搶分秘籍11 幾何圖形中求線段線段和面積等最值問題（4題型）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)搶分秘籍（解析版）

第第頁(yè)搶分秘籍11幾何圖形中求線段，線段和，面積等最值問題（壓軸通關(guān)）目錄【中考預(yù)測(cè)】預(yù)測(cè)考向，總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見的易錯(cuò)點(diǎn)【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含新考法、新情境等）幾何圖形中求線段、線段和、面積最值題是全國(guó)中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國(guó)中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考生因?yàn)橹R(shí)殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?．從考點(diǎn)頻率看，幾何圖形中的性質(zhì)綜合問題，是高頻考點(diǎn)、也是必考點(diǎn)。2．從題型角度看，以解答題的最后一題或最后二題為主，分值12分左右，著實(shí)不少！題型一線段最值問題【例1】（2024·四川成都·一模）如圖1，在四邊形中，，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，使得，，此時(shí)，連接，，且．

(1)求的長(zhǎng)度；(2)如圖2，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與，重合），連接，以為斜邊向右側(cè)作等腰直角三角形．①當(dāng)時(shí)，試求的長(zhǎng)度；②如圖3，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，試問是否存在最小值，如果存在，請(qǐng)求出最小值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，證明，得出則，進(jìn)而根據(jù)，即可求解；（2）①如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明得出，即可得出，證明，進(jìn)而證明在上，根據(jù)已知條件證明在上，然后解直角三角形，即可求解；②如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，由①可得在上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，即重合時(shí)，的長(zhǎng)即為的最小值，由①可得，求得，根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，

∵，，∴，，又∵∴∵，∴∴∴∵，∴∴∴∴∴∴∴（2）①如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

由（1）可得∴是等腰直角三角形，∴，∵都是等腰直角三角形，∴∴又∵∴∴∴∴∴在中，∴∴∵∴又∵∴∴在上，∵，∴∵∴在上，∵，∴，則∵∴∴，∵，∴∴，∴，②如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，

由①可得在上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，即重合時(shí)，的長(zhǎng)即為的最小值，設(shè)交于點(diǎn)，即與①中點(diǎn)重合，由①可得∵∴，∴設(shè)則，在中，．【點(diǎn)睛】證明點(diǎn)在上是解題的關(guān)鍵．本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形.【例2】（2024·天津紅橋·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，)，C，D分別為，的中點(diǎn)．以點(diǎn)O為中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得點(diǎn)C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，．(1)填空∶如圖①，當(dāng)點(diǎn)落在y軸上時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為_____，點(diǎn)的坐標(biāo)為______；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)和的長(zhǎng)；(3)若M為的中點(diǎn)，求的最大值和最小值(直接寫出結(jié)果即可)．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）過作軸于H，由，D為中點(diǎn)，得，即得，根據(jù)以點(diǎn)O為中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，知，故；由，，可得軸，，從而，可得，，故；故答案為：；（2）當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，過作軸于M，求出，即可得，，故；；（3）由C，D分別為，的中點(diǎn)，可得，，從而，根據(jù)以點(diǎn)O為中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，可得，，即得，，知M在以O(shè)為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)；當(dāng)最大時(shí)，M在的延長(zhǎng)線上，求出，即最大值為；當(dāng)最小時(shí)，M在線段上，，即最小值為．【詳解】（1）解：過作軸于H，如圖：，D為中點(diǎn)，，，∵以點(diǎn)O為中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，，∵點(diǎn)落在y軸上，；，C為中點(diǎn)，，，軸，，，，，，；故答案為：；（2）解：當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，過作軸于M，如圖：由（1）知，，，，，，，，，；∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，的長(zhǎng)為；（3）解：如圖：∵C，D分別為，的中點(diǎn)，是的中位線，，，，∵以點(diǎn)O為中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，，，是的中點(diǎn)，，，在以O(shè)為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)；當(dāng)最大時(shí)，如圖：此時(shí)M在的延長(zhǎng)線上，，，；即最大值為；當(dāng)最小時(shí)，如圖：此時(shí)M在線段上，，最小值為；綜上所述，最大值為，最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換綜合應(yīng)用，涉及銳角三角函數(shù)，直角三角形性質(zhì)及應(yīng)用等，解題的關(guān)鍵是掌握含的直角三角形三邊的關(guān)系．1．（2024·山東濟(jì)寧·模擬預(yù)測(cè)）已知，四邊形是正方形，繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)（），，，連接．(1)如圖1，求證：；(2)直線與相交于點(diǎn)G．①如圖2，于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，求證：四邊形是正方形；②如圖3，連接，若，，直接寫出在旋轉(zhuǎn)的過程中，線段長(zhǎng)度的最小值為．【答案】(1)見解析；(2)①見解析；②【分析】（1）利用正方形性質(zhì)可得、，然后利用即可證明結(jié)論；（2）①根據(jù)，可得，又因?yàn)?，，所以四邊形是矩形，再證明可得從而證明結(jié)論；②如圖：作交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，證明是等腰直角三角形，然后求出的最小值即可．【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，，，，，，，在和中，，．（2）解：①證明：如圖中，設(shè)與相交于點(diǎn)，，，，，，，，，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，，，又，

