2024屆山西省大同高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題含解析

2024屆山西省大同一中等高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知函數(shù)/（x）=lnx—2依，g（x）=也^-2x,若方程/（x）=g（x）恰有三個(gè)不相等的實(shí)根，則”的取值范圍

Inx

為（）

C.(e,+oo)

x-y+4>0,

2.若x,y滿足約束條件卜―2V0,且z=ta+y的最大值為2。+6,則“的取值范圍是（）

x+y-2>0,

A.[-1,+co)B.(-oo,-l]C.（-l,+oo）D.（t,T）

%|=根在區(qū)間［0,2乃）上有兩個(gè)根看，x,且上一到2

3.已知關(guān)于x的方程由sinx+sin2兀，則實(shí)數(shù)〃z的取

值范圍是（）

B.[1,2)C.[0,1)D.[0,1]

4

4.已知命題“m=1”是“直線了—沖=o和直線x+/孫=?；ハ啻怪薄钡某湟獥l件；命題q：函數(shù)y（x）=x+—的

最小值為4.給出下列命題：①②P^q，,③pA（［q）；④（「p）A（［4）,其中真命題的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

5.平行四邊形A5CZ）中，已知AB=4,AD=3,點(diǎn)、E、尸分別滿足二患=2淺，DF=FC，且A/.郎=—6,

則向量AO在A5上的投影為()

33

A.2B.—2C.—D.-----

22

6.若點(diǎn)（2,k）到直線5x-12y+6=0的距離是4,則k的值是（）

_5_17

A.1B.-3C.1或一D.-3或一

33

7.若函數(shù)=（x2-mx+2）ex（e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在區(qū)間［1,2］上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值

范圍是（）

510

A.25T

8.已知x=0是函數(shù)/（%）=%（依-tanx）的極大值點(diǎn)，則。的取值范圍是

A.(-oo,-l)B.(-oo,l]

C.[0,+oo)D.[1,+<?)

22

9.已知耳,月分別為雙曲線4=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是其一條漸近線上一點(diǎn)，且以耳心為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)

ab

P,若APKK的面積為逋/，則雙曲線的離心率為（）

3

A.73B.2C.75D.3

10,將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案種數(shù)是（）

A.18種B.36種C.54種D.72種

11.已知函數(shù)/（同=（111?%-1乂丁+辦一4）,若尤>0時(shí)，7（x）2。恒成立，則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.2eB.4eC./D./

&-2y］4-e

12.（x+y）（2x—y）5的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）

A.-30B.-40C.40D.50

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知實(shí)數(shù)x,y滿足卜則x+y的取值范圍是___.

j>0,

14.在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為。、b、c,已知〃2一。2=2人，且sinAcosC=3cosAsinC,則

b-.

22

15.已知雙曲線^-2=1（?！?力〉0）的左右焦點(diǎn)分別為耳,心，過(guò)月的直線與雙曲線左支交于A,3兩點(diǎn)，

ZAF2B=90,AAR8的內(nèi)切圓的圓心的縱坐標(biāo)為且“，則雙曲線的離心率為.

一一2

16.袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球

顏色不同的概率為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）在三棱柱ABC—dgG中，四邊形是菱形，AB=4,NABg=60。，31G=3,BCLAB,

點(diǎn)M、N分別是43、AG的中點(diǎn)，且MNLA4.

（1）求證：平面5CG4，平面A4A4；

（2）求四棱錐A-5CG用的體積.

X=1+COS（P

18.（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為,.,（。為參數(shù)）.在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸

y=|sin倒

的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線/的極坐標(biāo)方程為夕sin-看］=3.

（1）求曲線C的普通方程及直線/的直角坐標(biāo)方程；

（2）求曲線C上的點(diǎn)到直線/的距離的最大值與最小值.

19.（12分）已知函數(shù)/（x）=a'-elog“x-e,其中a>l,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）當(dāng)a=e時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；

（2）設(shè)函數(shù)/（處的導(dǎo)函數(shù)為了'（X）,求證：函數(shù)/'（X）有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

20.（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABC。是菱形，對(duì)角線AC,交于點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，

MA=MC.求證：

P

A8

(1)P3//平面AMC；

(2)平面P皮)_L平面AMC.

