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上海市外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬中學(xué)2024屆高考考前模擬數(shù)學(xué)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知,則()A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,且z1是實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)a等于()A. B. C.- D.-3.函數(shù)與在上最多有n個(gè)交點(diǎn),交點(diǎn)分別為(,……,n),則()A.7 B.8 C.9 D.104.命題:的否定為A. B.C. D.5.若集合,則=()A. B. C. D.6.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,,,則()A. B. C. D.7.一個(gè)算法的程序框圖如圖所示,若該程序輸出的結(jié)果是,則判斷框中應(yīng)填入的條件是()A. B. C. D.8.若,則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的概率是()A.B.C.D.9.如圖是甲、乙兩位同學(xué)在六次數(shù)學(xué)小測(cè)試(滿分100分)中得分情況的莖葉圖,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.甲得分的平均數(shù)比乙大 B.甲得分的極差比乙大C.甲得分的方差比乙小 D.甲得分的中位數(shù)和乙相等10.已知數(shù)列滿足,則()A. B. C. D.11.點(diǎn)為不等式組所表示的平面區(qū)域上的動(dòng)點(diǎn),則的取值范圍是()A. B. C. D.12.拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)是上一點(diǎn),,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在正四棱柱中,P是側(cè)棱上一點(diǎn),且.設(shè)三棱錐的體積為,正四棱柱的體積為V,則的值為_(kāi)_______.14.設(shè)變量,滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最小值為_(kāi)_____.15.在的展開(kāi)式中,的系數(shù)等于__.16.正四面體的各個(gè)點(diǎn)在平面同側(cè),各點(diǎn)到平面的距離分別為1,2,3,4,則正四面體的棱長(zhǎng)為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)的最小正周期是,且當(dāng)時(shí),取得最大值.(1)求的解析式;(2)作出在上的圖象(要列表).18.(12分)如圖,在三棱錐中,平面平面,,.點(diǎn),,分別為線段,,的中點(diǎn),點(diǎn)是線段的中點(diǎn).(1)求證:平面.(2)判斷與平面的位置關(guān)系,并證明.19.(12分)為了解甲、乙兩個(gè)快遞公司的工作狀況,假設(shè)同一個(gè)公司快遞員的工作狀況基本相同,現(xiàn)從甲、乙兩公司各隨機(jī)抽取一名快遞員,并從兩人某月(30天)的快遞件數(shù)記錄結(jié)果中隨機(jī)抽取10天的數(shù)據(jù),整理如下:甲公司員工:410,390,330,360,320,400,330,340,370,350乙公司員工:360,420,370,360,420,340,440,370,360,420每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務(wù)費(fèi)情況如下:甲公司規(guī)定每件0.65元,乙公司規(guī)定每天350件以內(nèi)(含350件)的部分每件0.6元,超出350件的部分每件0.9元.(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)寫(xiě)出甲公司員工在這10天投遞的快件個(gè)數(shù)的平均數(shù)和眾數(shù);(2)為了解乙公司員工每天所得勞務(wù)費(fèi)的情況,從這10天中隨機(jī)抽取1天,他所得的勞務(wù)費(fèi)記為(單位:元),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)根據(jù)題中數(shù)據(jù)估算兩公司被抽取員工在該月所得的勞務(wù)費(fèi).20.(12分)已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,證明:.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:x2a2(1)求橢圓C的方程;(2)假設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓C交于A,B兩點(diǎn).①若A為橢圓的上頂點(diǎn),M為線段AB中點(diǎn),連接OM并延長(zhǎng)交橢圓C于N,并且ON=62OM,求OB的長(zhǎng);②若原點(diǎn)O到直線l的距離為1,并且22.(10分)已知.(Ⅰ)若,求不等式的解集;(Ⅱ),,,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】,本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.2、A【解析】分析:計(jì)算,由z1,是實(shí)數(shù)得,從而得解.詳解:復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,.所以z1,是實(shí)數(shù),所以,即.故選A.點(diǎn)睛:本題主要考查了復(fù)數(shù)共軛的概念,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】
根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn),采用數(shù)形結(jié)合,可得最多交點(diǎn)個(gè)數(shù),然后利用對(duì)稱(chēng)性,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:直線過(guò)定點(diǎn)且在是關(guān)于對(duì)稱(chēng)如圖通過(guò)圖像可知:直線與最多有9個(gè)交點(diǎn)同時(shí)點(diǎn)左、右邊各四個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)所以故選:C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用,數(shù)形結(jié)合,難點(diǎn)在于正確畫(huà)出圖像,同時(shí)掌握基礎(chǔ)函數(shù)的性質(zhì),屬難題.4、C【解析】
