特殊四邊形知識(shí)點(diǎn)梳理

特殊四邊形知識(shí)點(diǎn)梳理一、平行四邊形1、定義：（）的四邊形叫做平行四邊形。2、性質(zhì)：①平行四邊形的對(duì)邊（）②平行四邊形的對(duì)邊（）③平行四邊形的對(duì)角（）④平行四邊形的鄰角（）⑤平行四邊形的兩條對(duì)角線（）⑥平行四邊形是（），對(duì)稱中心是（）3、判定①一組對(duì)邊（）的四邊形是平行四邊形②兩組對(duì)邊（）的四邊形是平行四邊形③兩組對(duì)邊（）的四邊形是平行四邊形④兩條對(duì)角線（）的四邊形是平行四邊形４、常用結(jié)論：①平行四邊形的兩條對(duì)角線把它分成了四個(gè)（）的小三角形（等底等高），分成了四對(duì)（）。②平行線間的（）處處相等③任意兩個(gè)全等三角形都可以拼成一個(gè)（）④()四個(gè)內(nèi)角度數(shù)比可以為a:b:a:b二、菱形1、定義：（）的平行四邊形叫做菱形2、性質(zhì)：①具有（）的一切性質(zhì)②菱形的四條邊（）③菱形的兩條對(duì)角線（）④菱形的每一條對(duì)角線（）⑤菱形是（），也是（），對(duì)稱軸是（）所在的直線⑥菱形面積等于底乘以高，也等于（）3、判定：①（）的平行四邊形是菱形②（）的四邊形是菱形③（）的平行四邊形是菱形４、常用結(jié)論：①直角三角形中，（）等于斜邊的平方②直角三角形中,30度的角所對(duì)的直角邊是（）③如果２２＋１２＝（√5）2，那么以2、1、√5為邊的三角形是(）三、矩形1、定義：（）的平行四邊形叫做矩形2、性質(zhì)：①具有（）的一切性質(zhì)②矩形四個(gè)角都是（）③矩形的兩條對(duì)角線（）且相等④矩形是（）,也是軸對(duì)稱圖形,對(duì)稱軸是（）的垂直平分線3.判定:①（）的平行四邊形是矩形②（）的平行四邊形是矩形4、常用結(jié)論：直角三角形()等于斜邊長的一半四、正方形：1、定義：（）的矩形叫做正方形2、性質(zhì)：正方形具有（）、（）、（）的一切性質(zhì)邊：（）都相等且對(duì)邊平行角：（）都是直角對(duì)角線：對(duì)角線互相（）且相等3、判定：①一組鄰邊相等的（）是正方形②（）的矩形是正方形③（）的菱形是正方形④對(duì)角線相等的（）是正方形五、梯形和等腰梯形1、定義：梯形：一組對(duì)邊（）而另一組對(duì)邊（）的四邊形叫做梯形等腰梯形：（）相等的梯形叫做等腰梯形2、性質(zhì):①等腰梯形（）的兩個(gè)內(nèi)角相等②等腰梯形（）相等。③等腰梯形是（）圖形④()四個(gè)內(nèi)角度數(shù)比可以是a:b:b:a3、判定：①兩腰相等的梯形是（）。②同一底上的兩個(gè)內(nèi)角（）的梯形是等腰梯形4、常見輔助線：（自己畫上6種圖形）①作高（得平行四邊形和兩個(gè)全等三角形）②平移一條對(duì)角線（得平行四邊形）③延長兩腰（得等腰三角形）④平移一腰（得平行四邊形和等腰三角形）⑤延長一條底邊（等積變形，得全等三角形）典性習(xí)題1.如圖，在正方形ABCD的邊BC的延長線上取一點(diǎn)E，使CE＝AC，AE交CD于點(diǎn)F．那么，∠ACB＝_______°,∠E＝_______°.2.菱形的兩條對(duì)角線分別為12和16，則菱形的邊長是______，面積是_________.3.如圖，邊長為4的等邊△ABC中，DE為中位線，則DE=_____,四邊形BCED的面積為______.4.等腰梯形的腰長為5㎝，高是4㎝，它的周長是22㎝，則它的中位線長為_______㎝，面積是_________cm2．5.如圖，△ABC中，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，AD是△ABC的角平分線，那么四邊形AEDF的形狀是_____形；在前面的條件下，若△ABC再滿足一個(gè)條件___________,則四邊形AEDF是正方形.AABCDEF(第1題)（第3題）(第5題)6．已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（）A.當(dāng)AB=BC時(shí)，它是菱形B.當(dāng)AC=BD時(shí)，它是正方形C.當(dāng)AC⊥BD時(shí)，它是菱形D.當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，它是矩形7．把長為8cm，寬為2cm的矩形按虛線對(duì)折，按圖中的斜線剪出一個(gè)直角梯形，展開得到一個(gè)等腰梯形，剪掉部分的面積為6cm2，則打開后梯形的周長是（）第10題圖第10題圖A．cm B．cmC．22cm D．18cm8、如圖，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°，過點(diǎn)D作DE⊥AB，過點(diǎn)C作CF⊥BD，垂足分別為E、F，連接EF.求證：△DEF為等邊三角形。9．（本題10分）如圖，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC，AD是△ABC的角平分線，(1)求證：AB＝AC＋CD。(2)如果BD＝4，求AC的長。10.（本題13分）如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB邊上有一動(dòng)點(diǎn)P(不與A、B重合)，連結(jié)DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射線BC于點(diǎn)E，設(shè)AP=x．(1)求AD的長。(2)當(dāng)x為何值時(shí)，△APD是等腰三角形？