線性代數(shù)與概率論（曹景龍第五版） 課件 第4-6章 隨機(jī)事件及其概率-幾種重要的概率分布

第四章隨機(jī)事件及其概率第一節(jié)

隨機(jī)事件的概率第二節(jié)

加法公式第三節(jié)

乘法公式第四節(jié)

全概公式本章思維導(dǎo)圖引導(dǎo)案例---經(jīng)典彩票游戲雙色球中國(guó)福利彩票中經(jīng)典彩票雙色球，是一種兩區(qū)選號(hào)的數(shù)字游戲，游戲規(guī)則為，在標(biāo)注1—33號(hào)碼紅球中不放回抽取6個(gè)紅球?yàn)榍皡^(qū)，在1—16號(hào)藍(lán)球中抽一個(gè)為后區(qū)組合為一注，每注2元。“雙色球”共設(shè)六個(gè)獎(jiǎng)級(jí)，具體規(guī)則如表4-1：試求出投注者中一等獎(jiǎng)的概率。分析：要計(jì)算每等獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)概率，需要用到古典概型知識(shí)，本章先從隨機(jī)事件間的關(guān)系與運(yùn)算出發(fā)，介紹古典概型的定義、特征及概率計(jì)算、概率加法公式、乘法公式和全概公式等。第一節(jié)隨機(jī)事件的概率本節(jié)主要學(xué)習(xí)目標(biāo)：[知識(shí)目標(biāo)]

了解隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)事件的概念。

熟練掌握隨機(jī)事件間的關(guān)系。

掌握古典概型的概率及其計(jì)算

[能力目標(biāo)]

能熟練計(jì)算古典概型事件的概率。確定性現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象5在自然界與經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域內(nèi)有兩類現(xiàn)象:一類是條件完全決定結(jié)果的現(xiàn)象,稱為確定性現(xiàn)象如當(dāng)邊長(zhǎng)為2m時(shí),正方形的面積一定等于4m2另一類是條件不能完全決定結(jié)果的現(xiàn)象,稱為非確定性現(xiàn)象,或稱為隨機(jī)現(xiàn)象如擲一枚均勻硬幣,可能出現(xiàn)正面,也可能不出現(xiàn)正面隨機(jī)現(xiàn)象6隨機(jī)現(xiàn)象都帶有不確定性,但這僅僅是隨機(jī)現(xiàn)象的一個(gè)方面隨機(jī)現(xiàn)象還有規(guī)律性的另一個(gè)方面,如在相同條件下,對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行大量觀測(cè),其可能結(jié)果就會(huì)出現(xiàn)某種規(guī)律性等概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性的一門科學(xué)。隨機(jī)試驗(yàn)7在概率論中,做事情稱為試驗(yàn),若試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行,且每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)在每次試驗(yàn)前不能準(zhǔn)確預(yù)言試驗(yàn)所出現(xiàn)的結(jié)果,但可以知道可能出現(xiàn)的全部結(jié)果,則稱具有以上兩個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。隨機(jī)事件8隨機(jī)試驗(yàn)簡(jiǎn)稱為試驗(yàn),每次試驗(yàn)的一個(gè)可能結(jié)果稱為基本事件,記作ω1,ω2,….在試驗(yàn)中,可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱為事件,它是一些基本事件的集合,通常用大寫字母A,B,C等表示顯然,基本事件是隨機(jī)事件的特殊情況若試驗(yàn)的結(jié)果是構(gòu)成事件A的某個(gè)基本事件,則稱事件A發(fā)生;否則稱事件A不發(fā)生。必然事件與不可能事件9在每次試驗(yàn)中,一定發(fā)生的事件稱為必然事件,顯然它是全部基本事件的集合,記作Ω。在每次試驗(yàn)中,一定不發(fā)生的事件稱為不可能事件,顯然它是空集,記作?。必然事件與不可能事件雖然不是隨機(jī)事件,但是為了討論問題方便,把它們看作是隨機(jī)事件的極端情況。例110做試驗(yàn):投擲一顆均勻骰子一次.那么:(1)這個(gè)試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行,且每次試驗(yàn)的可能結(jié)果為6個(gè):出現(xiàn)1點(diǎn)、出現(xiàn)2點(diǎn)、出現(xiàn)3點(diǎn)、出現(xiàn)4點(diǎn)、出現(xiàn)5點(diǎn)及出現(xiàn)6點(diǎn)在每次試驗(yàn)前不能準(zhǔn)確預(yù)言試驗(yàn)所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),但知道可能出現(xiàn)的全部點(diǎn)數(shù)由于具有以上兩個(gè)特點(diǎn),因此這個(gè)試驗(yàn)是隨機(jī)試驗(yàn)例111(2)這個(gè)試驗(yàn)共有6個(gè)基本事件:設(shè)基本事件ω1表示出現(xiàn)1點(diǎn),基本事件ω2表示出現(xiàn)2點(diǎn),基本事件ω3表示出現(xiàn)3點(diǎn),基本事件ω4表示出現(xiàn)4點(diǎn),基本事件ω5表示出現(xiàn)5點(diǎn),基本事件ω6表示出現(xiàn)6點(diǎn).設(shè)事件A表示出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn),它是基本事件ω2,ω4,ω6的集合,于是事件A={ω2,ω4,ω6}若試驗(yàn)的結(jié)果是ω4,則稱事件A發(fā)生;若試驗(yàn)的結(jié)果是ω1,則稱事件A不發(fā)生事件與幾何之間的聯(lián)系12考慮試驗(yàn)E:往長(zhǎng)方形桌面Ω上任意投擲小球,且小球一定落在長(zhǎng)方形桌面Ω內(nèi)長(zhǎng)方形桌面Ω內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)基本事件,長(zhǎng)方形桌面Ω對(duì)應(yīng)必然事件若小球落入?yún)^(qū)域A內(nèi),則稱事件A發(fā)生;否則稱事件A不發(fā)生事件與幾何之間的聯(lián)系13這個(gè)試驗(yàn)建立了事件與集合之間的聯(lián)系,給出了事件的幾何說明,如圖事件之間的關(guān)系14在事件之間的關(guān)系中,最重要的有三種:1.包含關(guān)系若事件B發(fā)生必然導(dǎo)致事件A發(fā)生,則稱事件A包含B,記作A?B.2.相等關(guān)系若事件A與B是同一個(gè)事件,則稱事件A與B相等,記作A=B.3.互斥關(guān)系若事件A與B不可能同時(shí)發(fā)生,則稱事件A與B互斥互斥關(guān)系15在試驗(yàn)E中,若區(qū)域A與B分離,即它們沒有公共部分,這時(shí)小球不可能既落入?yún)^(qū)域A內(nèi)又同時(shí)落入?yún)^(qū)域B內(nèi)意味著事件A與B不可能同時(shí)發(fā)生,因此事件A與B互斥說明區(qū)域A與B分離對(duì)應(yīng)事件A與B互斥,如圖事件之間的運(yùn)算16事件A與B中至少有一個(gè)事件發(fā)生,即事件A發(fā)生或事件B發(fā)生,這個(gè)事件稱為事件A與B的和事件,記作A+B1.和事件事件之間的運(yùn)算17在試驗(yàn)E中,當(dāng)小球落入?yún)^(qū)域A與B的并集A∪B內(nèi),即小球至少落入?yún)^(qū)域A與B中的一個(gè)區(qū)域內(nèi)意味著事件A與B中至少有一個(gè)事件發(fā)生,因此事件A與B的和事件A+B發(fā)生說明區(qū)域A與B的并集A∪B對(duì)應(yīng)事件A與B的和事件A+B,和事件A+B是由事件A與B所包含的所有基本事件構(gòu)成的集合,如圖事件之間的運(yùn)算18事件A與B同時(shí)發(fā)生,即事件A發(fā)生且事件B發(fā)生,這個(gè)事件稱為事件A與B的積事件,記作AB2.積事件事件之間的運(yùn)算19在試驗(yàn)E中,當(dāng)小球落入?yún)^(qū)域A與B的交集A∩B內(nèi),即小球落入?yún)^(qū)域A與B的公共部分內(nèi)意味著事件A與B同時(shí)發(fā)生,因此事件A與B的積事件AB發(fā)生說明區(qū)域A與B的交集A∩B對(duì)應(yīng)事件A與B的積事件AB,積事件AB是由事件A與B所包含的所有公共基本事件構(gòu)成的集合,如圖事件之間的運(yùn)算20

