2021-2022學(xué)年江蘇省南京市鼓樓區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2021-2022學(xué)年江蘇省南京市鼓樓區(qū)九年級第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試

卷

一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分.在每小題所給出的四個選項中，恰

有一項是符合題目要求的，請將正確選項的序號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）

1.平面內(nèi)，O。的半徑為3,若點(diǎn)P在。。外，則OP的長可能為（）

A.4B.3C.2D.1

2.一元二次方程N(yùn)+2X=-1的根的情況是（）

A.沒有實數(shù)根B.有一個實數(shù)根

C.有兩個不相等的實數(shù)根D.有兩個相等的實數(shù)根

3.下列實際問題中的y與x之間的函數(shù)表達(dá)式是二次函數(shù)的是（）

A.正方體集裝箱的體積即3棱長外”

B.高為14,”的圓柱形儲油罐的體積底面圓半徑X,*

C.媽媽買烤鴨花費(fèi)86元，烤鴨的重量y斤，單價為x元/斤

D.小莉駕車以108切?修的速度從南京出發(fā)到上海，行駛動，距上海）歷"

4.如圖，D,E分別是的邊AB,AC上的點(diǎn)，迪?=5，DE//BC,若的周長

AB3

為6,則△A3C的周長等于（）

A.24B.18C.12D.9

5.在地球上同一地點(diǎn)，不同質(zhì)量的物體從同一高度同時下落，如果除地球引力外不考慮其

他外力的作用，那么它們的落地時間相同.物體的下落距離（/?）與下落時間/（s）之

間的函數(shù)表達(dá)式為/?=微處2.其中g(shù)取值為9.8/M/S2.小莉進(jìn)行自由落體實驗，她從某建

筑物拋下一個小球，經(jīng)過4s后落地，則該建筑物的高度約為（）

A.98mB.78.4mC.49mD.36.2m

6.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A（1,0）,B（5,0）,C（0,Z）.當(dāng)f>0時，若NACB

最大，則/的值為（)

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分.不需寫出解答過程，請把答案直

接填寫在答題卡相應(yīng)位置上)

7.若三則為"=_____.

y3y

8.點(diǎn)C是線段48的黃金分割點(diǎn)(AOBC),若A8=2a〃，則AC=cm.

9.某汽車廠商經(jīng)過兩次增產(chǎn)，將汽車年產(chǎn)量由4.86萬輛提升至6萬輛，設(shè)平均每次增產(chǎn)的

百分率是x,可列方程為.

10.一個圓錐的底面圓半徑是1,母線長是3,沿著一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到

一個扇形，則這個扇形的圓心角度數(shù)為

11.將二次函數(shù)y=/+2x-2的圖象向左平移1個單位，再向上平移一個單位，得到的新圖

象函數(shù)的表達(dá)式為.

12.有3個樣本如圖所示，關(guān)于它們的離散程度有下列幾種說法：①樣本1與樣本3的離散

程度相同；②樣本2的離散程度最?。虎廴M數(shù)據(jù)的離散程度從小到大依次為：樣本2、

樣本3、樣本1.正確的序號為.

樣本1:---

159

樣心：

34o67

祥種:

13.如圖，AB是。。的直徑，弦CQ_LAB于點(diǎn)E,若BE=5,CD=6,則0A長為

14.分別以等邊△ABC的三個頂點(diǎn)為圓心，邊長為半徑畫弧得到的曲邊三角形叫萊洛三角

形.如圖，等邊8c的邊長為2a”，則圖中陰影部分的面積為。樣.

15.如圖，夜晚路燈下，小莉在點(diǎn)。處測得自己影長在點(diǎn)G處測得自己影長CG

=3如E、￡?、G、B在同一條直線上.已知小莉身高為1.6如則燈桿4B的高度為m.

16.△A8C中，AB=AC=13,BC=24,點(diǎn)/是aABC的內(nèi)心，點(diǎn)。是△ABC的外心，則

01=.

三、解答題(本大題共11小題，共88分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文

字說明、證明過程或演算步驟)

17.解下列一元二次方程.

(1)/=-3x；

⑵/-4揚(yáng)+8=0.

18.已知二次函數(shù))，=*2-(m+2)x+2m(，”為常數(shù)).

(1)求證：不論機(jī)取何值，該二次函數(shù)的圖象與x軸總有公共點(diǎn)；

(2)若機(jī)=0,當(dāng)x時，y隨x的增大而減小.