ABCABCDPQEABCD（備用圖2）ABCD（備用圖1）一元二次方程1、一元二次方程（1）整式方程及一元二次方程的概念整式方程：方程兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式；一元二次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)x的整式方程，并且都可以化作ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，a≠0)的形式。（2）一元二次方程的一般式及各系數(shù)含義一般式：ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，a≠0)，其中，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)。2、配方法（1）直接開平方法的定義利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫直接開平方法。（2）配方法的步驟和方法一、移項(xiàng)，把方程的常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊；二、配，方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，把原方程化為（x+m）2=n(n≥0)的形式；三、直接用開平方法求出它的解。3、公式法（1）求根公式b2-4ac≥0時(shí)，x=(2)求一元二次方程的一般式及各系數(shù)的含義一、將方程化為一元二次方程的一般ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，a≠0)二、計(jì)算b2-4ac的值，當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，否則方程無實(shí)數(shù)根；三、代入求根公式，求出方程的根；四、寫出方程的兩個(gè)根。4、分解因式法（1）分解因式的概念當(dāng)一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式的乘積時(shí)，根據(jù)a·b=0，那么a=0或b=0，這種解一元二次方程的方法稱為分解因式。（2）分解因式法解一元二次方程的一般步驟一、將方程右邊化為零；二、將方程左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；三、設(shè)每一個(gè)因式分別為0，得到兩個(gè)一元二次方程；四、解這兩個(gè)一元二次方程，它們的解就是原方程的解。典型例題A.+3y-4=0B.2-3x-5=0C.D.+1=02．方程的根的情況是 （）A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.沒有實(shí)數(shù)根D.無法確定是否有實(shí)數(shù)根3．若方程是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍是 （）A.B.C.m≥D.4、方程(x+1)(x－2)=x+1的解是（）A．x=2B．x=3C．x1=－1，x2=3D．x1=－1，x2=25．方程的根為.6、如果（a+b-1）（a+b-2）=2，那么a+b的值為____．7、如圖，折疊直角梯形紙片的上底AD，點(diǎn)D落在底邊BC上點(diǎn)F處，已知DC=8㎝，F(xiàn)C=4㎝，則EC長3㎝8．解方程：（1）..（2）.（3）（4）9．（本題10分）已知：關(guān)于的方程(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程的一個(gè)根是－２，求的值和方程的另一個(gè)根．10、x為何值時(shí)的值最小？圓知識(shí)點(diǎn)一、圓的定義及有關(guān)概念1、圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。2、有關(guān)概念：弦、直徑;弧、等弧、優(yōu)弧、劣弧、半圓;弦心距;等圓、同圓、同心圓。圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧。連接圓上任意兩點(diǎn)間的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，直徑是最長的弦。在同圓或等圓中，能夠重合的兩條弧叫做等弧。例P為⊙O內(nèi)一點(diǎn)，OP=3cm，⊙O半徑為5cm，則經(jīng)過P點(diǎn)的最短弦長為________；最長弦長為_______．解題思路：圓內(nèi)最長的弦是直徑，最短的弦是和OP垂直的弦，答案：10cm，8cm.知識(shí)點(diǎn)二、平面內(nèi)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系平面內(nèi)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種：點(diǎn)在圓外、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓內(nèi)當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，d＞r；反過來，當(dāng)d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外。