21.(12分)健身館某項(xiàng)目收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為每次60元，現(xiàn)推出會(huì)員優(yōu)惠活動(dòng)：具體收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:

消費(fèi)次數(shù)第1次第2次第3次不少于4次

收費(fèi)比例0.950.900.850.80

現(xiàn)隨機(jī)抽取了100為會(huì)員統(tǒng)計(jì)它們的消費(fèi)次數(shù)，得到數(shù)據(jù)如下:

消費(fèi)次數(shù)1次2次3次不少于4次

頻數(shù)6025105

假設(shè)該項(xiàng)目的成本為每次30元，根據(jù)給出的數(shù)據(jù)回答下列問(wèn)題：

(1)估計(jì)1位會(huì)員至少消費(fèi)兩次的概率

(2)某會(huì)員消費(fèi)4次，求這4次消費(fèi)獲得的平均利潤(rùn)；

(3)假設(shè)每個(gè)會(huì)員每星期最多消費(fèi)4次，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件的概率，從會(huì)員中隨機(jī)抽取兩位，記從這兩

位會(huì)員的消費(fèi)獲得的平均利潤(rùn)之差的絕對(duì)值為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)

22.(10分)已知4(-2,0),5(2,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足直線K4與直線PB的斜率之積為-工，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

ITFI

(2)若過(guò)點(diǎn)F(1,0)的直線/與曲線。交于以，N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P且與直線I垂直的直線與x=4相交于點(diǎn)T,求情京

的最小值及此時(shí)直線/的方程.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

由題意可將方程轉(zhuǎn)化為電直-2a=9-2,令/(%)=皿，xe(0,1)進(jìn)而將方程轉(zhuǎn)化為

xInxx

[《X)+2][r(x)-2?]=o,即(x)=—2或《X)=2a,再利用，(x)的單調(diào)性與最值即可得到結(jié)論.

【詳解】

由題意知方程f(x)=g(X)在(0,1)1(1,+a))上恰有三個(gè)不相等的實(shí)根,

4/7Y2

即In九一2ax=------2%,①.

Inx

Inx4/7Y

因?yàn)椋?gt;0,①式兩邊同除以X,得-----2a=-----2.

xInx

InV4/7Y

所以方程--2，一產(chǎn)+2=0有三個(gè)不等的正實(shí)根.

xInx

記t(x)=(,XG(0,l)(1,+8),則上述方程轉(zhuǎn)化為《X)—2a一志+2=0.

即［口⑺+一2a］=0,所以(％)二-2或(%)=2a.

因?yàn)?尤)=上坐，當(dāng)為?0,1)(l,e)時(shí),f(x)>0,所以/(%)在(0,1),(l,e)上單調(diào)遞增,且xf0時(shí)，

《X)--00.

當(dāng)時(shí)，t(x)<0,/在(e,+8)上單調(diào)遞減，且％時(shí)，0.

所以當(dāng)x=e時(shí)，］力取最大值L當(dāng)/(%)=—2,有一根.

e

所以r(x)=2。恰有兩個(gè)不相等的實(shí)根，所以0<。<’.

2e

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)與方程的關(guān)系，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.

2、A

【解析】

畫(huà)出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的最值，判斷”的范圍即可.

【詳解】

作出約束條件表示的可行域,如圖所示.因?yàn)閦=依+y的最大值為2a+6,所以z=ax+y在點(diǎn)A(2,6)處取得最大值,

則一aW1,即a2-1.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用Z的幾何意義，通過(guò)數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.

3、C

【解析】

7T

先利用三角恒等變換將題中的方程化簡(jiǎn)，構(gòu)造新的函數(shù)y=2sin(x+-),將方程的解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)

6

題，畫(huà)出函數(shù)圖象，再結(jié)合忖-可之乃，解得相的取值范圍.

【詳解】

由題化簡(jiǎn)得Gsinx+cosx=%，機(jī)=2sin(x+J),

6

7T

作出y=2sin(x+：)的圖象，

又由卜一百之乃易知OW/n<l.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角恒等變換，方程的根的問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法，求得范圍.屬于中檔題.

4、A

【解析】

先由兩直線垂直的條件判斷出命題p的真假，由基本不等式判斷命題g的真假，從而得出的非命題的真假，繼而

判斷復(fù)合命題的真假，可得出選項(xiàng).