19.如圖，AB表示一個窗戶的高，AM和BN表示射入室內(nèi)的光線，窗戶的下端到地面的距

離已知某一時刻BC在地面的影長CN=1.5m,AC在地面的影長CM=4.5〃?，

求窗戶的高度.

20.近日，“復(fù)旦學(xué)霸圖書館”新聞引發(fā)網(wǎng)友熱議，其中，“風(fēng)雨無阻愛學(xué)習(xí)”的潘同學(xué)一

年時間圖書館打卡301次，更是成為眾多學(xué)子膜拜的對象.某大學(xué)圖書館為了更好服務(wù)

學(xué)子，對某周來館人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下（單位：人）：

時間周一周二周三周四周五周六周日

人數(shù)65055071042065023203100

（1）該周到館人數(shù)的平均數(shù)為人、眾數(shù)為人、中位數(shù)為人；

（2）周一至周五到館人數(shù)相差不多，用這五天的數(shù)據(jù)估算該周的平均數(shù)合適嗎？為什

么？

（3）選擇合適的數(shù)據(jù)，估算該校一個月的到館人數(shù)（一個月按30天計）.

21.“三孩”政策實施后，甲、乙兩個家庭有了各自的規(guī)劃（假定生男生女的概率相同）：

（1）甲家庭已有一個男孩和一個女孩，準(zhǔn)備再生一個孩子，則第三個孩子是男孩的概率

是;

（2）乙家庭沒有孩子，準(zhǔn)備生三個孩子，求至少有兩個孩子是女孩的概率.

22.已知關(guān)于x的一元二次方程"2+法+'=0（a、b、c是常數(shù)，。#0）的兩個實數(shù)根分別

jbc

為Xl,XI,證明：X\+X2—-—,X1*X2——.

aa

23.圖中是拋物線形拱橋，P處有一照明燈，水面OA寬4,〃.以。為原點(diǎn)，OA所在直線為

x軸建立直角坐標(biāo)系，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3,2）.

（1）求拱橋所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式：

（2）因降暴雨水位上升1,小此時水面寬為多少？（結(jié)果保留根號）

24.如圖，48是。。的弦，4c是。。的切線，AB^AC,BC交。。于點(diǎn)。，E是研的中點(diǎn).

（1）求證：ZC=ZE；

（2）判斷四邊形4CCE的形狀，并說明理由.

25.定義：我們把三邊之比為1：&：、石的三角形叫做奇妙三角形.

（1）初步運(yùn)用

如圖是7X2的正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長均為1）,請分別在圖①、圖②中畫出

頂點(diǎn)在格點(diǎn)上最小、最大的奇妙三角形；

所畫三角形中最大內(nèi)角度數(shù)為

（2）再思探究

如圖③，點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C坐標(biāo)（2,2）,點(diǎn)。坐標(biāo)（7,1）,在坐標(biāo)平面上取一

點(diǎn)8（見2）,使得A8平分NCAO,直接寫出“的值并說明理由.

26.某商店銷售甲、乙兩種禮品，每件利潤分別為20元、10元，每天賣出件數(shù)分別為40

件、80件.為適應(yīng)市場需求，該店決定降低甲種禮品的售價，同時提高乙種禮品的售價.售

賣時發(fā)現(xiàn)，甲種禮品單價每降1元可多賣4件，乙種禮品單價每提高1元就少賣2件.若

每天兩種禮品共賣出140件，則每天銷售的最大利潤是多少？

（1）分析：設(shè)甲種禮品每件降低了x元，填寫下表（用含x的式子表示，并化簡）；

調(diào)價后的每件利潤調(diào)價后的銷售量

甲種禮品20-x

乙種禮品

(2)解答：

27.問題呈現(xiàn)：探究二次函數(shù)y=-x(x-3)+m(其中0Wx<3,加為常數(shù))的圖象與一次

函數(shù)y=x+2的圖象公共點(diǎn).

問題解決：

⑴問題可轉(zhuǎn)化為：二次函數(shù))=-x(x-3)(0WxW3)的圖象與一次函數(shù)尸的

圖象的公共點(diǎn).

(2)在下列平面直角坐標(biāo)系中畫出y=-x(x-3)(0WxW3)的圖象.

(3)請結(jié)合(2)中圖象，就〃?的取值范圍討論兩個圖象公共點(diǎn)的個數(shù).

問題拓展：若二次函數(shù)尸(其中1<后之，〃，為常數(shù))的圖象與一次函數(shù)尸-

標(biāo)+2的圖象有兩個公共點(diǎn)，則〃7的取值范圍為.

