高二上學(xué)期中復(fù)習(xí)專題復(fù)習(xí)05圓的方程

期中復(fù)習(xí)專題05：圓的方程解析版考點(diǎn)一：圓的方程【知識(shí)點(diǎn)梳理】1、圓的方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中為圓心，為半徑.圓的一般方程：當(dāng)時(shí)，方程叫做圓的一般方程.為圓心，為半徑.2、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系如果圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，則有(1)若點(diǎn)在圓上(2)若點(diǎn)在圓外(3)若點(diǎn)在圓內(nèi)【典例例題】例1.（2022·廣東省東莞市光明中學(xué)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，，，，圓為△的外接圓．（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作圓M的切線，求切線方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)出圓的一般方程，利用待定系數(shù)法求解；（2）分為切線斜率存在和不存在兩種情況分別計(jì)算，當(dāng)切線斜率存在時(shí)利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【小問1詳解】設(shè)圓M的方程為，因?yàn)閳A為△的外接圓,所以,解得，所以圓M的方程為，故圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線方程為，當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，由，解得所以切線方程為，即．綜上所述，所求切線方程為或．【變式訓(xùn)練】1.（2022·廣東省佛山市順德區(qū)卓越高中期中）以點(diǎn)為圓心，兩平行線與之間的距離為半徑的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平行直線間距離公式可求得圓的半徑，由圓心和半徑可得圓的方程.【詳解】直線方程可化為，則兩條平行線之間距離，即圓的半徑，所求圓的方程為：.故選：B.2.（2022·福建省泉州市第六中學(xué)期中）經(jīng)過三個(gè)點(diǎn)的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三點(diǎn)在坐標(biāo)系的位置，確定出是直角三角形，其中是斜邊，則有過三點(diǎn)的圓的半徑為的一半，圓心坐標(biāo)為的中點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解.【詳解】由已知得，分別在原點(diǎn)、軸、軸上，，經(jīng)過三點(diǎn)圓的半徑為，圓心坐標(biāo)為的中點(diǎn)，即，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.3.（2022·福建省泉州市第六中學(xué)期中）已知點(diǎn)P（m，n）在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為______．【答案】64【解析】【分析】表示圓C上的點(diǎn)P到點(diǎn)的距離的平方，利用數(shù)形結(jié)合分析即得解.【詳解】解：由題得圓心C（2，2），半徑r＝3．表示圓C上的點(diǎn)P到點(diǎn)的距離的平方，因?yàn)椋?，即的最大值?4．故答案為：644.（2022·廣東省東莞市光明中學(xué)期中）已知圓，點(diǎn)，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，若在圓上總存在不同的兩點(diǎn)，，使得直線垂直平分，則的取值范圍為（）A. B.， C.， D.，【答案】C【解析】【分析】先討論直線的斜率不存在和為0時(shí)的情況，再根據(jù)直線的斜率存在且不為0，表示出直線方程，得出圓心到直線的距離小于半徑可求出.【詳解】在圓上總存在不同的兩點(diǎn)，使得垂直平分．若為直線與軸交點(diǎn)，得，此時(shí)圓上不存在不同的兩點(diǎn)，滿足條件；若為直線與軸交點(diǎn)，得，，此時(shí)直線的方程為，滿足條件，；當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，，，，直線方程為，化為，由圓心到直線的距離，得，又，化為，解得：．的取值范圍為，．故選：C.5.（2022·廣東省佛山市順德區(qū)卓越高中期中）已知圓C過點(diǎn)，且圓心C在直線上．（1）求圓C的方程；（2）若從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過直線反射，反射光線恰好平分圓C的圓周，求反射光線的一般方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求AB的垂直平分線方程，聯(lián)立直線l的方程可得圓心坐標(biāo)，然后可得半徑，進(jìn)而得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的特征列方程可得，利用直線點(diǎn)斜式方程即可得出結(jié)果.【小問1詳解】由，得直線AB的斜率為，線段中點(diǎn)所以，直線CD的方程為，即，聯(lián)立，解得，即，所以半徑，所以圓C的方程為；【小問2詳解】由恰好平分圓C的圓周，得經(jīng)過圓心，設(shè)點(diǎn)M關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，則直線MN與直線垂直，且線段MN的中點(diǎn)在上，則有，解得，所以，所以直線CN即為直線，且，直線方程為，即.考點(diǎn)二：直線與圓的位置關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)梳理】1、直線與圓的位置關(guān)系幾何法：相離d>r

