八年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)期中測(cè)試卷（解析版）

2022-2023學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)期中測(cè)試卷（測(cè)試范圍：第十六章---第十八章）（考試時(shí)間120分鐘滿分120分）選擇題（共10題，每小題3分，共30分）1．（2022秋?雁塔區(qū)校級(jí)期中）若直角三角形的三邊長(zhǎng)為5，12，m，則m2的值為（）A．13 B．119 C．169 D．119或169【分析】由于直角三角形的斜邊不能確定，故應(yīng)分m為直角邊與斜邊兩種情況進(jìn)行討論．【解答】解：當(dāng)m為直角邊時(shí)，m2＝122﹣52＝119；當(dāng)m為斜邊時(shí)，m2＝52+122＝169．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵．2．如圖，在平行四邊形ABCD中，DE平分∠ADC，∠DEC＝30°，則∠A的度數(shù)為（）A．100° B．120° C．150° D．105°【分析】根據(jù)角平分線的定義以及兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠CDE＝∠CED，然后根據(jù)補(bǔ)角性質(zhì)可得答案．【解答】解：∵DE平分∠ADC，∴∠ADC＝2∠ADE，∵?ABCD中，AD∥BC，AB∥DC，∴∠ADE＝∠CED＝30°，∠A+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝2×30°＝60°，∴∠A＝180°﹣∠ADC＝120°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，準(zhǔn)確識(shí)圖并熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋?石景山區(qū)期末）在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝213，則底邊上的高為（）A．12 B．23 C．32 D【分析】過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BD＝CD=12BC=【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∴BD＝CD=1在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD=AB2即底邊上的高為23，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．4．（2022春?交城縣期中）用“?”表示一種新運(yùn)算：對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a?b=a2+b，例如10?21=1A．13 B．7 C．4 D．5【分析】直接利用新定義，進(jìn)而代入計(jì)算得出答案．【解答】解：原式=13?=(=16＝4．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的運(yùn)算，正確運(yùn)用新定義是解題關(guān)鍵．5．（2022秋?新華區(qū)校級(jí)期末）滿足下列條件時(shí)，△ABC不是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A＝2∠B＝2∠C C．AB=34，BC＝3，AC＝5 D．∠A＝20°，∠B＝70【分析】根據(jù)勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形；三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行分析即可．【解答】解：A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5，則∠C＝180°×512B．∵∠A＝2∠B＝2∠C，∴∠B＝∠C＝180°×14∴∠A＝90°，∴是直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意；C．∵32+∴是直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意；D．∵∠A＝20°，∠B＝70°，∴∠C＝90°，∴是直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理逆定理，以及三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是正確掌握如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．6．（2022?旌陽(yáng)區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)?ABCD是矩形時(shí)，∠ABC＝90° B．當(dāng)?ABCD是菱形時(shí)，AC⊥BD C．當(dāng)?ABCD是正方形時(shí)，AC＝BD D．當(dāng)?ABCD是菱形時(shí)，AB＝AC【分析】矩形的四個(gè)角都是90°，菱形的對(duì)角線互相垂直，正方形的對(duì)角線相等，菱形的四條邊相等．【解答】解：因?yàn)榫匦蔚乃膫€(gè)角是直角，故A正確，因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直，故B正確，因?yàn)檎叫蔚膶?duì)角線相等，故C正確，菱形的對(duì)角線和邊長(zhǎng)不一定相等，例如：∠ABC＝80°，因?yàn)锳B＝BC，所以∠BAC＝∠ACB＝50°，此時(shí)AC＞AB，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形、菱形、正方形的性質(zhì)，熟練掌握它們的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋?