第03講 一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)（知識解讀+題型精講+隨堂檢測）（解析版）-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊（蘇科版）

第第頁第03講一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)1.理解一次函數(shù)的定義2.學(xué)會觀察一次函數(shù)圖像并分析，判斷函數(shù)值隨自變量的變化而變化3.掌握求一次函數(shù)解析式方法并解決簡單的幾何面積問題4.掌握一次函數(shù)與方程組及不等式的關(guān)聯(lián)。知識點(diǎn)1：一次函數(shù)的定義如果y=kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)，k叫比例系數(shù)。注意：當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)y=kx+b變?yōu)閥=kx，正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)。知識點(diǎn)2：一次函數(shù)圖像和性質(zhì)一次函數(shù)圖象與性質(zhì)用表格概括下：增減性k＞0k＜0從左向右看圖像呈上升趨勢，y隨x的增大而增大從左向右看圖像呈下降趨勢，y隨x的增大而較少圖像（草圖）b＞0b=0b＜0b＜0b=0b＜0經(jīng)過象限一、二、三一、三一、三、四一、二、四二、四二、三、四與y軸的交點(diǎn)位置b＞0，交點(diǎn)在y軸正半軸上；b=0,交點(diǎn)在原點(diǎn)；b＜0，交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上【提分要點(diǎn)】：若兩直線平行，則；若兩直線垂直，則知識點(diǎn)3：一次函數(shù)的平移一次函數(shù)圖像在x軸上的左右平移。向左平移n個(gè)單位，解析式y(tǒng)=kx+b變化為y=k（x+n）+b；向右平移n個(gè)單位解析式y(tǒng)=kx+b變化為y=k（x-n）+b。口訣：左加右減（對于y=kx+b來說，對括號內(nèi)x符號的增減）（此處n為正整數(shù)）。一次函數(shù)圖像在y軸上的上下平移。向上平移m個(gè)單位解析式y(tǒng)=kx+b變化為y=kx+b+m；向下平移m個(gè)單位解析式y(tǒng)=kx+b變化為y=kx+b-m。口訣：上加下減（對于y=kx+b來說，只改變b）（此處m為正整數(shù)）知識點(diǎn)4：求一次函數(shù)解析式用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的步驟：基本步驟：設(shè)、列、解、寫⑴設(shè)：設(shè)一般式y(tǒng)=kx+b⑵列：根據(jù)已知條件，列出關(guān)于k、b的方程（組）⑶解：解出k、b；⑷寫：寫出一次函數(shù)式知識點(diǎn)5：一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系直線y=kx+b（k≠0）與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，就是一元一次方程kx+b=0（k≠0）的解．求直線y=kx+b（k≠0）與x軸交點(diǎn)時(shí),（1）可令y=0，得到方程kx+b=0（k≠0），解方程得______________，（2）直線y=kx+b交x軸于點(diǎn)_（0，）_______,就是直線y=kx+b與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．知識點(diǎn)6：一次函數(shù)與一元一次不等式（1）由于任何一個(gè)一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為＞0或＜0或≥0或≤0（、為常數(shù)，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）時(shí)求相應(yīng)的自變量的取值范圍.（2）如何確定兩個(gè)不等式的大小關(guān)系（≠，且）的解集的函數(shù)值大于的函數(shù)值時(shí)的自變量取值范圍直線在直線的上方對應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)范圍．知識點(diǎn)7：一次函數(shù)與二元一次方程組1.一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系2.一次函數(shù)與二元一次方程的數(shù)形結(jié)合【題型1：一次函數(shù)的定義】【典例1-1】（2023春?安化縣期末）下列關(guān)于x的函數(shù)是一次函數(shù)的是（）A． B． C．y＝x2﹣1 D．y＝3x【答案】D【解答】解：A、y＝，是反比例函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；B、y＝，不是一次函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；C、y＝x2﹣1是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；D、y＝3x是一次函數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【典例1-2】（2023春?博興縣期末）一次函數(shù)y＝（m﹣2）xn﹣1+3是關(guān)于x的一次函數(shù)，則m，n的值為（）A．m≠2且n＝2 B．m＝2且n＝2 C．m≠2且n＝1 D．m＝2且n＝1【答案】A【解答】解：∵一次函數(shù)y＝（m﹣2）xn﹣1+3是關(guān)于x的一次函數(shù)，∴n﹣1＝1且m﹣2≠0，解得：n＝2且m≠2．故選：A．【變式1-1】（2023春?興城市期末）若函數(shù)y＝（a﹣2）x|a|﹣1+4是一次函數(shù)，則a的值為（）A．﹣2 B．±2 C．2 D．0【答案】A【解答】解：∵y＝（a﹣2）x|a|﹣1+4是關(guān)于x的一次函數(shù)，∴|a|﹣1＝1且a﹣2≠0，∴|a|＝2且a≠2，∴a＝±2且a≠2，∴a＝﹣2．