【詳解】

已知對(duì)于命題0,由1x1-=0得加=±1,所以命題0為假命題；

4

關(guān)于命題4,函數(shù)/"(x)=x+—,

x

4I~44

當(dāng)尤>0時(shí)，f(x)=x+->2.x--=4,當(dāng)％=—即龍=2時(shí)，取等號(hào)，

X\XX

4

當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)/'(x)=x+—沒(méi)有最小值，

X

所以命題q為假命題.

所以1°和/是真命題,

所以2八4為假命題，Pvq為假命題，p人的為假命題，9人為為真命題，所以真命題的個(gè)數(shù)為1個(gè).

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線的垂直的判定和基本不等式的應(yīng)用，以及復(fù)合命題的真假的判斷，注意運(yùn)用基本不等式時(shí)，滿足所需的

條件，屬于基礎(chǔ)題.

5、C

【解析】

ADAB

將BE用向量AD和A3表示，代入AP=-6可求出=6，再利用投影公式卜網(wǎng)可得答案.

【詳解】

解：AFBE=(^AD+DF)-

=ADAB+AD-AD--ABAB+-AB-AD

3223

4一2,1,

=-ADAB+-x32——x42=6,

332

得AD-AB=6>

ADAB63

則向量AD在A3上的投影為誨「=7=5.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的幾何意義，考查向量的線性運(yùn)算，將用向量AD和A3表示是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

6、D

【解析】

|2x5-12^+6|

【詳解】

12x5-12^+6117

由題得6+(—.=4，解方程即得k=3或y.

故答案為：D

【點(diǎn)睛】

(1)本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和計(jì)算推理能力.(2)點(diǎn)P(%,%)到直線

/:"+5y+C=0的距離d=|A?+8%+C］.

22

VA+JB

7、B

【解析】

求得了⑴的導(dǎo)函數(shù)/1(X)，由此構(gòu)造函數(shù)g(x)=x2+(2-m)x+2-m,根據(jù)題意可知g(x)在(1,2)上有變號(hào)零點(diǎn).

由此令g(x)=O,利用分離常數(shù)法結(jié)合換元法，求得加的取值范圍.

【詳解】

=+(2-m)x+2-m^|,

設(shè)g(x)=f+(2-m)x+2-m,

要使/(x)在區(qū)間［1,2］上不是單調(diào)函數(shù)，

即g(x)在(L2)上有變號(hào)零點(diǎn)，令g(j)=。,

則x2+2x+2=m(x+l),

令/=x+l?2,3),則問(wèn)題即〃z=t在fe(2,3)上有零點(diǎn)，由于f+工在(2,3)上遞增，所以機(jī)的取值范圍是

盟.’‘

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查方程零點(diǎn)問(wèn)題的求解策略，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于

中檔題.

8、B

【解析】

方法——：令g(x)=?x-tanx,貝!|/(無(wú))=x,g(無(wú)),g'(x)=a-----,

cosX

當(dāng)九￡(—?,?)時(shí)，g*(x)<0,g(%)單調(diào)遞減，

7T

xe(—,,0)時(shí)，g(x)>g(O)=O,/(x)=x-g(x)<0,且尸(x)=xg<x)+g(x)>0,

7T

.,./V)>0,即/(X)在(-5,0)上單調(diào)遞增，

7F

xw(0,5)時(shí)，g(x)<g(O)=O,f(x)=x-g(x)<0,且尸(尤)=xg'(x)+g(x)<o,

無(wú))<0,即/?(?在(0T,T9上單調(diào)遞減，.?.x=()是函數(shù)/(尤)的極大值點(diǎn)，aW1滿足題意；

JT1

當(dāng)a>l時(shí),存在fe(0,5)使得3/=而，即g⑺=0,

1TT

又g'(x)=a-一)在(0,—)上單調(diào)遞減，...xe(01)時(shí)，g(x)>g(0)=0,所以=x-g(x)>0,

cosx2

這與x=0是函數(shù)/(%)的極大值點(diǎn)矛盾.

綜上，a<l.故選B.

方法二：依據(jù)極值的定義，要使％=0是函數(shù)/(x)的極大值點(diǎn)，須在x=0的左側(cè)附近，/(%)<0,即"-tanx>0；

在x=0的右側(cè)附近，/(X)<0,即w—tan無(wú)<0.易知，。=1時(shí)，,="與y=tanx相切于原點(diǎn)，所以根據(jù)丁=狽

與丁=1皿龍的圖象關(guān)系，可得故選B.