3.對(duì)立事件事件之間的運(yùn)算21

互斥事件與對(duì)立事件22必須特別強(qiáng)調(diào)的是:互斥事件與對(duì)立事件不是一回事事件A,B互斥,意味著在任何一次試驗(yàn)中,事件A,B不可能同時(shí)發(fā)生,從而積事件AB是不可能事件,有AB=?互斥事件與對(duì)立事件23

互斥事件與對(duì)立事件24這說明互斥事件與對(duì)立事件的相同之處在于:積事件都是不可能事件它們的不同之處在于:在一次試驗(yàn)中,互斥事件有可能都不發(fā)生,但對(duì)立事件中一定有一個(gè)事件發(fā)生所以對(duì)立事件一定互斥,但互斥事件不一定對(duì)立例225甲、乙各射擊一次,設(shè)事件A表示甲擊中目標(biāo),事件B表示乙擊中目標(biāo),那么:(1)甲、乙各射擊一次,可以依次經(jīng)過兩個(gè)步驟:第1個(gè)步驟是甲射擊,有擊中目標(biāo)與不擊中目標(biāo)兩種可能第2個(gè)步驟是乙射擊,也有擊中目標(biāo)與不擊中目標(biāo)兩種可能例226根據(jù)預(yù)備知識(shí)乘法原理,每次試驗(yàn)共有2×2=4個(gè)可能結(jié)果,即試驗(yàn)共有4個(gè)基本事件:AB甲擊中目標(biāo)且乙擊中目標(biāo)(兩人都擊中目標(biāo))

例227

因此它表示甲、乙兩人中恰好有一人擊中目標(biāo)當(dāng)然也表示甲、乙兩人中恰好有一人不擊中目標(biāo),包含2個(gè)基本事件例228和事件A+B表示甲、乙兩人中至少有一人擊中目標(biāo)包括兩人中恰好有一人擊中目標(biāo)與兩人都擊中目標(biāo)兩類情況包含3個(gè)基本事件,有關(guān)系式

隨機(jī)事件規(guī)律性29隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生是不確定的,說明隨機(jī)現(xiàn)象具有不確定性,這僅僅是一個(gè)方面更重要的另一個(gè)方面是隨機(jī)現(xiàn)象具有規(guī)律性,可以通過大量重復(fù)試驗(yàn)揭示隨機(jī)事件發(fā)生的規(guī)律隨機(jī)事件規(guī)律性30

對(duì)于必然事件Ω,有m=n,從而必然事件Ω發(fā)生的頻率為1對(duì)于不可能事件?,有m=0,從而不可能事件?發(fā)生的頻率為0而一般事件發(fā)生的頻率必在0與1之間隨機(jī)事件規(guī)律性31做投擲一枚均勻硬幣試驗(yàn),觀察出現(xiàn)正面這個(gè)事件發(fā)生的頻率,若試驗(yàn)次數(shù)較少,很難找到有什么規(guī)律;但若試驗(yàn)次數(shù)增多,就可以找到它的規(guī)律如蒲豐(Buffon)投擲4040次,其中出現(xiàn)正面為2048次,從而出現(xiàn)正面的頻率為0.5069皮爾遜(Pearson)投擲24000次,其中出現(xiàn)正面為12012次,從而出現(xiàn)正面的頻率為0.5005隨機(jī)事件規(guī)律性32更多的試驗(yàn)表明:當(dāng)投擲次數(shù)n很大時(shí),出現(xiàn)正面的頻率總在0.5附近擺動(dòng),并且隨著投擲次數(shù)的增加,這種擺動(dòng)的幅度是很微小的說明出現(xiàn)正面的頻率具有穩(wěn)定性,確定的常數(shù)0.5就是出現(xiàn)正面頻率的穩(wěn)定值用它描述出現(xiàn)正面這個(gè)事件發(fā)生的可能性大小,揭示出現(xiàn)正面這個(gè)事件發(fā)生的規(guī)律概率的定義33定義1.1在多次重復(fù)試驗(yàn)中,若事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在確定常數(shù)p附近擺動(dòng),且隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,這種擺動(dòng)的幅度是很微小的,則稱確定常數(shù)p為事件A發(fā)生的概率,記作P(A)=p概率的定義34事件A發(fā)生的概率為p,說明在n次重復(fù)試驗(yàn)中,事件A發(fā)生的次數(shù)大約為np次,同時(shí)也反映了在一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生可能性的大小如在投擲均勻硬幣試驗(yàn)中,由于出現(xiàn)正面的頻率穩(wěn)定在確定常數(shù)0.5附近擺動(dòng),于是出現(xiàn)正面的概率為0.5，說明若重復(fù)試驗(yàn)100次,則出現(xiàn)正面的次數(shù)為50次左右同時(shí)也意味著在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)正面的可能性為0.5,即有一半的把握出現(xiàn)正面當(dāng)然,只有投擲完畢,才能確定出現(xiàn)正面或出現(xiàn)反面概率的定義35由于任何事件A發(fā)生的頻率大于等于零且小于等于1,因而它發(fā)生的概率當(dāng)然也大于等于零且小于等于1其中必然事件Ω發(fā)生的頻率為1,它發(fā)生的概率當(dāng)然也為1不可能事件?發(fā)生的頻率為零,它發(fā)生的概率當(dāng)然也為零概率的性質(zhì)36性質(zhì)1

0≤P(A)≤1

(A為任意事件)性質(zhì)2

P(Ω)=1

(Ω為必然事件)性質(zhì)3

P(?)=0

(?為不可能事件)概率與頻率37在試驗(yàn)E中,設(shè)長(zhǎng)方形桌面Ω的面積為S,區(qū)域A的面積為SA,如圖事件A發(fā)生的概率就是小球落入?yún)^(qū)域A內(nèi)可能性的大小,由于任意投擲小球,因而小球落入?yún)^(qū)域A內(nèi)可能性的大小取決于區(qū)域A面積SA在長(zhǎng)方形桌面Ω面積S中所占的比重概率與頻率38若這個(gè)比重越大,則小球落入?yún)^(qū)域A內(nèi)的可能性就越大;若這個(gè)比重越小,則小球落入?yún)^(qū)域A內(nèi)的可能性就越小于是事件A發(fā)生的概率等于區(qū)域A面積SA在長(zhǎng)方形桌面Ω面積S中所占的比重,即概率

概率與頻率39盡管概率是通過大量重復(fù)試驗(yàn)中頻率的穩(wěn)定性定義的,但不能認(rèn)為概率取決于試驗(yàn)一個(gè)事件發(fā)生的概率完全由事件本身決定,是客觀存在的,可以通過試驗(yàn)把它揭示出來在許多實(shí)際問題中,無法根據(jù)概率定義得到事件發(fā)生的概率,往往采用在大量重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的頻率作為概率近似值概率與頻率40如在一批產(chǎn)品中任意抽查100個(gè)產(chǎn)品,其中有92個(gè)正品,那么正品的頻率為0.92這個(gè)頻率可以作為這批產(chǎn)品中正品概率的近似值即在這批產(chǎn)品中任取1個(gè)產(chǎn)品是正品的概率可以認(rèn)為是0.92古典概型41但是也有一類簡(jiǎn)單而又常見的實(shí)際問題,可以通過邏輯思維直接計(jì)算概率,而不必利用頻率,這種概率問題的類型是概率論最早研究的內(nèi)容,稱為古典概型古典概型具有兩個(gè)特征:特征1基本事件的總數(shù)為有限個(gè)特征2每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是等同的古典概型42設(shè)古典概型的一個(gè)試驗(yàn)共有n個(gè)基本事件,而事件A包含m個(gè)基本事件注意到在一次試驗(yàn)中,恰好只有一個(gè)基本事件發(fā)生,且每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是等同的又事件A包含m個(gè)基本事件,意味著試驗(yàn)結(jié)果若是這m個(gè)基本事件中的某個(gè)基本事件,則事件A發(fā)生,于是事件A發(fā)生可能性的大小取決于它所包含的m個(gè)基本事件在所有n個(gè)基本事件中所占的比重古典概型43