故選：A．【變式1-2】（2023春?易縣期末）下列函數(shù)中，y是x的一次函數(shù)的是（）A．y＝1 B． C．y＝2x﹣3 D．y＝x2【答案】C【解答】解：A、B、y不是x的一次函數(shù)，故A、B不符合題意；C、y是x的一次函數(shù)，故C符合題意；D、y是x的二次函數(shù)，故D不符合題意．故選：C．【變式1-3】（2023?南關(guān)區(qū)校級開學(xué)）函數(shù)y＝（2m﹣1）xn+3+（m﹣5）是關(guān)于x的一次函數(shù)的條件為（）A．m≠5且n＝﹣2B．n＝﹣2 C．m≠且n＝﹣2 D．m≠【答案】C【解答】解：∵函數(shù)y＝（2m﹣1）xn+3+（m﹣5）是關(guān)于x的一次函數(shù)，∴n+3＝1且2m﹣1≠0，解得n＝﹣2且m≠．故選：C．【題型2：判斷一次函數(shù)圖像所在象限】【典例2】（2023春?岳陽縣期末）一次函數(shù)y＝x﹣1的圖象一定不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解答】解：由已知，得：k＞0，b＜0．故直線必經(jīng)過第一、三、四象限．則不經(jīng)過第二象限．故選：B．【變式2-1】（2023春?長沙期末）一次函數(shù)y＝3x﹣5的圖象經(jīng)過（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限【答案】D【解答】解：∵k＝3＞0，b＝﹣5＜0，∴圖象經(jīng)過一、三、四象限．故選：D．【變式2-2】（2023春?鄖西縣期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y＝2x﹣1的圖象經(jīng)過（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限【答案】D【解答】解：∵y＝2x﹣1，k＝2＞0，b＝﹣1＜0，∴該函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，故選：D．【變式2-3】（2023春?黔東南州期末）一次函數(shù)y＝3x﹣2的圖象經(jīng)過的象限是（）A．第一、二、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限【答案】C【解答】解：∵一次函數(shù)y＝3x﹣2，k＝3＞0，b＝﹣2＜0，∴該函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，故選：C．【題型3：一次函數(shù)圖像的性質(zhì)】【典例3】（2023春?西城區(qū)校級期中）關(guān)于一次函數(shù)y＝2x﹣4的圖象和性質(zhì)，下列敘述正確的是（）A．與y軸交于點(diǎn)（0，2） B．函數(shù)圖象不經(jīng)過第二象限 C．y隨x的增大而減小 D．當(dāng)時(shí)，y＜0【答案】B【解答】解：A．當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣4，∴一次函數(shù)y＝2x﹣4的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣4），選項(xiàng)A不符合題意；B．∵k＝2＞0，b＝﹣4＜0，∴一次函數(shù)y＝2x﹣4的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，不經(jīng)過第二象限，選項(xiàng)B符合題意．C．∵k＝2＞0，∴y隨x的增大而增大，選項(xiàng)C不符合題意；D．當(dāng)y＜0時(shí)，2x﹣4＜0，解得：x＜2，選項(xiàng)D不符合題意；故選：B．【變式3-1】（2023春?啟東市期末）下列關(guān)于一次函數(shù)y＝﹣2x+2的圖象的說法中，錯(cuò)誤的是（）A．函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限 B．函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0） C．當(dāng)x＞0時(shí)，y＜2 D．y的值隨著x值的增大而減小【答案】B【解答】解：A、∵k＝﹣2＜0，b＝2＞0，∴函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限，說法正確；B、∵y＝0時(shí)，x＝1，∴函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），說法錯(cuò)誤；C、當(dāng)x＞0時(shí)，y＜2，說法正確；D、∵k＝﹣2＜0，∴y的值隨著x值的增大而減小，說法正確；故選：B．【變式3-2】（2022秋?羅湖區(qū)期末）關(guān)于函數(shù)y＝﹣2x﹣5，下列說法不正確的是（）A．圖象是一條直線 B．y的值隨著x值的增大而減小 C．圖象不經(jīng)過第一象限 D．圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣5，0）【答案】D【解答】解：∵函數(shù)y＝﹣2x﹣5，∴該函數(shù)圖象是一條直線，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；y的值隨著x值的增大而減小，故選項(xiàng)B正確，不符合題意；該函數(shù)圖象經(jīng)過第二、三、四象限，不經(jīng)過第一象限，故選項(xiàng)C正確，不符合題意；圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2.5，0），故選項(xiàng)D不正確，符合題意；故選：D．【變式3-3】（2023春?鄧州市期末）下列四個(gè)選項(xiàng)中，不符合直線y＝﹣x﹣3的性質(zhì)特征的選項(xiàng)是（）A．經(jīng)過第二、三、四象限 B．y隨x的增大而減小 C．與x軸交于（3，0） D．