，，矩形是正方形；②如圖∶作交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，∵，∴，又∵，，∴，，，，最大時(shí)，最小，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，，由（2）①可知，是等腰直角三角形，．故答案為．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，尋找并證明全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2024·重慶·一模）在中，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，．(1)若，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，交于點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)．①如圖1，若，求的長(zhǎng)度；②如圖2，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若點(diǎn)為中點(diǎn)，，求證：．(2)如圖3，若．當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，連接，當(dāng)取得最小值時(shí)，內(nèi)存在點(diǎn)，使得，當(dāng)取得最小值時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．【答案】(1)①；②見解析(2)【分析】（1）①過點(diǎn)作于點(diǎn)，通過勾股定理得到的長(zhǎng)，證明利用勾股定理即可求解；②延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，連接交于點(diǎn)，用過證明三角形全等結(jié)合直角三角形的兩個(gè)銳角互余，三角形內(nèi)角和等知識(shí)即可得證；（2）沿直線翻折后，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在直線上，當(dāng)時(shí)，取得最小值，通過含角的直角三角形的特征求出，過點(diǎn)作的垂線，過點(diǎn)作垂線相交于點(diǎn)，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，半徑，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，利用勾股定理相似三角形的判定與性質(zhì)即可得出最后結(jié)果．【詳解】（1）解：①過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，在中，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，，在和中，，，，，，，在中，，；②證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，連接交于點(diǎn)．，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，，設(shè)，在中，，，，，，，即，，點(diǎn)為中點(diǎn)，，在和中，，，，，，，，在中，，，，在中，，，；（2）如圖，沿直線翻折后，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在直線上，當(dāng)時(shí)，取得最小值．由題意可知：，，，，，，，，過點(diǎn)作的垂線，過點(diǎn)作垂線相交于點(diǎn)，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，半徑，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，此時(shí)，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，或者．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形綜合應(yīng)用，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，折疊性質(zhì)，直角三角形特征，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，添加輔助線構(gòu)造直角三角形和全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．3．（2024·陜西西安·一模）問題提出：（1）如圖①，在中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為__________．問題探究：（2）如圖②，在正方形中，，點(diǎn)為上的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，將折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，求的最小值．問題解決：（3）如圖③，某地要規(guī)劃一個(gè)五邊形藝術(shù)中心，已知，，，，點(diǎn)處為參觀入口，的中點(diǎn)處規(guī)劃為“優(yōu)秀”作品展臺(tái)，求點(diǎn)與點(diǎn)之間的最小距離．【答案】（1）；（2）；（3）點(diǎn)與點(diǎn)之間的最小距離為（）m【分析】（1）根據(jù)三角形中位線的定義，得到是的中位線，由中位線的性質(zhì)，即可求解，（2）連接，求出、的長(zhǎng)度，在中，根據(jù)勾股定理，求出的長(zhǎng)度，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，即可求解，（3）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，作、，由，點(diǎn)是的中點(diǎn)，得到，根據(jù)四邊形是矩形，及特殊角三角函數(shù)，得到、、的長(zhǎng)，在中，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，由兩點(diǎn)之間線段最短，得到，即可求解，本題考查了，三角形中位線的判定與性質(zhì)，解直角三角形，兩點(diǎn)之間線段最短，解題的關(guān)鍵是：作輔助線構(gòu)造三角形中位線．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，∴，，∵，∴，（2）連接，∵點(diǎn)為上的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，，∴，，在中，，根據(jù)折疊的性質(zhì)，，∵，∴，（3）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，過點(diǎn)、點(diǎn)作、，分別交延長(zhǎng)線于點(diǎn)、點(diǎn)，連接、，∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∵，，∴，，∵，，∴，∴四邊形是矩形，∴，，在中，，，∴，，在中，，∵，∴，∴，故答案為：（1）；（2）；（3）點(diǎn)與點(diǎn)之間的最小距離為（）m．4．（2024·陜西西安·一模）【問題提出】（1）如圖1，點(diǎn)為的邊上一點(diǎn)，連接，若的面積為4，則的面積為______；【問題探究】（2）如圖2，在矩形中，，在射線和射線上分別取點(diǎn)，使得，連接相交于點(diǎn)，連接，求的最小值；【問題解決】（3）如圖3，菱形是某社區(qū)的一塊空地，經(jīng)測(cè)量，米，．社區(qū)管委會(huì)計(jì)劃對(duì)該空地進(jìn)行重新規(guī)劃利用，在射線上取一點(diǎn)，沿修兩條小路，并在小路上取點(diǎn)，將段鋪設(shè)成某種具有較高觀賞價(jià)值的休閑通道（通道寬度忽略不計(jì)），根據(jù)設(shè)計(jì)要求，，為了節(jié)省鋪設(shè)成本，要求休閑通道的長(zhǎng)度盡可能小，問的長(zhǎng)度是否存在最小值？