在古典概型的一個(gè)試驗(yàn)中,如何計(jì)算所有基本事件的個(gè)數(shù)?如何計(jì)算事件A包含基本事件的個(gè)數(shù)?古典概型44考慮到基本事件是每次試驗(yàn)的一個(gè)可能結(jié)果,而每次試驗(yàn)的一個(gè)可能結(jié)果對(duì)應(yīng)于完成試驗(yàn)要求的一種方法所以所有基本事件的個(gè)數(shù)就是完成試驗(yàn)要求所有方法的種數(shù),事件A包含基本事件的個(gè)數(shù)就是完成事件A方法的種數(shù),它是完成試驗(yàn)要求所有方法種數(shù)的一部分古典概型45若試驗(yàn)屬于元素不重復(fù)的排列問題,則歸結(jié)為計(jì)算排列數(shù)若試驗(yàn)屬于元素可重復(fù)的排列問題,則歸結(jié)為計(jì)算元素可重復(fù)排列的個(gè)數(shù)若試驗(yàn)屬于組合問題,則歸結(jié)為計(jì)算組合數(shù)對(duì)于一般情況,則根據(jù)預(yù)備知識(shí)基本原理計(jì)算相應(yīng)方法的種數(shù)例346一部4卷的文集任意擺放在書架上,求各卷書自左向右或自右向左的卷號(hào)恰好為1,2,3,4的概率

又由于是任意擺放,從而每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是等同的,說明這個(gè)問題屬于古典概型例347設(shè)事件A表示各卷書自左向右或自右向左的卷號(hào)恰好為1,2,3,4,考慮到完成事件A的放法有2種,即事件A包含2個(gè)基本事件根據(jù)古典概型計(jì)算概率的公式,得到概率

例448郵政大廳有5個(gè)郵筒,現(xiàn)將兩封信逐一隨機(jī)投入郵筒,求第一個(gè)郵筒內(nèi)恰好有一封信的概率解:注意到試驗(yàn)是將兩封信逐一隨機(jī)投入郵筒,必須依次經(jīng)過兩個(gè)步驟:第1個(gè)步驟是將第一封信投入5個(gè)郵筒中的1個(gè)郵筒,有5種方法第2個(gè)步驟是將第二封信投入5個(gè)郵筒中的1個(gè)郵筒,也有5種方法例449若以郵筒作為元素,則試驗(yàn)相當(dāng)于從5個(gè)不同元素中每次取出2個(gè)元素的元素可重復(fù)排列根據(jù)預(yù)備知識(shí)乘法原理,完成試驗(yàn)共有5×5=52=25種方法,即試驗(yàn)共有25個(gè)基本事件又由于是隨機(jī)投入,從而每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是等同的,說明這個(gè)問題屬于古典概型例450設(shè)事件A表示第一個(gè)郵筒內(nèi)恰好有一封信,完成事件A必須依次經(jīng)過兩個(gè)步驟:第1個(gè)步驟是從兩封信中挑出一封信投入第一個(gè)郵筒,有2種方法第2個(gè)步驟是將剩下的一封信投入其余4個(gè)郵筒中的1個(gè)郵筒,有4種方法例451根據(jù)預(yù)備知識(shí)乘法原理,完成事件A有2×4=8種方法,即事件A包含8個(gè)基本事件根據(jù)古典概型計(jì)算概率的公式,得到概率

例552口袋里裝有4個(gè)黑球與3個(gè)白球,任取3個(gè)球,求:(1)其中恰好有1個(gè)黑球的概率(2)其中至少有2個(gè)黑球的概率解:注意到試驗(yàn)是從7個(gè)球中任取3個(gè)球,在取球時(shí)并不計(jì)較所取出球的先后順序,即不需要將它們排隊(duì)

例553又由于是任意抽取,從而每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是等同的,說明這個(gè)問題屬于古典概型(1)設(shè)事件A表示任取3個(gè)球中恰好有1個(gè)黑球,即所取3個(gè)球中有1個(gè)黑球與2個(gè)白球,完成事件A必須依次經(jīng)過兩個(gè)步驟:

例554

根據(jù)古典概型計(jì)算概率的公式,得到概率

例555(2)設(shè)事件B表示任取3個(gè)球中至少有2個(gè)黑球,包括恰好有2個(gè)黑球與恰好有3個(gè)黑球兩類情況,完成事件B有兩類方式:

例556

根據(jù)古典概型計(jì)算概率的公式,得到概率

條件概率57定義1.2在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率稱為事件B對(duì)A的條件概率,記作P(B|A)條件概率58條件概率P(B|A)同樣滿足概率的基本性質(zhì),相應(yīng)地,也稱概率P(B)為無條件概率注意:在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下,事件A就是必然事件在試驗(yàn)E中,設(shè)區(qū)域A的面積為SA,區(qū)域A與B交集A∩B的面積為SAB,如圖條件概率59在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下,事件A就是必然事件,即小球一定落入?yún)^(qū)域A內(nèi),這時(shí)事件B發(fā)生意味著小球落入?yún)^(qū)域A與B的交集A∩B內(nèi)說明在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率就是在小球一定落入?yún)^(qū)域A內(nèi)的條件下,小球落入?yún)^(qū)域A與B交集A∩B內(nèi)可能性的大小它取決于區(qū)域A與B交集A∩B的面積SAB在區(qū)域A面積SA中所占的比重條件概率60于是事件B對(duì)A的條件概率等于區(qū)域A與B交集A∩B的面積SAB在區(qū)域A面積SA中所占的比重,即條件概率

例661口袋里裝有5個(gè)黑球與3個(gè)白球,每次任取1個(gè)球,不放回取兩次.設(shè)事件A表示第一次取到黑球,事件B表示第二次取到黑球,求條件概率P(B|A)解:在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率意味著第一次取到黑球拿走后第二次取到黑球的概率

所以條件概率

62本次課程結(jié)束第二節(jié)加法公式本節(jié)主要學(xué)習(xí)目標(biāo)：[知識(shí)目標(biāo)]

了解任意兩個(gè)事件的和事件概率。

理解特殊情況的加法公式。

[能力目標(biāo)]

能熟練計(jì)算兩事件和的加法公式。64和事件概率考慮任意兩個(gè)事件A,B,它們的和事件A+B發(fā)生的概率與它們本身發(fā)生的概率之間有什么關(guān)系?在試驗(yàn)E中,設(shè)長(zhǎng)方形桌面Ω的面積為S,區(qū)域A的面積為SA,區(qū)域B的面積為SB,區(qū)域A與B交集A∩B的面積為SAB,區(qū)域A與B并集A∪B的面積為SA+B這時(shí)有關(guān)系式SA+B=SA+SB-SAB,如圖加法公式65

加法公式66于是得到加法公式

=P(A)+P(B)-P(AB)這個(gè)公式說明:任意兩個(gè)事件的和事件發(fā)生的概率等于這兩個(gè)事件發(fā)生概率的和,再減去這兩個(gè)事件的積事件發(fā)生的概率.例167某商店銷售的某種商品只由甲廠與乙廠供貨,歷年供貨統(tǒng)計(jì)資料表明,甲廠按時(shí)供貨的概率為0.8,乙廠按時(shí)供貨的概率為0.7,甲、乙兩廠都按時(shí)供貨的概率為0.6,求此種商品在該商店貨架上不斷檔的概率解:設(shè)事件A表示甲廠按時(shí)供貨,事件B表示乙廠按時(shí)供貨,從而積事件AB表示甲、乙兩廠都按時(shí)供貨例168由題意得到概率P(A)=0.8P(B)=0.7P(AB)=0.6此種商品在該商店貨架上不斷檔,意味著甲廠按時(shí)供貨或乙廠按時(shí)供貨,即事件A發(fā)生或事件B發(fā)生,可用和事件A+B表示根據(jù)加法公式,得到概率P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.8+0.7-0.6=0.9所以此種商品在該商店貨架上不斷檔的概率為0.9例269設(shè)A,B為兩個(gè)事件,已知概率P(A)=0.2,P(B)=0.3,若概率P(A+B)=0.4,則概率P(AB)=_______

解:根據(jù)加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)得到概率P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)