滄州期末）如圖①，某超市為了吸引顧客，在超市門(mén)口離地高4.5m的墻上，裝有一個(gè)由傳感器控制的門(mén)鈴A，人只要移至該門(mén)口4m及4m以?xún)?nèi)時(shí)，門(mén)鈴就會(huì)自動(dòng)發(fā)出語(yǔ)音“歡迎光臨”．如圖②，一個(gè)身高1.5m的學(xué)生剛走到D處，門(mén)鈴恰好自動(dòng)響起，則該生頭頂C到門(mén)鈴A的距離為（）A．7m B．6m C．5m D．4m【分析】根據(jù)題意構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理即可解答．【解答】解：由題意可知：BE＝CD＝1.5m，AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3m，CE＝4m，由勾股定理得AC=AE2故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．8．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊CD上的一個(gè)點(diǎn)，將△ADE沿AE折疊至△AD′E處，AD′與CE交于點(diǎn)F，若∠B＝50°，∠DAE＝20°，則∠FED′＝（）度．A．40 B．35 C．30 D．50【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得∠B＝∠D＝50°，再由三角形的外角性質(zhì)得∠AEC＝∠D+∠DAE＝70°，則∠AED＝110°，然后由折疊的性質(zhì)得∠AED＝∠AED′＝110°，即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B＝∠D＝50°，∵∠DAE＝20°，∴∠AEC＝∠D+∠DAE＝50°+20°＝70°，∴∠AED＝180°﹣70°＝110°，∵將△ADE沿AE折疊至△AD′E處，∴∠AED＝∠AED′＝110°，∴∠FED′＝∠AED′﹣∠AEC＝110°﹣70°＝40°，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握翻折變換得性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，求出∠AEC的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．9．（2021春?嵐山區(qū)期末）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，其面積標(biāo)記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形CDE，以該等腰直角三角形的一條直角邊DE為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2按照此規(guī)律繼續(xù)作圖，則S2021的值為（）A．122018 B．122019 C．1【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理以及三角形的面積公式可得出部分S1、S2、S3、S4的值，再由面積的變化即可找出變化規(guī)律“Sn＝4×（12）n﹣1【解答】解：∵△CDE是等腰直角三角形，∴DE＝CE，∠CED＝90°，∴CD2＝DE2+CE2＝2DE2，∴DE=22即等腰直角三角形的直角邊為斜邊的22∴S1＝22＝4＝4×（12）0S2＝（2×22）2＝2＝4×（12S3＝（2×22）2＝1＝4×（1S4＝（1×22）2=12=4…，∴Sn＝4×（12）n﹣1∴S2021＝4×（12）2020＝（12）2018故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形面積的計(jì)算、規(guī)律型等知識(shí)，根據(jù)面積的變化找出變化規(guī)律“Sn＝4×（12）n﹣110．（2023?青島模擬）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，將△DCE沿DE折疊得到△DEF，點(diǎn)F落在EG邊上，連接CF．現(xiàn)有如下5個(gè)結(jié)論：①AG+EC＝GE；②BF⊥CF；③S△BEF=365；④GB＝2AG．在以上A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【分析】根據(jù)HL證明兩三角形Rt△ADG≌Rt△FDG即可判斷①；根據(jù)折疊的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得∠EFC+∠EFB＝90°，得∠BFC＝90°，所以BF⊥CF，即可判斷②；根據(jù)折疊的性質(zhì)和線段中點(diǎn)的定義可得CE＝EF＝BE＝3，設(shè)AG＝x，表示出GF、BG，根據(jù)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)求出BE、EF，從而得到GE的長(zhǎng)度，再利用勾股定理列出方程求解即可判斷④；先求△BEG的面積，根據(jù)△BEF和△BEG等高，可知S△BEFS△BEG=EFEG=35，【解答】解：由折疊得：△DCE≌△DFE，∴DF＝DC，∠DFE＝∠DCE，EC＝EF，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠DCE＝90°，∴∠A＝∠DFG＝90°，AD＝DF，∵DG＝DG，∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），∴AG＝FG，∴AG+EC＝FG+EF＝GE，故①正確；∵點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，∴BE＝CE，∴BE＝EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC，∠EBF＝∠EFB，∵∠ECF+∠EFC+∠EBF+∠EFB＝180°，∴∠EFC+∠EFB＝90°，∴∠BFC＝90°，∴BF⊥CF，故②正確；設(shè)AG＝x，則BG＝6﹣x，由Rt△ADG≌Rt△FDG得：AG＝FG，∵點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)，∴EF＝CE＝BE＝3，在Rt△BEG中，根據(jù)勾股定理得：BG2+BE2＝EG2，（6﹣x）2+32＝（x+3）2，解得：x＝2，AG＝2，∴BG＝4，∴GB＝2AG，故④正確，∵S△BEG=12BE?BG=12×3∵△BEF和△BEG等高，∴S△BEF∴S△BEF=35×6=故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，翻折變換的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．