()

參考答案

一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分.在每小題所給出的四個選項中，恰

有一項是符合題目要求的，請將正確選項的序號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）

1.平面內(nèi)，。0的半徑為3,若點(diǎn)尸在。0外，則0P的長可能為（）

A.4B.3C.2D.1

【分析】根據(jù)題意可以求得0尸的取值范圍，從而可以解答本題.

解：的半徑為3,點(diǎn)尸在夕卜，

:.OP>3,

故選：A.

2.一元二次方程N(yùn)+2X=-1的根的情況是（）

A.沒有實數(shù)根B.有一個實數(shù)根

C.有兩個不相等的實數(shù)根D.有兩個相等的實數(shù)根

【分析】先把方程化為一般式，再計算根的判別式的值，然后根據(jù)根的判別式的意義判

斷方程根的情況.

解：方程化為N+2X+1=0,

：A=22-4X1=0,

方程有兩個相等的實數(shù)根.

故選：D.

3.下列實際問題中的y與x之間的函數(shù)表達(dá)式是二次函數(shù)的是（）

A.正方體集裝箱的體積”再棱長初？

B.高為14,”的圓柱形儲油罐的體積）7M3,底面圓半徑

C.媽媽買烤鴨花費(fèi)86元，烤鴨的重量y斤，單價為x元/斤

D.小莉駕車以108切?修的速度從南京出發(fā)到上海，行駛勸，距上海）歷"

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義逐項判斷即可.

解：A.正方體集裝箱的體積/六棱長X,%則）,=》3,故不是二次函數(shù)；

B.高為14根的圓柱形儲油罐的體積）憎3,底面圓半徑xm,則y=14nx2,故是二次函數(shù)；

C.媽媽買烤鴨花費(fèi)86元，烤鴨的重量〉斤，單價為x元/斤，則），=毀，故不是二次函

X

數(shù)；

。.小莉駕車以108km〃7的速度從南京出發(fā)到上海，行駛x/7,距上海）依小則＞=南京與

上海之間的距離-108x,故不是二次函數(shù).

故選：B.

4.如圖，D,E分別是的邊AB,AC上的點(diǎn)，坦」，DE//BC,若的周長

AB3

為6,則△A3C的周長等于（）

A.24B.18C.12D.9

【分析】根據(jù)OE〃BC,得△AOEsaABC,則有膽E?普.從而得出答案.

CAABC皿3

解：'：DE//BC,

：.LADEs△ABC,

.“ADE二AD

,△ABC福3

?..△AOE的周長為6,

...△48C的周長為18,

故選：B.

5.在地球上同一地點(diǎn)，不同質(zhì)量的物體從同一高度同時下落，如果除地球引力外不考慮其

他外力的作用，那么它們的落地時間相同.物體的下落距離/?（，〃）與下落時間r（s）之

間的函數(shù)表達(dá)式為/7=/凡其中g(shù)取值為9.8曲52.小莉進(jìn)行自由落體實驗，她從某建

筑物拋下一個小球，經(jīng)過4s后落地，則該建筑物的高度約為（）

A.98/nB.78.4機(jī)C.49mD.36.2m

【分析】把，=4代入可得答案.

解：把f=4代入得，

力=工乂9.8X42=78.4，〃.

2

故選：B.

6.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，己知點(diǎn)4(1,0),B(5,0),C(0,r).當(dāng)1>0時，若NAC5

【分析】先確定過4、8兩點(diǎn)的。加與y軸相切與點(diǎn)。時NAC3最大，再利用圓的有關(guān)

知識求出OC的長即可.

解：如圖①，作過A、8兩點(diǎn)的OM與y軸相切與點(diǎn)C,

*.?ZACB<ZAPBf

/APB=/ACB,

：.ZACB<ZACB,

???OM與y釉相切與點(diǎn)C時，NAC8最大.

如圖②，作連接OM、M4、MB,

YOM與》軸相切與點(diǎn)C,

：.ZOCM=90°,

'/A(1,0),B(5,0),

???A3=4,

：.AH=—AB=2

2f

???OH=1+2=3,

/.MC=MA=MB=3,

MH=V32-22=V5,

：.

：?t二

故選：c.