=0.2+0.3-0.4=0.10.1特殊情況的加法公式70考慮特殊情況下的加法公式:如果事件A與B互斥,意味著事件A,B不可能同時(shí)發(fā)生,從而積事件AB是不可能事件,即AB=?這時(shí)有概率P(AB)=P(?)=0于是加法公式化為P(A+B)=P(A)+P(B)它說明:在兩個(gè)事件互斥的條件下,兩個(gè)事件的和事件發(fā)生的概率等于這兩個(gè)事件發(fā)生概率的和特殊情況的加法公式71

特殊情況的加法公式72于是加法公式化為

即概率

或概率

它說明:任意一個(gè)事件發(fā)生的概率等于數(shù)1減去對(duì)立事件發(fā)生的概率.特殊情況的加法公式73若一個(gè)事件包括情況比較多,從而計(jì)算其發(fā)生的概率比較麻煩,這時(shí)它的對(duì)立事件一定包括情況比較少,當(dāng)然計(jì)算其發(fā)生的概率比較簡(jiǎn)單于是應(yīng)該先計(jì)算對(duì)立事件發(fā)生的概率,然后數(shù)1減去對(duì)立事件發(fā)生的概率,就得到所求事件發(fā)生的概率特殊情況的加法公式74特殊情況下的加法公式可以推廣,它對(duì)于n個(gè)事件也是適用的如果事件A1,A2,…,An兩兩互斥,則有概率P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)例375產(chǎn)品分一等品、二等品及廢品三種,若一等品率為0.71,二等品率為0.26,并規(guī)定一等品或二等品為合格品,求產(chǎn)品的合格品率解:設(shè)事件A1表示一等品,事件A2表示二等品,事件A表示合格品.由題意得到概率P(A1)=0.71P(A2)=0.26由于一等品或二等品為合格品,從而說明事件A為事件A1與A2的和事件,即事件A=A1+A2例376由于在任意一次抽取中所取到的一件產(chǎn)品不可能既是一等品又同時(shí)是二等品,說明事件A1與A2不可能同時(shí)發(fā)生,即事件A1與A2互斥根據(jù)加法公式的特殊情況,得到概率P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=0.71+0.26=0.97例477口袋里裝有6個(gè)黑球與4個(gè)白球,任取4個(gè)球,求其中至少有1個(gè)白球的概率

例478

根據(jù)加法公式的特殊情況與§1.1古典概型計(jì)算概率的公式,得到概率

例579

根據(jù)加法公式的特殊情況,得到概率

0.7例680已知某射手射擊一次中靶8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)的概率分別為0.37,0.25,0.16,求該射手在一次射擊中至少中靶8環(huán)的概率.解:設(shè)事件A1表示中靶8環(huán),事件A2表示中靶9環(huán),事件A3表示中靶10環(huán),事件A表示至少中靶8環(huán).由題意得到概率P(A1)=0.37P(A2)=0.25P(A3)=0.16例681由于事件A發(fā)生意味著事件A1發(fā)生或事件A2發(fā)生或事件A3發(fā)生,從而事件A為事件A1,A2,A3的和事件,即事件A=A1+A2+A3由于在任何一次射擊中,事件A1,A2,A3中的任意兩個(gè)事件都不可能同時(shí)發(fā)生,說明它們兩兩互斥根據(jù)加法公式特殊情況的推廣,得到概率P(A)=P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)

=0.37+0.25+0.16

=0.78加法公式總結(jié)82加法公式對(duì)于任意兩個(gè)事件A,B,都有概率P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)加法公式總結(jié)83加法公式的特殊情況(1)如果事件A,B互斥,則有概率P(A+B)=P(A)+P(B)(2)對(duì)于任意事件A,都有概率

加法公式總結(jié)84加法公式特殊情況的推廣如果事件A1,A2,…,An兩兩互斥,則有概率P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)加法公式總結(jié)85在應(yīng)用加法公式時(shí),應(yīng)該首先判斷構(gòu)成和事件的兩個(gè)事件是否互斥,然后應(yīng)用相應(yīng)的加法公式計(jì)算概率判斷兩個(gè)事件是否互斥的方法是:考察在任何一次試驗(yàn)中,這兩個(gè)事件有無可能同時(shí)發(fā)生若有可能同時(shí)發(fā)生,則這兩個(gè)事件非互斥即相容若無可能同時(shí)發(fā)生,則這兩個(gè)事件互斥86本次課程結(jié)束第三節(jié)乘法公式本節(jié)主要學(xué)習(xí)目標(biāo)：[知識(shí)目標(biāo)]

了解任意兩個(gè)事件的積事件發(fā)生的概率。

掌握兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念。

理解事件獨(dú)立與事件互斥的區(qū)別。

[能力目標(biāo)]

能熟練計(jì)算獨(dú)立事件的概率。乘法公式88考慮任意兩個(gè)事件A,B,它們的積事件AB發(fā)生的概率與它們本身發(fā)生的概率之間有什么關(guān)系?在試驗(yàn)E中,設(shè)長(zhǎng)方形桌面Ω的面積為S,區(qū)域A的面積為SA,區(qū)域B的面積為SB,區(qū)域A與B交集A∩B的面積為SAB,如圖乘法公式89

乘法公式90于是得到乘法公式

或者

這個(gè)公式說明:任意兩個(gè)事件的積事件發(fā)生的概率等于其中一個(gè)事件發(fā)生的概率乘以另一個(gè)事件對(duì)此事件的條件概率.例191

解:設(shè)事件A表示一年級(jí)學(xué)生,事件B表示男生,由題意得到概率

例192一年級(jí)男生意味著既是一年級(jí)學(xué)生又是男性,即事件A與B同時(shí)發(fā)生,可用積事件AB表示根據(jù)乘法公式,得到概率

例293

解:設(shè)事件A表示刮風(fēng),事件B表示下雨.既刮風(fēng)又下雨意味著事件A與B同時(shí)發(fā)生,可用積事件AB表示由題意得到概率

例294所求在刮風(fēng)的條件下,下雨的概率為條件概率P(B|A),根據(jù)乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)得到條件概率

例395在倉(cāng)庫(kù)內(nèi)同時(shí)裝有兩種報(bào)警系統(tǒng)A與B,當(dāng)報(bào)警系統(tǒng)A單獨(dú)使用時(shí),其有效的概率為0.92,當(dāng)報(bào)警系統(tǒng)B單獨(dú)使用時(shí),其有效的概率為0.90,在報(bào)警系統(tǒng)B有效的條件下,報(bào)警系統(tǒng)A有效的概率為0.93.若發(fā)生意外時(shí),求兩種報(bào)警系統(tǒng)中至少有一種報(bào)警系統(tǒng)有效的概率解:設(shè)事件A表示報(bào)警系統(tǒng)A有效,事件B表示報(bào)警系統(tǒng)B有效,由題意得到概率P(A)=0.92P(B)=0.90P(A|B)=0.93例396兩種報(bào)警系統(tǒng)中至少有一種報(bào)警系統(tǒng)有效,意味著報(bào)警系統(tǒng)A有效或報(bào)警系統(tǒng)B有效,即事件A發(fā)生或事件B發(fā)生,可用和事件A+B表示根據(jù)§1.2加法公式與乘法公式,得到概率P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(B)P(A|B)=0.92+0.90-0.90×0.93=0.983所以兩種報(bào)警系統(tǒng)中至少有一種報(bào)警系統(tǒng)有效的概率為0.983例497口袋里裝有7個(gè)黑球與2個(gè)白球,每次任取1個(gè)球,不放回取兩次,求:(1)兩次都取到黑球的概率(2)兩次取到球的顏色不一致的概率解:設(shè)事件A表示第一次取到黑球,事件B表示第二次取到黑球例498(1)兩次都取到黑球,意味著第一次取到黑球且第二次也取到黑球,即事件A與B同時(shí)發(fā)生,可用積事件AB表示根據(jù)乘法公式,得到概率

例499

例4100根據(jù)§1.2加法公式的特殊情況與乘法公式,得到概率

例5101設(shè)A,B為兩個(gè)事件,且已知概率P(A)=0.8,P(B)=0.6,若概率P(B|A)=0.7,則概率P(A+B)=

.