若存在，求出長(zhǎng)度的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）5；（2）；（3）存在，最小值為米【分析】（1）證明，利用相似三角形的性質(zhì)得到，即可得到的面積；（2）證明，進(jìn)一步得到，則證明點(diǎn)P在矩形內(nèi)部以為直徑的上運(yùn)動(dòng)，連接，交于點(diǎn)，進(jìn)一求出，則，由，即可得到的最小值；（3）證明得到，則，再證明得到，證明點(diǎn)H在的劣弧上運(yùn)動(dòng)，求得，進(jìn)一步求得米，勾股定理可得米，記與相交于點(diǎn)，則米，求出米，由米，即可得到答案．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴，∴的面積為，故答案為：5（2）∵四邊形是矩形，∴，∵，，∴，∴，∴，∵∴∴∴點(diǎn)P在矩形內(nèi)部以為直徑的上運(yùn)動(dòng)，連接，交于點(diǎn)，∵，，∴，∴∵，∴當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)的位置時(shí)，取得最小值，最小值；（3）連接，作的外接圓，連接，如圖3，∵四邊形是菱形，∴米，，∵，∴∵∴∴，即∴，∴，∵∴∴∴點(diǎn)H在的劣弧上運(yùn)動(dòng)，∵∴，∵，∴，∴在中，米，，過點(diǎn)O作于點(diǎn)M，如圖，則米，∴米，∴米，∴米，記與相交于點(diǎn)，則米，∴米，∵米，∴的最小值為的長(zhǎng)，即的最小值為米【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、特殊平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)、添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．題型二線段和的最小值問題【例1】（2024·四川達(dá)州·模擬預(yù)測(cè)）【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在中，，若將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接，則________．【問題探究】（2）如圖2，已知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，以為邊向外作等邊，P為內(nèi)一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，求的最小值；【實(shí)際應(yīng)用】（3）如圖3，在長(zhǎng)方形中，邊，P是邊上一動(dòng)點(diǎn)，Q為內(nèi)的任意一點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)P和一點(diǎn)Q，使得有最小值？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）作于，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，由等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得，，再由含角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理計(jì)算即可得出；（2）如圖，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，則是等邊三角形，可得，即可得到，故當(dāng)點(diǎn)、、、共線時(shí)，最小，最小值為的長(zhǎng)，連接，作于交延長(zhǎng)線于E，求出，則，進(jìn)一步求出，，則，即的最小值為；（3）如圖所示，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，同（2）可得當(dāng)四點(diǎn)共線，且時(shí)，的值最小，即此時(shí)最?。辉O(shè)此時(shí)交于G，證明，則由三線合一定理得到，則；再證明四邊形是矩形，得到，則．【詳解】解：（1）如圖，作于，在中，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到三角形，，，，，，，，，，，故答案為：；（2）如圖，連接，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，，，，∴是等邊三角形，∴，，當(dāng)點(diǎn)、、、共線時(shí)，最小，最小值為的長(zhǎng)，連接，作于交延長(zhǎng)線于E，，邊長(zhǎng)為，，，，，，，，的最小值為；（3）如圖所示，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，∴，，∴都是等邊三角形，∴，∴，∴當(dāng)四點(diǎn)共線，且時(shí)，的值最小，即此時(shí)最??；設(shè)此時(shí)交于G，在矩形中，，∴，∴，∴；∵，∴四邊形是矩形，∴，∴．本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，含本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造等邊三角形，從而把三條不在一條直線的線段之和的問題，轉(zhuǎn)換成幾點(diǎn)共線求線段的最值問題是解題的關(guān)鍵．【例2】（2024·貴州畢節(jié)·一模）在學(xué)習(xí)了《圖形的平移與旋轉(zhuǎn)》后，數(shù)學(xué)興趣小組用一個(gè)等邊三角形繼續(xù)進(jìn)行探究．已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形．(1)【動(dòng)手操作】如圖1，若為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則的長(zhǎng)為________；(2)【探究應(yīng)用】如圖為內(nèi)一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，若三點(diǎn)共線，求證：平分；(3)【拓展提升】如圖3，若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．請(qǐng)求出點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，的周長(zhǎng)的最小值．【答案】(1)(2)見詳解(3)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，得，證明，結(jié)合為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)和是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形等條件，即可作答．（2）證明，可得，故，從而平分；（3）由，得，可得的周長(zhǎng)，而，知的最小時(shí)，的周長(zhǎng)最小，此時(shí)，即可求得答案．【詳解】（1）解：∵將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到∴，∵是等邊三角形，∴∴∴∴；∵為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，且是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形∴，故答案為：；（2）證明：∵將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到∴∴∴∵是等邊三角形，∴∴∴∴∴∴∴平分（3）解：當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，的周長(zhǎng)存在最小值，如圖：∵，∴，∴的周長(zhǎng)，∴當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，的周長(zhǎng)，∵為等邊三角形，∴，∴的最小時(shí)，的周長(zhǎng)最小，此時(shí)，∴，∴的周長(zhǎng)的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換綜合應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、涉及等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．1．（2024·陜西·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，A為y軸正半軸上一點(diǎn)，B為x軸正半軸上一點(diǎn)，且，連接．