當(dāng)點(diǎn)在圓上時(shí)，d＝r；反過來，當(dāng)d＝r時(shí)，點(diǎn)在圓上。當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，d＜r；反過來，當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)。例如圖，在中，直角邊，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，的長為半徑畫圓，則點(diǎn)在圓A的_________，點(diǎn)在圓A的_________．解題思路：利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，答案：外部，內(nèi)部練習(xí)：在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，圓的半徑為5，圓心的坐標(biāo)為．試判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．答案：點(diǎn)在圓O上．知識(shí)點(diǎn)三、圓的基本性質(zhì)1圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條過圓心的直線。2、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦對(duì)的弧。3、圓具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，特別的圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓心。圓心角定理：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。4、圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。圓周角定理推論１：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。圓周角定理推論２：直徑所對(duì)的圓周角是直角；９０°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。例1如圖，在半徑為5cm的⊙O中，圓心O到弦AB的距離為3cm，則弦AB的長是（）A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm解題思路：在一個(gè)圓中，若知圓的半徑為R，弦長為a，圓心到此弦的距離為d，根據(jù)垂徑定理，有R2=d2+（）2，所以三個(gè)量知道兩個(gè)，就可求出第三個(gè)．答案C例2、如圖，A、B、C、D是⊙O上的三點(diǎn)，∠BAC=30°，則∠BOC的大小是()A、60°B、45°C、30°D、15°解題思路：運(yùn)用圓周角與圓心角的關(guān)系定理，答案：A例3、如圖1和圖2，MN是⊙O的直徑，弦AB、CD相交于MN上的一點(diǎn)P，∠APM=∠CPM．（1）由以上條件，你認(rèn)為AB和CD大小關(guān)系是什么，請(qǐng)說明理由．（2）若交點(diǎn)P在⊙O的外部，上述結(jié)論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．(1)(2)解題思路：（1）要說明AB=CD，只要證明AB、CD所對(duì)的圓心角相等，只要說明它們的一半相等．上述結(jié)論仍然成立，它的證明思路與上面的題目是一模一樣的．解：（1）AB=CD理由：過O作OE、OF分別垂直于AB、CD，垂足分別為E、F∵∠APM=∠CPM∴∠1=∠2OE=OF連結(jié)OD、OB且OB=OD∴Rt△OFD≌Rt△OEB∴DF=BE根據(jù)垂徑定理可得：AB=CD（2）作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足為E、F∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90°∴Rt△OPE≌Rt△OPF∴OE=OF連接OA、OB、OC、OD易證Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF∴∠1+∠2=∠3+∠4∴AB=CD例4．如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到C，使AC=AB，BD與CD的大小有什么關(guān)系？為什么？解題思路：BD=CD，因?yàn)锳B=AC，所以這個(gè)△ABC是等腰，要證明D是BC的中點(diǎn)，只要連結(jié)AD證明AD是高或是∠BAC的平分線即可．解：BD=CD理由是：如圖24－30，連接AD∵AB是⊙O的直徑∴∠ADB=90°即AD⊥BC又∵AC=AB∴BD=CD知識(shí)點(diǎn)四、圓與三角形的關(guān)系1、不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。2、三角形的外接圓：經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓。3、三角形的外心：三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，即三角形外接圓的圓心。4、三角形的內(nèi)切圓：與三角形的三邊都相切的圓。5、三角形的內(nèi)心：三角形三條角平分線的交點(diǎn)，即三角形內(nèi)切圓的圓心。