解:根據(jù)§1.2加法公式與乘法公式,得到概率P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B|A)=0.8+0.6-0.8×0.7=0.840.84乘法公式與條件概率102考慮事件A與B,在它們發(fā)生的概率都不為零的情況下,若事件B對(duì)A的條件概率不受事件A發(fā)生與否的影響,即條件概率P(B|A)=P(B)則根據(jù)乘法公式P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)得到條件概率P(A|B)=P(A)說明事件A對(duì)B的條件概率也不受事件B發(fā)生與否的影響事件相互獨(dú)立103定義1.3若事件A與B中一個(gè)事件對(duì)另外一個(gè)事件的條件概率不受另外一個(gè)事件發(fā)生與否的影響,即條件概率P(B|A)=P(B)或條件概率P(A|B)=P(A),則稱事件A與B相互獨(dú)立事件相互獨(dú)立104如果事件A與B相互獨(dú)立事件B發(fā)生的可能性不受事件A發(fā)生與否的影響事件A發(fā)生的可能性不受事件B發(fā)生與否的影響意味著意味著事件相互獨(dú)立105

事件獨(dú)立與條件概率106如果事件A與B相互獨(dú)立,這時(shí)有條件概率P(B|A)=P(B)與條件概率P(A|B)=P(A)根據(jù)乘法公式得到概率P(AB)=P(A)P(B)事件獨(dú)立與條件概率107如果概率P(AB)=P(A)P(B),根據(jù)乘法公式得到條件概率P(B|A)=P(B)或條件概率P(A|B)=P(A)說明事件A與B相互獨(dú)立根據(jù)上面的討論得到結(jié)論:事件A與B相互獨(dú)立,等價(jià)于概率

P(AB)=P(A)P(B)事件獨(dú)立與事件互斥108事件A與B相互獨(dú)立,說明事件A是否發(fā)生不影響事件B發(fā)生的條件概率事件A與B互斥,說明事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B不發(fā)生,從而事件A是否發(fā)生影響事件B發(fā)生的條件概率事件獨(dú)立與事件互斥109事件A與B相互獨(dú)立,等價(jià)于概率P(AB)=P(A)P(B)而若事件A與B互斥,則概率P(AB)=0事件獨(dú)立與事件互斥110當(dāng)概率P(A)>0,P(B)>0時(shí),如果事件A與B相互獨(dú)立,則有概率P(AB)=P(A)P(B)>0于是事件A與B不互斥如果事件A與B互斥,則有概率P(AB)=0≠P(A)P(B)于是事件A與B不相互獨(dú)立根據(jù)上面的討論得到結(jié)論:當(dāng)概率P(A)>0,P(B)>0時(shí),事件A,B相互獨(dú)立與事件A,B互斥不能同時(shí)成立.事件相互獨(dú)立111.考慮n個(gè)事件A1,A2,…,An,若其中任何一個(gè)事件發(fā)生的可能性都不受其他一個(gè)或幾個(gè)事件發(fā)生與否的影響,則稱事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立,等價(jià)于其中任意k個(gè)事件積事件的概率等于這k個(gè)事件概率的積(k=2,…,n)事件相互獨(dú)立112如事件A,B,C相互獨(dú)立等價(jià)于概率

同時(shí)成立如果n個(gè)事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立,則把其中任意一個(gè)或幾個(gè)事件換成其對(duì)立事件后,所得到的n個(gè)事件仍然相互獨(dú)立.事件相互獨(dú)立113如口袋里裝有若干個(gè)黑球與若干個(gè)白球,每次任取1個(gè)球,共取兩次,設(shè)事件A表示第一次取到黑球,事件B表示第二次取到黑球若不放回抽取,這時(shí)事件A發(fā)生與否影響事件B發(fā)生的條件概率,則事件A與B不相互獨(dú)立若放回抽取,這時(shí)事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的條件概率,則事件A與B相互獨(dú)立特殊情況下的乘法公式114考慮特殊情況下的乘法公式如果事件A與B相互獨(dú)立,于是乘法公式化為P(AB)=P(A)P(B)它說明:在兩個(gè)事件相互獨(dú)立的條件下,兩個(gè)事件的積事件發(fā)生的概率等于這兩個(gè)事件發(fā)生概率的積特殊情況下的乘法公式115特殊情況下的乘法公式可以推廣,它對(duì)于n個(gè)事件也是適用的.如果事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立,則有概率P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)例6116口袋里裝有7個(gè)黑球與2個(gè)白球,每次任取1個(gè)球,放回取兩次,求兩次取到球的顏色一致的概率.解:設(shè)事件A表示第一次取到黑球,事件B表示第二次取到黑球.

例6117

根據(jù)§1.2加法公式的特殊情況與乘法公式的特殊情況,得到概率例6118

例7119甲、乙兩人相互獨(dú)立向同一目標(biāo)各射擊一次,甲擊中目標(biāo)的概率為0.4,乙擊中目標(biāo)的概率為0.3,求:(1)甲、乙兩人中恰好有一人擊中目標(biāo)的概率(2)甲、乙兩人中至少有一人擊中目標(biāo)的概率解:設(shè)事件A表示甲擊中目標(biāo),事件B表示乙擊中目標(biāo),由題意得到概率P(A)=0.4P(B)=0.3例7120

根據(jù)§1.2加法公式的特殊情況與乘法公式的特殊情況,得到概率例7121

=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B)=0.4×(1-0.3)+(1-0.4)×0.3=0.46所以甲、乙兩人中恰好有一人擊中目標(biāo)的概率為0.46例7122(2)甲、乙兩人中至少有一人擊中目標(biāo),可用和事件A+B表示.由于甲、乙兩人相互獨(dú)立射擊,說明事件A與B相互獨(dú)立根據(jù)§1.2加法公式與乘法公式的特殊情況,得到概率P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.4+0.3-0.4×0.3=0.58所以甲、乙兩人中至少有一人擊中目標(biāo)的概率為0.58例8123甲、乙、丙三人相互獨(dú)立破譯密電碼,甲破譯密電碼的概率為0.3,乙破譯密電碼的概率為0.4,丙破譯密電碼的概率為0.5,求密電碼被破譯的概率.解:設(shè)事件A表示甲破譯密電碼,事件B表示乙破譯密電碼,事件C表示丙破譯密電碼.由題意得到概率P(A)=0.3P(B)=0.4P(C)=0.5例8124密電碼被破譯,意味著甲、乙、丙三人中至少有一人破譯密電碼,可用和事件A+B+C表示它包括恰好有一人破譯密電碼、恰好有兩人破譯密電碼及恰好三人都破譯密電碼三類情況,由于直接計(jì)算其概率比較麻煩,因此考慮它的對(duì)立事件

例8125

根據(jù)§1.2加法公式的特殊情況與乘法公式特殊情況的推廣,得到概率P(A+B+C)

=1-(1-P(A))(1-P(B))(1-P(C))=1-(1-0.3)×(1-0.4)×(1-0.5)=0.79所以密電碼被破譯的概率為0.79例9126

解:根據(jù)§1.2加法公式與乘法公式的特殊情況,有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)例9127將已知數(shù)值代入,得到關(guān)系式

即有

因此概率

乘法公式總結(jié)128乘法公式對(duì)于任意兩個(gè)事件A,B,都有概率P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)乘法公式總結(jié)129乘法公式的特殊情況如果事件A,B相互獨(dú)立,則有概率P(AB)=P(A)P(B)乘法公式特殊情況的推廣如果事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立,則有概率P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)乘法公式總結(jié)130在應(yīng)用乘法公式時(shí),應(yīng)該首先判斷構(gòu)成積事件的兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立,然后應(yīng)用相應(yīng)的乘法公式計(jì)算概率判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立的方法是:考察在任何一次試驗(yàn)中,一個(gè)事件發(fā)生與否影響不影響另外一個(gè)事件發(fā)生的條件概率若有影響,則這兩個(gè)事件不相互獨(dú)立若無影響,則這兩個(gè)事件相互獨(dú)立131本次課程結(jié)束第四節(jié)全概公式本節(jié)主要學(xué)習(xí)目標(biāo)：[知識(shí)目標(biāo)]

了解完備事件組的概念。

掌握全概公式。

理解貝葉斯(Bayes)公式。

[能力目標(biāo)]

能熟練利用全概公式計(jì)算事件概率。完備事件組133定義1.4已知事件A1,A2,…,An,若它們同時(shí)滿足:(1)兩兩互斥(2)和事件A1+A2+…+An=Ω則稱事件A1,A2,…,An構(gòu)成一個(gè)完備事件組完備事件組134

