高中數(shù)學選修21講義第二章25圓錐曲線的統(tǒng)一定義

_2.5圓錐曲線的統(tǒng)一定義拋物線可以看成平面內(nèi)的到定點(焦點)F的距離與到定直線(準線)l的距離的比值等于1(離心率)的動點的軌跡．在坐標平面內(nèi)有一定點F(c,0)，定直線x＝eq\f(a2,c)(a>0，c>0)．動點P(x，y)到定點F(c,0)的距離與到定直線x＝eq\f(a2,c)的距離的比為eq\f(c,a).問題1：求動點P(x，y)的軌跡方程．提示：由eq\f(\r(x－c2＋y2),|\f(a2,c)－x|)＝eq\f(c,a)，化簡得：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)．問題2：當a>c，即0<eq\f(c,a)<1時，軌跡是什么？提示：橢圓．問題3：當a<c，即eq\f(c,a)>1時，軌跡是什么？提示：雙曲線．圓錐曲線可以統(tǒng)一定義為：平面內(nèi)到一個定點F和到一條定直線l(F不在l上)的距離的比等于常數(shù)e的點的軌跡．當0＜e＜1時，它表示橢圓，當e＞1時，它表示雙曲線，當e＝1時，它表示拋物線．其中e是離心率，定點F是圓錐曲線的焦點，定直線l是圓錐曲線的準線.從拋物線的定義知，拋物線只有一個焦點和一條準線，那么橢圓、雙曲線有幾個焦點，幾條準線？提示：橢圓、雙曲線分別有兩個焦點，兩條準線．橢圓、雙曲線和拋物線的準線方程曲線方程準線方程曲線方程準線方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)x＝±eq\f(a2,c)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)y＝±eq\f(a2,c)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)x＝±eq\f(a2,c)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)y＝±eq\f(a2,c)y2＝2px(p＞0)x＝－eq\f(p,2)x2＝2py(p＞0)y＝－eq\f(p,2)y2＝－2px(p＞0)x＝eq\f(p,2)x2＝－2py(p＞0)y＝eq\f(p,2)圓錐曲線的第一定義與第二定義的區(qū)別橢圓、雙曲線的第一定義突出了動點與兩定點的距離關(guān)系，第二定義主要表現(xiàn)了動點與一定點和一條定直線的距離之比的關(guān)系，所以在選用兩種定義時可根據(jù)題目條件的不同適當選擇．利用第一定義可以把到一個定點的距離轉(zhuǎn)化為到另一點的距離，利用第二定義可以把到定點與到定直線的距離互相轉(zhuǎn)化，對于拋物線，第一定義與第二定義是一致的．[例1]過圓錐曲線C的一個焦點F的直線l交曲線C于A，B兩點，且以AB為直徑的圓與F相應(yīng)的準線相交，則曲線C為________．[思路點撥]利用圓錐曲線第二定義進行轉(zhuǎn)化，由圓心到直線的距離和半徑的大小關(guān)系，建立不等式求e的范圍即可判斷．[精解詳析]設(shè)圓錐曲線的離心率為e，M為AB的中點，A，B和M到準線的距離分別為d1，d2和d，圓的半徑為R，d＝eq\f(d1＋d2,2)，R＝eq\f(AB,2)＝eq\f(FA＋FB,2)＝eq\f(ed1＋d2,2).由題意知R＞d，則e＞1，圓錐曲線為雙曲線．[答案]雙曲線[一點通]解答這種類型的問題時，巧妙應(yīng)用圓錐曲線的統(tǒng)一定義進行轉(zhuǎn)化，即e＝eq\f(PF1,d1)＝eq\f(PF2,d2).有時會應(yīng)用到數(shù)形結(jié)合的思想方法，這種類型多為客觀題，以考查統(tǒng)一定義的應(yīng)用為主．1．方程eq\r(1＋x2＋y2)＝|x＋y－1|對應(yīng)點P(x，y)的軌跡為________．解析：由eq\r(1＋x2＋y2)＝|x＋y－1|得eq\f(\r([x－－1]2＋y2),\f(|x＋y－1|,\r(2)))＝eq\r(2).可看作動點P(x，y)到定點(－1,0)的距離與到定直線x＋y－1＝0的距離比為eq\r(2)>1的軌跡方程，由圓錐曲線統(tǒng)一定義可知，軌跡為雙曲線．答案：雙曲線2．若將例1中“相交”二字改為“相離”，判斷曲線的形狀；把“相交”二字改為“相切”，再判斷曲線的形狀．解：設(shè)圓錐曲線的離心率為e，M是AB中點，A，B和M到準線的距離分別為d1，d2和d，圓的半徑為R，則d＝eq\f(d1＋d2,2)，R＝eq\f(AB,2)＝eq\f(FA＋FB,2)＝eq\f(ed1＋d2,2).當圓與準線相離時，R＜d，即eq\f(ed1＋d2,2)＜eq\f(d1＋d2,2)，∴0＜e＜1，圓錐曲線為橢圓．當圓與準線相切時，R＝d，∴e＝1，圓錐曲線為拋物線.[例2]已知動點P(x，y)到點A(0,3)與到定直線y＝9的距離之比為eq\f(\r(3),3)，求動點P的軌跡．[思路點撥]此題解法有兩種一是定義法，二是直譯法．