(1)如圖1，C為線段上一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，求的值．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D位于第二象限時(shí)，，且，E為的中點(diǎn)，連接，試探究線段是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)【分析】（1）證明，得出，可得出，然后利用勾股定理求解即可；（2）過點(diǎn)D作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，證明，可得出點(diǎn)D在的平分線上，取點(diǎn)，連接，，則和A關(guān)于的平分線對(duì)稱，由得出當(dāng)點(diǎn)、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最后利用兩點(diǎn)間距離公式求解即可．【詳解】（1）解：∵旋轉(zhuǎn)，∴，，∴，又，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，，∵E為的中點(diǎn)，∴，即過點(diǎn)D作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N

又，∴四邊形是矩形，∴，又，∴，又，，∴，∴，∴點(diǎn)D在的平分線上，取點(diǎn)，連接，則和A關(guān)于的平分線對(duì)稱，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判斷，勾股定理等知識(shí)，根據(jù)題意添加合適輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2024·陜西西安·二模）（1）如圖，半徑為的外有一點(diǎn)，且，點(diǎn)在上，則的最大值和最小值分別是______和______；（2）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且，連接、，求最小時(shí)的長(zhǎng)；（3）如圖，在中，，，點(diǎn)到的距離為，動(dòng)點(diǎn)、在邊上運(yùn)動(dòng)，始終保持，在邊上有一個(gè)直徑為的半圓，連接與半圓交于點(diǎn)，連接、，求的最小值．

【答案】（1）；；（2）；（3）【分析】（1）結(jié)合圓的基本性質(zhì)分兩種情況討論即可；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，，交于點(diǎn)，結(jié)合矩形的性質(zhì)及已知證明，得到，（當(dāng)點(diǎn)、、共線時(shí)，取“”，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合），繼而得到的最小值為的長(zhǎng)，證明，得到，代入數(shù)據(jù)求解即可；（3）如圖，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，，，，，證明四邊形是平行四邊形，得到，，繼而得到，設(shè)點(diǎn)到的距離為，根據(jù)平行四邊形的面積可得，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可得，，，結(jié)合三角形三邊關(guān)系及兩點(diǎn)之間線段最短和（1）的結(jié)論可得：的最小值為：，最后在中根據(jù)勾股定理求得，從而得解．【詳解】解：（1）∵半徑為的外有一點(diǎn)，且，點(diǎn)在上，∴，如圖，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，取得最小值，此時(shí)的最小值為：；

如圖，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，取得最大值，此時(shí)的最大值為：；故答案為：；；

（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，，交于點(diǎn)，∵在矩形中，，，，∴，，，∴垂直平分，∴，在和中，，∴，∴，∴（當(dāng)點(diǎn)、、共線時(shí)，取“”，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合），∴的最小值為的長(zhǎng)，在中，，，∵，，∴，∴，∴，∴，∴最小時(shí)的長(zhǎng)為；

（3）如圖，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，，，，，∵在中，，，點(diǎn)到的距離為，，∴，即，，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∴，設(shè)點(diǎn)到的距離為，∴，∴，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，∴，，，∴，，由（1）知：當(dāng)點(diǎn)、、共線時(shí)，的值最小，又∵，，當(dāng)點(diǎn)、、重合時(shí)，，∴，即的最小值為：，在中，，∴，∴的最小值為．