設(shè)事件A1,A2,…,An構(gòu)成一個(gè)完備事件組,考慮任意事件B,它發(fā)生的概率與事件A1,A2,…,An發(fā)生的概率有什么關(guān)系?完備事件組135在試驗(yàn)E中,若區(qū)域A1,A2,…,An兩兩分離,且它們的并集是長(zhǎng)方形桌面Ω,則小球不可能同時(shí)落入其中任何兩個(gè)區(qū)域,但一定落入其中一個(gè)區(qū)域,意味著事件A1,A2,…,An兩兩互斥,且它們的和事件是必然事件,因此它們構(gòu)成一個(gè)完備事件組區(qū)域B被分成n個(gè)部分,它們分別是區(qū)域B與A1,A2,…,An的交集,即區(qū)域B為交集A1∩B,A2∩B,…,An∩B的并集,如圖完備事件組136根據(jù)§1.1中的討論,事件B為積事件A1B,A2B,…,AnB的和事件,即B=A1B+A2B+…+AnB注意到交集A1∩B,A2∩B,…,An∩B兩兩分離,說明積事件A1B,A2B,…,AnB兩兩互斥全概公式137根據(jù)§1.2加法公式特殊情況的推廣與§1.3乘法公式,于是得到全概公式P(B)=P(A1B+A2B+…+AnB)=P(A1B)+P(A2B)+…+P(AnB)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An)貝葉斯公式138如果還求條件概率P(Ai|B)(i=1,2,…,n),則根據(jù)§1.3乘法公式P(B)P(Ai|B)=P(Ai)P(B|Ai)得到逆概公式即貝葉斯(Bayes)公式

例1139某村麥種放在甲、乙、丙三個(gè)倉(cāng)庫(kù)保管,其保管數(shù)量分別占總數(shù)量的40%,35%,25%,所保管麥種發(fā)芽率分別為0.95,0.92,0.90.現(xiàn)將三個(gè)倉(cāng)庫(kù)的麥種全部混合,求其發(fā)芽率解:設(shè)事件A1表示甲倉(cāng)庫(kù)保管的麥種,事件A2表示乙倉(cāng)庫(kù)保管的麥種,事件A3表示丙倉(cāng)庫(kù)保管的麥種,事件B表示發(fā)芽麥種例1140P(A1)=40%P(A2)=35%P(A3)=25%P(B|A1)=0.95P(B|A2)=0.92P(B|A3)=0.90由于事件A1,A2,A3構(gòu)成一個(gè)完備事件組,從而對(duì)于事件B,有關(guān)系式B=A1B+A2B+A3B例1141注意到發(fā)芽麥種包括甲倉(cāng)庫(kù)保管的發(fā)芽麥種、乙倉(cāng)庫(kù)保管的發(fā)芽麥種及丙倉(cāng)庫(kù)保管的發(fā)芽麥種三個(gè)部分即事件B發(fā)生意味著積事件A1B發(fā)生或積事件A2B發(fā)生或積事件A3B發(fā)生于是事件B當(dāng)然等于積事件A1B,A2B,A3B的和事件例1142根據(jù)全概公式,得到概率P(B)=P(A1B+A2B+A3B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=40%×0.95+35%×0.92+25%×0.90=0.927所以麥種全部混合后的發(fā)芽率為0.927特殊情況下的全概公式143

于是全概公式化為

例2144市場(chǎng)上供應(yīng)的某種商品只由甲廠與乙廠生產(chǎn),甲廠占80%,乙廠占20%,甲廠產(chǎn)品的次品率為4%,乙廠產(chǎn)品的次品率為9%,求:(1)從市場(chǎng)上任買1件這種商品是次品的概率(2)從市場(chǎng)上已買1件次品是乙廠生產(chǎn)的概率

例2145由題意得到概率

例2146

根據(jù)全概公式的特殊情況,得到概率

=80%×4%+20%×9%=5%所以從市場(chǎng)上任買1件這種商品是次品的概率為5%例2147

得到條件概率

所以從市場(chǎng)上已買1件次品是乙廠生產(chǎn)的概率為36%例3148100張彩票中有7張有獎(jiǎng)彩票,甲先乙后各購(gòu)買1張彩票,問甲、乙中獎(jiǎng)的概率是否相同?

根據(jù)§1.1古典概型計(jì)算概率的公式,得到甲中獎(jiǎng)的概率

例3149

例3150同時(shí)注意到甲無論中獎(jiǎng)與否,都不把所購(gòu)買彩票放回,從而乙是從剩余99張彩票中購(gòu)買1張彩票根據(jù)全概公式的特殊情況,得到乙中獎(jiǎng)的概率

例3151

例4152

(2)概率P(AB);(3)條件概率P(A|B);(4)概率P(A+B)例4153解:(1)根據(jù)§1.3乘法公式與§1.2加法公式的特殊情況,得到概率

例4154(2)根據(jù)全概公式的特殊情況

得到概率

例4155(3)根據(jù)§1.3乘法公式P(AB)=P(B)P(A|B)得到條件概率

例4156(4)根據(jù)§1.2加法公式,得到概率P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

全概公式總結(jié)157全概公式如果事件A1,A2,…,An構(gòu)成一個(gè)完備事件組,則對(duì)于任意事件B,都有概率P(B)=P(A1B+A2B+…+AnB)=P(A1B)+P(A2B)+…+P(AnB)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An)全概公式總結(jié)158全概公式的特殊情況

對(duì)于任意兩個(gè)事件A,B,都有概率159本次課程結(jié)束第五章隨機(jī)變量及其數(shù)字特征第一節(jié)離散型隨機(jī)變量的概念第二節(jié)離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征第三節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量的概念第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)字特征本章思維導(dǎo)圖引導(dǎo)案例---分組檢驗(yàn)?zāi)芊駵p少工作量？在一個(gè)人數(shù)為N的人群中，普查某種疾病，為此要抽檢N個(gè)人的血進(jìn)行化驗(yàn)，為了減少工作量，一位統(tǒng)計(jì)學(xué)家提出一種方法：將K個(gè)人的血樣混合后檢驗(yàn)，如果這種混合血樣呈陰性反應(yīng)，就說明這K個(gè)人都無此疾病，因而K個(gè)人只要檢驗(yàn)1次就夠了，相當(dāng)于每個(gè)人檢驗(yàn)了1/K次，檢驗(yàn)的工作量明顯減少了。如果這種混合血樣呈陽(yáng)性反應(yīng)，就說明這K個(gè)人中至少有一人的血呈陽(yáng)性，這就需要再對(duì)此K個(gè)人的血樣分別進(jìn)行檢驗(yàn)，因此，這K個(gè)人的血要檢驗(yàn)(1+K）次相當(dāng)于每個(gè)人檢驗(yàn)（1+1/K）次，這樣增加了檢驗(yàn)次數(shù)，假設(shè)該疾病的發(fā)病率為P，且每個(gè)人是否得此疾病是相互獨(dú)立的，試問這種方法能否減少平均檢驗(yàn)次數(shù)？分析：本案例的解決涉及到離散型隨機(jī)變量及其分布列、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，本章我們就來討論隨機(jī)變量的概念、分類及其數(shù)字特征。第一節(jié)離散型隨機(jī)變量的概念本節(jié)主要學(xué)習(xí)目標(biāo)[知識(shí)目標(biāo)]

理解隨機(jī)變量的概念及分類。

掌握離散型隨機(jī)變量的定義、性質(zhì)。

掌握離散型隨機(jī)變量的概率分布列及某事件的概率。[能力目標(biāo)]

能熟練計(jì)算離散型隨機(jī)變量的概率分布列及事件的概率。

會(huì)正確判斷實(shí)際問題中隨機(jī)變量所屬類型。隨機(jī)變量164考慮投擲一顆均勻骰子,在各次試驗(yàn)中,會(huì)出現(xiàn)不同的點(diǎn)數(shù),因此“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”是一個(gè)變量,它的可能取值為1,2,3,4,5,6中的一個(gè)值

