第02講 解一元二次方程-開平方和配方法（知識(shí)解讀+真題演練+課后鞏固）（解析版）-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)（蘇科版）

第第頁第2講解一元二次方程-開平方和配方法1.理解并掌握用直接開方法解一元二次方程；2.理解并掌握用配方法解一元二次方程；知識(shí)點(diǎn)1：解一元二次方程-直接開方注意：（1）等號(hào)左邊是一個(gè)數(shù)的平方的形式而等號(hào)右邊是一個(gè)常數(shù)降次的實(shí)質(zhì)是有一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程方法是根據(jù)平方根的意義開平方知識(shí)點(diǎn)2：解一元二次方程-配方法用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步驟是：①化為一般形式；②移項(xiàng)，將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；③化二次項(xiàng)系數(shù)為1，即方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)；④配方，即方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方；化原方程為(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用兩邊開平方來求出方程的解；如果b≤0，則原方程無解．總結(jié)：【題型1解一元二次方程-直接平方】【典例1】（2023春?撫順月考）解方程：（1）x2﹣81＝0；（2）4（x﹣1）2＝9．【答案】（1）x1＝9，x2＝﹣9；（2）x1＝，x2＝﹣．【解答】解：（1）x2﹣81＝0，x2＝81，∴x＝±9，∴x1＝9，x2＝﹣9；（2）4（x﹣1）2＝9，（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝±，∴x1＝，x2＝﹣．【變式1-1】（2023春?潮安區(qū)校級(jí)月考）解方程：（2x﹣1）2﹣25＝0．【答案】x1＝3，x2＝﹣2．【解答】解：（2x﹣1）2﹣25＝0移項(xiàng)，得（2x﹣1）2＝25，∴2x﹣1＝±5，解得x1＝3，x2＝﹣2．【變式1-2】（2023?龍川縣校級(jí)開學(xué)）（x+1）2＝25．【答案】x1＝﹣11，x2＝9．【解答】解：，∴（x+1）2＝100，x+1＝±10，∴x1＝﹣11，x2＝9．【變式1-3】（2022春?萊州市期末）解方程：9（x+1）2﹣25＝0．【解答】解：9（x+1）2﹣25＝0，（x+1）2＝，x+1＝，x＝﹣1，∴x1＝﹣，x2＝．【典例2】（2022?齊齊哈爾）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．【解答】解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2，開方得：2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣3x﹣2，解得：x1＝1，x2＝﹣1．【變式2-1】解方程：（3x﹣1）2＝（2﹣5x）2【解答】解：∵（3x﹣1）2＝（2﹣5x）2∴3x﹣1＝±（2﹣5x），解得x＝或x＝．【變式2-2】（2x﹣3）2＝x2【解答】解：2x﹣3＝±x2x﹣3＝x或2x﹣3＝﹣x∴x1＝3，x2＝1．【變式2-3】解方程：（x+1）2＝（1﹣2x）2．【解答】解：兩邊開平方，得x+1＝|1﹣2x|．①當(dāng)x+1＝1﹣2x時(shí)，x＝0．②當(dāng)x+1＝﹣（1﹣2x）時(shí)，x＝2．綜上所述，原方程的解是：x1＝0，x2＝2．【題型2解一元二次方程-配方法】【典例3】（2022?瑞安市一模）用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0時(shí)，配方結(jié)果正確的是（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝﹣1C．（x﹣2）2＝9 D．（x﹣2）2＝﹣9【答案】C【解答】解：方程移項(xiàng)得：x2﹣4x＝5，配方得：x2﹣4x+4＝9，即（x﹣2）2＝9．故選：C．【變式3-1】（2022秋?渝中區(qū)校級(jí)期末）一元二次方程x2﹣6x+1＝0配方后可化為（）A．（x+3）2＝2 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣3）2＝2 D．（x﹣6）2＝35【答案】B【解答】解：∵x2﹣6x+1＝0，∴x2﹣6x＝﹣1，則x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8．故選：B．【變式3-2】（2022秋?陵水縣期末）將一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x+h）2＝k的形式，則k等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，x2﹣2x＝3，x2﹣2x+1＝3+1，（x﹣1）2＝4，∴k＝4，故選：D．【變式3-3】（2022秋?