高一數學必修1函數的單調性和奇偶性訓練(題型全)

專題抽象函數的單調性和奇偶性

一、選擇題

1.設/(X)是定義在(-00,”)上的單調遞減函數，且/(X)為奇函數.假設/(1)=-1,那么不等式

2)41的解集為

A.[-1,1]B.[0,4]C.[-2,2]。.[1,3]

2.假設函數/(x)的定義域為(3-2。,。+1),且函數/(x-l)為奇函數，那么實數a的值為()

A.28.4C.6D.8

3./(X)是偶函數，它在[0,+8)上是減函數，假設/(lgr)>/(l),那么x的取值范圍是()

A.儒,1,信,10卜.(0,卦(1,m皿(O,l)u(lO,同

4.函數y=/(x)是R上的偶函數，且在[0,+8)上單調遞增，那么以下各式成立的是()

A./(-2)>/(O)>/(l)B./(l)>/(O)>/(-2)

C./(-2)>/(l)>/(O)D./(1)>/(-2)>/(0)

5.偶函數f(x)在區(qū)間[0,+8)上單調遞減，那么滿足f(2x-l)<f⑸的x的取值范圍是()

A.(-2,3)8.(-8,-2)U(3,+8)C.[-2,3]。.(-8,-3)U(2,+8)

6.f(x),g(x)是定義在R上的函數,〃(x)=/(x)+g(x)假設/(x),g(x)均為奇函數那么

以下說法不正確的選項是()

A.一定是奇函數R不可能是偶函數

C.可以是偶函數D不可能是非奇非偶函數

(3\

7.假設偶函數"X)在(YO,0]上單調遞減，a=/(log23),b=/(log45),c=/2,，那么滿足

\/

()

A.a<h<cB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

8.函數/(x)為定義在[?,1-同上的偶函數，且在[0,1-句上單調遞增,那么⑴的

解集為()

A.[1,2]B.[3,5]C[-1,1]D.

9.【河北省定州市2016-2017學年期末】函數是定義在R上的偶函數，在上有

單調性，且/(-2)</(1),那么以下不等式成立的是()

A./(-l)</(2)</(3)B./(2)</(3)</(-1)

C./(-2)</(O)</^￡>./(5)</(-3)</(-l)

二、填空題

10.函數/(x)是定義在R上的奇函數，在區(qū)間(F,0)上單調遞減，且/⑴=0.假設實數

/\

。滿足了(logs。)2/log9,那么實數。的取值范圍是.

I5>

11.函數/(x)是定義在區(qū)間[0,+8)上的函數，且在該區(qū)間上單調遞增，那么滿足f(2x-l)<f(：)

的x的取值范圍是.

f(X])-f%)

12.定義在[-2,2]上的函數加()滿足曰)+耳7)=0,且-----<0,假設f(l-t)+f(l-t2)<0，那么實

xrx2

數t的取值范圍為

13.定義在區(qū)間[-2,2]上的偶函數g(x),當xNO時g(x)單調遞減，假設g(l-〃。<g(〃。,

那么實數加的取值范圍是.

(、

14.定義在R上的偶函數“X)在(fo,0)上是減函數且"1)=0,那么不等式/log/〉0的

、27

解集為________

15.是定義在R上的偶函數，在[0,+00)上單調增，且.〃2)=1,那么滿足了(》-1)>1

的x的取值范圍是.

16.定義在R上的函數./(x)滿足〃-x)=/(x),且對于任意再，x2G[0,+OO),x產馬，均

有空上皿立>0.假設//_1)=，，2/flog,x|<l,那么x的取值范圍為__________.

大一/V3/2Ii)

三、解答題

17.函數y=是定義在(0,+oo)上的.增函數，對于任意的x>0,y>0,都有

/(取)=/(力+/3,且滿足"2)=1.

⑴求了⑴、"4)的值；

⑵求滿足〃x)+/(x—3)>2的x的取值范圍.