與y軸交于（0，﹣3）【答案】C【解答】解：直線y＝﹣x﹣3中，k＝﹣1＜0，b＝﹣3＜0，A、∵k＝﹣1＜0，b＝﹣3＜0，∴函數(shù)圖象經(jīng)過第二、三、四象限，正確，故本選項(xiàng)不符合題意；B、∵k＝﹣1＜0，∴y隨x的增大而減小，正確，故本選項(xiàng)不符合題意；C、∵當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣3，∴與x軸交于（﹣3，0），原說法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)符合題意；D、∵當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣3，∴與y軸交于（0，﹣3），正確，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【變式3-4】（2023春?建華區(qū)期末）關(guān)于函數(shù)y＝﹣x+3的圖象，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．圖象經(jīng)過一、二、四象限 B．與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0） C．y隨x的增大而減小 D．圖象與兩坐標(biāo)軸相交所形成的直角三角形的面積為【答案】B【解答】解：A、由k＝﹣1＜0，b＝3＞0知，該圖象經(jīng)過第一、二、四象限，故本選項(xiàng)不符合題意．B、當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，則圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），故本選項(xiàng)符合題意．C、由k＝﹣1＜0知，y的值隨x的增大而減小，故本選項(xiàng)不符合題意．D、圖象與兩坐標(biāo)軸相交所形成的直角三角形的面積為：＝，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【題型4：根據(jù)一次函數(shù)增減性求含參取值范圍】【典例4】（2023秋?射陽縣校級月考）若一次函數(shù)y＝﹣3mx﹣4（m≠0），當(dāng)x的值增大時(shí)，y的值也增大，則m的取值范圍為（）A．m＞0 B．m＜0 C．0＜m＜3 D．無法確定【答案】B【解答】解：∵y＝﹣3mx﹣4（m≠0），y隨x的增大而增大，∴﹣3m＞0，∴m＜0．故選：B．【變式4-1】（2023春?銅仁市期末）已知一次函數(shù)y＝（m+1）x﹣2，y的值隨x的增大而減小，則點(diǎn)P（﹣m，m）所在象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解答】解：∵一次函數(shù)y＝（m+1）x﹣2的值隨x的增大而減小，∴m+1＜0，解得：m＜﹣1，∴﹣m＞0，m＜0，∴P（﹣m，m）在第四象限，故選：D．【變式4-2】（2023?雁塔區(qū)校級四模）若一次函數(shù)y＝（k﹣2）x+1的函數(shù)值y隨x增大而增大，則（）A．k＞0 B．k＜0 C．k＜2 D．k＞2【答案】D【解答】解：由題意，得k﹣2＞0，解得k＞2，故選：D．【變式4-3】（2023?貴陽模擬）已知函數(shù)y＝（2m﹣1）x是正比例函數(shù)，且y隨x的增大而增大，那么m的取值范圍是（）A．m＞ B．m＜ C．m＞0 D．m＜0【答案】A【解答】解：根據(jù)正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，知：當(dāng)y隨自變量x的增大而增大，即2m﹣1＞0，m＞．故選：A．【題型5：根據(jù)k、b值判斷一次函數(shù)圖像的】【典例5】（2023春?港北區(qū)期末）兩個(gè)一次函數(shù)y1＝ax+b與y2＝bx+a，它們在一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A、∵一次函數(shù)y1＝ax+b的圖象經(jīng)過一三四象限，∴a＞0，b＜0；由一次函數(shù)y2＝bx+a圖象可知，b＜0，a＜0，兩結(jié)論矛盾，故錯(cuò)誤；B、∵一次函數(shù)y1＝ax+b的圖象經(jīng)過一二三象限，∴a＞0，b＞0；由y2的圖象可知，a＞0，b＜0，兩結(jié)論相矛盾，故錯(cuò)誤；C、∵一次函數(shù)y1＝ax+b的圖象經(jīng)過一三四象限，∴a＞0，b＜0；由y2的圖象可知，a＞0，b＜0，兩結(jié)論不矛盾，故正確；D、∵一次函數(shù)y1＝ax+b的圖象經(jīng)過一二四象限，∴a＜0，b＞0；由y2的圖象可知，a＜0，b＜0，兩結(jié)論相矛盾，故錯(cuò)誤．故選：C．【變式5-1】（2023春?富錦市期末）同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝ax+b與y＝bx+a的圖象可能是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A，C選項(xiàng)中，兩直線與y軸交于同一點(diǎn)，∴a＝b，如果a＝b，兩條直線重合，不符合題意．B選項(xiàng)中，兩直線與y軸交點(diǎn)一個(gè)在x軸上方，一個(gè)在x軸下方，∴a，b符號不同，符合題意．D選項(xiàng)中，兩條直線都是y隨x增大而增大，則a，b都是正數(shù)，∴兩直線與y軸交點(diǎn)應(yīng)該在x軸上方，不符合題意．故選：B．【變式5-2】（2023春?易縣期末）已知kb＞0，且b＜0，則一次函數(shù)y＝kx+b的圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵kb＞0．且b＜0，∴k＜0，∴一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，故選：C．【變式5-3】（2023春?商城縣期末）一次函數(shù)y＝mx+n與y＝mnx（mn≠0），在同一平面直角坐標(biāo)系的圖象是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：（1）當(dāng)m＞0，n＞0時(shí)，mn＞0，一次函數(shù)y＝mx+n的圖象一、二、三象限，正比例函數(shù)y＝mnx的圖象過一、三象限，無符合項(xiàng)；（2）當(dāng)m＞0，n＜0時(shí)，mn＜0，一次函數(shù)y＝mx+n的圖象一、三、四象限，正比例函數(shù)y＝mnx的圖象過二、四象限，C選項(xiàng)符合；（3）當(dāng)m＜0，n＜0時(shí)，mn＞0，一次函數(shù)y＝mx+n的圖象二、三、四象限，正比例函數(shù)y＝mnx的圖象過一、三象限，無符合項(xiàng)；（4）當(dāng)m＜0，n＞0時(shí)，mn＜0，一次函數(shù)y＝mx+n的圖象一、二、四象限，正比例函數(shù)y＝mnx的圖象過二、四象限，無符合項(xiàng)．