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分.不需寫出解答過程，請把答案直

接填寫在答題卡相應(yīng)位置上)

7.若三=4，則為"=.

y3y-3-

【分析】由三=3,可以假設(shè)x=2Z,y=3k,(ZWO)代入計算即可解決問題.

y3

解：?三="，

y3

,可以假設(shè)x=2Z,y=3k,(krO)

?一切2卜+3k5k5

y3k3k3

故答案為。■.

o

8.點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)(AOBC),若AB=2cm,則AC=_(V5-IJcm.

【分析】根據(jù)黃金分割的定義得到AC=豆二A/1B,把AB=2CV/!代入計算即可.

2

解：???點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)(AOBC),

—1

??.AC=^_

2

而AB=2cm,

.\AC=^-^~-X2=(A/R-1)cm.

2

故答案為(娓-1).

9.某汽車廠商經(jīng)過兩次增產(chǎn)，將汽車年產(chǎn)量由4.86萬輛提升至6萬輛，設(shè)平均每次增產(chǎn)的

百分率是X,可列方程為4.86(l+x)』6.

【分析】設(shè)平均每次增產(chǎn)的百分率是x,那么第一次增產(chǎn)后的產(chǎn)量是原來的(1+x)倍，

那么第二次增產(chǎn)后的產(chǎn)量是原來的(1+x)2倍，根據(jù)題意列方程解答即可.

解：設(shè)平均每次增產(chǎn)的百分率是x,根據(jù)題意可得：

4.86(1+x)2=6.

故答案為：4.86(1+x)2=6.

10.一個圓錐的底面圓半徑是1,母線長是3,沿著一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到

一個扇形，則這個扇形的圓心角度數(shù)為120°.

【分析】利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形

的半徑等于圓錐的母線長和弧長公式得到然后解關(guān)于0的方程即可.

解：設(shè)扇形的圓心角為,

根據(jù)題意得史上3=2巾1,

180

解得9=120.

故答案為120.

11.將二次函數(shù))，=/+2r-2的圖象向左平移1個單位，再向上平移一個單位，得到的新圖

象函數(shù)的表達(dá)式為y=(x+2)2-2或y=N+4x+2.

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象“左加右減，上加下減”可得答案.

解：由“左加右減，上加下減”知：將拋物線y=N+Zr-2=(x+1)2-3的圖象向左平

移1個單位，再向上平移一個單位，則新的拋物線函數(shù)解析式為y=(x+1+l)2-3+1,

即y—(x+2)2-2或y=xi+^x+2.

故答案是：y—(x+2)2-2或y=/+4x+2.

12.有3個樣本如圖所示，關(guān)于它們的離散程度有下列幾種說法：①樣本1與樣本3的離散

程度相同；②樣本2的離散程度最??；③三組數(shù)據(jù)的離散程度從小到大依次為：樣本2、

樣本3、樣本1.正確的序號為②③.

樣本1:__-

159

樣心：

~n67

樣本3：i?一?，―??一

13579

【分析】根據(jù)離散程度的定義一一判斷即可.

解：樣本2的離散程度最小；三組數(shù)據(jù)的離散程度從小到大依次為：樣本2、樣本3、樣

本1.

故②③正確，樣本1的離散程度比樣本3的離散程度大，故①錯誤，

故答案為：②③.

13.如圖，AB是。。的直徑，弦CDLAB于點(diǎn)E,若BE=5,CD=6,則0A長為3.4.

【分析】設(shè)OA=OC=r,在RtZ^OCE中，根據(jù)OGnEG+OE2,可得3=33+(5-r)2,

求出r,即可解決問題.

解：設(shè)OA=OC—OB—r,

'CABA.CD,

：.CE=DE=—CD=3,

2

在RtZSOCE中，00=￡。+0口,

.?.3=33+(5-r)2,

；.OA=3.4,

14.分別以等邊AABC的三個頂點(diǎn)為圓心，邊長為半徑畫弧得到的曲邊三角形叫萊洛三角

形.如圖，等邊AABC的邊長為2“〃，則圖中陰影部分的面積為(2TT-3^)cm1.

H

【分析】其面積=三塊扇形的面積相加，再減去三個等邊三角形的面積.

解：過A作ADLBC于

u：AB=AC=BC=2cm,ZBAC=ZABC=ZACB=60Q,

VAD1BC,

：?BD=CD=lcm,AD==yf^cm,

：./\ABC的面積為?|BC?AO=J5cm2,

S.c=60冗><22=全加2,

3603

?"?5HIB=3X-|-H-3X^/3=cm2,

故答案為：（2n-3?）.