[精解詳析]法一：由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知：P點的軌跡是一橢圓，c＝3，eq\f(a2,c)＝9，則a2＝27，a＝3eq\r(3)，∴e＝eq\f(3,3\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，與已知條件相符．∴橢圓中心在原點，焦點為(0，±3)，準線y＝±9.b2＝18，其方程為eq\f(y2,27)＋eq\f(x2,18)＝1.法二：由題意得eq\f(\r(x2＋y－32),|9－y|)＝eq\f(\r(3),3).整理得eq\f(y2,27)＋eq\f(x2,18)＝1.P點的軌跡是以(0，±3)為焦點，以y＝±9為準線的橢圓．[一點通]解決此類題目有兩種方法：①是直接列方程，代入后化簡整理即得方程．②是根據(jù)定義判斷軌跡是什么曲線，然后確定其幾何性質(zhì)，從而得出方程．3．平面內(nèi)的動點P(x，y)(y>0)到點F(0,2)的距離與到x軸的距離之差為2，求動點P的軌跡．解：如圖：作PM⊥x軸于M，延長PM交直線y＝－2于點N.∵PF－PM＝2，∴PF＝PM＋2.又∵PN＝PM＋2，∴PF＝PN.∴P到定點F與到定直線y＝－2的距離相等．由拋物線的定義知，P的軌跡是以F為焦點，以y＝－2為準線的拋物線，頂點在原點，p＝4.∴拋物線方程為x2＝8y(y>0)．∴動點P的軌跡是拋物線．4．在平面直角坐標系xOy中，已知F1(－4,0)，直線l：x＝－2，動點M到F1的距離是它到定直線l距離d的eq\r(2)倍．設(shè)動點M的軌跡曲線為E.(1)求曲線E的軌跡方程；(2)設(shè)點F2(4,0)，若直線m為曲線E的任意一條切線，且點F1，F(xiàn)2到m的距離分別為d1，d2，試判斷d1d2是否為常數(shù)，并說明理由．解：(1)由題意，設(shè)點M(x，y)，則有MF1＝eq\r(x＋42＋y2)，點M(x，y)到直線l的距離d＝|x－(－2)|＝|x＋2|，故eq\r(x＋42＋y2)＝eq\r(2)|x＋2|，化簡得x2－y2＝8.故動點M的軌跡方程為x2－y2＝8.(2)d1d2是常數(shù)，證明如下：若切線m斜率不存在，則切線方程為x＝±2eq\r(2)，此時d1d2＝(c＋a)·(c－a)＝b2＝8.當切線m斜率存在時，設(shè)切線m：y＝kx＋t，代入x2－y2＝8，整理得：x2－(kx＋t)2＝8，即(1－k2)x2－2tkx－(t2＋8)＝0.Δ＝(－2tk)2＋4(1－k2)(t2＋8)＝0，化簡得t2＝8k2－8.又由kx－y＋t＝0，d1＝eq\f(|－4k＋t|,\r(k2＋1))，d2＝eq\f(|4k＋t|,\r(k2＋1))，d1d2＝eq\f(|16k2－t2|,k2＋1)＝eq\f(|16k2－8k2－8|,k2＋1)＝8,8為常數(shù)．綜上，對任意切線m，d1d2是常數(shù).[例3]已知定點A(－2，eq\r(3))，點F為橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的右焦點，點M在橢圓上運動，求AM＋2MF的最小值，并求此時點M的坐標．[思路點撥]利用統(tǒng)一定義把MF轉(zhuǎn)化為點M到相應(yīng)準線的距離，數(shù)形結(jié)合便可迎刃而解．[精解詳析]∵a＝4，b＝2eq\r(3)，∴c＝eq\r(a2－b2)＝2.∴離心率e＝eq\f(1,2).A點在橢圓內(nèi)，設(shè)M到右準線的距離為d，則eq\f(MF,d)＝e，即MF＝ed＝eq\f(1,2)d，右準線l：x＝8.∴AM＋2MF＝AM＋d.∵A點在橢圓內(nèi)，∴過A作AK⊥l(l為右準線)于K，交橢圓于點M0.則A、M、K三點共線，即M與M0重合時，AM＋d最小為AK，其值為8－(－2)＝10.故AM＋2MF的最小值為10，此時M點坐標為(2eq\r(3)，eq\r(3))．[一點通]圓錐曲線的統(tǒng)一定義通常用來解決一些與距離有關(guān)的最值問題，利用定義，實現(xiàn)曲線上的點到焦點的距離與到相應(yīng)準線的距離間的互化，互化時應(yīng)注意焦點與準線的對應(yīng)．5．已知雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的右焦點為F，點A(9,2)，M為雙曲線上的動點，則MA＋eq\f(3,5)MF的最小值為______．解析：雙曲線離心率e＝eq\f(5,3)，由圓錐曲線統(tǒng)一定義知eq\f(MF,d)＝e(d為點M到右準線l的距離)，右準線l的方程為x＝eq\f(9,5)，顯然當AM⊥l時，AM＋d最小，而AM＋eq\f(3,5)MF＝MA＋eq\f(3,5)de＝MA＋d.而AM＋d的最小值為A到l的距離為9－eq\f(9,5)＝eq\f(36,5).答案：eq\f(36,5)6．若點P的坐標是(－1，－3)，F(xiàn)為橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的右焦點，點Q在橢圓上移動，當QF＋eq\f(1,2)PQ取得最小值時，求點Q的坐標，并求出最小值．