命題為全稱(chēng)命題,它的否定為特稱(chēng)命題,將全稱(chēng)量詞改為存在量詞,并將結(jié)論否定,可知命題的否定為,故選C.5、C【解析】
求出集合,然后與集合取交集即可.【詳解】由題意,,,則,故答案為C.【點(diǎn)睛】本題考查了分式不等式的解法,考查了集合的交集,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】試題分析:由于在等比數(shù)列中,由可得:,又因?yàn)?,所以有:是方程的二?shí)根,又,,所以,故解得:,從而公比;那么,故選D.考點(diǎn):等比數(shù)列.7、D【解析】
首先判斷循環(huán)結(jié)構(gòu)類(lèi)型,得到判斷框內(nèi)的語(yǔ)句性質(zhì),然后對(duì)循環(huán)體進(jìn)行分析,找出循環(huán)規(guī)律,判斷輸出結(jié)果與循環(huán)次數(shù)以及的關(guān)系,最終得出選項(xiàng).【詳解】經(jīng)判斷此循環(huán)為“直到型”結(jié)構(gòu),判斷框?yàn)樘鲅h(huán)的語(yǔ)句,第一次循環(huán):;第二次循環(huán):;第三次循環(huán):,此時(shí)退出循環(huán),根據(jù)判斷框內(nèi)為跳出循環(huán)的語(yǔ)句,,故選D.【點(diǎn)睛】題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖,屬于中檔題.解決程序框圖問(wèn)題時(shí)一定注意以下幾點(diǎn):(1)不要混淆處理框和輸入框;(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu);(3)注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu);(4)處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問(wèn)題時(shí)一定要正確控制循環(huán)次數(shù);(5)要注意各個(gè)框的順序,(6)在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算,直到達(dá)到輸出條件即可.8、B【解析】函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,,在恒成立,在恒成立,,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的概率是,故選B.9、B【解析】
由平均數(shù)、方差公式和極差、中位數(shù)概念,可得所求結(jié)論.【詳解】對(duì)于甲,;對(duì)于乙,,故正確;甲的極差為,乙的極差為,故錯(cuò)誤;對(duì)于甲,方差.5,對(duì)于乙,方差,故正確;甲得分的中位數(shù)為,乙得分的中位數(shù)為,故正確.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖的應(yīng)用,考查平均數(shù)和方差等概念,培養(yǎng)計(jì)算能力,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
利用的前項(xiàng)和求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,可計(jì)算出,然后利用裂項(xiàng)法可求出的值.【詳解】.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),由,可得,兩式相減,可得,故,因?yàn)橐策m合上式,所以.依題意,,故.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用求,同時(shí)也考查了裂項(xiàng)求和法,考查計(jì)算能力,屬于中等題.11、B【解析】
作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用線性規(guī)劃的知識(shí),利用的幾何意義即可得到結(jié)論.【詳解】不等式組作出可行域如圖:,,,的幾何意義是動(dòng)點(diǎn)到的斜率,由圖象可知的斜率為1,的斜率為:,則的取值范圍是:,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義結(jié)合斜率公式是解決本題的關(guān)鍵.12、B【解析】
根據(jù)拋物線定義得,即可解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所?故選B【點(diǎn)睛】本題考查拋物線定義,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng),高,再根據(jù)柱體、錐體的體積公式計(jì)算可得.【詳解】解:設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng),高,則,即故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查柱體、錐體的體積計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.14、-8【解析】
通過(guò)約束條件,畫(huà)出可行域,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線在軸截距最大的問(wèn)題,通過(guò)圖像解決.【詳解】由題意可得可行域如下圖所示:令,則即為在軸截距的最大值由圖可知:當(dāng)過(guò)時(shí),在軸截距最大本題正確結(jié)果:【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃中的型最值的求解問(wèn)題,關(guān)鍵在于將所求最值轉(zhuǎn)化為在軸截距的問(wèn)題.15、7【解析】
由題,得,令,即可得到本題答案.【詳解】由題,得,令,得x的系數(shù).故答案為:7【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題.16、【解析】
不妨設(shè)點(diǎn)A,D,C,B到面的距離分別為1,2,3,4,平面向下平移兩個(gè)單位,與正四面體相交,過(guò)點(diǎn)D,與AB,AC分別相交于點(diǎn)E,F(xiàn),根據(jù)題意F為中點(diǎn),E為AB的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)A),設(shè)棱長(zhǎng)為a,求得,再用余弦定理求得:,從而求得,再根據(jù)頂點(diǎn)A到面EDF的距離為,得到,然后利用等體積法求解,【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)A,D,C,B到面的距離分別為1,2,3,4,平面向下平移兩個(gè)單位,與正四面體相交,過(guò)點(diǎn)D,與AB,AC分別相交于點(diǎn)E,F(xiàn),如圖所示:由題意得:F為中點(diǎn),E為AB的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)A),設(shè)棱長(zhǎng)為a,,頂點(diǎn)D到面ABC的距離為所以,由余弦定理得:,所以,所以,又頂點(diǎn)A到面EDF的距離為,所以,因?yàn)?,所以,解得,故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的切割問(wèn)題以及等體積法的應(yīng)用,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和空間想象,運(yùn)算求解的能力,屬于難題,三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)見(jiàn)解析.【解析】