，相切d=r

，相交

d<r

代數(shù)法：設(shè)圓C:(xa)2+(yb)2=r2(r>0),直線l:Ax+By+C=0,消去y(或x),得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程,其判別式為Δ.相離Δ<0

，相切Δ=0

，相交Δ>0

2、弦長公式（1）弦長公式:設(shè)直線l:y=kx+b與圓的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),將直線l的方程代入圓的方程,消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系得弦長公式:|AB|=.（2）幾何法:圓的半徑r、圓心到弦的距離d、弦長l三者之間的關(guān)系為r2=d2+,即弦長l=【典例例題】例1.（2022·廣東省東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中）已知圓C：（x2）2＋（y3）2＝4外有一點(diǎn)P（4，－1），過點(diǎn)P作直線l.（1）當(dāng)直線l與圓C相切時(shí)，求直線l的方程；（2）當(dāng)直線l傾斜角為135°時(shí)，求直線l被圓C所截得的弦長．【答案】（1）x＝4或3x＋4y8＝0.（2）【解析】【分析】（1）對斜率存在和斜率不存在兩種情況分類討論，由點(diǎn)到直線的距離為半徑即可求得直線方程；（2）由傾斜角可寫出直線方程，求出點(diǎn)到直線的距離，再由勾股定理即可求出弦長.【詳解】（1）由題意知，圓C的圓心為（2，3），半徑r＝2當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝4，此時(shí)圓C與直線l相切；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＋1＝k（x－4），即kx－y－4k－1＝0，則圓心到直線的距離為即，解得，所以此時(shí)直線l的方程為3x＋4y8＝0.綜上，直線l的方程為x＝4或3x＋4y8＝0.（2）當(dāng)直線l的傾斜角為135°時(shí)，直線l的方程為x＋y3＝0，圓心到直線l的距離故所求弦長為：.【變式訓(xùn)練】1.（2022·廣東省東莞市光明中學(xué)期中）已知圓心為的圓與軸相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】圓的圓心為，半徑為，得到圓方程.【詳解】根據(jù)題意知圓心為，半徑為，故圓方程為：.故選：B.2.（2022·福建省泉州市第六中學(xué)期中）若過點(diǎn)（2，1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可知圓心在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，可得圓的半徑為，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點(diǎn)在圓上，求得實(shí)數(shù)的值，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離.【詳解】由于圓上的點(diǎn)在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標(biāo)為或，圓心到直線的距離均為；圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為.故選：B.3.（2022·廣東省東莞市光明中學(xué)期中）一條光線從點(diǎn)（－2，－3）射出，經(jīng)y軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】求出點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，由對稱點(diǎn)作圓的切線，即為反射光線所在直線，求出切線斜率即得．【詳解】圓的圓心為，半徑為1，根據(jù)光的反射原理知，反射光線的反向延長線必過點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，易知反射光線所在直線的斜率存在，設(shè)為k，則反射光線所在直線的方程為，即，由反射光線與圓相切，可得，整理得，解得或．故選：D．4.（2022·福建省泉州市第六中學(xué)期中）（多選）已知?jiǎng)又本€與圓，則下列說法正確的是（）A.直線過定點(diǎn)B.圓的圓心坐標(biāo)為C.直線與圓的相交弦的最小值為D.直線與圓的相交弦的最大值為4【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)直線與圓的相關(guān)知識(shí)對各選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】對于A，直線，即，令，得，即直線過定點(diǎn)，故A正確；對于B，圓，即，圓心坐標(biāo)為，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)椋灾本€所過定點(diǎn)在圓內(nèi)部，不妨設(shè)直線過定點(diǎn)為，當(dāng)直線與圓的相交弦的最小時(shí)，與相交弦垂直，又因?yàn)?，所以相交弦的最小為，故C正確；對于D，直線與圓的相交弦的最大值為圓直徑4，故D正確.故選：ACD5.（2022·福建省泉州市第六中學(xué)期中）設(shè)圓的圓心為C，直線l過，且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若，則直線l的方程為___________.【答案】或【解析】【分析】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再判斷是否成立，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，再利用弦心距，弦和半徑的關(guān)系列方程可求出，從而可求出直線方程【詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，由，得或，此時(shí)，符合題意.