18.定義在/?上的函數y=/(x)對任意的,滿足條件：,f(x+y)=/(x)+/(y)-l,

且當x>0時，/(x)>1.

(1)求”0)的值；

(2)證明：函數“X)是R上的單調增函數；

⑶解關于/的不等式/(2/一)<1.

19.定義在R上的函數y=〃x)對任意的滿足條件:/(x+y)=/(x)+/(y)-l,

且當x〉0時，/(%)>1.

(1)求/(0)的值.；

⑵證明：函數〃尤)是R上的單調增函數；

⑶解關于/的不等式

20.假設/(x)是定義在(0,+8)上的增函數，且對一切x,y>0,滿足=

(i)求/⑴的值；

⑵假設"6)=1,解不等式〃8+3)-/6)<2.

21.“X)是定義在[一1』上的奇函數，且/(1)=1,假設m,ne[-1,1],〃?+〃H0時，有

/(⑹+〃嘰0

m+n

⑴證明1/(%)在[-1』上是增函數;

⑵解不等式匕1

⑶假設〈r-2"+1對任意工€[-15，ae[-1』恒成立，求實數r的取值范圍.

22.函數“X)的定義域為。={x|x*O},.且滿足對任意外,々e。，有

/(%,%)=/(%)+(%)?

(1)求/⑴的值；

(2)判斷/(x)的奇偶性并證明你的結論；

⑶如果"4)=1,/(x-l)<2,且/(力在(0,+oo)上是增函數，求x的取值范圍.

23.設函數y=/(x)是定義在火上的函數，并且滿足下面三個條件：①對任意正數x,y,

都有〃到)=/a)+『(y)；②當X>1時，〃x)<0；③〃3)=—1.

⑴求"1),d")的值；

⑵證明了(力在(0,+00)上是減函數;

⑶如果不等式〃x)+/(2-x)<2成立,求X,的取值范圍.

24.函數/(x)滿足：對任意x,yeR,都有=(x)-.f(y)+2成立，且

x>0時，/(%)>2,

⑴求/⑼的值，并證明,：當尤<0時，l</(x)<2.

(2)判斷了(x)的單調性并加以證明

(3)假設函數g(x)=|/(x)-⑷在(-8,0)上遞減，求實數Z的取值范圍.

25.函數f(x)的定義域為R,假設對于任意的實數x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0時，有f(x)>0.

(1)判斷并證明函數f(x)的奇偶性；

⑵判斷并證明函數f(x)的單調性；

13)設f⑴=1,假設f(x)<m2-2am+l對所有xe[-l3，aJ-1,1]恒成立，求實數m的取值范圍.

26.設/(x)是定義在.R上的奇函數，且對任意以建R,當時，都有

ZH±ZH>0.

a+b

(1)假設a〉。，試比擬/(a)與/伍)的大小關系;

(2)假設/(夕-2?3,)+/(2?9'-左)>0對任意方目0,”)恒成立，求實數攵的取值范圍.

專題7抽象函數的單調性和奇偶性

一、選擇題

1.【湖北省荊門市2016-2017學年期末】設/(x)是定義在(YO,+?)上的單調遞減函數，且/(x)為奇

函數.假設/(I)=-1.那么不等式一1</(%-2)<1的解集為

A.[-1,1]B.[0,4]C.[-2,2]D.[1,3]

【答案】D

【解析】由題意可得=不等式一1W/(X-2)W1可化為又因為

/(%)是定義在(—,一)上的單調遞減函數，所以12%-2之一1,即1WXW3,選D

2.【山東省煙臺市2016-2017學年期末】假設函數“X)的定義域為(3—2a,。+1),且函數/(X—1)為

奇函數，那么實數。的值為(〕

A.2.B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】函數/(力的定義域為(3-2qa+l),且函數為奇函數,則函數〃x)的圖象關于點(L0)

a+1>3-2a

對稱，故有、z1、、，求得a=2,故選兒

3-2a4-(a4-1)=2

3.【內蒙古赤峰市2016-2017學年期末】/(X)是偶函數，它在[0,+8)上是減函數，假設

/(lgr)>/(l),那么x的取值范圍是()