解：在eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1中a＝4，b＝2eq\r(3)，c＝2，∴e＝eq\f(1,2)，橢圓的右準線l：x＝8，過點Q作QQ′⊥l于Q′，則eq\f(QF,QQ′)＝e.∴QF＝eq\f(1,2)QQ′.∴QF＋eq\f(1,2)PQ＝eq\f(1,2)QQ′＋eq\f(1,2)PQ＝eq\f(1,2)(QQ′＋PQ)．要使QQ′＋PQ最小，由圖可知P、Q、Q′三點共線，所以由P向準線l作垂線，與橢圓的交點即為QF＋eq\f(1,2)PQ最小時的點Q，∴Q的縱坐標為－3，代入橢圓得：Q的橫坐標為x＝2.∴Q為(2，－3)，此時QF＋eq\f(1,2)PQ＝eq\f(9,2).[例4]求橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1的離心率與準線方程，并求與該橢圓有相同準線且離心率互為倒數(shù)的雙曲線方程．[思路點撥]由方程確定a、c，從而求e與準線，由橢圓的準線、離心率再確定雙曲線的實軸、虛軸長，求出雙曲線的方程．[精解詳析]由eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1知a＝5，b＝4，c＝3.e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，準線方程為y＝±eq\f(25,3).設(shè)雙曲線虛半軸長為b′，實半軸長為a′，半焦距為c′，離心率為e′，則e′＝eq\f(1,e)＝eq\f(5,3)，又∵eq\f(a2,c)＝eq\f(a′2,c′)＝eq\f(25,3).解得：a′＝eq\f(125,9)，c′＝eq\f(625,27)，b′2＝eq\f(250000,729).∴雙曲線方程為eq\f(81y2,15625)－eq\f(729x2,250000)＝1.[一點通]此類問題首先判斷該圓錐曲線是什么曲線，然后化成標準方程，確定出a、b、c、p，進而求離心率和準線方程．7．(天津高考)已知拋物線y2＝8x的準線過雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一個焦點，且雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的方程為________．解析：拋物線y2＝8x的準線x＝－2過雙曲線的一個焦點，所以c＝2，又離心率為2，所以a＝1，b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(3)，所以該雙曲線的方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.答案：x2－eq\f(y2,3)＝18．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦距為2eq\r(10)，若一雙曲線與此橢圓共焦點，且它的實軸長比橢圓的長軸長短8，雙曲線的離心率與橢圓的離心率之比是5∶1，求橢圓和雙曲線的方程，并求其相應(yīng)的準線方程．解：設(shè)a′，b′分別為雙曲線的實半軸長和虛半軸長，依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－a′＝4，,\f(\r(10),a′)：\f(\r(10),a)＝5∶1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a′＝1，,a＝5.))所以橢圓的短半軸長b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(15)，雙曲線的虛半軸長b′＝eq\r(c2－a′2)＝3.故橢圓和雙曲線的方程分別是eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,15)＝1和x2－eq\f(y2,9)＝1.橢圓的準線方程為x＝±eq\f(5,2)eq\r(10)，雙曲線的準線方程為x＝±eq\f(\r(10),10).1．圓錐曲線的判斷：要判斷所給曲線是哪種圓錐曲線，常利用圓錐曲線的定義求解，其思路是：(1)如果遇到有動點到兩定點的距離問題應(yīng)自然聯(lián)想到橢圓及雙曲線的定義．(2)如果遇到動點到一個定點和一條定直線的距離問題應(yīng)自然聯(lián)想到橢圓、雙曲線和拋物線的統(tǒng)一定義．2．圓錐曲線共同特征的應(yīng)用：設(shè)F為圓錐曲線的焦點，A為曲線上任意一點，d為點A到定直線的距離，由eq\f(AF,d)＝e變形可得d＝eq\f(AF,e).由這個變形可以實現(xiàn)由AF到d的轉(zhuǎn)化，借助d則可以解決一些最值問題．課時達標訓練（十三）1．雙曲線2x2－y2＝－16的準線方程為________．解析：原方程可化為eq\f(y2,16)－eq\f(x2,8)＝1.∵a2＝16，c2＝a2＋b2＝16＋8＝24，∴c＝2eq\r(6).