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，因?yàn)閳A的圓心，半徑，所以圓心C到直線l的距離.因?yàn)椋?，解得，所以直線l的方程為，即.綜上，直線l的方程為或.故答案為：或6.（2022·福建省泉州市第六中學(xué)期中）已知圓．（1）若一直線被圓C所截得的弦的中點(diǎn)為，求該直線的方程；（2）設(shè)直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，把的面積S表示為m的函數(shù)，并求S的最大值．【答案】（1）（2），最大值為.【解析】【分析】（1）利用垂徑定理求出斜率，即可求出直線的方程；（2）利用幾何法表示出弦長與d的關(guān)系，利用基本不等式求出的面積S的最大值．【小問1詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：.則.設(shè)所求的直線為m.由圓的幾何性質(zhì)可知：，所以，所以所求的直線為：，即.【小問2詳解】設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則，且，所以因?yàn)橹本€與圓C交于A，B兩點(diǎn)，所以,解得：且.而的面積：因?yàn)樗裕ㄆ渲袝r(shí)等號(hào)成立）.所以S的最大值為.考點(diǎn)三：圓與圓的位置關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)梳理】1、兩圓的位置關(guān)系外離、外切、相交、內(nèi)切和內(nèi)含.2、兩圓的位置關(guān)系的判定(1)代數(shù)法:設(shè)兩圓的一般方程為C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(),C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(),聯(lián)立得方程組?消元后得到一元二次方程(若得到的是一元一次方程,則要求出方程組的解進(jìn)行判斷),計(jì)算判別式Δ的值,按(2)的表中的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行判斷.(2)幾何法:兩圓的半徑分別為r1,r2,計(jì)算兩圓連心線的長為d,按表中標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行判斷.位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示?????公共點(diǎn)個(gè)數(shù)01210位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含Δ的值Δ<0Δ=0Δ>0Δ=0Δ<0d與的關(guān)系

公切線條數(shù)4

32

10

3、兩圓的公共弦所在直線方程的求法設(shè)☉C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(),☉C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(),聯(lián)立?①②,得(D1D2)x+(E1E2)y+F1F2=0.③【典例例題】例1.（2022·廣東省惠州市豐湖高級(jí)中學(xué)期中）（多選）圓與圓相交于，兩點(diǎn)，則（）A.直線方程為 B.公共弦的長為C.圓與圓的公切線長為 D.線段的中垂線方程為【答案】ACD【解析】【分析】對于A，兩圓方程相減可求出直線的方程，對于B，利用弦心距、弦和半徑的關(guān)系可求公共弦的長，對于C，求出，再由可求得結(jié)果，對于D，線段的中垂線就是直線，求出直線的方程即可.【詳解】由，得，則，半徑，由，得，則，半徑，對于A，公共弦所在的直線方程為，即，所以A正確，對于B，到直線的距離，所以公共弦的長為，所以B錯(cuò)誤，對于C，因?yàn)?，，，所以圓與圓的公切線長為，所以C正確，對于D，根據(jù)題意可知線段的中垂線就是直線，因?yàn)?，所以直線為，即，所以D正確，故選：ACD【變式訓(xùn)練】1.（2022·廣東省揭陽市揭東區(qū)第三中學(xué)期中）圓：與圓：的位置關(guān)系為（）A.相交 B.相離 C.外切 D.內(nèi)切【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓心距以及圓的半徑確定正確選項(xiàng).【詳解】圓：的圓心為，半徑為.圓：圓心為，半徑為.，，所以兩圓相交.故選：A2.（2022·廣東省惠州市豐湖高級(jí)中學(xué)期中）圓與圓的位置關(guān)系為（）A.外離 B.相切 C.內(nèi)含 D.與a的取值有關(guān)【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓心距和半徑的關(guān)系判斷兩圓的位置關(guān)系即可.【詳解】由題意得圓的圓心為，半徑為1，圓的圓心為，半徑為，，所以兩圓外離.故選：A.3.（2022·廣東省東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中）（多選）點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，則（）A.的最小值為0B.的最大值為7C.兩個(gè)圓心所在的直線斜率為D.兩個(gè)圓相交弦所在直線的方程為【答案】BC【解析】【分析】求出圓心距，結(jié)合半徑由圓的性質(zhì)可得圓上兩點(diǎn)的距離的最大值和最小值，判斷AB，得直線斜率，判斷C，根據(jù)兩圓位置關(guān)系可判斷D．【詳解】解：根據(jù)題意，圓，其圓心，半徑，圓，即，其圓心，半徑，圓心距，則的最小值為，最大值為，故A錯(cuò)誤，B正確；對于C，圓心，圓心，則兩個(gè)圓心所在的直線斜率，C正確，對于D，兩圓圓心距，有，兩圓外離，不存在公共弦，D錯(cuò)誤．故選：BC．4.