這說明可以用試驗(yàn)中“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”這個(gè)變量的所有可能取值以及取這些值的概率描述這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象即可以用試驗(yàn)中“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”這個(gè)變量的取值表示試驗(yàn)結(jié)果,而這個(gè)變量是依試驗(yàn)結(jié)果而隨機(jī)取值的隨機(jī)變量165一般地,對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn),若其試驗(yàn)結(jié)果可用一個(gè)變量的取值表示,這個(gè)變量取值帶有隨機(jī)性,并且取這些值的概率是確定的,則稱這樣的變量為隨機(jī)變量,通常用大寫字母X,Y,Z等表示隨機(jī)變量的取值為具體數(shù)值,可用小寫字母x,y,z等表示離散型隨機(jī)變量166定義2.1若隨機(jī)變量X的所有可能取值可以一一列舉,即所有可能取值為有窮個(gè)或無窮可列個(gè),則稱隨機(jī)變量X為離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量167描述離散型隨機(jī)變量有兩個(gè)要素,一個(gè)要素是它的所有可能取值,另一個(gè)要素是取這些值的概率,這兩個(gè)要素構(gòu)成了離散型隨機(jī)變量的概率分布設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為x1,x2,…取這些值的概率依次為p1,p2,…其概率分布的表示方法有兩種:1.列表法2.公式法列表法168概率分布列表如表Xx1x2…

Pp1p2…

公式法169概率分布用公式表示為P{X=xi}=pi

(i=1,2,…)離散型隨機(jī)變量性質(zhì)170在離散型隨機(jī)變量X的概率分布中,概率pi(i=1,2,…)顯然是非負(fù)的,又注意到事件X=x1,X=x2,…,構(gòu)成一個(gè)完備事件組,當(dāng)然其對(duì)應(yīng)的概率之和應(yīng)當(dāng)?shù)扔?所以離散型隨機(jī)變量X的概率分布具有下列性質(zhì):性質(zhì)1

pi≥0

(i=1,2,…)性質(zhì)2

p1+p2+…=1離散型隨機(jī)變量171離散型隨機(jī)變量X在某范圍內(nèi)取值的概率,等于它在這個(gè)范圍內(nèi)一切可能取值對(duì)應(yīng)的概率之和當(dāng)離散型隨機(jī)變量的概率分布被確定后,不僅知道它取各個(gè)可能值的概率,而且還可以求出它在某范圍內(nèi)取值的概率,所以離散型隨機(jī)變量的概率分布描述了相應(yīng)的隨機(jī)試驗(yàn)例1172投擲一枚均勻硬幣1次,求出現(xiàn)正面次數(shù)X的概率分布解:由于可能的試驗(yàn)結(jié)果只有出現(xiàn)反面與出現(xiàn)正面兩種結(jié)果,因而離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值也只有0與1兩個(gè)值

例1173所以出現(xiàn)正面次數(shù)X的概率分布列表如表X01P兩點(diǎn)分布174一般地,把只取0與1兩個(gè)值且取值為1的概率等于p的離散型隨機(jī)變量X所服從的概率分布稱為參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布或0—1分布.兩點(diǎn)分布列表如表X01Pqp(0<p<1,p+q=1)例2175某商店銷售某種水果,進(jìn)貨后第一天售出的概率為60%,每500g的毛利為6元;第二天售出的概率為30%,每500g的毛利為2元;第三天售出的概率為10%,每500g的毛利為-1元.求銷售此種水果每500g所得毛利X元的概率分布解:離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為-1,2及6,取這些值的概率依次為10%,30%及60%例2176所以銷售此種水果每500g所得毛利X元的概率分布列表如表X-126P10%30%60%例3177某小組有6名男生與4名女生,任選3個(gè)人去參觀,求所選3個(gè)人中男生數(shù)目X的概率分布解:離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3,根據(jù)§1.1古典概型計(jì)算概率的公式計(jì)算離散型隨機(jī)變量X取這些值的概率例3178事件X=0表示所選3個(gè)人中恰好有0名男生,即所選3個(gè)人中有0名男生與3名女生,其發(fā)生的概率為

例3179事件X=1表示所選3個(gè)人中恰好有1名男生,即所選3個(gè)人中有1名男生與2名女生,其發(fā)生的概率為

例3180事件X=2表示所選3個(gè)人中恰好有2名男生,即所選3個(gè)人中有2名男生與1名女生,其發(fā)生的概率為

例3181事件X=3表示所選3個(gè)人中恰好有3名男生,即所選3個(gè)人中有3名男生與0名女生,其發(fā)生的概率為

例3182所以所選3個(gè)人中男生數(shù)目X的概率分布列表如表X0123P例4183某人各次射擊中靶與否互不影響,且中靶的概率皆為p(0<p<1),現(xiàn)不停射擊,直至中靶為止,求射擊次數(shù)X的概率分布.解:離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為全體正整數(shù),即X=i(i=1,2,…),根據(jù)§1.3乘法公式的特殊情況及其推廣計(jì)算離散型隨機(jī)變量X取這些值的概率例4184事件X=1表示第1次射擊就中靶,其發(fā)生的概率為P{X=1}=p事件X=2表示第1次射擊脫靶且第2次射擊中靶,其發(fā)生的概率為

P{X=2}=(1-p)p例4185事件X=3表示第1次射擊與第2次射擊都脫靶且第3次射擊中靶,其發(fā)生的概率為P{X=3}=(1-p)(1-p)p=(1-p)2p……例4186所以射擊次數(shù)X的概率分布用公式表示為

P{X=i}=(1-p)i-1p

(i=1,2,…)事件X=i表示前i-1次射擊都脫靶且第i次射擊中靶,其發(fā)生的概率為P{X=i}=(1-p)i-1p例5187設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布列表如表X012P3c2cc則常數(shù)c=

解:根據(jù)離散型隨機(jī)變量概率分布的性質(zhì)2,有關(guān)系式3c+2c+c=1得到常數(shù)

例6188設(shè)離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布,且已知離散型隨機(jī)變量X取1的概率p為它取0的概率q的2倍,求參數(shù)p的值解:根據(jù)離散型隨機(jī)變量概率分布的性質(zhì)2,有關(guān)系式p+q=1

(0<p<1)又由題意得到關(guān)系式p=2q例6189解線性方程組

所以參數(shù)

分布列表的要求190離散型隨機(jī)變量的概率分布必須滿足兩個(gè)性質(zhì)同時(shí)滿足兩個(gè)性質(zhì)的表也一定可以作為某個(gè)離散型隨機(jī)變量的概率分布當(dāng)然,至少不滿足一個(gè)性質(zhì)的表不能作為離散型隨機(jī)變量的概率分布例7191設(shè)p為滿足0<p<1的常數(shù),則表5-7~表5-10中(

)可以作為離散型隨機(jī)變量X的概率分布(a)X123Ppp-12-2pX123P(b)例7192X123P1-p(c)(d)X123Pp例7193首先考慮備選答案(a):由于事件X=2對(duì)應(yīng)的p-1<0,說明不滿足離散型隨機(jī)變量概率分布的性質(zhì)1,從而備選答案(a)落選

例7194

又由于

說明還滿足離散型隨機(jī)變量概率分布的性質(zhì)2從而備選答案(c)當(dāng)選例7195

更何況有

說明還不滿足離散型隨機(jī)變量概率分布的性質(zhì)2從而備選答案(d)當(dāng)然更落選例8196已知離散型隨機(jī)變量的概率分布列表如表X-40367P試求:(1)概率P{-1<X≤6};(2)概率P{X=1}例8197解:(1)注意到在-1<X≤6的范圍內(nèi),離散型隨機(jī)變量X的可能取值只有三個(gè),即X=0,X=3及X=6,所以概率P{-1<X≤6}=P{X=0}+P{X=3}+P{X=6}

例8198(2)注意到離散型隨機(jī)變量X的可能取值沒有X=1,說明事件X=1是不可能事件,所以概率P{X=1}=0離散型隨機(jī)變量相互獨(dú)立199最后給出離散型隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念:若離散型隨機(jī)變量X,Y分別取任意實(shí)數(shù)所構(gòu)成的兩個(gè)事件相互獨(dú)立,則稱離散型隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立一般地,若n個(gè)離散型隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn分別取任意實(shí)數(shù)所構(gòu)成的n個(gè)事件相互獨(dú)立,則稱n個(gè)離散型隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立200本次課程結(jié)束第二節(jié)離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征本節(jié)主要學(xué)習(xí)目標(biāo)[知識(shí)目標(biāo)]

