河南省三門峽市第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

河南省三門峽市第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)，為底面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)與底面所成的角分別為（均不為．若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為哪種曲線的一部分（

）.(A)直線

(B)圓

(C)橢圓

(D)拋物線參考答案：B【測(cè)量目標(biāo)】數(shù)學(xué)基本知識(shí)和基本技能/能按照一定的規(guī)則和步驟進(jìn)行計(jì)算、畫圖和推理.【知識(shí)內(nèi)容】圖形與幾何/空間圖形/空間直線與平面的位置關(guān)系;圖形與幾何/曲線與方程/曲線與方程的概念.【正確選項(xiàng)】B【試題分析】在正方體中，平面,,所以,因?yàn)?，所以，?因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以,設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2，以DA方向?yàn)檩S，線段DA的垂直平分線為軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，則,因?yàn)椋?，化?jiǎn)得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓的一部分.2.角的弧度表示為（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：C3.對(duì)于一切實(shí)數(shù)&當(dāng)變化時(shí)，所有二次函數(shù).的函數(shù)值恒為非負(fù)實(shí)數(shù)，則的最小值是（）A.2

B.3

C.

D.

參考答案：B4.過拋物線：的焦點(diǎn)的直線與拋物線C交于，兩點(diǎn)，與其準(zhǔn)線交于點(diǎn)，且，則A．

B．

C．

D．1參考答案：B5.已知雙曲線x2﹣=1與拋物線y2=8x的準(zhǔn)線交于點(diǎn)P，Q，拋物線的焦點(diǎn)為F，若△PQF是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由題意，x=﹣2，等邊三角形的邊長(zhǎng)為，將（﹣2，）代入雙曲線，可得方程，即可求出m的值．【解答】解：由題意，x=﹣2，等邊三角形的邊長(zhǎng)為，將（﹣2，）代入雙曲線，可得=1，∴，故選：B．6.已知雙曲線的一條漸近線與圓相交于兩點(diǎn)，且，則此雙曲線的離心率為A．

B．

C．

D．參考答案：C7.已知函數(shù)，如果對(duì)于任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A．

B．(－∞,1]

C.

D．參考答案：B原問題等價(jià)于對(duì)任意的，，即函數(shù)的圖像恒不在函數(shù)的上方，令，則，函數(shù)單調(diào)遞增，且，則單調(diào)遞增，即函數(shù)切線的斜率隨著自變量的增大而增大，函數(shù)圖像下凸，函數(shù)在處的切線為，且，函數(shù)在處的切線方程為，如圖所示，觀察可知，函數(shù)中k的取值范圍是.本題選擇B選項(xiàng).

8.在△ABC中，I是△ABC的重心，AB、AC的邊長(zhǎng)分別為2、l，∠BAC=60°，則=

A．

B．

C．

D．參考答案：A9.設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為,如果直線與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略10.已知向量a，b滿足，則向量b在向量a方向上的投影是

A．

B．-1

C．

D．1參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知直三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為6，且底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，用一平面截此棱柱，與側(cè)棱,,分別交于三點(diǎn),,,若為直角三角形，則該直角三角形斜邊長(zhǎng)的最小值為

參考答案：建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).12.在數(shù)列中，若存在一個(gè)確定的正整數(shù)，對(duì)任意滿足，則稱是周期數(shù)列，叫做它的周期．已知數(shù)列滿足，（），，當(dāng)數(shù)列的周期為時(shí)，則的前項(xiàng)的和________．參考答案：1324由，得，，因?yàn)閿?shù)列的周期為時(shí)，所以，即，解得或。當(dāng)時(shí)，數(shù)列為，所以。當(dāng)時(shí)，數(shù)列為，所以，綜上。13.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則______．參考答案：試題分析：由正態(tài)分布的圖象可知,故,故.考點(diǎn)：正態(tài)概率分布的運(yùn)算．14.下表是某廠1～4月份用水量（單位：百噸）的一組數(shù)據(jù)，月份1234用水量4.5432.5

由其散點(diǎn)圖可知，用水量與月份之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸方程是

▲

．參考答案：答案：

15.若直角三角形的頂點(diǎn)是A（－1，0）、B（1，0），則直角頂點(diǎn)C（x，y）的軌跡方程為

．參考答案：答案：

16.已知是單位圓上（圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)）任一點(diǎn)，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到交單位圓于點(diǎn)，則的最大值為

．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的定義；兩角和與差的三角函數(shù).