（2022·蕺山外國語學(xué)校期中）已知兩圓相交于兩點(diǎn)，，且兩圓圓心都在直線上，則的值為（）A. B. C.0 D.1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩圓的相交性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由直線的方程可知該直線的斜率為，直線的斜率為，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)閮蓤A相交于兩點(diǎn)，，且兩圓圓心都在直線上，所以有，故選：D5.（2022·蕺山外國語學(xué)校期中）已知點(diǎn)是圓：上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到直線：的距離的最小值為，圓：與圓外切，且與直線相切，則的值為（）A. B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的最小值求出，利用圓與圓外切與直線相切求得值.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑為1，圓心到直線：的距離，因?yàn)辄c(diǎn)P到直線的最小距離為，所以，解得（負(fù)值舍去），所以的方程，圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，

因?yàn)閳A與圓外切，所以，解得，又圓與直線相切，所以，解得，由以上兩式解得.故選：B.6.（2022·蕺山外國語學(xué)校期中）（多選題）點(diǎn)在圓：上，點(diǎn)在圓：上，則（）A.實(shí)數(shù)的取值范圍為B.當(dāng)時(shí)，的最小值為，最大值為C.當(dāng)圓和圓外切時(shí)，D.當(dāng)圓的圓心在圓上時(shí)，圓和圓的相交弦的長度為【答案】ABD【解析】【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可判斷A；分別求出兩圓的圓心及半徑，求出圓心距，再根據(jù)最小值為圓心距減去半徑之和，最大值為圓心距加上半徑之和，即可判斷B；根據(jù)兩元外切可得圓心距等于半徑之和即可判斷C；先求出公共弦所在直線的方程，再根據(jù)圓的弦長公式即可判斷D.【詳解】圓的圓心，半徑，圓：，即，則圓的圓心，半徑，對于A，由題意，，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故A正確；當(dāng)時(shí)，圓的半徑，因?yàn)?，所以兩圓外離，所以的最小值為，最大值為，故B正確；對于C，當(dāng)圓和圓外切時(shí)，，即，解得，故C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)圓的圓心在圓上時(shí)，則，解得，所以圓：，兩圓的方程相減得，即兩圓公共弦所在直線的方程為，圓心到直線的距離，所以公共弦長為，故D正確.故選：ABD.一、單項(xiàng)選擇（10道）1.（2022·廣東省揭陽市揭東區(qū)第三中學(xué)期中）若方程表示一個(gè)圓，則m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用配方法，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征進(jìn)行求解即可.【詳解】由，得，則.故選：A2.（2022·新疆烏魯木齊市第101中學(xué)期中）圓圓心和半徑分別是（）A.， B.， C.， D.，【答案】D【解析】【分析】先化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再求圓心半徑即可.【詳解】先化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，故圓心為，半徑為.故選：D.3.（2022·廣東省江門市第二中學(xué)期中）以點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓的方程是A. B.C. D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：由題意，因此圓方程為．4.（2022·廣東省東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中）圓：與圓：的位置關(guān)系是（）A.外離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)切【答案】C【解析】【分析】將兩圓方程寫成標(biāo)準(zhǔn)式，計(jì)算出兩圓圓心距，利用幾何法可判斷出兩圓的位置關(guān)系.【詳解】圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，所以兩圓圓心距，所以，因此兩圓的位置關(guān)系為相交.故選：C.5.（2022·廣東省揭陽市揭東區(qū)第三中學(xué)期中）若點(diǎn)是圓上任一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離的最大值為（）A.5 B.6 C. D.【答案】C【解析】【分析】連接圓心和直線的定點(diǎn)，當(dāng)直線與此線段垂直時(shí)圓心到直線的距離最大，再加半徑即為圓上點(diǎn)到直線距離的最大值【詳解】由題知，直線過定點(diǎn)（0，1），所以圓心到定點(diǎn)的距離為所以點(diǎn)到直線距離的最大值為故選：C.6.（2022·浙江省臺(tái)州市八校聯(lián)盟期中）在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且與圓相切的直線有（）條A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】分截距為零和截距不為零兩種情況結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求解即可【詳解】圓的圓心為，半徑，由題意可知切線的斜率存在，當(dāng)截距為零時(shí)，設(shè)切線方程為，即，所以，化簡得，因?yàn)?