填空題（共8小題，每小題3分，共24分）11．（2022秋?保定月考）已知y=x-8+8-x+18，則代數(shù)式x-【分析】直接利用二次根式有意義的條件得出x，y的值，進(jìn)而代入得出答案．【解答】解：∵x-8與8-x有意義，∴x＝8，∴y＝18，故x＝22-3=-2故答案為：-2【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式有意義的條件、二次根式的化簡(jiǎn)求值，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．12．（2022秋?南京期末）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在數(shù)軸上，且點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣1，若以點(diǎn)A為圓心，對(duì)角線AC的長(zhǎng)為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M表示的實(shí)數(shù)為．【分析】先利用勾股定理求出AC，根據(jù)AC＝AM，求出OM，由此即可解決問(wèn)題．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵AB＝3，AD＝BC＝1，∴AC=A∵AM＝AC=10，OA＝1∴OM＝AM﹣OA=10-∴點(diǎn)M表示點(diǎn)數(shù)為10-1故答案為：10-1【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用勾股定理求出AC、AM的長(zhǎng)．13．（2022春?阜平縣期末）已知a=7+2，b=7-2，則a2+b2的值為【分析】先分別根據(jù)二次根式的加法法則和二次根式的乘法法則求出a+b和ab的值，再根據(jù)完全平方公式進(jìn)行變形，最后代入求出答案即可．【解答】解：∵a=7+2，b=∴a+b=7+2+7-2ab＝（7+2）×（7-2）＝7﹣4＝∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（27）2﹣2×3＝28﹣6＝22，故答案為：22．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值和完全平方公式，能正確根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．14．（2022秋?寧陽(yáng)縣期末）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BC，垂足為E，AB＝3，AO＝2，BC＝5，則AE的長(zhǎng)為．【分析】首先由勾股定理的逆定理判定△BAC是直角三角形，再利用三角形的面積公式即可求出AE的長(zhǎng)度．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AO＝2，∴AC＝2AO＝4∵AB＝3，BC＝5，∴AB2+AC2＝AB2，∴∠BAC＝90°，∵S△BAC=12×AB×AC=1∴12×4×3=12∴AE=12故答案為：125【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理和平行四邊形的性質(zhì)，能得出△BAC是直角三角形是解此題的關(guān)鍵．15．（2022秋?金東區(qū)期末）已知1＜x＜2，則(x-2)2+|x﹣1|＝【分析】根據(jù)二次根式以及絕對(duì)值的性質(zhì)，化簡(jiǎn)即可．【解答】解：∵1＜x＜2，∴x﹣1＞0，x﹣2＜0，∴(x-2)2+|＝|x﹣2|+|x﹣1|＝2﹣x+x﹣1＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)．16．（2022秋?玄武區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，CD是△ABC的中線，E是CD的中點(diǎn)，連接AE，BE，若AE⊥BE，垂足為E，則BC的長(zhǎng)為．【分析】根據(jù)垂直定義可得∠AEB＝90°，從而在Rt△ABE中，利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得ED＝AD=12AB＝2，再在Rt△ADC中，利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得AE＝DE＝2，從而可得△ADE是等邊三角形，然后利用等邊三角形的性質(zhì)可得∠ADE＝60°，從而利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得∠ACD＝30°，再在Rt△ADC中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得AC＝23，最后在Rt△【解答】解：∵AE⊥BE，∴∠AEB＝90°，∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，AB＝4，∴ED=12AB＝2，AD=12∵∠DAC＝90°，E是CD的中點(diǎn)，∴AE＝DE＝2，∴AD＝DE＝AE＝2，∴△ADE是等邊三角形，∴∠ADE＝60°，∴∠ACD＝90°﹣∠ADC＝30°，∴AC=3AD＝23∴BC=AB2故答案為：27．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，勾股定理，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋?蒲江縣校級(jí)期中）如圖所示的正方形圖案是用4個(gè)全等的直角三角形拼成的．