15.如圖，夜晚路燈下，小莉在點(diǎn)。處測得自己影長DE=4機(jī)，在點(diǎn)G處測得自己影長DG

=3w，E、。、G、B在同一條直線上.已知小莉身高為1.6〃?，則燈桿AB的高度為64

【分析】根據(jù)題意抽象出相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)列式計算即可.

解：-：CD//AB,

:.△ECDSXEAB、

,CD_ED1.6_4

??—,La、|nJ—,

ABEBAB4+3+BG

YFG//AB,

:.ADFGSADAB,

嚼帶喈w

4-3

,解得8G=9,

4+3+BG3+BG

.1.63

??~—，

AB3+9

.\AB=6A（加）,

即燈桿A8的高度為6.4九

故答案為：6.4.

16.ZVIBC中，AB=AC=]3,BC=24,點(diǎn)/是△ABC的內(nèi)心，點(diǎn)。是△ABC的外心，則

01=14.3

【分析】設(shè)8C邊的中點(diǎn)為。，連接A。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AOLBC,/DAB

=ZCAD,得到內(nèi)心/和外心。都在直線A￡＞上，根據(jù)勾股定理得到AO=5,設(shè)aABC

的內(nèi)切圓半徑為廣，外接圓半徑為R，則/。=。/+0。，根據(jù)勾股定理列方程得到R=16.9,

求得。。=11.9,根據(jù)三角形的面積公式得到r=2.4,于是得到結(jié)論.

解：設(shè)BC邊的中點(diǎn)為。，連接A。，

?：AB=AC=13,

：.ADLBC,ZDAB^ZCAD,

?.?點(diǎn)0為AABC的外心，點(diǎn)/為AABC的內(nèi)心,

二內(nèi)心/和外心O都在直線AD上，

?：AB=AC=\3,8c=24,

：.BD=CD=\2,

-'?AD=VAB2-BD2=5）

設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r,外接圓半徑為R,則/0=。/+。￡),

連接OB,在RlZiODB中，OO=R-5,OB=R,DB=\2,

由勾股定理得(R-5)2+122=R2,

.*.7?=16.9,

.?.OO=AO-A￡>=16.9-5=11.9,

VSAA?C=—(AB+BC+AC)-r,

22

.BOAD24X5120/)

,,AB+BC+AC13+24+135.'

.?.r=Z)/=2.4,

.\/O=￡)/+OD=2.4+l1.9=14.3.

故答案為：14.3.

三、解答題(本大題共11小題，共88分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文

字說明、證明過程或演算步驟)

17.解下列一元二次方程.

(1)/=-3x；

(2)/-4&X+8=0.

【分析】(1)先整理成一般式，再將左邊利用提公因式法因式分解，繼而可得兩個關(guān)于

x的一元一次方程，分別求解即可得出答案；

(2)利用公式法求解即可.

解：(1)?.?/=-3x,

.??N+3x=0,

Ax(x+3)=0,

/.x=0或x+3=0.

Axi=0,X2=-3；

(2)Viz=l,b=-4c=8,

△=b2-44c=0，

2

.r--b±Vb-4ac-啦±0

2a2

J.X\=X2=2&.

18.已知二次函數(shù)y=N-(〃計2)x+2〃？(m為常數(shù)).

(1)求證：不論切取何值，該二次函數(shù)的圖象與x軸總有公共點(diǎn)；

(2)若,"=0,當(dāng)xVI時,y隨尤的增大而減小.

【分析】(1)令)=0得到關(guān)于X的二元一次方程，然后證明A=〃-4ac20即可；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)作答.

【解答】(1)證明：當(dāng)y=0時，x2-(w+2)x+2m—0.

'."b2-4ac=(m+2)2-8m=(.m-2)2^0,

...方程總有兩個實數(shù)根，

二該二次函數(shù)的圖象與x軸總有公共點(diǎn)；

(2)解：若機(jī)=0,y=/-2x=(x-1)2-I.

所以該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,-1).

由于4=1>0,

所以當(dāng)x<l時，y隨x的增大而減小.

故答案是：<1.

19.如圖，表示一個窗戶的高，AM和BN表示射入室內(nèi)的光線，窗戶的下端到地面的距

離BC=lrn.已知某一時刻BC在地面的影長CN=1.5加，4c在地面的影長CM=45〃，

求窗戶的高度.

【分析】陽光可認(rèn)為是一束平行光，由光的直線傳播特性可知透過窗戶后的光線BN與

4E仍然平行，由此可得出一對相似三角形，由相似三角形性質(zhì)可進(jìn)一步求出AB的長，

即窗戶的高度.