，所以方程有兩個(gè)不相等的根，所以過原點(diǎn)的切線有兩條，當(dāng)截距不為零時(shí)，設(shè)切線方程為，即，所以，解得或，所以不過原點(diǎn)的切線為或，有2條，綜上，在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且與圓相切的直線有4條，故選：D7.（2022·新疆烏魯木齊市第101中學(xué)期中）已知點(diǎn)在直線上的運(yùn)動(dòng)，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】表示點(diǎn)與距離的平方，求出到直線的距離，即可得到答案.【詳解】表示點(diǎn)與距離的平方，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，所以的最小值為．故選：A8.（2022·廣東省江門市第二中學(xué)期中）已知點(diǎn)，點(diǎn)M是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】易知點(diǎn)為圓外一點(diǎn)，利用點(diǎn)到圓心的距離加半徑，即為的最大值.【詳解】將代入，得，所以點(diǎn)為圓外一點(diǎn)，易知圓心坐標(biāo)，半徑，所以，則的最大值為：，故選：D.9.（2022·山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)、淄博齊盛高中期中）已知圓：，直線：，若直線上存在點(diǎn)，過點(diǎn)引圓的兩條切線，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意結(jié)合幾何性質(zhì)可知點(diǎn)P的軌跡方程為，則原問題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離小于等于半徑，據(jù)此求解關(guān)于k的不等式即可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍.【詳解】圓，半徑，設(shè)，因?yàn)閮汕芯€，如下圖，設(shè)切點(diǎn)為，則，由切線性質(zhì)定理，知：，所以四邊形PACB為正方形，所以，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，方程為，直線過定點(diǎn)，直線方程即，只要直線與P點(diǎn)的軌跡（圓）有交點(diǎn)即可，即大圓的圓心到直線的距離小于等于半徑，即：，解得：或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.10.（2022·江蘇省連云港市贛榆區(qū)中學(xué)期中）已知圓C：，P為直線l：上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，當(dāng)四邊形APBC的面積最小時(shí)，直線AB的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)判斷出直線時(shí)，四邊形APBC的面積最小，利用圓與圓相交弦所在直線方程的求法求得正確答案.【詳解】圓的方程可化為，點(diǎn)C到直線l的距離為，所以直線l與圓C相離.依圓的知識(shí)可知，四點(diǎn)A，P，B，C四點(diǎn)共圓，且，所以四邊形APBC的面積，而，當(dāng)直線時(shí)，，，此時(shí)四邊形APBC的面積最小.所以CP：即，由，解得，即.所以以CP為直徑的圓的方程為，即，兩圓的方程相減可得：，即為直線AB的方程.故選：C二、多項(xiàng)選擇（8道）11.（2022·廣東省揭陽市揭東區(qū)第三中學(xué)期中）已知圓：，則下列說法正確的是（）A.點(diǎn)在圓M內(nèi) B.圓M關(guān)于對稱C.半徑為 D.直線與圓M相切【答案】BD【解析】【分析】A選項(xiàng)，代入點(diǎn)坐標(biāo)，大于0，表示點(diǎn)在圓外；B選項(xiàng)，圓心在直線上，故關(guān)于直線對稱；C選項(xiàng)，配方后得到圓的半徑；D選項(xiàng)，利用點(diǎn)到直線距離進(jìn)行求解.【詳解】整理得：，∵，時(shí)，∴點(diǎn)在圓M外，A錯(cuò)；∵圓心M在直線上，∴圓M關(guān)于對稱，B對；∵圓M半徑為1，故C錯(cuò)；∵圓心到直線的距離為，與半徑相等，∴直線與圓M相切，D對.故選：BD.12.（2022·廣東省江門市第二中學(xué)期中）已知圓，直線.若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離都等于1，則b的可能值為（）A. B. C.1 D.【答案】BD【解析】【分析】由題可得圓心到直線距離為1，然后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即得.【詳解】由圓，可得圓心為，半徑為2，要使圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離都等于1，則圓心到直線的距離為1，所以，所以.故選：BD.13.（2022·廣東省江門市第二中學(xué)期中）圓和圓的交點(diǎn)為A，B則有（）A.公共弦AB所在直線方程為B.線段AB中垂線方程為C.公共弦AB的長為D.P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則P到直線AB距離的最大值為【答案】AB【解析】【分析】兩圓方程作差即可求解公共弦AB所在直線方程，可判斷A；由公共弦所在直線的斜率以及其中圓的圓心即可線段AB中垂線方程，可判斷B；求出圓心到公共弦所在的直線方程的距離，利用幾何法即可求出弦長，可判斷C；求出圓心到公共弦AB所在直線方程的距離，加上半徑即可判斷D.【詳解】對于A，由圓與圓的交點(diǎn)為A，B，兩式作差可得，即公共弦AB所在直線方程為，故A正確；對于B，圓的圓心為，，則線段AB中垂線斜率為，即線段AB中垂線方程為：，整理可得，故B正確；對于C，圓，圓心到的距離為，半徑，所以，故C錯(cuò)誤；對于D，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，圓心到的距離為，半徑，即P到直線AB距離的最大值為，故D錯(cuò)誤.