四川省成都市鐵路工程學(xué)校高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

四川省成都市鐵路工程學(xué)校高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知曲線（為參數(shù)），點P為在x軸、y軸上截距分別為8，-4的直線上的一個動點，過點P向曲線引兩條切線PA，PB，其中A，B為切點，則直線AB恒過點（

）A.(2,0) B. C.(1,－1) D.參考答案：D【分析】根據(jù)條件轉(zhuǎn)化得出曲線C和直線的直角坐標方程，根據(jù)題意設(shè)的坐標，由切線的性質(zhì)得點、在以為直徑的圓上，求出圓的方程，將兩個圓的方程相減表示出公共弦所在的直線方程，再求出直線過的定點坐標．【詳解】解：是直線的任一點，設(shè)，曲線（為參數(shù)），即圓，由題意知，，，則點在以為直徑的圓上，即是圓和圓的公共弦，則圓心的坐標是，且，圓的方程：①，又②，②-①得，，即公共弦所在的直線方程：即，由解得：直線恒過定點，故選.【點睛】本題考查了參數(shù)方程，圓的切線性質(zhì)，圓和圓的位置關(guān)系，公共弦所在直線求法以及直線過定點問題，屬于中檔題．2.如果實數(shù)滿足不等式組，目標函數(shù)的最大值為6，最小值為0，則實數(shù)的值為（

）A.1

B.2

C.3

D.4

參考答案：B略3.設(shè)直線與平面所成角的大小范圍為集合，二面角的平面角大小范圍為集合，異面直線所成角的大小范圍為集合，則的關(guān)系為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B4.等比數(shù)列的前項和，若對任意正整數(shù)等式成立，則的值為（

）A．-3

B．1

C.-3或1

D．1或3參考答案：C5.曲線在點處的切線方程是

A．

B.C.

D.參考答案：B即切線的斜率為-ln2.切點為，所以②③④切線方程為，即，選B.6.下列函數(shù)的圖象，經(jīng)過平移或翻折后不能與函數(shù)的圖象重合的函數(shù)是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：答案：C7.已知，是兩個單位向量，則的最大值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A設(shè)則，，所以當且僅當時，取到最大值5.,所以的最大值為,故選A.

8.在ABC中，若+-=-ac,那么B等于（

）A,

B,

C,

D,參考答案：C略9.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）對應(yīng)的點位于（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限參考答案：A【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡復(fù)數(shù)，求出在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標，則答案可求．【解答】解：=，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標為：（，），位于第四象限．故選：A．10.過拋物線焦點的直線交該拋物線于A，B兩點，若線段AB中點的橫坐標為4，則

A.14

B．12

C.l0

D.8參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知實數(shù)、滿足條件則的最大值為

.參考答案：答案：8解析：畫出可行域知在兩直線交點（2，3）處取得最大值812.已知函數(shù)若，則

.參考答案：13.如某校高中三年級的300名學(xué)生已經(jīng)編號為0，1，……，299，為了了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，要抽取一個樣本數(shù)為60的樣本，用系統(tǒng)抽樣的方法進行抽取，若第59段所抽到的編號為293，則第1段抽到的編號為

.參考答案：314.等差數(shù)列{an}中，，，（），則數(shù)列{an}的公差為________參考答案：.【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可計算出的值，由此可得出數(shù)列的公差.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，又，，則，，即數(shù)列的公差為，故答案為：.【點睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計算，對于等差數(shù)列基本量的計算，通常利用首項和公差建立方程組求解，考查計算能力，屬于中等題.15.偶函數(shù)f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的圖象過點P（0，1），且在x=1處的切線方程為y=x﹣2，則y=f（x）的解析式為