故選：C．【題型6：比較一次函數(shù)值的大小】【典例6】（2023春?丹江口市期末）一次函數(shù)y＝4x+m的圖象上有三個(gè)點(diǎn)A（﹣2，a），B（3，b），C（﹣0.5，c），據(jù)此可以判斷a，b，c的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＜c＜b B．a(chǎn)＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a【答案】A【解答】解：∵k＝4，∴y隨x的增大而增大，又∵點(diǎn)A（﹣2，a），B（3，b），C（﹣0.5，c）均在一次函數(shù)y＝4x+m的圖象上，且﹣2＜﹣0.5＜3，∴a＜c＜b．故選：A．【變式6-1】（2023春?甘井子區(qū)期末）已知點(diǎn)A（﹣2，m），B（3，n）在一次函數(shù)y＝2x+1的圖象上，則m與n的大小關(guān)系是（）A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．無法確定【答案】C【解答】解：∵y＝2x+1，∴k＝2＞0，∴y隨著x的增大而增大，∵點(diǎn)A（﹣2，m）和點(diǎn)B（3，n）在一次函數(shù)的圖象上，﹣2＜3，∴m＜n故選：C．【變式6-2】（2023春?廬江縣期末）若點(diǎn)M（﹣1，y1），N（2，y2）都在直線y＝﹣x+b上，則下列大小關(guān)系成立的是（）A．y1＞y2＞b B．y2＞y1＞b C．y2＞b＞y1 D．y1＞b＞y2【答案】D【解答】解：∵k＝﹣1＜0，∴y隨x的增大而減小，又∵點(diǎn)M（﹣1，y1），N（2，y2）都在直線y＝﹣x+b上，且﹣1＜0＜2，∴y1＞b＞y2．故選：D．【變式6-3】（2022秋?太倉市期末）已知點(diǎn)，（1，y2），（﹣2，y3）都在直線上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）A．y2＜y3＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1【答案】A【解答】解：∵k＝﹣＜0，∴y隨x的增大而減小，又∵點(diǎn)，（1，y2），（﹣2，y3）都在直線上，且﹣＜﹣2＜1，∴y2＜y3＜y1．故選：A．【題型7：一次函數(shù)的變換問題】【典例7】（2023春?東蘭縣期末）在平面直角坐標(biāo)系中，將直線y＝2x+b沿y軸向下平移2個(gè)單位后恰好經(jīng)過原點(diǎn)，則b的值為（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4【答案】B【解答】解：∵平移后拋物線的解析式為y＝2x+b﹣2，恰好經(jīng)過原點(diǎn)，∴將（0，0）代入解析式可得0＝b﹣2，∴b＝2．故選：B．【變式7-1】（2023春?通河縣期末）直線y＝﹣5x向上平移2個(gè)單位長度，得到的直線的解析式為（）A．y＝5x+2 B．y＝﹣5x+2 C．y＝5x﹣2 D．y＝﹣5x﹣2【答案】B【解答】解：將直線y＝﹣5x向上平移2個(gè)單位長度，得到的直線的解析式為：y＝﹣5x+2．故選：B．【變式7-2】（2023春?衛(wèi)濱區(qū)校級期末）一次函數(shù)y＝﹣2x+b的圖象向下平移3個(gè)單位長度后，恰好經(jīng)過點(diǎn)A（2，﹣3），則b的值為（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2【答案】A【解答】解：∵一次函數(shù)y＝﹣2x+b的圖象向下平移3個(gè)單位，∴y＝﹣2x+b﹣3，把（2，﹣3）代入得：﹣3＝﹣2×2+b﹣3，解得：b＝4．故選：A．【變式7-3】（2023?婁底）將直線y＝2x+1向右平移2個(gè)單位后所得圖象對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為（）A．y＝2x+5 B．y＝2x+3 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x﹣3【答案】D【解答】解：直線y＝2x向右平移2個(gè)單位后所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝2（x﹣2）+1，即y＝2x﹣3．故選：D．【變式7-4】（2023?臨潼區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，若將一次函數(shù)y＝2x+m﹣1的圖象向右平移3個(gè)單位后，得到一個(gè)正比例函數(shù)的圖象，則m的值為（）A．﹣7 B．7 C．﹣6 D．6【答案】B【解答】解：將一次函數(shù)y＝2x+m﹣1的圖象向左右平移3個(gè)單位后，得到y(tǒng)＝2（x﹣3）+m﹣1，把（0，0）代入，得到：0＝﹣6+m﹣1，解得m＝7．故選：B．【題型8：求一次函數(shù)解析式】【典例8】（2023春?西華縣期末）已知直線l1：y＝x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B．（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）將直線l1向右平移8個(gè)單位后得到直線l2，求直線l2的解析式；（3）設(shè)直線l2與x軸的交點(diǎn)為P，求△PAB的面積．【答案】（1）A（﹣6，0），B（0，3）；（2）直線l2解析式為y＝x﹣1；（3）12．【解答】解：（1）令y＝x+3＝0，得x＝﹣6，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣6，0），令x＝0，得y＝x+3＝3，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，3）；（2）將直線l1向右平移8個(gè)單位后得到直線l2，l2解析式為y＝（x﹣8）+3＝x﹣1，∴直線l2解析式為y＝x﹣1；（3）令y＝x﹣1＝0，解得x＝2，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，0），∴AP＝8，∴△PAB的面積為＝12．