故選:AB14.（2022·浙江省臺(tái)州市八校聯(lián)盟期中）已知圓與直線，下列選項(xiàng)正確的是（）A.圓圓心坐標(biāo)為 B.直線過定點(diǎn)C.直線與圓相交且所截最短弦長為 D.直線與圓可以相切【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)圓的方程直接求出圓心判斷A，直線恒過定點(diǎn)判斷B，利用垂徑定理結(jié)合圓的性質(zhì)求出最短弦長判斷C，利用直線恒過圓內(nèi)定點(diǎn)判斷D.【詳解】對于A，圓的圓心坐標(biāo)為，正確；對于B，直線方程即，由可得，所以直線過定點(diǎn)，正確；對于C，記圓心，直線過定點(diǎn)，則，當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，圓心到直線的距離最大，此時(shí)直線截圓所得的弦長最小，此時(shí)弦長為，正確；對于D，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，直線與圓必相交，錯(cuò)誤.故選：ABC15.（2022·山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)、淄博齊盛高中期中）已知直線：和圓O：，則（）A直線恒過定點(diǎn)B.存在k使得直線與直線：垂直C.直線與圓相交D.直線被圓截得的最短弦長為【答案】BC【解析】【分析】利用直線方程求定點(diǎn)可判斷選項(xiàng)A；利用兩直線的垂直關(guān)系與斜率的關(guān)系判斷選項(xiàng)B；利用直線恒過定點(diǎn)在圓內(nèi)可判斷選項(xiàng)C；利用弦長公式可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對A，由可得，，令，即，此時(shí)，所以直線恒過定點(diǎn)，A錯(cuò)誤；對B，因?yàn)橹本€：的斜率為，所以直線的斜率為，即，此時(shí)直線與直線垂直，滿足題意，B正確；對C，因?yàn)槎c(diǎn)到圓心的距離為，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓相交,C正確；對D，設(shè)直線恒過定點(diǎn)，圓心到直線的最大距離為,此時(shí)直線被圓截得的弦長最短為，D錯(cuò)誤；故選：BC.16.（2022·廣東省揭陽市揭東區(qū)第三中學(xué)）已知M為圓C：上的動(dòng)點(diǎn)，P為直線l：上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線l與圓C相切 B.直線l與圓C相離C.|PM|的最大值為 D.|PM|的最小值為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)圓心到直線l得距離，可知直線l與圓C相離；∵P、M均為動(dòng)點(diǎn)，對|PM|先固定點(diǎn)P可得，再看不難發(fā)現(xiàn)，即．【詳解】圓C：得圓心,半徑∵圓心到直線l：得距離∴直線l與圓C相離A不正確，B正確；C不正確，D正確；故選：BD．17.（2022·廣東省東莞市光明中學(xué)期中）下列說法正確的是（）A.直線的傾斜角的取值范圍為B.“”是“點(diǎn)到直線距離為3”的充要條件C.直線恒過定點(diǎn)D.直線與直線平行，且與圓相切【答案】ACD【解析】【分析】利用斜截式方程求解直線的傾斜角的范圍判斷；利用點(diǎn)到直線的距離判斷；直線系恒過的點(diǎn)的判斷；直線的平行與圓的位置關(guān)系判斷.【詳解】解：直線的傾斜角，可得，，所以的取值范圍為，，，所以正確；“點(diǎn)到直線距離為3”，可得．解得，，所以“”是“點(diǎn)到直線距離為3”的充分不必要條件，所以不正確；直線恒過定點(diǎn)，所以正確；直線即與直線平行，，所以直線與圓相切，所以正確；故選：ACD．18.（2022·廣東省東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中）方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則的取值可以是（）A. B. C.1 D.【答案】BC【解析】【分析】由題意可得，函數(shù)的圖象和直線有2個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求得的范圍．【詳解】方程有兩個(gè)不等實(shí)根，即函數(shù)的圖象和直線有2個(gè)交點(diǎn)．而函數(shù)是以原點(diǎn)為圓心，半徑等于1的上半圓（位于軸及軸上方的部分），直線，即的斜率為，且經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)直線和半圓相切時(shí)，由，求得．當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，由求得．?dāng)?shù)形結(jié)合可得的范圍為,，故選：BC．.三、填空題（10道）19.（2022·新疆烏魯木齊市第101中學(xué)期中）若圓與圓有3條公切線，則正數(shù)a=___________.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)兩圓外切半徑之和等于圓心距即可求解.【詳解】兩圓有三條公切線，則兩圓外切，∴∴故答案為：320.（2022·新疆烏魯木齊市第101中學(xué)期中）從圓外一點(diǎn)向圓引切線，則此切線的長為______．【答案】2【解析】【分析】作圖，利用圓心到定點(diǎn)的距離、半徑、切線長滿足勾股定理可得.【詳解】將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，則圓心，半徑1，如圖，設(shè)，，切線長．故答案為：221.（2022·新疆烏魯木齊市第101中學(xué)期中）若斜率為的直線與軸交于點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn)，則____________．