C1

C5【答案解析】

解析：設(shè)則,所以=，所以的最大值為.【思路點(diǎn)撥】利用以原點(diǎn)為圓心的圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，與過此點(diǎn)的半徑所在射線的和x軸的正半軸所成的角的關(guān)系，得關(guān)于的函數(shù)，求此函數(shù)的最大值即可.17.若在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)過點(diǎn)且與原點(diǎn)的距離為的直線有兩條，

則的取值范圍是___________．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為θ=，曲線C的參數(shù)方程為．（1）寫出直線l與曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）過點(diǎn)M平行于直線l1的直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，若|MA|?|MB|=，求點(diǎn)M軌跡的直角坐標(biāo)方程．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化，直接寫出直線l的普通方程，消去參數(shù)可得曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)M（x0，y0）以及平行于直線l1的直線參數(shù)方程，直線l1與曲線C聯(lián)立方程組，通過|MA|?|MB|=，即可求點(diǎn)M軌跡的直角坐標(biāo)方程．通過兩個(gè)交點(diǎn)推出軌跡方程的范圍，【解答】解：（1）直線l的極坐標(biāo)方程為θ=，所以直線斜率為1，直線l：y=x；曲線C的參數(shù)方程為．消去參數(shù)θ，可得曲線…（2）設(shè)點(diǎn)M（x0，y0）及過點(diǎn)M的直線為由直線l1與曲線C相交可得：，即：，x2+2y2=6表示一橢圓…取y=x+m代入得：3x2+4mx+2m2﹣2=0由△≥0得故點(diǎn)M的軌跡是橢圓x2+2y2=6夾在平行直線之間的兩段弧…【點(diǎn)評(píng)】本題以直線與橢圓的參數(shù)方程為載體，考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用，軌跡方程的求法，注意軌跡的范圍的求解，是易錯(cuò)點(diǎn)．19.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線C的極坐標(biāo)方程ρ=2sin（θ+）．傾斜角為，且經(jīng)過定點(diǎn)P（0，1）的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)（Ⅰ）寫出直線l的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，并求曲線C的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）求的值．參考答案：【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（I）由傾斜角為，且經(jīng)過定點(diǎn)P（0，1）的直線l的參數(shù)方程為：．曲線C的極坐標(biāo)方程ρ=2sin（θ+），展開：ρ2=2×（sinθ+cosθ），利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．（II）把直線l的參數(shù)方程代入圓C的方程為：t2﹣t﹣1=0，可得+=+==即可得出．【解答】解：（I）由傾斜角為，且經(jīng)過定點(diǎn)P（0，1）的直線l的參數(shù)方程為：，化為：．曲線C的極坐標(biāo)方程ρ=2sin（θ+），展開：ρ2=2×（sinθ+cosθ），可得直角坐標(biāo)方程：x2+y2=2x+2y．（II）把直線l的參數(shù)方程代入圓C的方程為：t2﹣t﹣1=0，t1+t2=1，t1t2=﹣1．∴+=+====．20.(本小題滿分12分)已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切．是橢圓的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，直線與橢圓相交于兩點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；

（2）當(dāng)四邊形面積取最大值時(shí)，求的值．參考答案：(1)由題意知：＝

∴，∴.……2分又∵圓與直線相切，∴，∴，

……3分故所求橢圓C的方程為

………4分（2）設(shè)，其中，將代入橢圓的方程整理得：，故．①

………5分又點(diǎn)到直線的距離分別為，．

………7分所以四邊形的面積為

………9分，

………11分當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)．所以當(dāng)四邊形面積的最大值時(shí)，=2.

………12分21.已知函數(shù).（1）在下面給出的直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，并由圖象找出滿足不等式的解集；（2）若函數(shù)的最小值記為m，設(shè)，且有，試證明：.參考答案：（1）因?yàn)椋宰鞒鰣D象如圖所示，并從圖可知滿足不等式的解集為.（2）證明：由圖可知函數(shù)的最小值為，即.所以，從而，從而.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，時(shí)，有最小值，所以得證.22.（本小題滿分14分）已知平行四邊形，，，，為的中點(diǎn)，把三角形沿折起至位置，使得，是線段的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：面面；（3）求二面角的正切值．參考答案：（1）見解析；(2)見解析；（3）【知識(shí)點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定．G4G5G7解析：(1)證明：取的中點(diǎn)，連接,為中點(diǎn)，且,為平行四邊形邊的中點(diǎn)，且，且四邊形是平行四邊形,平面，平面平面………4分（3）

取的中點(diǎn)，連接，，，為的中點(diǎn)為等邊三角形，即折疊后也為等邊三角形，且在中，，，根據(jù)余弦定理，可得在中，，，，，即又，所