【變式8-1】（2023春?廬江縣期末）已知某一次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣4），當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣3．（1）求一次函數(shù)的解析式；（2）將該函數(shù)的圖象沿x軸向右平移3個(gè)單位，求平移后的圖象與坐標(biāo)軸圍成三角形面積．【答案】（1）一次函數(shù)解析式為y＝x﹣4；（2）．【解答】解：（1）設(shè)一次函數(shù)的解析式為y＝kx+b，由題意得，解得∴一次函數(shù)解析式為y＝x﹣4；（2）將該函數(shù)的圖象沿x軸向右平移3個(gè)單位可得y＝（x﹣3）﹣4＝x﹣，令y＝0可得x﹣＝0，解得x＝11，令x＝0可得y＝x﹣＝﹣，∴平移后的圖象與坐標(biāo)軸圍成三角形面積為：＝．【變式8-2】（2023春?商南縣校級期末）如圖，直線y＝﹣2x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)．（2）若點(diǎn)C在x軸上，且S△ABC＝2S△AOB，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．【答案】（1）A（1，0），B（0，2）．（2）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）或（﹣1，0）．【解答】解：（1）令y＝﹣2x+2中y＝0，則﹣2x+2＝0，解得：x＝1，∴A（1，0），令y＝﹣2x+2中x＝0，則y＝2，∴B（0，2）．（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，0），S△AOB＝OA?OB＝×1×2＝1，S△ABC＝AC?OB＝|m﹣1|×2＝|m﹣1|，∵S△ABC＝2S△AOB，∴|m﹣1|＝2，解得：m＝3或m＝﹣1，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）或（﹣1，0）．【變式8-3】（2023春?鼓樓區(qū)校級期末）已知一次函數(shù)y＝kx+4的圖象過點(diǎn)B（2，3）．（1）求k的值；（2）直線y＝kx+b與x軸的交點(diǎn)為C點(diǎn)，點(diǎn)P在該函數(shù)圖象上，且點(diǎn)P在x軸上方，△POC的面積為4，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）k＝﹣；（2）（6，1）．【解答】解：（1）由題意，將B（2，3）代入一次函數(shù)解析式y(tǒng)＝kx+4得，2k+4＝3，∴k＝﹣．（2）由（1）k＝﹣，∴一次函數(shù)為y＝﹣x+4．令y＝0，∴﹣x+4＝0．∴x＝8．∴C（8，0）．∵S△POC＝OC?h＝4，∴h＝1．∴點(diǎn)P縱坐標(biāo)的絕對值為1．∴P點(diǎn)的坐標(biāo)可能為（6，1）或（10，﹣1）．又P在x軸上方，∴P（6，1）．【題型9：一次函數(shù)與一元一次方程】【典例9】（2022春?圍場縣期末）一次函數(shù)y＝ax+b的圖象如圖所示，則方程ax+b＝0的解為（）A．x＝﹣2 B．y＝﹣2 C．x＝1 D．y＝1【答案】A【解答】解：由圖象可得，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣2，∴關(guān)于x的方程ax+b＝0的解為x＝﹣2，故選：A．【變式9-1】（2022秋?固鎮(zhèn)縣校級月考）如圖，直線y＝ax+b過點(diǎn)（0，﹣2）和點(diǎn)（﹣3，0），則方程ax+b+1＝0的解是（）A．x＝﹣3 B．x＝﹣2 C．x＝﹣1.5 D．x＝﹣1【答案】C【解答】解：把點(diǎn)（0，﹣2）和點(diǎn)（﹣3，0）代入y＝ax+b得，，解得，∴y＝﹣x﹣2，當(dāng)y＝﹣1時(shí)，即﹣x﹣2＝﹣1，解得x＝﹣，故方程ax+b+1＝0的解是﹣1.5，故選：C．【變式9-2】（2022春?冠縣期末）如圖所示，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（3，2），則方程kx+b＝2的解是（）A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．無法確定【答案】C【解答】解：∵一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（3，2），∴當(dāng)y＝2時(shí)，x＝3，即方程kx+b＝2的解為x＝3，故選：C．【變式9-3】（2022秋?廣饒縣校級期末）已知關(guān)于x的一次函數(shù)y＝3x+n的圖象如圖，則關(guān)于x的一次方程3x+n＝0的解是（）A．x＝﹣2 B．x＝﹣3 C． D．【答案】D【解答】解：從圖象可知：一次函數(shù)y＝3x+n與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，2），代入函數(shù)解析式得：2＝0+n，解得：n＝2，即y＝3x+2，當(dāng)y＝0時(shí)，3x+2＝0，解得：x＝﹣，即關(guān)于x的一次方程3x+n＝0的解是x＝﹣，故選：D．【典例10】（2022秋?城關(guān)區(qū)校級期末）如圖，直線y＝2x與y＝kx+b相交于點(diǎn)P（m，2），則關(guān)于x的方程kx+b＝2的解是（）A．x＝ B．x＝1 C．x＝2 D．x＝4【答案】B【解答】解：∵直線y＝2x與y＝kx+b相交于點(diǎn)P（m，2），∴2＝2m，∴m＝1，∴P（1，2），∴關(guān)于x的方程kx+b＝2的解是x＝1，故選：B．【變式10-1】（2022秋?余姚市校級期末）如圖，直線y＝2x與y＝kx+b相交于點(diǎn)P（m，2），則關(guān)于x的方程kx+b＝2的解是x＝1．【答案】x＝1．【解答】解：∵直線y＝2x與y＝kx+b相交于點(diǎn)P（m，2），∴2＝2m，∴m＝1，∴P（1，2），∴當(dāng)x＝1時(shí)，y＝kx+b＝2，∴關(guān)于x的方程kx+b＝2的解是x＝1，故答案為：x＝1．【變式10-2】（2022秋?