例1如圖，通過防治“非典”，人們?cè)鰪?qiáng)了衛(wèi)生意識(shí)，大街隨地亂扔生活垃圾的人少了，人們自覺地將生活垃圾倒入垃圾桶中，如圖24－49所示，A、B、C為市內(nèi)的三個(gè)住宅小區(qū)，環(huán)保公司要建一垃圾回收站，為方便起見，要使得回收站建在三個(gè)小區(qū)都相等的某處，請(qǐng)問如果你是工程師，你將如何選址．解題思路：連結(jié)AB、BC，作線段AB、BC的中垂線，兩條中垂線的交點(diǎn)即為垃圾回收站所在的位置．例2如圖，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)切圓的圓心，若∠BAC=80°，則∠BOC=（）A．130°B．100°C．50°D．65°解題思路：此題解題的關(guān)鍵是弄清三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，答案A例3如圖，Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，則它的外心與頂點(diǎn)C的距離為（）．A．5cmB．2.5cmC．3cmD．4cm解題思路：直角三角形外心的位置是斜邊的中點(diǎn)，答案B知識(shí)點(diǎn)五、直線和圓的位置關(guān)系：相交、相切、相離當(dāng)直線和圓相交時(shí)，d＜r；反過來，當(dāng)d＜r時(shí)，直線和圓相交。當(dāng)直線和圓相切時(shí)，d＝r；反過來，當(dāng)d＝r時(shí)，直線和圓相切。當(dāng)直線和圓相離時(shí)，d＞r；反過來，當(dāng)d＞r時(shí)，直線和圓相離。切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的直徑切線的判定定理：經(jīng)過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線。切線長：在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)到切點(diǎn)之間的線段的長叫做這點(diǎn)到圓的切線長。切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和圓外這點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。例1、在中，BC=6cm，∠B=30°，∠C=45°，以A為圓心，當(dāng)半徑r多長時(shí)所作的⊙A與直線BC相切？相交？相離？解題思路：作AD⊥BC于D在中，∠B=30°

∴在中，∠C=45°∴CD=AD

∵BC=6cm

∴∴∴當(dāng)時(shí)，⊙A與BC相切；當(dāng)時(shí)，⊙A與BC相交；當(dāng)時(shí)，⊙A與BC相離。例2．如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，D在AB的延長線上，且∠DCB=∠A．（1）CD與⊙O相切嗎？如果相切，請(qǐng)你加以證明，如果不相切，請(qǐng)說明理由．（2）若CD與⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半徑．解題思路：（1）要說明CD是否是⊙O的切線，只要說明OC是否垂直于CD，垂足為C，因?yàn)镃點(diǎn)已在圓上．由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10解：（1）CD與⊙O相切理由：①C點(diǎn)在⊙O上（已知）②∵AB是直徑∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A∴∠OCA=∠DCB∴∠OCD=90°綜上：CD是⊙O的切線．（2）在Rt△OCD中，∠D=30°∴∠COD=60°∴∠A=30°∴∠BCD=30°∴BC=BD=10∴AB=20，∴r=10答：（1）CD是⊙O的切線，（2）⊙O的半徑是10．知識(shí)點(diǎn)六、圓與圓的位置關(guān)系重點(diǎn)：兩個(gè)圓的五種位置關(guān)系中的等價(jià)條件及它們的運(yùn)用．難點(diǎn)：探索兩個(gè)圓之間的五種關(guān)系的等價(jià)條件及應(yīng)用它們解題．外離：兩圓沒有公共點(diǎn)，一個(gè)圓上所有的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部相離：內(nèi)含：兩圓沒有公共點(diǎn)，一個(gè)圓上所有的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部相切：外切：兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，除公共點(diǎn)外一個(gè)圓上所有的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部內(nèi)切：兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，除公共點(diǎn)外一個(gè)圓上所有的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部相交：兩圓只有兩個(gè)公共點(diǎn)。設(shè)兩圓的半徑分別為r1、r2，圓心距（兩圓圓心的距離）為d，則有兩圓的位置關(guān)系，d與r1和r2之間的關(guān)系．