解析幾何與方程知識(shí)的融合

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解析幾何的核心思想是坐標(biāo)法，利用曲線與方程之間的關(guān)系，將點(diǎn)的坐標(biāo)理解為曲線對(duì)應(yīng)的方程組的解，通過解方程或通過韋達(dá)定理來轉(zhuǎn)化，這是求解解析幾何問題的通性常法.解析幾何的很多題型，如求點(diǎn)的坐標(biāo)、圓錐曲線的方程、動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程、曲線過定點(diǎn)問題等，都體現(xiàn)了坐標(biāo)法及曲線與方程思想的應(yīng)用，它們也是高考考查的熱點(diǎn)題型.

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在直線與圓錐曲線問題中，通常采用“先設(shè)后求”或“設(shè)而不求”.求點(diǎn)的坐標(biāo)、圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，可建立關(guān)于基本量（如點(diǎn)的坐標(biāo)，橢圓、雙曲線方程中的a，b，拋物線方程中的p）的方程，然后求之.解決曲線過定點(diǎn)問題時(shí)，通?？煽紤]兩種方法：其一，從特殊情況入手求出該點(diǎn)坐標(biāo)，然后證明該點(diǎn)與變量無關(guān)；其二，將該點(diǎn)坐標(biāo)構(gòu)造在某變量（參數(shù)）的方程中，利用方程恒成立，求出該點(diǎn)坐標(biāo).

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■如圖1，已知點(diǎn)F是拋物線C1：x2=4y與橢圓C2：■+■=1（a>b>0）的公共焦點(diǎn)，且橢圓的離心率為■.

（1）求橢圓C2的方程；

（2）過拋物線上一點(diǎn)P作拋物線的切線l，切點(diǎn)P在第一象限，設(shè)切線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，記直線OP，F(xiàn)A，F(xiàn)B的斜率分別為k，k1，k2（其中O為原點(diǎn)），若k1+k2=■k，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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圖1

破解思路對(duì)于第（1）問，建立關(guān)于基本量a，b的方程組，解出a，b即可；對(duì)于第（2）問，欲求P點(diǎn)的坐標(biāo)，可先設(shè)出其坐標(biāo)，然后建立關(guān)于該坐標(biāo)的方程（組），通過解方程（組）即可解決.

經(jīng)典答案（1）由已知可得c=1，e=■=■，所以a=2，b=■，所以C2的方程為■+■=1.

（2）設(shè)Px0，■，A（x1，y1），B（x2，y2）.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，l的斜率為k=■x0，所以l的方程為y=■x-■，代入橢圓C2：■+■=1得（12x■■+64）x2-12x■■x+3x■■-192=0.由判別式Δ>0，得-4

■如圖2，已知橢圓■+y2=1，過A0，-■的直線l與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，問：在坐標(biāo)平面上是否存在定點(diǎn)T（x0，y0），使得以PQ為直徑的圓恒過該點(diǎn)，若存在，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，評(píng)述理由.

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圖2

破解思路本題是解析幾何綜合題中常見的直線過定點(diǎn)的問題，方法如前已述，但解題時(shí)要利用方程恒成立的條件：若關(guān)x的方程anxn+an-1?xn-1+…+a1x+a0=0（n∈N？鄢）對(duì)一切x∈R恒成立？圳an=an-1=…=a1=a0=0.

經(jīng)典答案設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）.假設(shè)存在T（x0，y0），使T點(diǎn)恒在以PQ為直徑的圓上，即■?■=0恒成立.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=kx-■（k∈R），代入橢圓■+y2=1并整理得（2k2+1）x2-■kx-■=0.因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓內(nèi)，故判別式恒正，所以x1+x2=■，x■x■=■.又■=（x1-x0，y1-y0），■=（x2-x0，y2-y0），代入■?■=0，得（1+k2）x1x2+-x0-y0k-■k（x1+x2）+x■■+y■■+■y0+■=0，代入x1+x2，x1x2的值，得2（x■■+y■■-1）?k2+-■x0?k+x■■+y■■+■y0-■=0.由題意，該方程對(duì)一切k的變化恒成立，所以x■■+y■■-1=0，-■x0=0，x■■+y■■+■y0-■=0，解得x0=0，y0=1，即T（0，1）.而當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l依然經(jīng)過（0，1）.所以存在T（0，1）.

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1.設(shè)斜率為■的直線l與橢圓■+■=1（a>b>0）交于不同的兩點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)在x軸上的射影恰好是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率為