丸,(《，1°卜(°，\卜(1，+8)。-(0,1)510,小)

【答案】B

【解析】試題分析：偶函數/(X)在[0,+00)上是減函數，那么在(7),0]上為增函數，由/(1然)>/(1)

1/J-<x<10

可知一1<10gX<l,得10,應選項8正確.

考點：偶函數的單調性及其運用.

【易錯點睛】解答此題時考生容易錯誤的理解為：偶函數在整個定義域上的單調性是一致的，而列出不

等式logx<］，解得0<x<10,沒有正確的選項可選.偶函數的圖象關于y軸對稱，那么其在原點兩

側對稱區(qū)間的單調性也是不同的，即一側為單調增函數，那么對稱的另一側為單調減函數.只有清楚了

函數的單調性，才能正確的列出不等式，進而?求出正確的解.

4.【海南省東方中學2016-2017學年期中】函數>=/(%)是R上的偶函數，且在［0,+8)上單調遞增，

那么以下各式成立的是()

A./(-2)>/(O)>/(l)B./(l)>/(O)>/(-2)

c./(-2)>/(1)>/(0)D./(1)>/(-2)>/(0)

【答案】A

【解析】因為函數y=/(x)是K上的偶函數，所以/(-2)=/(2),又因為〃力在［0,+8)上單調遞

增，所以〃2)>/(0)>/⑴，故〃-2)"(0)>〃1).

本題選擇/選項.

5.【江西省玉山縣第一中學2016-2017學年期中考】偶函數f(x)在區(qū)間［0,+8)上單調遞減，那么滿足

f(2x-l)<f(5)的x的取值范圍是()

A.(-2,3)8.(-8,-2)U(3,+8)C.［-2,3］。(-8,-3)U(2,+8)

【答案】B

【解析】f(2x-l)<f(5尸f(|2x-l|)<f⑸=|2x-l|>5=>2x-l>5或2x-l<-5,所以x的取值范圍是

(-8,-2)U(3,+8),選8.

點睛：利用函數單調性解函數不等式：首先根據函數的性質把不等式轉化為f(g(x))>f(h(x))的形式，然后

根據函數的單調性去掉“f”，轉化為具體的不等式(組)，此時要注意g(x)Hh(x)的取值應在外層函數的

定義域內

6.【安徽省蚌埠市2015-2016學年期中】〃x),g(x)是定義在R上的函數，〃(x)=/(x)+g(x)假設

〃x),g(x)均為奇函數那么以下說法不正確的選項是()

A.一定是奇函數8不可能是偶函數

C.可以是偶函數D不可能是非奇非偶函數

【答案】B

【解析】選項A中，當/(X)=f3,g(x)=Y時，那么〃(X)=()既是奇函數也是偶函數；選項8中，

兩個奇函數的和不能成為偶函數，顯然成立；那么選項C、。均不正確，應選A

點睛：此題主要考查兩個函數的和的奇偶性判斷，屬于中高檔題型，也是常考知識點.函數的奇偶性的判

斷應從兩個方面來進行，一是看函數的定義域是否關于原點對稱(這是判斷奇偶性的必要性)，二是看

f(x)4/(-X)的關系，對于兩個函數的和或差的奇偶性的判斷，需要對特殊情況進行考慮，如解析中

的兩個函數等.

7.【青海省西寧市2017屆檢測】假設偶函數/(X)在上單調遞

減，a=/(log23),/?=/(log45),c=/22，那么滿足()

V7

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】B

【解析】,??偶函數/U)在(-8,0]上單調遞減，

，就在[0,+00)上單調遞增,

3

2

2>2>log23=log49>log45,

(3\

.-./(log45)</(log23)</22,

\7

/.b<a<c.