【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，三角形三邊關(guān)系定理，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)點(diǎn)．靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)、弄清題意并作出適當(dāng)輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2024·陜西西安·三模）【問題提出】（1）如圖①，為半圓的直徑，點(diǎn)為半圓的上一點(diǎn)，切半圓于點(diǎn)，若，，則的最小值為；【問題探究】（2）如圖②，在矩形中，，，點(diǎn)為矩形內(nèi)一點(diǎn)，連接、，若矩形的面積是面積的3倍，求的最小值；【問題解決】（3）如圖③，平面圖形為某校園內(nèi)的一片空地，經(jīng)測(cè)量，米，，，，米，劣弧所對(duì)的圓心角為，所在圓的圓心在的延長(zhǎng)線上，米．某天活動(dòng)課上，九（1）班的同學(xué)準(zhǔn)備在這塊空地上玩游戲，每位同學(xué)在游戲開始前，在上選取一點(diǎn)，在弧上選取一點(diǎn)，并在點(diǎn)和點(diǎn)處各插上一面小旗，從點(diǎn)出發(fā)，先到點(diǎn)處拔下小旗，再到點(diǎn)處拔下小旗，用時(shí)最短者獲勝．已知曉雯和曉靜的跑步速度相同，要使用時(shí)最短，則所跑的總路程應(yīng)最短，問是否存在最小值？若存在，請(qǐng)你求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）8；（2）；（3）存在最小值，最小值為．【分析】（1）連接交于點(diǎn)，則是的最小值，求出的長(zhǎng)即可，（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，作，連接，的最小值，即為的長(zhǎng)度，求出即可，（3）連接，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，，過作，分別交、的延長(zhǎng)線于點(diǎn)、，分別延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，，當(dāng)取得最小值時(shí)，的值最小，即的長(zhǎng)，求出即可．【詳解】解：（1）如圖，連接交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)為半圓的上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，，的最小值，切半圓于點(diǎn)，，，，，的最小值，故答案為：8．（2）過作，如圖，矩形的面積是面積的3倍，，，，，過點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)、，則點(diǎn)在線段上，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則，，連接交于點(diǎn)，由三角形三邊關(guān)系可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的值最小，即為的長(zhǎng)度，，，又，，即的最小值為．（3）連接，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，，交于H，過作，分別交、的延長(zhǎng)線于點(diǎn)、，分別延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，，交于點(diǎn)，如圖：，，是等邊三角形，，，，，，和都是直角三角形，四邊形、四邊形都是矩形，，點(diǎn)為所在圓的圓心，則，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，，即，當(dāng)取得最小值時(shí)，的值最小，，的最小值為的長(zhǎng)，為等邊三角形，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，則，△和△都是直角三角形，四邊形、四邊形都是矩形，，，，，，，即存在最小值，最小值為．【點(diǎn)睛】本題綜合考查線段的最值問題，主要涉及了圓的切線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，三角形三邊的關(guān)系等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，準(zhǔn)確作出輔助線是解題關(guān)鍵．4．（2024·江西·一模）如圖1，在矩形中，，點(diǎn)分別是上的中點(diǎn)，過點(diǎn)分別作與交于點(diǎn)，連接．特例感知（1）以下結(jié)論中正確的序號(hào)有______；①四邊形是矩形；②矩形與四邊形位似；③以為邊圍成的三角形不是直角三角形；類比發(fā)現(xiàn)（2）如圖2，將圖1中的四邊形繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，連接，觀察與之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的發(fā)現(xiàn)；拓展應(yīng)用（3）連接，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最大時(shí)，①求的長(zhǎng)度；②連接，若在內(nèi)存在一點(diǎn)，使的值最小，求的最小值．【答案】（1）①②；（2），直線與的夾角是，見解析；（3）①；②【分析】（1）根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)、位似圖形的性質(zhì)以及直角三角形的判定逐個(gè)判斷即可；（2），連接、，延長(zhǎng)、，設(shè)交點(diǎn)為N，設(shè)、交于點(diǎn)M，先根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理求得，再利用銳角三角函數(shù)求得，進(jìn)而得到，利用位似圖形的性質(zhì)得到，進(jìn)而證明，利用相似三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可求解；（3）先根據(jù)題意得到當(dāng)點(diǎn)C、A、C共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的長(zhǎng)度最大，①利用勾股定理求解即可；②將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且使，連接．同理將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，且使，連接．先證明，得到，利用的邊角關(guān)系得到，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到當(dāng)C、P、K、L四點(diǎn)共線時(shí)，的長(zhǎng)最小，過點(diǎn)L作垂直的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，可得，在中，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）∵四邊形是矩形，∴∵，∴，∴四邊形是矩形，故①正確；∵點(diǎn)分別是上的中點(diǎn)，∴，，即，∴矩形與四邊形位似，故②正確；延長(zhǎng)交于H，則四邊形、四邊形是矩形，∴，，，∴是直角三角形，則以為邊圍成的三角形是直角三角形，故③錯(cuò)誤，故答案為：①②；（2），直線與的夾角．證明：如圖，連接、，延長(zhǎng)、，設(shè)交點(diǎn)為N，設(shè)、交于點(diǎn)M，∵四邊形是矩形，∴，，∴，則，∴，∴，由（1）知，矩形與四邊形位似，∴，又，∴，∴，，又，∴；（3）∵，∴當(dāng)點(diǎn)C、A、E共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的長(zhǎng)度最大，①如圖，由（2）知，，，，，∵，∴；②如圖，將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且使，連接．同理將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，且使，連接．根據(jù)旋轉(zhuǎn)，可得，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等可得，∴，過P作于S，則，，∴，則，∴，∴，∵，即，當(dāng)C、P、K、L四點(diǎn)共線時(shí)，的長(zhǎng)最小，由題意，，，，，過點(diǎn)L作垂直的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，可得，∴，，則，在中，根據(jù)勾股定理得．∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題是一道壓軸題，主要考查了矩形的判定與性質(zhì)、位似圖形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、解直角三角形、等腰三角形的判定、三角形的內(nèi)角和定理、最短路徑等知識(shí)，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)與聯(lián)系，適當(dāng)添加輔助線是解答的關(guān)鍵．題型三面積的最小值問題【例1】（新考法，拓視野）（2024·陜西西安·一模）【問題提出】（1）如圖1，已知在邊長(zhǎng)為5的等邊中，點(diǎn)D在邊上，，連接，則的面積為；【問題探究】（2）如圖2，已知在邊長(zhǎng)為6的正方形中，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)F在邊上，且，若，求的面積；【問題解決】（3）如圖3是某座城市廷康大道的一部分，因自來(lái)水搶修在米，米的矩形區(qū)域內(nèi)開挖一個(gè)的工作面，其中B、F分別在邊上（不與B、C、D重合），且，為了減少對(duì)該路段的擁堵影響，要求面積最小，那么是否存在一個(gè)面積最小的？若存在，請(qǐng)求出面積的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）如圖所示，過點(diǎn)A作于E，利用等邊三角形的性質(zhì)得到，再利用勾股定理得到，即可利用求出答案；（2）如圖所示，延長(zhǎng)到G使得，連接，證明，得到，再證明，得到，，則；（3）把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)并把邊長(zhǎng)縮小為原來(lái)的，得到，則，；過點(diǎn)E作于M，作于N，則四邊形是矩形，則，解直角三角形得到，進(jìn)而得到，即，則當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，的面積最小；如圖所示，作的外接圓，圓心為O，連接，過點(diǎn)O作于H，設(shè)，由圓周角定理得到，則，推出，由于，則當(dāng)r最小時(shí)，的面積最小，故當(dāng)A、O、H三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，最小值為，則，即存在一個(gè)面積最小的，其最小值為．【詳解】解：（1）如圖所示，過點(diǎn)A作于E，∵是邊長(zhǎng)為5的等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴；

（2）如圖所示，延長(zhǎng)到G使得，連接，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，，又∵，∴；

