+)的圖象向左平移φ>0個(gè)單位,所得的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式為y=2sin(x++φ),再根據(jù)所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,可得+φ=kπ+,k∈z,可得:φ=kπ+,k∈z,則m的最小值為,故答案為:.16.設(shè)集合A={1,2,3},B={2,4},則A∩B=
.參考答案:{2}【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算.【專題】計(jì)算題;集合思想;定義法;集合.【分析】由A與B,求出兩集合的交集即可.【解答】解:∵A={1,2,3},B={2,4},∴A∩B={2},故答案為:{2}.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交集及其運(yùn)算,熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵.17.如右圖,有一個(gè)六邊形的點(diǎn)陣,它的中心是1個(gè)點(diǎn)(算第1層),第2層每邊有2個(gè)點(diǎn),第3層每邊有3個(gè)點(diǎn),…,依此類推,如果一個(gè)六邊形點(diǎn)陣共有169個(gè)點(diǎn),那么它的層數(shù)為__________.參考答案:
8
三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(12分)如圖,在四面體ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,且E、F分別是AB、BD的中點(diǎn).求證:(1)EF∥面ACD;(2)面EFC⊥面BCD.參考答案:證明(1)∵E,F(xiàn)分別是AB,BD的中點(diǎn),∴EF是△ABD的中位線,∴EF∥AD,∵EF?面ACD,AD面ACD,∴EF∥面ACD......6分(2)∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD.∵CB=CD,F(xiàn)是BD的中點(diǎn),∴CF⊥BD.又EF∩CF=F,∴BD⊥面EFC.∵BD面BCD,∴面EFC⊥面BCD..............12分19.從某校高一年級(jí)隨機(jī)抽取名學(xué)生,獲得了他們?nèi)掌骄邥r(shí)間(單位:小時(shí))的數(shù)據(jù),整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表:組號(hào)分組頻數(shù)頻率1[5,6)20.042[6,7)
0.203[7,8)
4[8,9)
5[9,10)
0.16(Ⅰ)求的值.(Ⅱ)若,補(bǔ)全表中數(shù)據(jù),并繪制頻率分布直方圖.(Ⅲ)假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替,若上述數(shù)據(jù)的平均值為7.84,求,的值,并由此估計(jì)該校高一學(xué)生的日平均睡眠時(shí)間不少于8小時(shí)的概率.參考答案:見解析(Ⅰ).(Ⅱ)組號(hào)分組頻數(shù)頻率1[5,6)20.042[6,7)100.203[7,8)100.204[8,9)200.405[9,10)80.16(Ⅲ),,∴.20.已知向量=(cosωx,1),=(2sin(ωx+),﹣1)(其中≤ω≤),函數(shù)f(x)=,且f(x)圖象的一條對(duì)稱軸為x=. (1)求f(π)的值; (2)若f()=,f()=,且,求cos(α﹣β)的值. 參考答案:【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用;平面向量數(shù)量積的運(yùn)算. 【專題】三角函數(shù)的求值;三角函數(shù)的圖像與性質(zhì);平面向量及應(yīng)用. 【分析】(1)根據(jù)向量的數(shù)量積公式,倍角公式,輔助角公式,化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,結(jié)合f(x)圖象的一條對(duì)稱軸為x=,求出ω=1,代入可得f(π)的值; (2)若f()=,f(﹣)=,且,可得α,β的余弦值,代入差角的余弦公式,可得答案. 【解答】解:(1)∵向量=(cosωx,1),=(2sin(ωx+),﹣1)=((sinωx+cosωx),﹣1) ∴函數(shù)f(x)==2cosωx(sinωx+cosωx)﹣1=2sinωxcosωx+2cos2ωx﹣1=sin2ωx+cos2ωx=sin(2ωx+), ∵f(x)圖象的一條對(duì)稱軸為x=. ∴2ω×+=+kπ,(k∈Z). 又由≤ω≤, ∴ω=1, ∴f(x)=sin(2x+), ∴f(π)=sin(2×π+)=﹣cos=﹣1, (2)∵f()=,f(﹣)=, ∴sinα=,sinβ=, ∵, ∴cosα=,cosβ=, ∴cos(α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ=. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),數(shù)量積公式,倍角公式,輔助角公式,兩角差的余弦公式,難度中檔. 21.如圖,一只螞蟻繞一個(gè)豎直放置的圓環(huán)逆時(shí)針勻速爬行,已知圓環(huán)的半徑為8,圓環(huán)的圓心距離地面的高度為10,螞蟻每12分鐘爬行一圈,若螞蟻的起始位置在最低點(diǎn)處.(1)試確定在時(shí)刻()時(shí)螞蟻距離地面的高度;(2)在螞蟻繞圓環(huán)爬行的一圈內(nèi),有多長(zhǎng)時(shí)間螞蟻距離地面超過14?參考答案:解:(1)設(shè)在時(shí)刻t(min)時(shí)螞蟻達(dá)到點(diǎn)P,由OP在t分鐘內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角為=,可知以O(shè)x為始邊,OP為終邊的角為+,則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8sin(+),則h=8sin(+)+
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