此題選擇8選項.

8.【江西省撫州市臨川區(qū)第一中學2017屆檢測】函數“X)為定義在[4,1-句上的偶函數，且在

[0,1—切上單調遞增，那么的解集為()

r13"

A.[1,2]3.[3,5]C.[—1,1]D—,~

【答案】C

【解析】由函數奇偶性的定義可知力+1—8=0=6=一1,所以函數/'(x)在[0,2]單調遞增，那么不

1x1<1

等式可化為｛1,=>TW1,應選答案C。

0<x<2

9.【河北省定州市2016-2017學年期末】函數/(x)是定義在R上的偶函數，在(-oo,()]上有單調性,

且/(—2)</(1),那么以下不等式成立的是()

A./(-1)</(2)</(3)B./(2)</(3)</(-4)

C.”-2)<〃0)<嗎卜/(5)</(-3)</(-1)

【答案】。

【解析】根據函數為偶函數，有/(一2)=/(2)</(1),故函數在［0,+8)上遞減，所以

〃。)>/(￡|>〃1)>/(2)>八3)>〃4)>〃5),應選O.

二、填空題

10.【福建省2016屆高三畢業(yè)班總復習】函數/(x)是定義在R上的奇函數，在區(qū)間(YO,0)上單調遞

/、

減，且/(1)=0.假設實數a滿足〃logs。"/logIa,那么實數a的取值范圍是.

I5)

【答案】(0,g］u［l,5

11.【河南省蘭考縣二中2016-2017學年期末】函數/(x)是定義在區(qū)間［0,+8)上的函數，且在該區(qū)間

1

上單調遞增，那么滿足f(2x-l)<f㈠的x的取值范圍是.

3

12

【答案】［一,-)

23

2XT,1212

【解析】由可得｛,,l=-Sx<-=正確答案為

2xT<g2323

f(Xi)-f%)

12.【江蘇省淮安市2016-2017學年期末】定義在［-2,2］上的函數《)滿足他)+出.)=0,且--------<0,

xrx2

假設f(l-t)+f(l-t2)<0,那么實數t的取值范圍為.

［答案】［-1,1)

【解析】由題意可得，函數f(x)是定義在區(qū)間卜2,2］上的減函數，

不等式即:f(l-t2)<f(t-l),據此有：

-2<1-t<2

{-2<1-t<2

l-t2>t-l,求解關于實數/的不等式可得實數t的取值范圍為［-1,1).

點睛：奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱，反之也成立.利用這一性質可簡化一

些函數圖象的畫法，也可以利用它去判斷函數的奇偶性.

13.【江蘇省南京師范大學附屬中學2016-2017學年】定義在區(qū)間［―2,2］上的偶函數8(力，當了20時

8(司單調遞減,假設8(1-租)<8(〃2)，那么實數用的取值范圍是.

I答案1國)

-2<\-m<2

【解析】不等式等價于：{-24機42,

求解關于實數"?的不等式組可得實數加的取值范圍是-1,上.

點睛.：關于奇偶性、單調性、周期性的綜合性問題，關鍵是利用奇偶性和周期性將未，知區(qū)間上的問題轉

化為區(qū)間上的問題.

14.【河北省巨鹿中學2016-2017學年月考］定義在R上的偶函數/(X)在(-oo,0)上是減函數且

/(1)=0,那么不等式/log,%>0的解集為.

\2>

【答案】{x［0<x<g或x>2}

【解析】由在R上的偶函數/(x)在(—,0)上是減函數且/(1)=0可得：

log1"_1或log：x>1=>0<X<；或x〉2

點睛：根據偶函數可知對稱區(qū)間的單調性相反，那么/'⑴=0,故可將原式化為log/卜或10gl

從而求解即可，要注意奇偶函數性質的分析

5【四川省成都市九校2017屆聯考】/(x)是定義在H上的偶函數，在［0,+8)上單調增，且"2)=1,

那么滿足的x的取值范圍是.