（3）把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)并把邊長(zhǎng)縮小為原來(lái)的，得到，∴，∵，∴，過點(diǎn)E作于M，作于N，則四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，的面積最小；如圖所示，作的外接圓，圓心為O，連接，過點(diǎn)O作于H，設(shè)，∴，∴，∴，∵，∴當(dāng)r最小時(shí)，的面積最小，∵，∴，∴，∴當(dāng)A、O、H三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，最小值為，∴，∴存在一個(gè)面積最小的，其最小值為．

本題主要考查了圓周角定理，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，通過作出輔助線構(gòu)造直角三角形，全等三角形是解題的關(guān)鍵．本題主要考查了圓周角定理，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，通過作出輔助線構(gòu)造直角三角形，全等三角形是解題的關(guān)鍵．【例2】（2024·陜西西安·二模）圖形旋轉(zhuǎn)是解決幾何問題的一種重要方法．如圖1，正方形中，分別在邊上，且，連接，試探究之間的數(shù)量關(guān)系．解決這個(gè)問題可將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置（易得出點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上），進(jìn)一步證明與全等，即可解決問題．(1)如圖1，正方形中，，則______；(2)如圖2，正方形中，若，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，請(qǐng)計(jì)算與的比值，寫出解答過程；(3)如圖3，若，正方形的邊長(zhǎng)，試探究面積的最小值．【答案】(1)(2)；過程見解析(3)【分析】（1）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置（易得出點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上），進(jìn)一步證明與全等，即可解決問題；（2）將，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，證明，得出四點(diǎn)共圓；進(jìn)而可得，根據(jù)，即可求解；（3）過點(diǎn)作于，交于，作于，得出，進(jìn)而根據(jù)（2）的方法得出，根據(jù)時(shí)，面積最小，得出，即可求解．【詳解】（1）解：∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，∴，∴點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，∵四邊形是正方形∴，∵，∴又∵，∴，∴，故答案為：．（2）解：將，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得

∴，∵，則，∴，∴，∵，則，∴，，∵，∴，∴，即，∴四點(diǎn)共圓；∴，又∴（3）如圖，過點(diǎn)作于，交于，作于，

四邊形是矩形，同（2）將，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，可得，∴∴取得最小值時(shí)，的面積最小，設(shè)，，∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等于號(hào)，此時(shí)，設(shè)的圓心為，∵，，∴經(jīng)過點(diǎn)，

∴，∵即解得：∴∴，∴，即面積的最小為．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓等知識(shí)，解直角三角形，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．1．（2023·陜西西安·一模）問題發(fā)現(xiàn)（1）在中，，，則面積的最大值為；（2）如圖1，在四邊形中，，，，求的值．問題解決（3）有一個(gè)直徑為的圓形配件，如圖2所示．現(xiàn)需在該配件上切割出一個(gè)四邊形孔洞，要求，，并使切割出的四邊形孔洞的面積盡可能?。噯?，是否存在符合要求的面積最小的四邊形？若存在，請(qǐng)求出四邊形面積的最小值及此時(shí)的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，四邊形面積的最小值為，此時(shí)【分析】（1）易知點(diǎn)C在以為弦的確定的圓上，作的外接圓，可得當(dāng)點(diǎn)C在的位置，即垂直平分時(shí)，的面積最大，求出，再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可；（2）將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則，，，，證明C、D、E在同一條直線上，求出，利用勾股定理求出，進(jìn)而可得的值；（3）如圖作輔助線，證明是等邊三角形，求出，可得要使四邊形的面積最小，就要使的面積最大，然后由（1）可知，當(dāng)是直徑，且時(shí)，的面積最大，同（1）的方法求出面積的最大值，可得四邊形面積的最小值，然后證明O、C、M共線，解直角三角形求出，根據(jù)可得此時(shí)的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）∵，，∴點(diǎn)C在以為弦的確定的圓上，如圖，作的外接圓，∴當(dāng)點(diǎn)C在的位置，即垂直平分時(shí)，的面積最大，∴，，∴是等邊三角形，∴，∴，∴面積的最大值為，故答案為：；（2）如圖，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，∴，，，，∵，，∴，∵，∴C、D、E在同一條直線上，∵，∴，∴，∴；（3）存在；如圖，連接，∵，，∴將繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，∴，，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴要使四邊形的面積最小，就要使的面積最大，作的外接圓，點(diǎn)F是上一點(diǎn)，交于M，由（1）可知，當(dāng)是直徑，且時(shí)，的面積最大，此時(shí)，，∴，∴面積的最大值為，∴四邊形面積的最小值為，又∵垂直平分，是等邊三角形，∴O、C、M共線，∴,∴．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的外接圓，垂徑定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等知識(shí)，作出合適的輔助線，靈活運(yùn)用三角形的外接圓求出三角形面積的最大值是解題的關(guān)鍵．2．問題提出：（1）如圖①，已知是面積為的等邊三角形，是的平分線，則的長(zhǎng)為______．問題探究：（2）如圖②，在中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上，且．證明：．問題解決：（3）如圖③，李叔叔準(zhǔn)備在一塊空地上修建一個(gè)矩形花園，然后將其分割種植三種不同的花卉．按照他的分割方案，點(diǎn)，分別在，上，連接、、，，、分別在、上，連接、，，，其中四邊形種植玫瑰，和種植郁金香，剩下的區(qū)域種植康乃馨，根據(jù)實(shí)際需要，要求種植玫瑰的四邊形的面積為，為了節(jié)約成本，矩形花園的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出矩形的最小面積，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）；（2）見解析；（3）存在，【分析】（1）設(shè)的邊長(zhǎng)為，得出，即可求解；（2）連接，證明，即可求解；（3）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，根據(jù)四邊形的面積為，得出，則當(dāng)時(shí)，矩形的面積最小，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：（1）∵是面積為的等邊三角形，是的平分線，∴設(shè)的邊長(zhǎng)為∴∴∴解得：，故答案為：．（2）如圖所示，連接，