已知正方形ABCD的面積為25，正方形EFGH的面積為1，若用x、y分別表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列三個(gè)結(jié)論：①x2+y2＝25；②x﹣y＝1；③xy＝12；④x+y＝40．其中正確的是．（填序號(hào)）【分析】分別求出小正方形及大正方形的邊長(zhǎng)，然后根據(jù)面積關(guān)系得出x與y的關(guān)系式，依次判斷所給關(guān)系式即可．【解答】解：由題意可得小正方形的邊長(zhǎng)＝1，大正方形的邊長(zhǎng)＝5，∴x2+y2＝斜邊2＝大正方形的面積＝25，故①正確；∵小正方形的邊長(zhǎng)為1，∴x﹣y＝1，故②正確；∵小正方形的面積+四個(gè)直角三角形的面積等于大正方形的面積，∴1+2xy＝25，∴xy＝12，故③正確；∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝25+24＝49，x，y＞0，∴x+y＝7，故④不正確．綜上可得①②③正確．故答案為：①②③．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明，掌握正方形的性質(zhì)及直角三角形的知識(shí)，根據(jù)所給圖形，利用面積關(guān)系判斷x與y的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．18．（2023?南寧一模）如圖，已知∠MON＝90°，線段AB長(zhǎng)為6，AB兩端分別在OM、ON上滑動(dòng)，以AB為邊作正方形ABCD，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)P，連接OC．則OC的最大值為．【分析】取AB的中點(diǎn)E，連接OE、CE，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可求得OE＝BE=12AB，再根據(jù)勾股定理求得CE=BE2+CB2=35，即可根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得OC【解答】解：取AB的中點(diǎn)E，連接OE、CE，∵∠AOB＝90°，線段AB長(zhǎng)為6，∴OE＝BE=12AB＝∵四邊形ABCD是正方形，∴∠CBE＝90°，CB＝AB＝6，∴CE=BE2∵OC≤OE+CE，∴OC≤3+35，∴OC的最大值為3+35，故答案為：3+35【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．解答題（本大題共8小題，滿分共66分）19．（每小題4分，共8分）（2022春?五峰縣期中）計(jì)算：（1）（212-613+348）÷3【分析】（1）把括號(hào)內(nèi)二次根式化簡(jiǎn)合并，再根據(jù)除法法則計(jì)算；（2）先算乘法，再算加減即可．【解答】解：（1）原式=(4=143＝14；（2）原式=30=302=272【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．整式的乘法的運(yùn)算公式及運(yùn)算法則對(duì)二次根式的運(yùn)算同樣適應(yīng)．20．（6分）（2023?北碚區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）化簡(jiǎn)求值：已知a=13-1，b=【分析】利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)a，b，利用分式的混合運(yùn)算的法則化簡(jiǎn)式子，最后將a，b的值代入運(yùn)算即可．【解答】解：a=3+1(3原式＝（a+b(a+b)(a-b)-=a+b-b=1=1=1=3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，分母有理化，分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分母有理化的法則與分式的混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．21．（8分）（2022春?西峰區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF．（1）求證：AF＝DC；（2）若AB＝AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠AFE＝∠DBE，根據(jù)AAS證明△AFE≌△DBE，推出AF＝BD，即可得出答案；（2）證得四邊形ABDF是平行四邊形，得到AB＝DF，進(jìn)而證得AC＝DF，再證得四邊形ADCF是平行四邊形，即可得到四邊形ADCF是矩形．【解答】（1）證明：∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE．在△AFE和△DBE中，∠AFE=∠DBE∠FEA=∠BED∴△AFE≌△DBE（AAS），∴AF＝DB．∵AD是BC邊上的中線，∴DC＝DB，∴AF＝DC；（2）解：四邊形ADCF是矩形．證明：連接DF，由（1）得AF＝DB，AF∥DB，∴四邊形ABDF是平行四邊形，∴AB＝DF，∵AB＝AC，∴AC＝DF，由（1）得AF＝DC，AF∥DC，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∴四邊形ADCF是矩形．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形，平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的判定，證得△AFE≌△DBE是解題的關(guān)鍵．22．（7分）（2022春?合川區(qū)校級(jí)期中）筆直的河流一側(cè)有一營(yíng)地C，河邊有兩個(gè)漂流點(diǎn)A，B、其中AB＝AC，由于周邊施工，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，為方便游客，在河邊新建一個(gè)漂流點(diǎn)H（A，H，B在同一直線上），并新修一條路CH，測(cè)得BC＝10千米，CH＝8千米，BH＝6千米．