(1)根據(jù)函數(shù)的最小正周期可求出的值,由該函數(shù)的最大值可得出的值,再由,結(jié)合的取值范圍可求得的值,由此可得出函數(shù)的解析式;(2)由計(jì)算出的取值范圍,據(jù)此列表、描點(diǎn)、連線可得出函數(shù)在區(qū)間上的圖象.【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是,所以.又因?yàn)楫?dāng)時(shí),函數(shù)取得最大值,所以,同時(shí),得,因?yàn)椋?,所以;?)因?yàn)椋?,列表如下:描點(diǎn)、連線得圖象:【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)解析式的求解,同時(shí)也考查了利用五點(diǎn)作圖法作圖,考查分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力,屬于中等題.18、(1)見(jiàn)解析(2)平面.見(jiàn)解析【解析】
(1)要證平面,只需證明,,即可求得答案;(2)連接交于點(diǎn),連接,根據(jù)已知條件求證,即可判斷與平面的位置關(guān)系,進(jìn)而求得答案.【詳解】(1),為邊的中點(diǎn),,平面平面,平面平面,平面,平面,,在內(nèi),,為所在邊的中點(diǎn),,又,,平面.(2)判斷可知,平面,證明如下:連接交于點(diǎn),連接.、、分別為邊、、的中點(diǎn),.又是的重心,,,平面,平面,平面.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求證線面垂直和線面平行,解題關(guān)鍵是掌握線面垂直判定定理和線面平行判斷定理,考查了分析能力和空間想象能力,屬于中檔題.19、(1)平均數(shù)為360,眾數(shù)為330;(2)見(jiàn)詳解;(3)甲公司:7020(元),乙公司:7281(元)【解析】
(1)將圖中甲公司員工A的所有數(shù)據(jù)相加,再除以總的天數(shù)10,即可求出甲公司員工A投遞快遞件數(shù)的平均數(shù).從中發(fā)現(xiàn)330出現(xiàn)的次數(shù)最多,故為眾數(shù);(2)由題意能求出的可能取值為340,360,370,420,440,分別求出相對(duì)應(yīng)的概率,由此能求出的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)利用(1)(2)的結(jié)果,可估算兩公司的每位員工在該月所得的勞務(wù)費(fèi).【詳解】解:(1)由題意知甲公司員工在這10天投遞的快遞件數(shù)的平均數(shù)為.眾數(shù)為330.(2)設(shè)乙公司員工1天的投遞件數(shù)為隨機(jī)變量,則當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),的分布列為204219228273291(元);(3)由(1)估計(jì)甲公司被抽取員工在該月所得的勞務(wù)費(fèi)為(元)由(2)估計(jì)乙公司被抽取員工在該月所得的勞務(wù)費(fèi)為(元).【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布表的應(yīng)用,考查概率的求法,考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,是中檔題.20、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1),①當(dāng)時(shí),,②兩式相減即得數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)先求出,再利用裂項(xiàng)相消法求和證明.【詳解】(1)解:,①當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),,②由①-②,得,因?yàn)榉仙鲜剑裕?)證明:因?yàn)?,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)的求法,考查數(shù)列求和,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.21、(1)x22+y2【解析】
(1)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得到a2,b2;(2)聯(lián)立直線和橢圓,利用弦長(zhǎng)公式可求得弦長(zhǎng)AB,利用點(diǎn)到直線的距離公式求得原點(diǎn)到直線l的距離,從而可求得三角形面積,再用單調(diào)性求最值可得值域.【詳解】(1)因?yàn)閮山裹c(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形,所以a=2又由右準(zhǔn)線方程為x=2,得到a2解得a=2,c=1,所以所以,橢圓C的方程為x2(2)①設(shè)B(x1,y1∵ON=6因?yàn)辄c(diǎn)B,N都在橢圓上,所以x122+y12所以O(shè)B=x②由原點(diǎn)O到直線l的距離為1,得|m|1+k2聯(lián)立直線l的方程與橢圓C的方程:y=kx+mx2設(shè)A(x1,y1OA=(1+k2)所以k△OAB的面積S==1因?yàn)镾=2λ(1-λ)在[并且當(dāng)λ=45時(shí),S=225所以△OAB的面積S的范圍為[10【點(diǎn)睛】圓錐曲線中最值與范圍問(wèn)題的常見(jiàn)求法:(1)幾何法:若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決;(2)代數(shù)法:若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系,則可首先建立目標(biāo)函數(shù),再求這個(gè)函數(shù)的最值.在利用代數(shù)法解決最值與范圍問(wèn)題時(shí)常從以下幾個(gè)方面考慮:①利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍;②利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范
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