【答案】(-00,-1)=(3,+00)

【解析】根據題意，/(X)是定義在K上的偶函數，且"2)=1,則=

又由函數〃x)在M+oo)上單調增，則有|x-1|>2,解可得x<-l或x>3,即xe(ro,-l)53，+8),

則/(x—l)>1的x的取值范圍是(YO,—1)U(3,+8),

故答案為(T?,T)53，y°)?

16.[2017年天津市十二重點中學高三聯考】定義在R上的函數/(x)滿足/(—x)=/(x),且對于任

意X],G[O,4W),玉H々，均有，(W)—0.假設fI，2flog/<1,那么

X

X一次2k8

的取值范圍為.

【答案】(2,+Q0)

【解析】定義在R上的函數〃尤)滿足/(-x)=/(x),且對于任意斗，x2e[0,+oo),%工工2，均有

~二/(x)在(0,+oo)上遞減，在(-00,0)上遞增,

%1一X1

(\1\

2flog/<-=/!-,因為/(X)是偶函數，所以

3

\87I

\,可得x>2或0<x<，,故答案為(0,；)口(2,+8).

~-logx>』0g2%>l或10g2X<-l

322

三、解答題

17.【吉林省梅河口五中2016-2017學年期末】函數y=/(x)是定義在(0,+8)上的增函數，對于任意

的x>0,y>0,都有/(D)=/(x)+/(y)，且滿足/(2)=1.

(1)求/(1)、/(4)的值;

(2)求滿足+3)〉2的x的取值范圍.

【答案】(1)/(1)=0,/(4)=2；(2)尤>4.

【解析】試題分析：(1)根據條件，只需取x=y=l,便可求出/(I)；取x=y=2,便可求出/(4).(2)

根據條件可以得到：y[^(x-3)]>/(4),根據的條件解這個不等式即可.

試題解析：

(1)取x=y=l,得/(1)=/。)+/(1)，那么/(1)=0

取x=y=2,得〃4)=2(2)+〃2),那么/(4)=2

x(x-3)>4

(2)由題意，/[x(%-3)]>/(4),故｛x>0解得，x>4

x-3>0

點睛：此題屬于對函數單調性應用的考察，假設函數/(x)在區(qū)間上單調遞增，那么

內,￡€￡),且/1(玉)>/(%2)時，有內>々，事實上，假設不<々，那么/(玉)《/(馬)，這與

矛盾，類似地，假設/1(大)在區(qū)間上單調遞減，那么當為,士月/(石)〉/^)時

有玉<X2；據此可以解不等式，由函數值的大小，根據單調性就可以得自變量的大小關系.此題中的易

錯點是容易無視定義域[0,+8).

18.【山東省荷澤一中、單縣一中2016-2017學年期末】定義在H上的函數y=/(x)對任意的

滿足條件：f(x+y)=f(x)+f(y)-l,且當x>0時，/(x)>l.

(1)求/(0)的值；

(2)證明：函數“X)是H上的單調增函數；

(3)解關于/的不等式/(2/一。<1.

【答案】(I)/(0)=1；(H)見解析；(H1)(0,()

【解析】試題分析：(1)因為定義在R上的函數，令令x=y=O,可得/(O)=L(2)抽象函數的單調

性一般用定義證明，

/(七)一/(百)=/(々一3+%)-/(%)=/(々一3)+/&)-1一/(%)=/(±-3)-1，只需判斷

/(馬一百)與1的大小比擬。口)由(1)可知/(0)=1,所以不等式變形為f(2*—f)</(0),又由(2)

知/(x)是R上的單調增函數，所以2產一￡<0。

試題解析：(I)由題意：定義在尺上的函數.y=/(x)對任意的x,yeR,

滿足條件:f(x+y)=f(x)+f(y)-l,

令X=y=0,由/(1+卜)=/(同+/&)_1,解得/(())=］

(III)解：由(I)(II)可知函數“X)是R上的單調增函數，且"0)=1.