平頂山期末）把一元二次方程x2﹣6x+6＝0化成（x+a）2＝b的形式，則a，b的值分別是（）A．﹣3，3 B．﹣3，15 C．3，3 D．3，15【答案】A【解答】解：方程x2﹣6x+6＝0，移項(xiàng)得：x2﹣6x＝﹣6，配方得：x2﹣6x+9＝3，即（x﹣3）2＝3，∵一元二次方程x2﹣6x+6＝0化成（x+a）2＝b的形式，∴a＝﹣3，b＝3．故選：A．【典例4】（2022秋?潁州區(qū)期末）用配方法解方程：（1）x2+7x＝﹣；（2）3x2+6x+2＝11．【答案】（1），；（2）x1＝1，x2＝﹣3．【解答】解：（1）x2+7x＝﹣，，，，，；（2）3x2+6x+2＝11，3x2+6x﹣9＝0，x2+2x﹣3＝0，x2+2x+1＝4，（x+1）2＝4，x+1＝±2，x1＝1，x2＝﹣3．【變式4-1】（2022秋?楊浦區(qū)期末）用配方法解方程：2x2+4x+1＝0．【答案】．【解答】解：原方程化為，配方得，即，開方得，，∴．【變式4-2】（2022秋?澄海區(qū)期末）用配方法解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．【答案】x1＝+，x2＝﹣．【解答】解：2x2﹣2x﹣1＝0，x2﹣x﹣＝0，x2﹣x＝，x2﹣x+（）2＝+（）2，（x﹣）2＝，x﹣＝±，x﹣＝或x﹣＝﹣，x1＝+，x2＝﹣．【變式4-3】（2022秋?潁州區(qū)校級(jí)期末）用配方法解下列方程（1）3x2﹣4x﹣2＝0；（2）6x2﹣2x﹣1＝0；（3）2x2+1＝3x；（4）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5．【答案】（1）x1＝+，x2＝﹣；（2）x1＝+，x2＝﹣；（3）x1＝1，x2＝；（4）x1＝2，x2＝．【解答】解：（1）原方程可化為x2﹣x＝，∴x2﹣x+＝，即（x﹣）2＝，∴x﹣＝±，∴x1＝+，x2＝﹣；（2））原方程可化為x2﹣x＝，∴x2﹣x+＝，即（x﹣）2＝，∴x﹣＝±，∴x1＝+，x2＝﹣；（3）原方程可化為x2﹣x＝﹣，∴x2﹣x+＝，即（x﹣）2＝，∴x﹣＝±，∴x1＝1，x2＝；（4）原方程可化為x2﹣x＝﹣1，∴x2﹣x+＝，即（x﹣）2＝，∴x﹣＝±，∴x1＝2，x2＝．1．（2023?佛山一模）方程x2＝1的根是（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝±1 D．x＝±2【答案】C【解答】解：x2＝1，x＝±1，所以x1＝1，x2＝﹣1．故選：C．2．（2023?瀘縣校級(jí)模擬）方程x2﹣4＝0的根為（）A．2 B．根號(hào)2 C．±2 D．±根號(hào)2【答案】C【解答】解：x2﹣4＝0，∴x2＝4，∴x＝±2．故選：C．3．（2022?花都區(qū)三模）方程（x+1）2＝9的解為（）A．x1＝2，x2＝﹣4 B．x1＝﹣2，x2＝4 C．x1＝2，x2＝4 D．x1＝﹣2，x2＝﹣4【答案】A【解答】解：（x+1）2＝9，x+1＝±3，所以x1＝2，x2＝﹣4．故選：A．4．（2022?臺(tái)灣）已知一元二次方程式（x﹣2）2＝3的兩根為a、b，且a＞b，求2a+b之值為何？（）A．9 B．﹣3 C．6+ D．﹣6+【答案】C【解答】解：（x﹣2）2＝3，x﹣2＝或x﹣2＝﹣，所以x1＝2+，x2＝2﹣，即a＝2+，b＝2﹣，所以2a+b＝4+2+2﹣＝6+．故選：C．5．（2022?城西區(qū)二模）若關(guān)于x的方程（x+5）2＝m﹣1有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m＞0 B．m≥1 C．m＞1 D．m≠1【答案】B【解答】解：根據(jù)題意得m﹣1≥0，所以m≥1．故選：B．6．（2023?東城區(qū)一模）用配方法解一元二次方程x2+6x+3＝0時(shí)，將它化為（x+m）2＝n的形式，則m﹣n的值為（）A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．2【答案】B【解答】解：x2+6x+3＝0，x2+6x＝﹣3，x2+6x+9＝6，（x+3）2＝6，所以m＝3，n＝6，所以m﹣n＝3﹣6＝﹣3．故選：B．7．（2023?聊城一模）一元二次方程2x2﹣3x+1＝0配方后可化為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵2x2﹣3x+1＝0，∴2x2﹣3x＝﹣1，∴，∴，即．故選：D．8．（2023?館陶縣模擬）用配方法解一元二次方程x2+4x+2＝0時(shí)，第一步變形后應(yīng)是（）A．x2＝﹣4x﹣2 B．x2+4x＝﹣2 C．x2+2＝﹣4x D．4x+2＝﹣x2【答案】B【解答】解：x2+4x+2＝0，x2+4x＝﹣2．故選：B．9．（2023?泉州一模）用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0，若配方后結(jié)果為（x﹣m）2＝10，則m的值為（）A．±3 B．3 C．﹣3 D．6【答案】B【解答】解：x2﹣6x﹣1＝0，x2﹣6x＝1，x2﹣6x+9＝10，（x﹣3）2＝10，所以m＝3．故選：B．10．（2023?市中區(qū)一模）用配方法解方程x2﹣2＝4x，下列配方正確的是（）A．（x+2）2＝2 B．（x﹣2）2＝2 C．（x+2）2＝6 D．