高陵區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y＝kx和y＝﹣x+b的圖象，如圖所示，則方程kx＝﹣x+b的解為x＝1．【答案】x＝1．【解答】解：∵一次函數(shù)y＝kx和y＝﹣x+b的圖象交于點(diǎn)（1，2），∴方程kx＝﹣x+b的解為x＝1．故答案為：x＝1．【題型10：一次函數(shù)與一元一次不等式】【典例11】（2023春?阿克蘇地區(qū)期末）如圖，直線y＝﹣2x+b與x軸交于點(diǎn)（3，0），那么不等式﹣2x+b＜0的解集為（）A．x＜3 B．x≤3 C．x≥3 D．x＞3【答案】D【解答】解：根據(jù)圖象可得，一次函數(shù)y＝﹣2x+b在x軸下方部分對應(yīng)的x的范圍是x＞3，∴關(guān)于x的不等式﹣2x+b＜0的解集為x＞3．故選：D．【變式11-1】（2023春?兩江新區(qū)期末）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與x軸和y軸的交點(diǎn)分別為（﹣2，0）、（0，1），求關(guān)于x的不等式kx+b＜1的解集x＜0．【答案】x＜0．【解答】解：由圖象得：不等式kx+b＜1的解集為：x＜0，故答案為：x＜0．【變式11-2】（2023春?松江區(qū)期末）如圖：點(diǎn)（﹣2，3）在直線y＝kx+b（k≠0）上，則不等式kx+b≥3關(guān)于x的解集是x≤﹣2．【答案】x≤﹣2．【解答】解：由函數(shù)圖象知：不等式kx+b≥3關(guān)于x的解集是x≤﹣2．故答案為：x≤﹣2．【變式11-3】（2022秋?建鄴區(qū)期末）表1、表2分別是函數(shù)y1＝k1x+b1與y2＝k2x+b2中自變量x與函數(shù)y的對應(yīng)值．則不等式y(tǒng)1＞y2的解集是x＜﹣2．表1x﹣4﹣3﹣2﹣1y﹣1﹣2﹣3﹣4表2x﹣4﹣3﹣2﹣1y﹣9﹣6﹣30【答案】x＜﹣2．【解答】解：因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y1＝k1x+b1為減函數(shù)，一次函數(shù)y2＝k2x+b2為增函數(shù)，且x＝﹣2時(shí)，y1＝y(tǒng)2＝﹣3，所以當(dāng)x＜﹣2時(shí)，y1＞y2，即不等式y(tǒng)1＞y2的解集是x＜﹣2．故答案為：x＜﹣2．1．（2023?樂山）下列各點(diǎn)在函數(shù)y＝2x﹣1圖象上的是（）A．（﹣1，3） B．（0，1） C．（1，﹣1） D．（2，3）【答案】D【解答】解：A．當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝2×（﹣1）﹣1＝﹣3，∴點(diǎn)（﹣1，3）不在函數(shù)y＝2x﹣1圖象上；B．當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2×0﹣1＝﹣1，∴點(diǎn)（0，1）不在函數(shù)y＝2x﹣1圖象上；C．當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2×1﹣1＝1，∴點(diǎn)（1，﹣1）不在函數(shù)y＝2x﹣1圖象上；D．當(dāng)x＝2時(shí)，y＝2×2﹣1＝3，∴點(diǎn)（2，3）在函數(shù)y＝2x﹣1圖象上；故選：D．2．（2023?蘭州）一次函數(shù)y＝kx﹣1的函數(shù)值y隨x的增大而減小，當(dāng)x＝2時(shí)，y的值可以是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【答案】D【解答】解：∵一次函數(shù)y＝kx﹣1中，y隨x的增大而減小，∴k＜0，A、當(dāng)x＝2，y＝2時(shí)，k＝，不符合題意；B、當(dāng)x＝2，y＝1時(shí)，k＝1，不符合題意；C、當(dāng)x＝2，y＝﹣1時(shí)，k＝0，不符合題意；D、當(dāng)x＝2，y＝﹣2時(shí)，k＝﹣，符合題意；故選：D．3．（2023?鄂州）象棋起源于中國，中國象棋文化歷史悠久．如圖所示是某次對弈的殘圖，如果建立平面直角坐標(biāo)系，使棋子“帥”位于點(diǎn)（﹣2，﹣1）的位置，則在同一坐標(biāo)系下，經(jīng)過棋子“帥”和“馬”所在的點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為（）A．y＝x+1 B．y＝x﹣1 C．y＝2x+1 D．y＝2x﹣1【答案】A【解答】解：∵“帥”位于點(diǎn)（﹣2，﹣1）可得出“馬”（1，2），設(shè)經(jīng)過棋子“帥”和“馬”所在的點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+1，故選：A．4．（2023?沈陽）已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象如圖所示，則k，b的取值范圍是（）A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0【答案】B【解答】解：由圖可知該一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三、四象限，則k＞0，b＜0．故答案為B．5．（2023?益陽）關(guān)于一次函數(shù)y＝x+1，下列說法正確的是（）A．圖象經(jīng)過第一、三、四象限 B．圖象與y軸交于點(diǎn)（0，1） C．函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小 D．當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y＜0【答案】B【解答】解：∵一次函數(shù)y＝x+1中，k＞0，b＞0，∴圖象經(jīng)過第一、二、三象限，故A不正確；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1，∴圖象與y軸交于點(diǎn)（0，1），故B正確；∵一次函數(shù)y＝x+1中，k＞0，∴函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，故C不正確；∵當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝0，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，∴當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y＞0，故D不正確；故選：B．