∵在中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，，又∵∴在中，∴∴；（3）如圖所示，

∵，，∴將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，∴三點(diǎn)共線，∴四邊形的面積等于，又∵，∴過點(diǎn)作于點(diǎn)，則設(shè)，則∴∴∵四邊形的面積為，∴，即,如圖所示，作于點(diǎn)，

∵，，，則，在中，∴，同理可得則∴，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則是等邊三角形，則，如圖所示，依題意，當(dāng)時(shí)，矩形的面積最小，此時(shí)與重合，，

∴∴矩形的最小面積為【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（2024·陜西榆林·二模）（1）如圖1，，，，交于點(diǎn)E，若，則；（2）如圖2，矩形內(nèi)接于，，點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)，求的面積的最大值；（3）為了提高居民的生活品質(zhì)，市政部門計(jì)劃把一塊邊長(zhǎng)為120米的正方形荒地(如圖3)改造成一個(gè)戶外休閑區(qū)，計(jì)劃在邊，上分別取點(diǎn)P，Q，修建一條筆直的通道，要求，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，在點(diǎn)E處修建一個(gè)應(yīng)急處理中心，再修建三條筆直的道路，并計(jì)劃在內(nèi)種植花卉，內(nèi)修建老年活動(dòng)區(qū)，內(nèi)修建休息區(qū)，在四邊形內(nèi)修建兒童游樂園．問種植花卉的的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，最小值為平方米【分析】（1）由得，得對(duì)應(yīng)成比例的線段，于是得到結(jié)論；（2）當(dāng)時(shí)，的面積有最大值，解直角三角形求出的高即可得到結(jié)論；（3）連接交于點(diǎn)M，作的外接圓，過點(diǎn)O作于點(diǎn)交于點(diǎn)交于點(diǎn)I，連接此時(shí)的面積最?。驹斀狻拷狻?，，即∴設(shè)，，，解得故答案為：；(2)如圖1，連接．∵四邊形是矩形，是的直徑．在中，過點(diǎn)O作，垂足為E，延長(zhǎng)交于點(diǎn)連接此時(shí)的面積最大．理由：在上任意另取一點(diǎn)，過點(diǎn)作垂足為連接則即∴當(dāng)，三點(diǎn)共線，且時(shí)，最大，即的面積最大．連接，則在中，．，(3)如下圖，連接交于點(diǎn)M．∵四邊形是正方形，，，，，，，，,過點(diǎn)M作于點(diǎn)N，,,,，．在中，根據(jù)勾股定理得,作的外接圓，則O為的中點(diǎn)，且點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)O作于點(diǎn)交于點(diǎn)交于點(diǎn)I，連接此時(shí)的面積最?。碛伞迷谏先我饬砣∫稽c(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)連接則即∴當(dāng)O，，三點(diǎn)共線，且時(shí)，最小，即的面積最?。深}意可得四邊形為矩形，．,，，的最小值平方米．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的理解題意，畫出圖形是解題的關(guān)鍵．題型四面積的最大值問題【例1】（新考法，拓視野）（2024·陜西咸陽(yáng)·一模）問題提出：（1）如圖①，的半徑為4，弦，則點(diǎn)O到的距離是_____________．問題探究：（2）如圖②，的半徑為5，點(diǎn)A、B、C都在上，，求面積的最大值．問題解決：（3）如圖③，是一圓形景觀區(qū)示意圖，的直徑為，等邊的邊是的弦，頂點(diǎn)P在內(nèi)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)C，延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，連接．現(xiàn)準(zhǔn)備在和區(qū)域內(nèi)種植花卉，圓內(nèi)其余區(qū)域?yàn)椴萜海凑疹A(yù)算，草坪的面積盡可能大，求草坪的最大面積．（提示：花卉種植面積盡可能小，即花卉種植面積的最小值）【答案】（1）2；（2）；（3）【分析】（1）作交于點(diǎn)C，連接，由垂徑定理可知，利用勾股定理即可求出答案；（2）作交于點(diǎn)D，連接，使面積最大，則應(yīng)最大，即當(dāng)經(jīng)過圓心O的時(shí)候取值最大，由垂徑定理以及勾股定理求出，得到，即可求出答案；（3）設(shè)，則，證明是等邊三角形，進(jìn)一步得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到當(dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，則是的直徑，求出的最小值為，用圓面積減去的最小值即可得到答案．【詳解】（1）解：作交于點(diǎn)C，連接，∵，由垂徑定理可知：，∵，∴；即點(diǎn)O到的距離是2，故答案為：2（2）作交于點(diǎn)D，連接，∵，若使面積最大，則應(yīng)最大，∴當(dāng)經(jīng)過圓心O的時(shí)候取值最大，由垂徑定理可知：，∵，∴，∴，∴，即面積的最大值為．（3）設(shè)，則，∵是等邊三角形，∴，∴，，∴是等邊三角形，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最小值，∴∴，∴此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，則是的直徑，∴此時(shí)，即的最小值為，∴草坪的最大面積為．此題是圓的綜合題，考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些知識(shí)并數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．