不等式/(2產T)<1,即f(2t2-t)<f(O),

,1

故2/一/<0,解得0<，(一.

2

所以不等式的解集為(0,；］.

19.【山東省濰坊壽光市2016-2017學年期末】定義在R上的函數y=對任意的滿足條

件：f(x+y)=f(x)+f(y)-l,且當x>0時，/(x)>l.

(1)求,/■(())的值；

(2)證明：函數“X)是H上的單調增函數；

(3)解關于.的不等式/(2/一0<l.

【答案】(I)/(0)=l.(H)見解析；(HI)(0,；］.

【解析】試題分析：(1)由題意y=f(x)對任意的x,.yWR,關系式成立，采用賦值法，可得/(0)

的值；(2)利用定義證明其單調性.(3)利用單調性及/(0)的值，求解不等式即可.

試題解析：

(I)由題意：定義在R卜一的函數y=/(x)對任意的x,yeR,

滿足條件:f(x+y)=f(x)+f(y)-l,

令x=y=O,m)=〃x)+“y)-l,解得/(O)=L

(II)證明：設與<工2，X),X2GR,那么馬-玉>0，

由題意知,/(々一看)>1,

所以-一為)+/(%)-1一/(%)

=/(x>-xj-］>0,

即“電)>〃x).

所以函數/(x)是/?上的單調增函數.

(III)解：由(I)(H)可知函數f(x)是R上的單調增函數,且/⑼=1,

不等式/(2產T)<1,即

,1

故2/一/<0,解得0<，(一.

2

所以不等式的解集為(0,；].

20.【遼寧五校20.16-2017學年聯考】假設/(%)是定義在(0,田)

/、

上的增函數，且對一切X,y>0,滿足了-=f(x]-f{y].

\yj

(1)求/(1)的值；

(2)假設"6)=1,解不等式〃X+3)-/(￡)<2.

【答案】(1)0；(2)(-3,9)

【解析】試題分析：(1)將變量賦值為1,可求解了⑴的值；⑵利用關系式=

x+3>0

將賦值為6,可得2=/(36),代入不等式化簡，結合單調性可求得x的不等式{》+3，得到

------<6

2

解集

試題解析：⑴在=—中，

令x=y=l,那么有=

/(i)=o.

(2)"6)=1,HI+IMD+AG),

不等式/(x+3)—/(；)<2

等價為不等式/(x+3)—/［；)</(6)+/(6),

.-./(3x+9)-/(6)</(6),

即誓上八6),

/(x)是(0,小)上的增函數,

x+3>Q

{%+3，解得-3cx<9，

----<6

2

即不等式的解集為(一3,9).

考點：1.賦值法求值；2.單調性解不等式

21.【福建省三明市一中2016-2017學年月考】“X)是定義在卜1,1]上的奇函數，且/(1)=1,假設加，

ne[-1,11,〃?+“00時，有/⑻+/(〃)〉o.

m+n

(1)證明/(X)在[一1,1]上是增函數；

(2)解不等式+=)

(3)假設“X)4/一2々+1對任意尤e[—1,1],ae[—1,1]恒成立，求實數f的取值范圍.

【答案】(1)增函數；(2)(3)t=0或「之2或fW—2.

【解析】試題分析：

(1)利用增函數的定義結合函數的解析式進行證明即可；

(2)結合函數的單調性和函數的定義域可得關于x的不等式組，求解不等式組可得不等式的解集為:

⑶由恒成立的結合結合題意可得f=0或此2或Y-2.