6．（2023?婁底）將直線y＝2x+1向右平移2個(gè)單位后所得圖象對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為（）A．y＝2x+5 B．y＝2x+3 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x﹣3【答案】D【解答】解：直線y＝2x向右平移2個(gè)單位后所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝2（x﹣2）+1，即y＝2x﹣3．故選：D．7．（2023?臺灣）坐標(biāo)平面上，一次函數(shù)y＝﹣2x﹣6的圖象通過下列哪一個(gè)點(diǎn)（）A．（﹣4，1） B．（﹣4，2） C．（﹣4，﹣1） D．（﹣4，﹣2）【答案】B【解答】解：A．當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y＝﹣2×（﹣4）﹣6＝2，所以一次函數(shù)y＝﹣2x﹣6的圖象不過（﹣4，1）點(diǎn)，因此選項(xiàng)A不符合題意；B．當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y＝﹣2×（﹣4）﹣6＝2，所以一次函數(shù)y＝﹣2x﹣6的圖象過（﹣4，2）點(diǎn)，因此選項(xiàng)B符合題意；C．當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y＝﹣2×（﹣4）﹣6＝2，所以一次函數(shù)y＝﹣2x﹣6的圖象不過（﹣4，﹣1）點(diǎn)，因此選項(xiàng)C不符合題意；D．當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y＝﹣2×（﹣4）﹣6＝2，所以一次函數(shù)y＝﹣2x﹣6的圖象不過（﹣4，﹣2）點(diǎn)，因此選項(xiàng)D不符合題意；故選：B．8．（2023?通遼）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝2x﹣3的圖象是（）A．B． C．D．【答案】D【解答】解：∵一次函數(shù)y＝2x﹣3中的k＝2＞0，b＝﹣3＜0，∴一次函數(shù)y＝2x﹣3的圖象經(jīng)過第一、三、四象限．故選：D．9．（2023?荊州）如圖，直線y＝﹣x+3分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A，B，將△OAB繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CAD，則點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（）A．（2，5） B．（3，5） C．（5，2） D．（，2）【答案】C【解答】解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣x+3＝3，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）；當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x+3＝0，解得x＝2，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），則OA＝2，OB＝3，∵△AOB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△ACD，∴∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝2，CD＝OB＝3，即AC⊥x軸，CD∥x軸，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，2）．故選：C．10．（2022?陜西）在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x+4與y＝2x+m相交于點(diǎn)P（3，n），則關(guān)于x，y的方程組的解為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：將點(diǎn)P（3，n）代入y＝﹣x+4，得n＝﹣3+4＝1，∴P（3，1），∴關(guān)于x，y的方程組的解為，故選：C．11．（2023?丹東）如圖，直線y＝ax+b（a≠0）過點(diǎn)A（0，3），B（4，0），則不等式ax+b＞0的解集是（）A．x＞4 B．x＜4 C．x＞3 D．x＜3【答案】B【解答】解：∵直線y＝ax+b（a≠0）過點(diǎn)A（0，3），B（4，0），當(dāng)x＜4時(shí)，y＞0，∴不等式ax+b＞0的解集為x＜4．故選：B．12．（2023?寧夏）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y1＝ax+b（a≠0）與y2＝mx+n（m≠0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．y1隨x的增大而增大 B．b＜n C．當(dāng)x＜2時(shí)，y1＞y2 D．關(guān)于x，y的方程組的解為【答案】C【解答】解：A：由圖象得y1隨x的增大而增大，故A正確的；B：由圖象得：n＞b，故B是正確的；C：由圖象得：當(dāng)x＜2時(shí)，y1＜y2，故C是錯(cuò)誤的；D：由圖象得：的解為：，故D是正確的；故選：C．13．（2023?盤錦）關(guān)于x的一次函數(shù)y＝（2a+1）x+a﹣2，若y隨x的增大而增大，且圖象與y軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)下方，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是﹣＜a＜2．【答案】﹣＜a＜2．【解答】解：根據(jù)題意得，解得：﹣＜a＜2．故答案為：﹣＜a＜2．14．（2023?西寧）一次函數(shù)y＝2x﹣4的圖象與x軸交于點(diǎn)A，且經(jīng)過點(diǎn)B（m，4）．