掌握離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。

掌握離散型隨機(jī)變量的方差概念及計(jì)算公式。

正確理解數(shù)學(xué)期望和方差的含義

[能力目標(biāo)]

能熟練計(jì)算離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差。

離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征202離散型隨機(jī)變量的概率分布是對(duì)離散型隨機(jī)變量一種完整的描述,但在很多情況下,并不需要全面考察離散型隨機(jī)變量的變化情況,而只需知道它的一些綜合指標(biāo)這些綜合指標(biāo)是一些與其有關(guān)的數(shù)值,稱為離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征.它雖然不能完整地描述離散型隨機(jī)變量,但能用數(shù)字描述離散型隨機(jī)變量在某些方面的重要特征在這些數(shù)字特征中,最重要的是離散型隨機(jī)變量的平均取值以及其取值對(duì)于平均值的偏離程度離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征203考慮在1000次重復(fù)試驗(yàn)中,設(shè)離散型隨機(jī)變量X取值為100有300次,取值為200有700次,即事件X=100發(fā)生的頻率為0.3,事件X=200發(fā)生的頻率為0.7,這時(shí)可以將離散型隨機(jī)變量X的概率分布列表如表X100200P0.30.7離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征204

這樣做是不行的,因?yàn)樗≈禐?00與取值為200的可能性是不相同的,所以它取值的平均值不應(yīng)該是100與200的算術(shù)平均值

離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征205由于在1000次重復(fù)試驗(yàn)中,它取值為100有300次,取值為200有700次,于是它取值的平均值

說明離散型隨機(jī)變量X的平均值等于它的所有可能取值與對(duì)應(yīng)概率乘積之和,是以所有可能取值對(duì)應(yīng)概率為權(quán)重的加權(quán)平均由于它取值為200的概率大于取值為100的概率,從而它取值的平均值偏向X=200那個(gè)方向數(shù)學(xué)期望206定義2.2已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布列表如表Xx1x2…Pp1p2…數(shù)學(xué)期望207

數(shù)學(xué)期望208

數(shù)學(xué)期望209數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱為期望或均值,它等于離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值與對(duì)應(yīng)概率乘積之和無論離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為有窮個(gè)或者為無窮可列個(gè),其數(shù)學(xué)期望可統(tǒng)一記作

數(shù)學(xué)期望210考察離散型隨機(jī)變量X,已知它的概率分布列表如表X345P0.10.80.1其數(shù)學(xué)期望E(X)=3×0.1+4×0.8+5×0.1=4數(shù)學(xué)期望211Y147P0.40.20.4再考察離散型隨機(jī)變量Y,已知它的概率分布列表如表其數(shù)學(xué)期望E(Y)=1×0.4+4×0.2+7×0.4=4數(shù)學(xué)期望212盡管離散型隨機(jī)變量X與Y有相同的數(shù)學(xué)期望,但離散型隨機(jī)變量Y的取值比離散型隨機(jī)變量X的取值要分散表明僅有數(shù)學(xué)期望不足以完整說明離散型隨機(jī)變量的分布特征,還必須進(jìn)一步研究它的取值對(duì)數(shù)學(xué)期望的離散程度離差213對(duì)于離散型隨機(jī)變量X,若其數(shù)學(xué)期望E(X)存在,則稱差X-E(X)為離散型隨機(jī)變量X的離差離差X-E(X)當(dāng)然也是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,它的可能取值有正有負(fù),也可能為零,而且它的數(shù)學(xué)期望等于零,因此不能用離差的數(shù)學(xué)期望衡量離散型隨機(jī)變量X對(duì)數(shù)學(xué)期望E(X)的離散程度為了消除離差X-E(X)可能取值正負(fù)號(hào)的影響,采用離差平方(X-E(X))2的數(shù)學(xué)期望衡量離散型隨機(jī)變量X對(duì)數(shù)學(xué)期望E(X)的離散程度方差214定義2.3已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布列表如表Xx1x2…Pp1p2…方差215

方差216

方差217顯然方差是非負(fù)的,只有常量的方差等于零當(dāng)離散型隨機(jī)變量X的可能取值密集在數(shù)學(xué)期望E(X)附近時(shí),方差D(X)較小,反之則方差D(X)較大,因此方差D(X)的大小可以說明離散型隨機(jī)變量X取值對(duì)數(shù)學(xué)期望E(X)的離散程度標(biāo)準(zhǔn)差218無論離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為有窮個(gè)或者為無窮可列個(gè)，其方差可統(tǒng)一記作

離散系數(shù)219由于方差大小的計(jì)算是以數(shù)學(xué)期望作為衡量標(biāo)準(zhǔn)的,因而對(duì)于數(shù)學(xué)期望不相同的兩個(gè)離散型隨機(jī)變量,直接比較它們方差的大小,不能說明它們的離散程度,于是要考察標(biāo)準(zhǔn)差與數(shù)學(xué)期望的比值

顯然,若|υ|較小,則說明離散型隨機(jī)變量X的可能取值相對(duì)密集在其數(shù)學(xué)期望E(X)附近,反之則說明離散型隨機(jī)變量X取值的離散程度相對(duì)大一些計(jì)算方差的簡(jiǎn)便公式220定理2.1已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布列表如表Xx1x2…Pp1p2…則其方差D(X)=E(X2)-(E(X))2其中數(shù)學(xué)期望

值得注意的是:任何一個(gè)離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)、方差D(X)都不再是隨機(jī)變量,而是某個(gè)確定的常量.一般情況下,數(shù)學(xué)期望

E(X2)≠(E(X))2例1221

例1222因而任取1件商品獲利X元的概率分布列表如表X-213P所以數(shù)學(xué)期望

例1223其次計(jì)算數(shù)學(xué)期望

所以方差

例2224X123P已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布列表如表試求:(1)數(shù)學(xué)期望E(X);(2)方差D(X).例2225解:(1)數(shù)學(xué)期望

例2226(2)首先計(jì)算數(shù)學(xué)期望

所以方差

例3227已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布列表如表X-2-113P試求:(1)數(shù)學(xué)期望E(X);(2)方差D(X).例3228解:(1)數(shù)學(xué)期望

例3229(2)首先計(jì)算數(shù)學(xué)期望

所以方差

230本次課程結(jié)束第三節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量的概念本節(jié)主要學(xué)習(xí)目標(biāo)[知識(shí)目標(biāo)]

掌握連續(xù)型隨機(jī)變量的概念。

掌握連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度具有的性質(zhì)。

熟練掌握連續(xù)型隨機(jī)變量在某區(qū)間上的概率計(jì)算。

[能力目標(biāo)]

能熟練選擇出連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。

能熟練計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量的概率。

連續(xù)型隨機(jī)變量232定義2.4若隨機(jī)變量X的所有可能取值為某一區(qū)間,則稱隨機(jī)變量X為連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量233考慮一群成年男子中任意一個(gè)人的體重X,它可以取區(qū)間[m,M]的一切值,其中m為這群成年男子中的最輕體重,M為這群成年男子中的最重體重,任意一個(gè)人的體重X當(dāng)然是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量這時(shí)考察它取某個(gè)值的概率沒有什么實(shí)際意義,因?yàn)槿藗儾粫?huì)關(guān)心一個(gè)人體重恰好為50kg的概率為多少這類問題,而關(guān)心一個(gè)人體重在50kg~60kg之間的概率為多少這類問題連續(xù)型隨機(jī)變量234因此在實(shí)際工作中,將連續(xù)型隨機(jī)變量X的所有可能取值區(qū)間[m,M]分成若干個(gè)組,即分成若干個(gè)首尾相連的小區(qū)間,每個(gè)小區(qū)間含左端點(diǎn),不含右端點(diǎn)小區(qū)間長(zhǎng)度稱為組距,研究連續(xù)型隨機(jī)變量X在每個(gè)小區(qū)間上取值的可能性現(xiàn)在測(cè)量100個(gè)成年男子的體重,得到100個(gè)體重?cái)?shù)據(jù),將這100個(gè)體重?cái)?shù)據(jù)按測(cè)量順序列表如表連續(xù)型隨機(jī)變量2356060.5807764.5595143466180.583495052707162624047.571.5858642496364657249.565.5484850.56667738787.58868