此題是圓的綜合題，考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些知識(shí)并數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【例2】（2024·陜西咸陽(yáng)·一模）(1).【問題情境】（1）點(diǎn)A是外一點(diǎn)，點(diǎn)P是上一動(dòng)點(diǎn)．若的半徑為2，且，則點(diǎn)P到點(diǎn)A的最長(zhǎng)距離為；(2).【直接運(yùn)用】（2）如圖2，在中，，，以為直徑的半圓交于點(diǎn)D，P是弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，求的最小值；(3).【靈活運(yùn)用】（3）如圖3，的直徑為8，弦，點(diǎn)C為優(yōu)弧上的一動(dòng)點(diǎn)，，交直線于點(diǎn)M，求面積的最大值．【答案】(1)7(2)(3)【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，三角形不等式，勾股定理，垂徑定理，特殊角直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，（1）當(dāng)點(diǎn)O，P，A三點(diǎn)共線，且點(diǎn)A，點(diǎn)P在圓心O的兩側(cè)時(shí)，最大，等于與半徑的和；（2）連接，交半圓于點(diǎn)，連接，根據(jù)，結(jié)合勾股定理計(jì)算即可．（3）連接，，過點(diǎn)O作于點(diǎn)R．點(diǎn)H到的距離為，計(jì)算面積即可．【詳解】（1）解：如圖1，當(dāng)點(diǎn)O，P，A三點(diǎn)共線，點(diǎn)P在點(diǎn)O左側(cè)時(shí)，點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離最長(zhǎng)．∵點(diǎn)P是上一動(dòng)點(diǎn)，的半徑為2，，∴，∴點(diǎn)P到點(diǎn)A的最長(zhǎng)距離為7．（2）如圖2，連接，交半圓于點(diǎn)，連接．∵，為半圓的直徑，∴．∵，∴∵，∴，∴當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，最短，最小值為．（3）如圖3，連接，，過點(diǎn)O作于點(diǎn)R．∵，，∴，，∴，∴，∴．∵，∴．如圖3，作的外接，要使最大，則點(diǎn)M到的距離最大，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H,∵，，∴直線是線段得垂直平分線，則點(diǎn)K一定在直線上，連接，∴．∴．∵，∴是等邊三角形，∴，，∴點(diǎn)H到的距離為，∴，∴面積的最大值為．1．（2024·陜西寶雞·一模）提出問題：（1）如圖1，在中，，，，則BC邊上的高AD的長(zhǎng)為______；問題探究：（2）如圖2，內(nèi)接于，弦，半徑為6，求面積的最大值；問題解決：（3）如圖3，某園區(qū)內(nèi)有一塊直角三角形的空地，在空地邊的中點(diǎn)D處修建了一個(gè)兒童游樂場(chǎng)，為了吸引更多人來(lái)園區(qū)，在空地外E處修建一個(gè)大型商場(chǎng)，且滿足游樂場(chǎng)D到商場(chǎng)E的路線與商場(chǎng)E到點(diǎn)C處的路線垂直（即），連接，在處種植綠植，其中，測(cè)得米，米，請(qǐng)問綠植面積能否取到最大？若能，請(qǐng)求出面積的最大值，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）面積的最大值為；（3）綠植面積能取到最大，面積的最大值為平方米【分析】（1）利用勾股定理算出，再利用等面積法建立等式求解，即可解題；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，由為定值，則要面積的最大，即到的距離最大，當(dāng)?shù)降木嚯x過圓心時(shí)最大，即為，利用垂徑定理得到，利用勾股定理算出，最后利用三角形面積公式求解即可；（3）取中點(diǎn)為圓心，為半徑，畫圓，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，利用勾股定理算出，由為定值，當(dāng)?shù)骄嚯x最大時(shí)，面積的最大，即當(dāng)?shù)骄嚯x過圓心時(shí)，此時(shí)到距離最大，記為，證明，利用相似的性質(zhì)求出，進(jìn)而得到，最后利用三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）解：，，，，，即，解得；故答案為：．（2）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，弦，半徑為6，要面積的最大，即到的距離最大，當(dāng)?shù)降木嚯x過圓心時(shí)最大，即為，，，，，面積的最大值為：；（3）解：綠植面積能取到最大，空地邊的中點(diǎn)為D，米，米，米，，米，為定值，當(dāng)?shù)骄嚯x最大時(shí)，面積的最大，取中點(diǎn)為圓心，為半徑，畫圓，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，游樂場(chǎng)D到商場(chǎng)E的路線與商場(chǎng)E到點(diǎn)C處的路線垂直，E的運(yùn)動(dòng)軌跡為上的弧，當(dāng)?shù)骄嚯x過圓心時(shí)，此時(shí)到距離最大，記為，，，，，米，，解得米，米，面積的最大值為（平方米）．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，等面積法求高，垂徑定理，圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形面積最大值，解題的關(guān)鍵在于利用圓中線段的特點(diǎn)找出面積最大值所在位置．2．（2024·廣東深圳·一模）如圖1，在等腰三角形中，，，點(diǎn)分別在邊上，，連接，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．

(1)觀察猜想：圖中，線段與的數(shù)