（x﹣2）2＝6【答案】D【解答】解：由原方程得x2﹣4x＝2，得x2﹣4x+4＝2+4，得（x﹣2）2＝6，故選：D．11．（2023?邯山區(qū)校級(jí)一模）用配方法解方程x2﹣8x+2＝0，則方程可變形為（）A．（x﹣4）2＝6 B．（x﹣8）2＝18 C．（x﹣4）2＝18 D．（x﹣4）2＝14【答案】D【解答】解：x2﹣8x+2＝0，則x2﹣8x+16＝14，∴（x﹣4）2＝14，故選：D．12．（2023?南平模擬）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0，變形后的結(jié)果正確的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝5【答案】B【解答】解：x2﹣4x+1＝0，x2﹣4x＝﹣1，x2﹣4x+4＝﹣1+4，（x﹣2）2＝3，故選：B．13．（2023?東城區(qū)校級(jí)模擬）將一元二次方程x2﹣8x+10＝0通過配方轉(zhuǎn)化為（x+a）2＝b的形式，下列結(jié)果中正確的是（）A．（x﹣4）2＝6 B．（x﹣8）2＝6 C．（x﹣4）2＝﹣6 D．（x﹣8）2＝54【答案】A【解答】解：x2﹣8x＝﹣10，x2﹣8x+16＝6，（x﹣4）2＝6．故選：A．14．（2023春?龍灣區(qū)期中）用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，下列配方正確的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝7 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝7【答案】D【解答】解：x2﹣4x﹣3＝0，移項(xiàng)得：x2﹣4x＝3，配方得：x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7．故選：D．15．（2023春?瑞安市校級(jí)期中）方程x2﹣6x+8＝0配方后的結(jié)果是（）A．（x﹣3）2＝1 B．（x﹣3）2＝17 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣6）2＝17【答案】A【解答】解：x2﹣6x+8＝0，x2﹣6x＝﹣8，x2﹣6x+9＝1，所以（x﹣3）2＝1．故選：A．16．（2020?揚(yáng)州）方程（x+1）2＝9的根是．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（x+1）2＝9，x+1＝±3，x1＝2，x2＝﹣4．故答案為：x1＝2，x2＝﹣4．17．（2023?東阿縣一模）將一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b為常數(shù)）的形式，則ab＝﹣84．【答案】﹣84．【解答】解：∵x2﹣8x＝5，∴x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，∴b＝21，∴a＝﹣4，∴ab＝﹣84，故答案為：﹣84．18．（2022?齊齊哈爾）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．【答案】x1＝1，x2＝﹣1．【解答】解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2，開方得：2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣3x﹣2，解得：x1＝1，x2＝﹣1．19．（2023?廬江縣模擬）解方程：2（x﹣1）2﹣18＝0【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵2（x﹣1）2﹣18＝0，∴（x﹣1）2＝9，∴x﹣1＝±3，∴x＝4或x＝﹣2；1．（2022秋?紅橋區(qū)期末）解方程x2＝4的結(jié)果為（）A．x＝2 B．x＝4 C．x1＝﹣2，x2＝2 D．x1＝﹣4，x2＝4【答案】C【解答】解：∵x2＝4，∴x1＝﹣2，x2＝2，故選：C．2．（2022秋?海門市期末）一元二次方程x2﹣1＝0的根為（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C． D．x1＝1，x2＝﹣1【答案】D【解答】解：移項(xiàng)得x2＝1，開方得，x＝±1，即x1＝1，x2＝﹣1．故選：D．3．（2022秋?黔東南州期末）方程x2＝8的解是（）A．x＝4 B．x＝ C． D．【答案】D【解答】解：∵x2＝8，∴x＝±2，故選：D．4．（2023春?渦陽縣月考）用配方法解一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0時(shí)，配方成（x+k）2＝h的形式，則k，h的值為（）A．k＝1，h＝ B．k＝1，h＝2 C．k＝﹣1，h＝ D．k＝﹣1，h＝2【答案】C【解答】解：∵2x2﹣4x﹣1＝0，∴x2﹣2x＝，則x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，∴k＝﹣1，h＝，故選：C．5．（2023春?西城區(qū)校級(jí)期中）解方程：2x2﹣1＝7．【答案】x＝±2．【解答】解：2x2＝8．x2＝4，x＝±2．6．（2023春?