試題解析：

(1)設一1"王<%241，那么/(%)—/(%2)=/(%)+/(-次2)，

-1<%)<X2<1/.菁=Xj+(-%2)<0t

又3叫下：)〉0.../⑷+仆.。

xi+(一切

即“不)一/(%2)<0?'?/(%)</(七)

在［一1,1］上是增函數.

(2)?."(%)在［一川上是增函數

-1<X+-<13,1

2——<%<-

22

I3

/.{-1<----<1=>{x<0或xN2=>——<x<-l

x-12

11x<-l或1cx<3

x+—<---2

2x-1

-3、

...原不等式的解集為-巳,-1,

-2？

22.【河南省林州市第一中學2016-2017學年調研】函數/(x)的定義域為。={x|xH0},且滿足對任

意XpX?€D,有?JC2)=/(x)+a).

(1)求/(I)的值；

(2)判斷/(x)的奇偶性并證明你的結論；

(3)如果〃4)=1,f(x-l)<2,且/(x)在(0,+o。)上是增函數，求x的取值范圍.

【答案】(1)/(1)=0；(2〕見解析：(3)(-15,l)u(l,17).

【解析】試題分析：(1)在題中所給函數關系式中取々=1，化簡即可計算出/(1)的值等于0；(2)令

%=々=一1，代入題中等式算出/(-1)=0.再令玉=一1,々=%代入，即可算出〃一力=/(力，根

據函數奇偶性定義可得/(x)在O上為偶函數：(3)令玉=%=4,算出/(16)=2,由函數為偶函數，

將不等式1)<2轉化成/(|x-l|)<2,結合函數的單調性將問題轉化為解不等式0<上一1］<16,

根據絕對值不等式的解法法那么即可得到滿足條件%的取值范圍.

試題解析：(1)對于任意演,we。，有/■(再.電)=/(甬)+(W).,.再=為=1,得/⑴=2/(1),

"⑴=0.

(2)/(x)為偶函數.

證明：令演=巧=—1,有/(1)=/(一1)+/(一1),1)=：/。)=0.

令再=-Lw=x,有/(-x)=/(T)+/(x),

=「./(x)為偶函數.

(3)依題設有〃4x4)=〃4)+/(4)=2,由(2)知，/(%)是偶函數，

.?./(x-l)<2o/(|x-l|)</(16)，又/(x)在(0,”)上是增函數，A0<|x-l|<16,解得

一15<x<17且x0l,的取值范圍是(―15,l)u(l,17).

點睛：此題給出抽象函數，求特殊的函數值、討論函數的奇偶性，并依此解關于x的不等式.著重考查

了函數的單調性、奇偶性和絕對值不等式的解法等知識，屬于中檔題.運用“賦值法”進行求值和化簡，

是解決抽象函數問題的一般方法.

23.【2016-2017學年河北省邢臺市一中月考】設函數y=/(x)是定義在R上的函數，并且滿足下面三

個條件：①對任意正數x,y,都有/(w)=/(x)+/(y)；②當x>l時，/(x)<0；③/⑶=一1.

⑴求”1)，/1j的值；

(2)證明“X)在(0,+o。)上是減函數；

(3)如果不.等式/(x)+/(2-x)<2成立，求x的取值范圍.

【答案】(I)2；(11)見解析；(III)(1一半,1+半).

【解析】試題分析：(1〕利用賺值法，求/(1)、的值.(2)利用單調性的定義，結合抽象函數

之間的數值關系進行證明.(3)利用函數的單調性將不等式進行轉化，解不等式即可.

試題解析：

(I)令x=y=l易得/(1)=0.

而〃9)=〃3)+/(3)=—1—1=—2,

且/(9)+/|})=/(l)=0,得/0=2.

(II)Q<xJxi=>1=>/衛(wèi)<0

\xd1工"

?*-fM=f--x1=f—+fM<fM

1％)y

??./(x)在R+上為減函數.