解：'：BN//AM,

：.NCBN=NA,NCNB=NM,

:./\CBNs叢CAM,

?NC=BC

??而一而‘

.1.5_1

??,一而‘

解得：CA—3(w),

AB=3-1=2(相),

答：窗戶的高度為2m.

20.近日，“復(fù)旦學(xué)霸圖書館”新聞引發(fā)網(wǎng)友熱議，其中，“風(fēng)雨無阻愛學(xué)習(xí)”的潘同學(xué)一

年時間圖書館打卡301次，更是成為眾多學(xué)子膜拜的對象.某大學(xué)圖書館為了更好服務(wù)

學(xué)子，對某周來館人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下（單位：人）：

時間周一周二周三周四周五周六周日

人數(shù)65055071042065023203100

（1）該周到館人數(shù)的平均數(shù)為1200人、眾數(shù)為650人、中位數(shù)為650人;

（2）周一至周五到館人數(shù)相差不多，用這五天的數(shù)據(jù)估算該周的平均數(shù)合適嗎？為什

么？

（3）選擇合適的數(shù)據(jù)，估算該校一個月的到館人數(shù)（一個月按30天計）.

【分析】（1）分別利用平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的定義求解即可；

（2）由于周六、周日比周一至周五到館人數(shù)多得多，所以用周一至周五這五天的數(shù)據(jù)估

算該周的平均數(shù)不合適；

（3）用該周到館人數(shù)的平均數(shù)乘以30即可.

解：（1）該周到館人數(shù)的平均數(shù)為：—X（650+550+710+420+650+2320+3100）=1200

7

（人），

眾數(shù)為650人，中位數(shù)為650人，

故答案為：1200,650,650；

（2）由于周六、周日比周一至周五到館人數(shù)多得多，所以用周一至周五這五天的數(shù)據(jù)估

算該周的平均數(shù)不合適；

（3）估算該校一個月的到館人數(shù)為：1200X30=36000（人）.

21.“三孩”政策實施后，甲、乙兩個家庭有了各自的規(guī)劃（假定生男生女的概率相同）：

（1）甲家庭已有一個男孩和一個女孩，準(zhǔn)備再生一個孩子，則第三個孩子是男孩的概率

是4；

~2-

（2）乙家庭沒有孩子，準(zhǔn)備生三個孩子，求至少有兩個孩子是女孩的概率.

【分析】（1）直接根據(jù)概率公式可得答案；

（2）畫樹狀圖展示所有8種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出至少有兩個孩子是女孩的結(jié)果數(shù)，

然后根據(jù)概率公式求解.

解：⑴第三個孩子是男孩的概率為焉;

故答案為，■;

（2）畫樹狀圖為：

男女

共有8種等可能的結(jié)果數(shù)，其中至少有兩個孩子是女孩的結(jié)果數(shù)為4,

A1

所以至少有兩個孩子是女孩的概率為

82

22.已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=O（a、b、c是常數(shù),a^O）的兩個實數(shù)根分別

、、be

為XI,X2,證明：Xl+X2=---，XI?X2=—.

aa

【分析】利用求根公式表示出方程的兩個根，進(jìn)而求出兩根之和與兩根之積，即可即可

得證.

【解答】證明：?.?關(guān)于X的一元二次方程以2+法+c=0（以b、C是常數(shù)，4/0）的兩個

實數(shù)根分別為M，X2,

‘當(dāng)按時,X尸土近工Z,片土近五

2a2a

則盯+犯=_b+Vb2_4ac+-b-JbZ-dac=-b+Vb2_4ac_bRb2_4ac-

'2^2^2^2a

b

—，

a

22

Xl.x,=-b+7b-4ac.-b-Vb-4ac_（?）2-?b2-4ac）2_b2-（b2-4ac）_

2a2a4a4a

4acc

23.圖中是拋物線形拱橋，P處有一照明燈，水面OA寬45.以。為原點(diǎn)，OA所在直線為

x軸建立直角坐標(biāo)系，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3,2）.

（1）求拱橋所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）因降暴雨水位上升1m此時水面寬為多少？（結(jié)果保留根號）

【分析】(1)根據(jù)題意和圖象，可以設(shè)二次函數(shù)的交點(diǎn)式，然后將點(diǎn)P(3,2)代入求

出。的值，即可寫出該拋物線的解析式；

(2)將)，=1代入(1)中的函數(shù)解析式，求出相應(yīng)的x的值，然后作差，即可得到因降

暴雨水位上升1/M,此時水面寬.