∴準線方程為y＝±eq\f(a2,c)＝±eq\f(16,2\r(6))＝±eq\f(4\r(6),3).答案：y＝±eq\f(4\r(6),3)2．設(shè)P是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上一點，M，N分別是兩圓：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的點，則PM＋PN的最小值、最大值分別為________________．解析：PM＋PN最大值為PF1＋1＋PF2＋1＝12，最小值為PF1－1＋PF2－1＝8.答案：8,123．到直線y＝－4的距離與到A(0，－2)的距離的比值為eq\r(2)的點M的軌跡方程為________．解析：設(shè)M(x，y)，由題意得eq\f(|y＋4|,\r(x2＋y＋22))＝eq\r(2).化簡得eq\f(y2,8)＋eq\f(x2,4)＝1.答案：eq\f(y2,8)＋eq\f(x2,4)＝14．(福建高考)橢圓Γ：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y＝eq\r(3)(x＋c)與橢圓Γ的一個交點M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于________．解析：直線y＝eq\r(3)(x＋c)過點F1(－c,0)，且傾斜角為60°，所以∠MF1F2＝60°，從而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，MF1＝c，MF2＝eq\r(3)c，所以該橢圓的離心率e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(2c,c＋\r(3)c)＝eq\r(3)－1.答案：eq\r(3)－15．已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1內(nèi)部的一點為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,3)))，F(xiàn)為右焦點，M為橢圓上一動點，則MA＋eq\r(2)MF的最小值為________．解析：設(shè)M到右準線的距離為d，由圓錐曲線定義知eq\f(MF,d)＝eq\f(\r(2),2)，右準線方程為x＝eq\f(a2,c)＝2eq\r(2).∴d＝eq\r(2)MF.∴MA＋eq\r(2)MF＝MA＋d.由A向右準線作垂線，垂線段長即為MA＋d的最小值，∴MA＋d≥2eq\r(2)－1.答案：2eq\r(2)－16．已知橢圓eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,36)＝1上有一點P，到其左、右兩焦點距離之比為1∶3，求點P到兩準線的距離及點P的坐標．解：設(shè)P(x，y)，左、右焦點分別為F1、F2.由已知的橢圓方程可得a＝10，b＝6，c＝8，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，準線方程為x＝±eq\f(25,2).∵PF1＋PF2＝2a＝20，且PF1∶PF2＝1∶3，∴PF1＝5，PF2＝15.設(shè)P到兩準線的距離分別為d1、d2，則由eq\f(PF1,d1)＝eq\f(PF2,d2)＝e＝eq\f(4,5)，得d1＝eq\f(25,4)，d2＝eq\f(75,4).∴x＋eq\f(a2,c)＝x＋eq\f(25,2)＝eq\f(25,4)，∴x＝－eq\f(25,4).代入橢圓方程，得y＝±eq\f(3\r(39),4).∴點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(25,4)，\f(3\r(39),4)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(25,4)，－\f(3\r(39),4))).7．已知平面內(nèi)的動點P到定直線l：x＝2eq\r(2)的距離與點P到定點F(eq\r(2)，0)之比為eq\r(2).(1)求動點P的軌跡C的方程；(2)若點N為軌跡C上任意一點(不在x軸上)，過原點O作直線AB，交(1)中軌跡C于點A、B，且直線AN、BN的斜率都存在，分別為k1、k2，問k1·k2是否為定值？解：(1)設(shè)點P(x，y)，依題意，有eq\f(\r(x－\r(2)2＋y2),|x－2\r(2)|)＝eq\f(\r(2),2).整理，得eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.所以動點P的軌跡C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)由題意，設(shè)N(x1，y1)，A(x2，y2)，則B(－x2，－y2)，eq\f(x\o\al(2,1),4)＋eq\f(y\o\al(2,1),2)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),4)＋eq