江西省重點中學(xué)協(xié)作體高三一模數(shù)學(xué)試題

江西省重點中學(xué)協(xié)作體2024屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷2024.2命題：新余一中何幼平吉安縣中劉泰崢孔麗華（考試時間：120分鐘，試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．己知集合,則（）A．B．C．D．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第三象限，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限3．已知,則（）A．B．C．D．4．已知,則（）A．B．C．D．5．已知雙曲線的左，右焦點分別為，點M為關(guān)于漸近線的對稱點．若,且的面積為8，則C的方程為（）A．B．C．D．6．如圖，正六邊形的邊長為，半徑為1的圓O的圓心為正六邊形的中心，若點M在正六邊形的邊上運動，動點A,B在圓O上運動且關(guān)于圓心O對稱，則的取值范圍為（）A．B．C．D．7．中國蹴鞠已有兩千三百多年的歷史，于2004年被國際足聯(lián)正式確認(rèn)為世界足球運動的起源．蹴鞠在2022年卡塔爾世界杯上再次成為文化交流的媒介，走到世界舞臺的中央，訴說中國傳統(tǒng)非遺故事．為弘揚中華傳統(tǒng)文化，某市四所高中各自組建了蹴鞠隊（分別記為“甲隊”“乙隊”“丙隊”“丁隊”）進(jìn)行單循環(huán)比賽（即每支球隊都要跟其他各支球隊進(jìn)行一場比賽），最后按各隊的積分排列名次（積分多者名次靠前，積分同者名次并列），積分規(guī)則為每隊勝一場得3分，平場得1分，負(fù)一場得0分．若每場比賽中兩隊勝、平、負(fù)的概率均為，則在比賽結(jié)束時丙隊在輸了第一場的情況下，其積分仍超過其余三支球隊的積分的概率為（）A．B．C．D．8．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R,記,且為偶函數(shù)，則（）A．0B．1C．2D．3二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分．若只有2個正確選項，每選對一個得3分；若只有3個正確選項，每選對一個得2分．9．下列說法正確的是（）A．用簡單隨機(jī)抽樣的方法從含有50個個體的總體中抽取一個容量為10的樣本，則個體m被抽到的概率是0.2B．已知一組數(shù)據(jù)1,2，m,6,7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差是5C．?dāng)?shù)據(jù)27,12,14,30,15,17,19,23的50%分位數(shù)是17D．若樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1610．已知函數(shù),若不等式對任意的恒成立，則實數(shù)a的取值可能是（）A．B．C．1D．211．已知正方體的棱長為1，M是棱的中點．P是平面上的動點（如下圖），則下列說法正確的是（）A．若點P在線段上，則平面B．平面平面C．若,則動點P的軌跡為拋物線D．以的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，三棱錐體積的取值范圍為三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題卡中的橫線上．12．的展開式中的系數(shù)為___________．13．已知正數(shù)x,y滿足,若不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是___________．l4．斐波那契數(shù)列,又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家萊昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…,在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下遞推的方式定義：且中，則B中所有元素之和為奇數(shù)的概率為_____________________．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）在中，已知內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且的面積為，點D是線段上靠近點B的一個三等分點，．（1）若，求c；（2）若,求的值．16．（15分）如圖，在三棱錐中，．（1）證明：平面平面;（2）若E是線段上的點，且,求二面角的正切值．17．（15分）已知橢圓的左右頂點分別為A、B,點C在E上，點分別為直線上的點．（1）求的值；（2）設(shè)直線與橢圓E的另一個交點為D,求證：直線經(jīng)過定點．18．（17分）設(shè)是一個二維離散型隨機(jī)變量，它的一切可能取的值為,其中，令,稱是二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列，與一維的情形相似，我們也習(xí)慣于把二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列寫成下表形式：………現(xiàn)有個球等可能的放入編號為1,2,3的三個盒子中，記落入第1號盒子中的球的個數(shù)為X,落入第2號盒子中的球的個數(shù)為Y．（1）當(dāng)時，求的聯(lián)合分布列，并寫成分布表的形式：（2）設(shè)且,求的值．（參考公式：若,則）19．（17分）己知函數(shù)．（1）若,求的圖象在處的切線方程；（2）若函數(shù)存在兩個極值點．（i）求a的取值范圍；（ii）求證：．江西省重點中學(xué)協(xié)作體2024屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.題號12345678答案BCDACBDC1.【答案】B；2.【答案】C；3.【答案】D4.【答案】A由，得，即，所以.5.【答案】C；6.【答案】B7.