（1）判斷△BCH的形狀，并說(shuō)明理由；（2）求原路線AC的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可；（2）根據(jù)勾股定理解答即可．【解答】解：（1）△BCH是直角三角形，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2＝82+62＝100，BC2＝100，∴CH2+BH2＝BC2，∴△HBC是直角三角形且∠CHB＝90°；（2）設(shè)AC＝AB＝x千米，則AH＝AB﹣BH＝（x﹣6）千米，在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣6，CH＝8，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2，∴x2＝（x﹣6）2+82解這個(gè)方程，得x＝813答：原來(lái)的路線AC的長(zhǎng)為813【點(diǎn)評(píng)】此題考查勾股定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理和定理．23．（8分）（2022春?鄖陽(yáng)區(qū)期中）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O，分別過(guò)點(diǎn)C、作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于點(diǎn)E（1）求證：四邊形ODEC是矩形；（2）當(dāng)∠ADB＝60°，AD＝10時(shí)，求CE和AE的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形ODEC是平行四邊形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出∠DOC＝90°，根據(jù)矩形的判定得出即可；（2）求出OD，根據(jù)勾股定理求出AO，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出AC，根據(jù)勾股定理求出即可．【解答】（1）證明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四邊形ODEC是平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠DOC＝90°，∴平行四邊形ODEC是矩形；（2）解：∵在Rt△AOD中，∠ADO＝60°，∴∠OAD＝30°，∵AD＝10OD=12AD＝∴AO=AD2-∵四邊形ABCD是菱形，∴AC＝2AO＝103，∵四邊形ODEC是矩形，∠ACE＝90°，CE＝OD＝5，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE=A【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．24．（8分）（2021秋?門(mén)頭溝區(qū)期末）已知，如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，過(guò)D作DE∥AC交AB于E．（1）求證：AE＝DE；（2）如果AC＝3，AD=23，求AE【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義解答即可；（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于F，根據(jù)勾股定理和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可．【解答】（1）證明：∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD．∴∠EAD＝∠ADE．∴AE＝DE；（2）解：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于F．∵∠C＝90°，AC＝3，AD=23在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+DC2＝AD2．∴DC=3∵AD平分∠BAC，∴DF＝DC=3又∵AD＝AD，∠C＝∠AFD＝90°，∴Rt△DAC≌Rt△DAF（HL）．∴AF＝AC＝3，∴Rt△DEF中，由勾股定理得EF2+DF2＝DE2．設(shè)AE＝x，則DE＝x，EF＝3﹣x，∴(3-x)∴x＝2．∴AE＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，根據(jù)勾股定理和全等三角形的判定和性質(zhì)解答是解題關(guān)鍵．25．（9分）（2022春?澄海區(qū)期末）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，分別以AB、AD為腰作等腰三角形△ABF和等腰三角形△ADE，且頂角∠BAF＝∠DAE，連結(jié)BD、EF相交于點(diǎn)G，BD與AF相交于點(diǎn)H．（1）求證：BD＝EF；（2）若∠GHF＝∠BFG，求證：四邊形ABCD是菱形；（3）在（2）的條件下，當(dāng)∠BAF＝∠DAE＝90°時(shí)，連結(jié)BE，若BF＝4，求△BEF的面積．【分析】（1）證明∠BAD＝∠FAE，根據(jù)全等三角形的判定推出△BAD≌△FAE，即可得出答案；（2）求出∠ABD＝∠GBF，證明AB＝AD，即可證出四邊形ABCD是菱形；（3）延長(zhǎng)EA交BC于M，得EM⊥AD，求出EM＝AE+AM＝22+2【解答】（1）證明：∵∠BAF＝∠DAE，∴∠BAF+∠FAD＝∠DAE+∠FAD，即∠BAD＝∠FAE，∵AB＝AF，AD＝AE，∴△BAD≌△FAE（SAS），∴BD＝EF．（2）∵∠GHF＝∠BFG，∴∠GFH＝∠GBF，由（1）可知∠GFH＝∠ABD，∴∠ABD＝∠GBF，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠GBF，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形；（3）延長(zhǎng)EA交BC于M，∵∠DAE＝90°．∴EM⊥AD，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴EM⊥BF，∵AB＝AF，BF＝4，∴BM＝FM＝2，∵∠BAF＝9