解：(1)設(shè)拱橋所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=ax(x-4),

?.?點(diǎn)P(3,2)在該函數(shù)圖象上，

；.2=3。(3-4),

解得〃=-￡，

；.y=--x(x-4)=-—x2+—x,

333

即拱橋所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式是y=-

(2)當(dāng)y=l時，

.2.8

1----x2+—x

33f

解得X產(chǎn)生叵，X2二處國，

22__

..4+V10_4-V~m_4+77^-4+VI3_2Vm_r-

2~~222--V1U，

因降暴雨水位上升1m,此時水面寬為

24.如圖，AB是。。的弦，AC是。0的切線，AB=AC,8c交。0于點(diǎn)。，E是源的中點(diǎn).

(1)求證：NC=NE；

(2)判斷四邊形ACOE的形狀，并說明理由.

AE

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理可得結(jié)論;

(2)如圖，連接40,連接4。并延長，交于點(diǎn)F,連接。F,分別證明OE〃4C,

AE//BC,根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可得結(jié)論.

【解答】(1)證明：,??A3=AC,

:?/B=NC.

?AD=AD,

:./B=NE,

???NC=N￡；

(2)解：四邊形ACQE是平行四邊形，理由如下:

如圖，連接A。，連接AO并延長，交OO于點(diǎn)尸，連接OF,

TA尸是直徑，

,/ADF=90°,

：.ZF+ZDAF=90°.

〈AC是。。的切線，A是切點(diǎn)，

：.ZCAF=90°.

???NCAD+NOA尸=90°.

：.ZCAD=ZF,

???N8和/尸都是眾所對的圓周角,

：.ZB=ZF.

：.ZB=ZC=ZCAD=ZF.

???E是的中點(diǎn)，

二金=筋，

???/ADE=/EDB.

丁NAO8是△AOC的外角，

I.NADB=/C+/CAD=2NEDB.

:./EDB=/C.

：.DE//AC.

?:/E=/B.

：.ZC=NB=NEDB=NE,

J.AE//BC,

?.,AC〃ED,

???四邊形ACDE是平行四邊形.

25.定義：我們把三邊之比為1：M：、石的三角形叫做奇妙三角形.

（1）初步運(yùn)用

如圖是7X2的正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長均為1）,請分別在圖①、圖②中畫出

頂點(diǎn)在格點(diǎn)上最小、最大的奇妙三角形；

所畫三角形中最大內(nèi)角度數(shù)為135°.

（2）再思探究

如圖③，點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C坐標(biāo)（2,2）,點(diǎn)。坐標(biāo)（7,1）,在坐標(biāo)平面上取一

點(diǎn)B（機(jī)，2）,使得AB平分/CAD,直接寫出機(jī)的值并說明理由.

圖1用2,

>'A

國a

【分析】（1）直接利用網(wǎng)格結(jié)合勾股定理得出符合題意的圖形；直接利用相似三角形的

判定與性質(zhì)得出尾翼三角形的最大角；

（2）相=4,利用網(wǎng)格結(jié)合勾股定理求出△ABC和△AOB各邊的長.證明△ABCsaAOB,

直接利用相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

解：（1）如圖所示：

圖①圖②

由網(wǎng)格可得:

DE=1,EF=^12+12=V2)DF=V12+22=V5>

:.DE：EF：DF=T：&：娓,

.?.△OEF的三邊比為1：&：娓,

Afi=V32+l2=\^0,8C="+22=2詬AC=V12+72=5V2>

/?AB：BC：AC=1：yfo.*

???△ABC的三邊比為1：加：娓,

：.△AOCs"c&

:?/DEF=ZABC9

：.ZDEF=ZABC=45°+90°=135°.

故答案為：135；

(2)加=4,

BC=2,AC=^22+22=2V2>42+22=2V5,

BC：AC：AB—1：->y2：

.?.△ABC的三邊比為1：J，：、而，

由網(wǎng)格可得：

80=正2+]2=技，AB=3+22=2而,12+72=5V2>

/.BD：AB：AD—1：y1Q.'