外離d>r1+r2外切d=r1+r2相交│r1－r2│<d<r1+r2內(nèi)切d=│r1－r2│內(nèi)含0≤d<│r1－r2│（其中d=0，兩圓同心）例1．兩個(gè)同樣大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如圖1所示（點(diǎn)O，O′是圓心），分隔兩個(gè)肥皂泡的肥皂膜PQ成一條直線，TP、NP分別為兩圓的切線，求∠TPN的大?。?）(2)解題思路：要求∠TPN，其實(shí)就是求∠OPO′的角度，很明顯，∠POO′是正三角形，如圖2所示．解：∵PO=OO′=PO′∴△PO′O是一個(gè)等邊三角形∴∠OPO′=60°又∵TP與NP分別為兩圓的切線，∴∠TPO=90°，∠NPO′=90°∴∠TPN=360°－2×90°－60°=120°例2．如圖1所示，⊙O的半徑為7cm，點(diǎn)A為⊙O外一點(diǎn)，OA=15cm，求：（1）作⊙A與⊙O外切，并求⊙A的半徑是多少？(1)(2)(2）作⊙A與⊙O相內(nèi)切，并求出此時(shí)⊙A的半徑．解題思路：（1）作⊙A和⊙O外切，就是作以A為圓心的圓與⊙O的圓心距d=rO+rA；（2）作OA與⊙O相內(nèi)切，就是作以A為圓心的圓與⊙O的圓心距d=rA－rO．解：如圖2所示，（1）作法：以A為圓心，rA=15－7=8為半徑作圓，則⊙A的半徑為8cm（2）作法：以A點(diǎn)為圓心，rA′=15+7=22為半徑作圓，則⊙A的半徑為22cm例3．如圖所示，點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，3），OA半徑為1，點(diǎn)B在x軸上．（1）若點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0），⊙B半徑為3，試判斷⊙A與⊙B位置關(guān)系；_A_y_A_y_x_O（1）AB=5>1+3，外離．（2）設(shè)B（x，0）x≠－2，則AB=，⊙B半徑為│x+2│，①設(shè)⊙B與⊙A外切，則=│x+2│+1，當(dāng)x>－2時(shí)，=x+3，平方化簡得：x=0符題意，∴B（0，0），當(dāng)x<－2時(shí)，=－x－1，化簡得x=4>－2（舍），②設(shè)⊙B與⊙A內(nèi)切，則=│x+2│－1，當(dāng)x>－2時(shí)，=x+1，得x=4>－2，∴B（4，0），當(dāng)x<－2時(shí)，=－x－3，得x=0，知識(shí)點(diǎn)七、正多邊形和圓重點(diǎn)：講清正多邊形和圓中心正多邊形半徑、中心角、弦心距、邊長之間的關(guān)系．難點(diǎn)：使學(xué)生理解四者：正多邊形半徑、中心角、弦心距、邊長之間的關(guān)系．正多邊形的中心：所有對(duì)稱軸的交點(diǎn)；正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑。正多邊形的邊心距：正多邊形內(nèi)切圓的半徑。正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對(duì)的圓心角。正n邊形的n條半徑把正n邊形分成n個(gè)全等的等腰三角形，每個(gè)等腰三角形又被相應(yīng)的邊心距分成兩個(gè)全等的直角三角形。例1．如圖，已知正六邊形ABCDEF，其外接圓的半徑是a，求正六邊形的周長和面積．解題思路：要求正六邊形的周長，只要求AB的長，已知條件是外接圓半徑，因此自然而然，邊長應(yīng)與半徑掛上鉤，很自然應(yīng)連接OA，過O點(diǎn)作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM中便可求得AM，又應(yīng)用垂徑定理可求得AB的長．正六邊形的面積是由六塊正三角形面積組成的．解：如圖所示，由于ABCDEF是正六邊形，所以它的中心角等于=60°，△OBC是等邊三角形，從而正六邊形的邊長等于它的半徑．因此，所求的正六邊形的周長為6a在Rt△OAM中，OA=a，AM=AB=a利用勾股定理，可得邊心距OM==a∴所求正六邊形的面積=6××AB×OM=6××a×a=a2例2．在直徑為AB的半圓內(nèi)，劃出一塊三角形區(qū)域，如圖所示，使三角形的一邊為AB，頂點(diǎn)C在半圓圓周上，其它兩邊分別為6和8，現(xiàn)要建造一個(gè)內(nèi)接于△ABC的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如圖24－94的設(shè)計(jì)方案是使AC=8，BC=6．（1）求△ABC的邊AB上的高h(yuǎn)．（2）設(shè)DN=x，且，當(dāng)x取何值時(shí)，水池DEFN的面積最大？（3）實(shí)際施工時(shí)，發(fā)現(xiàn)在AB上距B點(diǎn)1．85的M處有一棵大樹，問：這棵大樹是否位于最大矩形水池的邊上？如果在，為了保護(hù)大樹，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出另外的方案，使內(nèi)接于滿足條件的三角形中欲建的最大矩形水池能避開大樹．解題思路：要求矩形的面積最大，先要列出面積表達(dá)式，再考慮最值的求法，初中階段，尤其現(xiàn)學(xué)的知識(shí)，應(yīng)用配方法求最值．（3）的設(shè)計(jì)要有新意，應(yīng)用圓的對(duì)稱性就能圓滿解決此題．解：（1）由AB·CG=AC·BC得h==4.8（2）∵h(yuǎn)=且DN=x∴NF=則S四邊形DEFN=x·（4.8－x）=－x2+10x=－（x2－x）=－[（x－）2－]=－（x－2.4）2+12∵－（x－2.4）2