【答案】D【詳解】丙隊在輸了第一場的情況下，其積分仍超過其余三支球隊的積分，三隊中選一隊與丙比賽，丙輸，，例如是丙甲，若丙與乙、丁的兩場比賽一贏一平，則丙只得4分，這時，甲乙、甲丁兩場比賽中甲只能輸，否則甲的分?jǐn)?shù)不小于4分，不合題意，在甲輸?shù)那闆r下，乙、丁已有3分，那個它們之間的比賽無論什么情況，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合題意.若丙全贏（概率是）時，丙得6分，其他3人分?jǐn)?shù)最高為5分，這時甲乙，甲丁兩場比賽中甲不能贏，否則甲的分?jǐn)?shù)不小于6分，只有平或輸，一平一輸，概率是，如平乙，輸丁，則乙丁比賽時，丁不能贏，概率是，兩場均平，概率是，乙丁這場比賽無論結(jié)論如何均符合題意，兩場甲都輸，概率是，乙丁這場比賽只能平，概率是.綜上，概率為，D正確．8.【答案】C【詳解】因為為偶函數(shù)，，所以，對兩邊同時求導(dǎo)，得，所以有所以函數(shù)的周期為，在中，令，所以，因此，因為為偶函數(shù)，所以有，，由可得：，所以.二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.題號91011答案ADBCDABD9.【答案】AD【詳解】對于A，一個總體含有50個個體，某個個體被抽到的概率為，以簡單隨機(jī)抽樣方式從該總體中抽取一個容量為10的樣本，則指定的某個個體被抽到的概率為，故A正確；對于B，數(shù)據(jù)1，2，，6，7的平均數(shù)是4，，這組數(shù)據(jù)的方差是，故B錯誤；對于C，8個數(shù)據(jù)50百分為，第50百分位數(shù)為，故C錯誤；對于D，依題意，，則，所以數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為16，D正確.10.【答案】BCD11.【答案】ABD【詳解】對于A項，如圖所示，連接對應(yīng)面對角線，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知：，平面，平面，∴平面，同理可知平面，又平面，∴平面平面，又，∴平面，∴平面，故A正確;對于B項，易知面，面，則，又平面，∴平面，而平面，∴，同理，又平面，∴平面，又∵平面，∴平面平面，故B正確;對于C項，因為為定直線，是定角，到的距離為定值，所以時，在以為旋轉(zhuǎn)軸，到的距離為半徑的圓錐上，又平面，故平面截圓錐的軌跡為雙曲線的一支，即C錯誤；對于D項，設(shè)中點分別為N，Q，則點A的運動軌跡是平面內(nèi)以N為圓心，為半徑的圓（如圖），易知平面，∴平面，∵平面，∴平面平面，而，設(shè)與圓的交點分別為E，F(xiàn)（點E位于點F，Q之間，如上圖所示），易知當(dāng)點A分別位于點E，F(xiàn)時，點A到平面的距離分別取到最小值和最大值，且距離的最小值，距離的最大值，∵的面積，故選項D正確．綜上，正確選項為ABD．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.【答案】【詳解】二項式的展開式通項公式為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此展開式中含的項為，故所求系數(shù)為.13.【答案】.14.【答案】.四、解答題：本大題共5小題，共77分.15.（13分）解（1）由題可得：CD=2BD，故…2分又,即，，即………………4分在中，根據(jù)余弦定理得即…6分，即，…7分（2），…8分，即又，①…11分又②，由①②得：…12分…13分16.（15分）（1）證明：在中，………1分過點D作DO⊥AC于點O，連接BO，則，∴≌，即OD=OB=3………………3分又又OD⊥AC，………………5分又∴平面ACD⊥平面ABC…6分（2）由（1）知，OA、OB、OD兩兩垂直，以O(shè)為原點建立坐標(biāo)系，，………………8分設(shè)是平面ABE的一個法向量則，…12分而是平面ABC的一個法向量，………………14分設(shè)二面角平面角的大小為，則………………15分17.（15分）解（1）設(shè)，由題可知，………………2分又，由…4分，，…5分………………6分（2）由題可知，直線MA的方程為：聯(lián)立方程可得：=45>0………………7分，………………8分又，，同理可得點D的坐標(biāo)為………………9分（i）當(dāng)直線CD垂直于x軸時，，即,，此時直線CD的方程為………………10分（ii）當(dāng)直線CD不垂直于x軸時，………………11分故直線的方程為………………12分令y=0，則整理得，此時直線經(jīng)過定點……………14分綜上，直線經(jīng)過定點………………15分另解：（ii）當(dāng)直線CD不垂直于x軸時，由對稱性知定點在軸上，設(shè)由C、D、Q三點共線知化簡得：，則此時直線經(jīng)過定點……………14分綜上，直線經(jīng)過定點………………15分解法二：（1）設(shè)，則，∵A、C、M三點共線，∴，…2分同理：，∴…4分又點在曲線E上，∴，代入上式得：………………6分（2）由又，∴…8分由題可得直線CD顯然不與x軸平行設(shè)直線CD的方程為：由得…9分…11分又…13分由…14分∴直線CD：，∴直線經(jīng)過定點…15分18.（17分）解（1）若n=2，X的取值為0，1，2，Y的取值為0，1，2，…1分則P（X=0，Y=0）=，…2分P（X=0，Y=1）=…3分P（X=0，Y=2）=，P（X=1，Y=0）=…4分P（X=1，Y=1）=P（X=2，Y=0）=…5分P（X=1，Y=2）=P（X=2，Y=1）=P（X=2，Y=2）=0…6分故（X，Y）的聯(lián)合分布列為（X，Y）012010200…7分（2）當(dāng)…9分故…11分=…13分所以，…15分由二項分布的期望公式可得.…17分19.（17分）解（1）若，則，所以，所以，又，………………2分所以的圖象在處的切線方程為，即.………………3分（2）（i）由題意知.令，則.因為有兩個極值點，，所以有兩個不等正實根，.若，，則在上遞增，所以在上至多有一個零點，不符合題意；………………5分若，令，解得，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞增，在上遞減.所以時，取得極大值，即最大值為，………………6分所以，解得.………………7分當(dāng)時，，又，所以