（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）直接在圖的平面直角坐標(biāo)系中畫出一次函數(shù)y＝2x﹣4的圖象；（3）點(diǎn)P在x軸的正半軸上，若△ABP是以AB為腰的等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，4）；（2）見解析；（3）（6，0）或．【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y＝2x﹣4的圖象與x軸交于點(diǎn)A，∴令y＝0，2x﹣4＝0，解得x＝2，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，0），∵點(diǎn)B（m，4）在一次函數(shù)y＝2x﹣4的圖象上，把B（m，4）代入y＝2x﹣4，得2m﹣4＝4，∴m＝4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，4）；（2）圖象過點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，4），如圖：（3）∵A（2，0），B（4，4），∴AB＝＝2，∵點(diǎn)P在x軸的正半軸上，△ABP是以AB為腰的等腰三角形，∴P的坐標(biāo)為（6，0）或（2+2，0）．15．（2023?溫州）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，m）在直線y＝2x﹣上，過點(diǎn)A的直線交y軸于點(diǎn)B（0，3）．（1）求m的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)P（t，y1）在線段AB上，點(diǎn)Q（t﹣1，y2）在直線y＝2x﹣上，求y1﹣y2的最大值．【答案】（1）m＝；直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x+3．（2）當(dāng)t＝0，y1﹣y2的最大值為．【解答】解：（1）把點(diǎn)A（2，m）代入y＝2x﹣中，得m＝；設(shè)直線AB的函數(shù)表達(dá)式為：y＝kx+b，把A（2，），B（0，3）代入得：，解得，∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x+3．（2）∵點(diǎn)P（t，y1）在線段AB上，∴y1＝﹣t+3（0≤t≤2），∵點(diǎn)Q（t﹣1，y2）在直線y＝2x﹣上，∴y2＝2（t﹣1）﹣＝2t﹣，∴y1﹣y2＝﹣t+3﹣（2t﹣）＝﹣t+，∵﹣＜0，∴y1﹣y2隨t的增大而減小，∴當(dāng)t＝0，y1﹣y2的最大值為1．（2023秋?寧明縣期中）下列是y關(guān)于x的函數(shù)，其中是一次函數(shù)的為（）A．y＝2x2+4 B． C．y＝﹣2x+1 D．y＝kx+b【答案】C【解答】解：A選項(xiàng)，y＝2x2+4是y關(guān)于x的二次函數(shù)，不符合題意；B選項(xiàng)，，y不是x的一次函數(shù)，不符合題意；C選項(xiàng)，y＝﹣2x+1是y關(guān)于x的一次函數(shù)，符合題意；D選項(xiàng)，y＝kx+b中k的值不確定，不能判定，不符合題意；故選：C．2．（2023春?永年區(qū)期末）若y＝（m﹣1）x2﹣|m|+1是關(guān)于x的一次函數(shù)，則m的值為（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．±2【答案】B【解答】解：∵y＝（m﹣1）x2﹣|m|+1是關(guān)于x的一次函數(shù)，∴2﹣|m|＝1，m﹣1≠0，∴m＝﹣1，故選：B．3．（2023秋?六盤水期中）已知點(diǎn)（﹣3，y1）和點(diǎn)（﹣5，y2）在直線y＝2x﹣1上，則（）A．y1＝y(tǒng)2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．無法判定【答案】B【解答】解：∵k＝2＞0，∴y隨x的增大而增大，又∵點(diǎn)（﹣3，y1）和點(diǎn)（﹣5，y2）在直線y＝2x﹣1上，且﹣3＞﹣5，∴y1＞y2．故選：B．4．（2023秋?霞浦縣期中）一次函數(shù)y＝﹣2x﹣5的圖象不經(jīng)過第（）象限．A．一 B．二 C．三 D．四【答案】A【解答】解：∵k＝﹣2＜0，∴一次函數(shù)y＝﹣2x﹣5的圖象經(jīng)過第二、四象限，∵b＝﹣5＜0，∴一次函數(shù)y＝﹣2x﹣5的圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，∴一次函數(shù)y＝﹣2x﹣5的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，即一次函數(shù)y＝﹣2x﹣5的圖象不經(jīng)過第一象限．故選：A．5．（2023秋?蓮湖區(qū)期中）在函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝﹣x+4中，當(dāng)因變量y＝2時(shí)，自變量x的值為（）A．﹣6 B．﹣3 C．6 D．【答案】C【解答】解：當(dāng)y＝2時(shí)，2＝﹣x+4，解得x＝6．故選：C．6．（2023秋?八步區(qū)期中）關(guān)于函數(shù)y＝﹣2x+1，下列結(jié)論正確的是（）A．圖象必經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，1） B．圖象經(jīng)過第一、二、三象限 C．圖象與直線y＝﹣2x+3平行 D．y隨x的增大而增大【答案】C【解答】解：A、當(dāng)x＝﹣2，y＝﹣2x+1＝﹣2×（﹣2）+1＝5，則點(diǎn)（﹣2，1）不在函數(shù)y＝﹣2x+1圖象上，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、由于k＝﹣2＜0，則函數(shù)y＝﹣2x+1的圖象必過第二、四象限，b＝1＞0，圖象與y軸的交點(diǎn)在x的上方，則圖象還過第一象限，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、由于直線y＝﹣2x+1與直線y＝﹣2x+3的傾斜角相等且與y軸交于不同的點(diǎn)，所以它們相互平行，