【答案】【解析】【分析】設(shè)直線的方程為，則點(diǎn)，利用直線與圓相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.【詳解】設(shè)直線的方程為，則點(diǎn)，由于直線與圓相切，且圓心為，半徑為，則，解得或，所以，因?yàn)椋?故答案為：.22.（2022·廣東省江門市廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)附屬江門學(xué)校期中）過直線與直線的交點(diǎn)，圓心為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_____.【答案】【解析】【分析】先求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再求這點(diǎn)到圓心的距離就是半徑，從而可求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程詳解】由，得，所以直線與直線的交點(diǎn)為，所以圓的半徑為，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：23.（2022·廣東省江門市廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)附屬江門學(xué)校期中）已知圓：，圓：，若圓與圓中有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則r的值是___________.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)題意可得：兩圓相切，分為內(nèi)切和外切，利用圓心距和兩圓的半徑關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)閳A與圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以圓：與圓：相切.圓心距，當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)：，解得：；當(dāng)兩圓外切時(shí)：，解得：，所以的值為或，故答案為：或.24.（2022·新疆烏魯木齊市第101中學(xué)期中）在平面內(nèi)，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，爬到軸后又爬到圓上，則它爬到的最短路程是______．【答案】【解析】【分析】求得點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，結(jié)合圓的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由圓，得圓心坐標(biāo)，半徑為，求得點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)為，可得.如圖所示，可得爬到的最短路程為.故答案為：25.（2022·山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)、淄博齊盛高中期中）已知圓：與圓關(guān)于直線：對稱，且圓上任一點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)之間距離的最小值為，則實(shí)數(shù)的值為__________．【答案】2或6.【解析】【詳解】分析：由兩圓對稱可得到圓的圓心坐標(biāo)，然后根據(jù)圓上任一點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)之間距離的最小值為兩圓的圓心距減去兩半徑可得實(shí)數(shù)的值．詳解：設(shè)圓的圓心為，∵圓和圓關(guān)于直線對稱，∴，解得，∴圓的圓心為．∴．∵圓上任一點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)之間距離的最小值為為，∴，解得或．26.（2022·廣東省揭陽市揭東區(qū)第三中學(xué)期中）若直線被圓截得線段的長為6，則實(shí)數(shù)的值為__________.【答案】【解析】【分析】求解圓心到直線的距離，結(jié)合圓的弦長公式求解即可．【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離．據(jù)題意，得，解得．故答案為：27.（2022·蕺山外國語學(xué)校期中）直線：與圓：交于，兩點(diǎn)，則直線與直線的傾斜角之和為________.【答案】【解析】【分析】聯(lián)立方程，求出的坐標(biāo)，設(shè)直線與直線的傾斜角分別為，分別求出兩直線的斜率，即，再求出即可.【詳解】圓心，聯(lián)立，消得，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不妨取，設(shè)直線與直線的傾斜角分別為，則，，所以，則，則，所以，即直線與直線的傾斜角之和為.故答案為：.28.（2022·江蘇省連云港市贛榆中學(xué)期中）已知點(diǎn)P在圓上，點(diǎn)，，，則（）A. B.當(dāng)面積最大時(shí)，C.當(dāng)最小時(shí)， D.當(dāng)最大時(shí)，【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離、三角形的面積、角的大小等知識(shí)對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】設(shè)，則，，，所以，A選項(xiàng)正確.，當(dāng)，時(shí)，面積最大，對應(yīng)，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對于CD選項(xiàng)，只需過點(diǎn)的直線與圓相切即可，而，則當(dāng)與圓相切時(shí)，，所以CD選項(xiàng)正確.故選：ACD四、簡答題（）29.（2022·廣東省惠州市豐湖高級(jí)中學(xué)期中）已知圓．