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文檔簡介

一、弧微分二、曲率及其計算公式三、曲率圓與曲率半徑§3.7曲率曲線的彎曲線程度與哪些因素有關(guān).怎樣度量曲線的彎曲程度？一、弧微分曲線的基點與正向

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a

b)內(nèi)具有連續(xù)導數(shù)

在曲線y

f(x)上取固定點M0(x0

y0)作為度量弧長的基點

并規(guī)定依x增大的方向作為曲線的正向

s>0s<0有向弧段的值MM0(對曲線上任一點M(x

y)

規(guī)定有向弧段的值s(簡稱弧)如下

s的絕對值等于這弧段的長度

當有向弧段MM0(的方向與曲線的正向一致時s>0

相反時s<0

顯然

弧s是x的單調(diào)增加函數(shù)

s

s(x)

一、弧微分弧微分公式設(shè)x

x

Dx為(a

b)內(nèi)兩個鄰近的點

它們在曲線y

f(x)上的對應(yīng)點為M

N

并設(shè)對應(yīng)于x的增量Dx

弧s的增量為Ds.因為當Dx

0時

Ds~

MN

又Dx與Ds同號

所以由此得弧微分公式:

二、曲率及其計算公式提示：可以用單位弧段上切線轉(zhuǎn)過的角度的大小來表達弧段的平均彎曲程度.觀察與思考：觀察曲線的彎曲線程度與哪些因素有關(guān).怎樣衡量曲線的彎曲程度？平均曲率：曲率：曲率設(shè)曲線C是光滑的

曲線上點M對應(yīng)于弧s

在點M處切線的傾角為a

曲線上另外一點N對應(yīng)于弧s

Ds

在點N處切線的傾角為a

Da

曲率：曲率的計算公式設(shè)曲線C的方程為y

f(x)

且f(x)具有二階導數(shù)

因為tana

y

所以sec2ada

y

dx

曲率的計算公式

例1

計算等邊雙曲線xy

1在點(1,1)處的曲率.曲率的計算公式：曲線在點(1

1)處的曲率為因此y

|x

1

1

y

|x

1

2

解

例2

拋物線y

ax2

bx

c上哪一點處的曲率最大？

解

由y

ax2

bx

c

得y

2ax

b

y

2a

代入曲率公式

得顯然

當2ax

b

0時曲率最大

因此

拋物線在頂點處的曲率最大

此處K

|2a|

曲率的計算公式：討論：3

半徑為R的圓上任一點的曲率是什么？1

直線y=ax+b上任一點的曲率是什么？2.若曲線的參數(shù)方程為x=j(t),

y=y(t)

那么曲率如何計算？提示：1.設(shè)直線方程為y=ax+b,則y

=a,

y

=0.于是K=0.

3.圓的參數(shù)方程為x=Rcost,

y=Rsint

.

2.

三、曲率圓與曲率半徑上述圓叫做曲線在點M處的曲率圓

其圓心叫做曲率中心

其半徑r叫做曲率半徑

曲率與曲率半徑關(guān)系曲率圓與曲率半徑設(shè)曲線在點M處的曲率為K(K

0).

在曲線凹的一側(cè)作一個與曲線相切于M且半徑為r=K-1的圓.曲率圓曲率半徑曲率中心

例3

設(shè)工件表面的截線為拋物線y

0.4x2.現(xiàn)在要用砂輪磨削其內(nèi)表面.問用直徑多大的砂輪才比較合適？

解

砂輪的半徑不應(yīng)大于拋物線頂點處的曲率半徑

拋物線頂點處的曲率半徑為r=K-1

1.25

因此,選用砂輪的半徑不得超過1.25單位長

即直徑不得超過2.50單位長

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