．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；函數(shù)解析式的求解及常用方法．【專題】計算題．【分析】先根據(jù)f（x）的圖象經(jīng)過點（0，1）求出e，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，建立一等量關(guān)系，再根據(jù)切點在曲線上建立一等式關(guān)系，解方程組即可．【解答】解：f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的圖象經(jīng)過點（0，1），則e=1，∵偶函數(shù)f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e，故f（﹣x）=f（x）恒成立，則b=d=0即f（x）=ax4+cx2+ef'（x）=4ax3+2cx，k=f'（1）=4a+2c=1切點為（1，﹣1），則f（x）=ax4+cx2+1的圖象經(jīng)過點（1，﹣1），得a+c+1=﹣1，得a=，c=﹣f（x）=﹣2+1故答案為：f（x）=﹣2+1【點評】本題考查偶函數(shù)的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的計算與應(yīng)用，注意導(dǎo)數(shù)計算公式的正確運用與導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，屬于基礎(chǔ)題．16.已知雙曲線，過x軸上點P的直線與雙曲線的右支交于M，N兩點（M在第一象限），直線MO交雙曲線左支于點Q（O為坐標原點），連接QN．若∠MPO=60°，∠MNQ=30°，則該雙曲線的離心率為．參考答案：【考點】KC：雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】由題意可得M，Q關(guān)于原點對稱，即可得到kMN?kQN=，分別求出相對應(yīng)的斜率，再根據(jù)離心率公式即可求出【解答】解：由題意可知：M，Q關(guān)于原點對稱，∴kMN?kQN=，∵kMN=﹣，kQN=﹣，∴=1，∴e===故答案為：．17.已知函數(shù)，是區(qū)間內(nèi)任意兩個實數(shù)，則事件發(fā)生的概率為___________．參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分）已知函數(shù)，其中.（1）若曲線在點處的切線方程為,求函數(shù)的解析式；（2）若對于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）解：，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，于是．由切點在直線上可得，解得．所以函數(shù)的解析式為．(6分)（Ⅱ）解：．當時，令，解得．當變化時，，的變化情況如下表：＋0－－0＋↗極大值↘↘極小值↗所以在，內(nèi)是增函數(shù)，在，內(nèi)是減函數(shù)．在上的最大值為與的較大者，對于任意的，不等式在上恒成立，當且僅當，即，對任意的成立．從而得．(6分)19.已知函數(shù)f（x）=sin2x+sin2x．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（）=，△ABC的面積為3，求a的最小值．參考答案：【考點】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2x﹣）+，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，即可得解函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．（2）由f（）=，化簡可得：sin（A﹣）=，由A∈（0，π），可得A﹣的范圍，從而可求A的值，利用三角形面積公式可求bc=12，利用余弦定理，基本不等式即可解得a的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x+sin2x=+sin2x=sin（2x﹣）+，∴2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[kπ+，kπ+]，k∈Z．（2）∵f（）=，即：sin（2×﹣）+=，化簡可得：sin（A﹣）=，又∵A∈（0，π），可得：A﹣∈（﹣，），∴A﹣=，解得：A=，∵S△ABC=bcsinA=bc=3，解得：bc=12，∴a==≥=2．（當且僅當b=c時等號成立）．故a的最小值為2．20.如圖，一個湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）．規(guī)劃在公路l上選兩個點P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA．規(guī)劃要求:線段PB、QA上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑．已知點A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測得AB=10，AC=6，BD=12（單位:百米）．（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長；（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個點選在D處？并說明理由；（3）對規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長度均為d（單位：百米）.求當d最小時，P、Q兩點間的距離．參考答案：（1）15（百米）；（2）見解析；（3）17+（百米）.【分析】解：解法一：（1）過A作，垂足為E.利用幾何關(guān)系即可求得道路PB的長；（2）分類討論P和Q中能否有一個點選在D處即可.（3）先討論點P的位置，然后再討論點Q的位置即可確定當d最小時，P、Q兩點間的距離．解法二：（1）建立空間直角坐標系，分別確定點P和點B的坐標，然后利用兩點之間距離公式可得道路PB的長；（2）分類討論P和Q中能否有一個點選在D處即可.（3）先討論點P的位置，然后再討論點Q的位置即可確定當d最小時，P、Q兩點間的距離．【詳解】解法一：（1）過A作，垂足為E.由已知條件得，四邊形ACDE為矩形，.因為PB⊥AB，所以.所以.因此道路PB的長為15（百米）.（2）①若P在D處，由（1）可得E在圓上，則線段BE上的點（除B，E）到點O的距離均小于圓O的半徑，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.②若Q在D處，連結(jié)AD，由（1）知，從而，所以∠BAD為銳角.所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.因此，Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上，P和Q均不能選在D處.（3）先討論點P的位置.當∠OBP<90°時，線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑，點P不符合規(guī)劃要求；當∠OBP≥90°時，對線段PB上任意一點F，OF≥OB，即線段PB上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑，點P符合規(guī)劃要求.設(shè)P1為l上一點，且，由（1）知，，此時；當∠OBP>90°時，在中，.由上可知，d≥15.再討論點Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，點Q只有位于點C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.當QA=15時，.此時，線段QA上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.綜上，當PB⊥AB，點Q位于點C右側(cè)，且CQ=時，d最小，此時P，Q兩點間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+.因此，d最小時，P，Q兩點間的距離為17+（百米）.解法二：（1）如圖，過O作OH⊥l，垂足為H.以O(shè)為坐標原點，直線OH為y軸，建立平面直角坐標系.因為BD=12，AC=6，所以O(shè)H=9，直線l的方程為y=9，點A，B的縱坐標分別為3，?3.因為AB為圓O的直徑，AB=10，所以圓O的方程為x2+y2=25.從而A（4，3），B（?4，?3），直線AB的斜率為.因為PB⊥AB，所以直線PB的斜率為，直線PB的方程為.所以P（?13，9），.因此道路PB的長為15（百米）.（2）①若P在D處，取線段BD上一點E（?4，0），則EO=4<5，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.②若Q在D處，連結(jié)AD，由（1）知D（?4，9），又A（4，3），所以線段AD：.在線段AD上取點M（3，），因為，所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.因此Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上，P和Q均不能選在D處.（3）先討論點P的位置.當∠OBP<90°時，線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑，點P不符合規(guī)劃要求；當∠OBP≥90°時，對線段PB上任意一點F，OF≥OB，即線段PB上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑，點P符合規(guī)劃要求.設(shè)P1為l上一點，且，由（1）知，，此時；當∠OBP>90°時，在中，.由上可知，d≥15.再討論點Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，點Q只有位于點C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.當QA=15時，設(shè)Q（a，9），由，得a=，所以Q（，9），此時，線段QA上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.綜上，當P（?13，9），Q（，9）時，d最小，此時P，Q兩點間的距離.因此，d最小時，P，Q兩點間的距離為（百米）.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用、解方程、直線與圓等基礎(chǔ)知識，考查直觀想象和數(shù)學(xué)建模及運用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力.

21.已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，Sn=nan﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2=11．（1）求a1的值；（2）求數(shù)列{an}的前n項和Sn；（3）設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=，求證：b1+b2+…+bn＜．參考答案：考點：數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（1）由已知得S2=a1+a2=2a2﹣3×2（2﹣1），a2=11，由此能求出a1．（2）當n≥2時，由an=Sn﹣Sn﹣1，得an=nan﹣3n（n﹣1）﹣（n﹣1）an﹣1﹣3（n﹣1）（n﹣2），從而得到數(shù)列{an}是首項a1=5，公差為6的等差數(shù)列，由此能求出數(shù)列{an}的前n項和Sn．（3）由=（），由此能證明b1+b2+…+bn＜．解答： 解：（1）∵Sn=nan﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2=11．∴S2=a1+a2=2a2﹣3×2（2﹣1