（1）若直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求；（2）已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求過點(diǎn)P的圓C的切線的方程．【答案】（1）2（2）或．【解析】【分析】（1）用幾何法由勾股定理求弦長；（2）分斜率存在和不存在兩種情況分別求解，斜率存在時(shí)設(shè)切線方程，由圓心到切線距離等于半徑求解．【小問1詳解】由題意圓心到直線的距離為，圓半徑為，∴弦長；【小問2詳解】在直線斜率不存在時(shí)，顯然直線與圓相切，在直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，即，由，解得，切線方程，即．、綜上，切線方程為或．30.（2022·廣東省江門市廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)附屬江門學(xué)校期中）已知三點(diǎn)在圓C上，直線，（1）求圓C的方程;（2）判斷直線與圓C的位置關(guān)系；若相交，求直線被圓C截得的弦長．【答案】（1）（2）直線與圓C相交，弦長為【解析】【分析】（1）圓C的方程為:，再代入求解即可；（2）先求解圓心到直線的距離可判斷直線與圓C相交，再用垂徑定理求解弦長即可【小問1詳解】設(shè)圓C的方程為:，由題意得:，消去F得:，解得:，∴F=4，∴圓C的方程為:.【小問2詳解】由（1）知:圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為:，圓心，半徑;點(diǎn)到直線的距離，故直線與圓C相交，故直線被圓C截得的弦長為31.（2022·廣東省江門市廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)附屬江門學(xué)校期中）已知圓，圓.（1）分別將圓和圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，并寫出它們的圓心坐標(biāo)和半徑；（2）求圓與圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長.【答案】（1）的圓心為，半徑為，的圓心為，半徑為（2）【解析】【分析】（1）配方得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心和半徑；（2）兩圓相減得到公共弦所在直線方程，利用點(diǎn)到直線距離公式和垂徑定理得到弦長.【小問1詳解】變形為，圓心為，半徑為，變形為，圓心為，半徑為；【小問2詳解】與相減得到公共弦所在直線方程，即，整理得：，圓心到直線的距離為，故公共弦長為.32.（2022·廣東省惠州市豐湖高級(jí)中學(xué)期中）已知圓經(jīng)過兩點(diǎn)，且圓心在軸上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線與直線平行，且與圓相交所得弦長為，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，運(yùn)用待定系數(shù)法列方程組求解；（2）先用斜截式設(shè)直線方程，然后根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，弦長公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中，半徑為，圓經(jīng)過點(diǎn)，解得，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】由題意可得：，所以直線的斜率為，設(shè)的方程為，圓心到直線的距離為，直線與圓相交所得弦長為，解得或經(jīng)檢驗(yàn)知，當(dāng)時(shí)，直線與直線重合，舍去所以的方程為.33.（2022·福建省泉州市第六中學(xué)期中）在①，②最小，③過A，B兩點(diǎn)分別作圓C的切線，切線交于點(diǎn)P（2，0）這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并求解．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，直線l過定點(diǎn)M（1，1）．設(shè)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)______時(shí)，求直線l的方程．【答案】【解析】【分析】若選條件①，根據(jù)勾股定理可知，設(shè)出直線方程，再根據(jù)弦長公式即可求出；若選條件②，由點(diǎn)M（1，1）在圓內(nèi)，可知當(dāng)點(diǎn)M（1，1）為弦AB的中點(diǎn)時(shí)，最小，此時(shí)，由此可得直線斜率，從而解出；若選條件③，由圓與圓的位置關(guān)系可知，由此可得直線斜率，從而解出．【詳解】將圓的方程化為，則C（0，2），半徑r＝2．方案一：選條件①．因?yàn)?，所以，所以．?dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，方程為x＝1，此時(shí)，不符合題意．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，即，由題意可知，即，解得k＝1，所以直線．方案二：選條件②．當(dāng)直線所過定點(diǎn)M（1，1）為弦AB的中點(diǎn)時(shí)，最小，此時(shí)，，所以直線l的斜率為1，所以直線．方案三：選條件③．因?yàn)檫^A，B兩點(diǎn)分別作圓C的切線，切線交于P（2，0），所以，，所以直線l的斜率為1，又直線過定點(diǎn)M（1，1），所以直線．34.（2022·廣東省江門市第二中學(xué)期中）已知圓經(jīng)過點(diǎn)，,且它的圓心在直線上.（Ⅰ）求圓的方程;（Ⅱ）求圓關(guān)于直線對稱的圓的方程．（Ⅲ）若點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，且點(diǎn),求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】