(III)由條件⑴及(I)的結果得：/[x(2-x)]<噌)，其中0<x<2,

由(II)得：「(2-x)>§,解得％的范圍是0一退,i+2也)

0<x<233

點晴：此題屬于對函數單調性的證明和單調性應用的考察，假設函數/(X)在區(qū)間上單調遞增，那么

且/■(%)>/(%)時，有玉>馬，事實上，假設為，那么./'(%)《/(/)，這與

〃%)>4％2)矛盾，類似地，假設“X)在區(qū)間上一單調遞減，那么當小看€。,且/■(%,)>/(%)時

有玉</；據此可以解不等式，由函數值的大小，根據單調性就可以得自變量的大小關系.

24.【2016-2017學年遼寧省六校協作體】函數/(x)滿足：對任意都有

/(x+y)=/(x)/(y)—/(x)—/(y)+2成立,且x>0時,〃x)>2,

(1)求/(0)的值，并證明：當x<0時，l</(x)<2.

(2)判斷〃x)的單調性并加以證明.

(3)假設函數g(x)=|〃x)-M在(YO,0)上遞減，求實數攵的取值范圍.

【答案】(1)證明過程見解析；(2)函數/1(X)在R上是增函數，證明過程見解析；(3)k>2.

【解析】【試題分析】(1)依據題設運用賦值法求出f(0)的值，借助題設“x>0時f(x)〉2”進行

分析推證；(2)依據題設中的等式，巧妙運用賦值法和函數的單調性定義分析證明；(3)借助(2)中

的函數的單調性結論和題設條件分析探求：

⑴,?，〃x+y)=/(x)/(y)—/(x)-〃y)+2,令x=y=O,

/(0)-3〃0)+2=0,/(O)=2或/⑼=1

假設/(0)=1,那么/(1)=/。+0)=/(1>/(0)-/(1)一/(0)+2=1,

與條件x>0時，，/(x)>2相矛盾，.?./(0)=2

設x<0,那么T>0,那么〃一x)>2

又2="0)=/(X—X)=/(X"(T)-/(X)—/(—X)+2

]

???/(-x)>2,<1,從而l</(x)<2

/(-x)-1

(2)函數〃x)在火上是增函數

設玉那么無2一%〉0，工/(/_王)>2

?.?由(1)可知對xeR,/./(%!)-1>0,,又/(吃一玉)>2

一%){/(芭)一1]>2/(%)一2

即

函數/(x)在H上是增函數

點睛：此題是一道沒有給出函數解析式的抽象函數問題，.解答這類問題的一般方法是依據題設條件及欲

求問題之間的直接的聯系，靈活運用賦值法進行分析探求。解答此題的第一問時，直接依據題設和欲求

的函數值的/(0)之間的關系，令x=y=0進行分析探求，再借助題設條件分析推證出“當x<0時，

1</(力<2.”成立；解答第二問時，那么借助函數的單調性定義巧妙地變形：

/(/)=〃然-%+%)="/-%)/(%)-/(芍一大)一/(須)+2="*2-％)[/(百)-1]一/(項)+2

,然后再借助(1)的結論“當x<0時，1</(X)<2”使得問題獲證；第三問那么借助題設與第二問

的結論，進行分析推證從而使得問題獲解。

25.[2016-2017學年湖北省黃岡市黃岡中學】函數f(x)的定義域為R,假設對于任意的實數x,y,都有

f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0時,有f(x)>0.

(1)判斷并證明函數f(x)的奇偶性；

(2)判斷并證明函數f(x)的單調性；

(3)設f⑴=1,假設f(x)<m2-2am+l對所有ae［-1,1］恒成立，求實數m的取值范圍.

【答案】m奇函數，(2)單調遞增函數，(3)m>2或m<-2.

【解析】

試題分析：

(1)令x=y=O,可得f(0)=0；再令y=-x,可得f(0)=f(x)+f(-x)=0,可得f(x)是奇函數；⑵由題設

條件對任意Xi、X2