.?.△AOB的三邊比為1：&：辰,

：.4BAC=NDAB,

平分NCAD

26.某商店銷售甲、乙兩種禮品，每件利潤分別為20元、10元，每天賣出件數(shù)分別為40

件、80件.為適應(yīng)市場需求，該店決定降低甲種禮品的售價，同時提高乙種禮品的售價.售

賣時發(fā)現(xiàn)，甲種禮品單價每降1元可多賣4件，乙種禮品單價每提高1元就少賣2件.若

每天兩種禮品共賣出140件，則每天銷售的最大利潤是多少？

（1）分析：設(shè)甲種禮品每件降低了x元，填寫下表（用含x的式子表示，并化簡）；

調(diào)價后的每件利潤調(diào)價后的銷售量

甲種禮品20-x(4()+公)

乙種禮品2x(100-4x)

（2）解答：

【分析】（1）利用調(diào)價后甲種禮品每天的銷售量=40+4X甲種禮品每件降低的價格，可

用含x的代數(shù)式表示出調(diào)價后甲種禮品的每天銷售量，結(jié)合每天兩種禮品共賣出140件,

可用含X的代數(shù)式表示出調(diào)價后乙種禮品每天的銷售量，再利用調(diào)價后每件乙種禮品的

利潤=10+(80-乙種禮品每天的銷售量)+2,即可用含x的代數(shù)式表示出調(diào)價后每件

乙種禮品的利潤；

(2)設(shè)每天的銷售利潤為y元，利用每天的銷售利潤=每件甲種禮品的銷售利潤X甲種

禮品的日銷售量+每件乙種禮品的銷售利潤X乙種禮品的日銷售量，即可得出y關(guān)于x的

函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題.

解：(1)?.?商店原來每天可售出甲種禮品40件，甲種禮品單價每降I元可多賣4件，

且甲種禮品每件降低了x元，

,每天銷售甲種禮品(40+4x)件，

又???每天兩種禮品共賣出140件，

每天銷售乙種禮品140-(40+4%)=(100-4%)件.

?.?商店原來每天可售出乙種禮品80件，乙種禮品單價每提高1元就少賣2件，且乙種禮

品每天的銷售量為(100-4x)件，

乙種禮品單價提高8cH(=⑵一io)元，

???調(diào)價后每件乙種禮品的利潤為10+(2x-10)=2%元.

故答案為：(40+4x)；2%；(100-4%).

(2)設(shè)每天的銷售利潤為y元，則丫=(20-x)(40+4x)+2x(100-4x),

即)=-12(x-10)2+2000,

：-12<0,

.?.當(dāng)x=10時，y取得最大值，最大值為2000.

答：每天銷售的最大利潤是2000元.

27.問題呈現(xiàn)：探究二次函數(shù)y=-x(x-3)+小(其中0WxW3,〃，為常數(shù))的圖象與一次

函數(shù)y=x+2的圖象公共點(diǎn).

問題解決：

(1)問題可轉(zhuǎn)化為：二次函數(shù))，=7(x-3)(0WxW3)的圖象與一次函數(shù)y=x+2

的圖象的公共點(diǎn).

(2)在下列平面直角坐標(biāo)系中畫出>=-x(x-3)(0WxW3)的圖象.

(3)請結(jié)合(2)中圖象，就優(yōu)的取值范圍討論兩個圖象公共點(diǎn)的個數(shù).

問題拓展：若二次函數(shù)尸(其中方金哼〃?為常數(shù))的圖象與一次函數(shù)尸-

2x+2的圖象有兩個公共點(diǎn)，則m的取值范圍為1<〃?W蕓.

0x

【分析】⑴二次函數(shù)y=-x(x-3)+m(0?3)與一次函數(shù)y=x+2的公共點(diǎn)可

轉(zhuǎn)化為方程-x(x-3)+/n=x+2有實數(shù)根，可轉(zhuǎn)化為方程-x(%-3)=x+2-?i有實數(shù)

根，即二次函數(shù)產(chǎn)7(x-3)(0WxW3)的圖象與一次函數(shù))，=尤+2-,〃的圖象的有公

共點(diǎn).

(2)由題意可知，y=-x(%-3)(0WxW3)與x軸的交點(diǎn)為(0,0)和(3,0),定

點(diǎn)為(1.5,2.25),由此可得函數(shù)圖象；

(3)函數(shù)y=x+2-/n的圖象，隨著，”的值的變化，從下往上開始運(yùn)動，畫出圖象，根

據(jù)量圖象的交點(diǎn)可得結(jié)論；

1R

(4)將二次函數(shù)y=(其中巾為常數(shù))的圖象與一次函數(shù)y=-2r+2

的圖象有兩個公共點(diǎn)轉(zhuǎn)化為：二次函數(shù)y