9、B

【解析】

根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)P(%,%)在第一象限，求出此坐標(biāo)，再利用三角形的面積即可得到結(jié)論.

【詳解】

由題意，設(shè)點(diǎn)「(不，%)在第一象限，雙曲線的一條漸近線方程為y=

b

所以，%=一%，

a

又以耳心為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸，貝|QH=C，即芯+需=。2,解得％=a,%=b,

所以‘5"耳&=3,2°?%=0電=^^〃,即c=Z^lb，即02=g卜2一口2),

所以，雙曲線的離心率為e=2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查雙曲線的離心率，解決本題的關(guān)鍵在于求出。與。的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

10、B

【解析】

把4名大學(xué)生按人數(shù)分成3組，為1人、1人、2人，再把這三組分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)即得.

【詳解】

把4名大學(xué)生按人數(shù)分成3組，為1人、1人、2人，再把這三組分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，

則不同的分配方案有盤(pán)禺=36種.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查排列組合，屬于基礎(chǔ)題.

H、D

【解析】

通過(guò)分析函數(shù)y=lnox-l(x＞0)與y=/+依一4(%＞。)的圖象，得到兩函數(shù)必須有相同的零點(diǎn)乙解方程組

inat-1=0

人…=0即得解?

因?yàn)橛龋?時(shí)，恒成立,

于是兩函數(shù)必須有相同的零點(diǎn)f,

Inat-1=0

所以《

/+at—4—0

解得。=-^攝

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)的圖象的綜合應(yīng)用和函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查不等式的恒成立問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解

掌握水平.

12、C

【解析】

先寫(xiě)出(2x-y)5的通項(xiàng)公式，再根據(jù)dy3的產(chǎn)生過(guò)程，即可求得.

【詳解】

對(duì)二項(xiàng)式(2x-y)5，

其通項(xiàng)公式為「I=C；(2無(wú)廣(-0=C；25f(-1)；產(chǎn)了

(x+y)(2x-y)5的展開(kāi)式中x3y3的系數(shù)

是(2x-丁丫展開(kāi)式中好＞3的系數(shù)與/丁的系數(shù)之和.

令廠=3,可得好；/的系數(shù)為《22(—1)3=TO；

令廠=2,可得」y2的系數(shù)為或23(-1)2=80；

故(x+y)(2x-y)5的展開(kāi)式中三寸的系數(shù)為80—40=40.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式中某一項(xiàng)系數(shù)的求解，關(guān)鍵是對(duì)通項(xiàng)公式的熟練使用，屬基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、

【解析】

根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，即可由直線的平移方法求得了+y的取值范圍.

【詳解】

由題意，畫(huà)出約束條件表示的平面區(qū)域如下圖所示，

^z=x+y9貝!jy=—x+2

如圖所示，圖中直線所示的兩個(gè)位置為y=-x+z的臨界位置,

根據(jù)幾何關(guān)系可得y=-%+z與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為(0,-1),(0,吟,

所以％+y的取值范圍為［-1,行］.

故答案為：［-1,72］

【點(diǎn)睛】

本題考查了非線性約束條件下線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用，由數(shù)形結(jié)合法求線性目標(biāo)函數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.

14、4

【解析】

,:sinAcosC=3cosAsinC

根據(jù)正弦定理與余弦定理可得：ax~-=3x——xc,即2c2=2a2-b2

2ab2bc

Va2-c2=2b

，b2=4b

??”刈

/.Z?=4

故答案為4

15、2

【解析】

由題意畫(huà)出圖形，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為M(x,y),圓M分別切月,A3于S,T,Q,可得四邊形S8力0為正方形,

再由圓的切線的性質(zhì)結(jié)臺(tái)雙曲線的定義，求得AAgB的內(nèi)切圓的圓心的縱坐標(biāo)，結(jié)合已知列式，即可求得雙曲線的離

心率.

【詳解】

設(shè)內(nèi)切圓的圓心為M(x,y),圓M分別切瑪,A3于S,T,Q,連接MS,MT,MQ,

貝！)|取1=圾5|,故四邊形阻力0為正方形，邊長(zhǎng)為圓M的半徑，

由IASRAQI,15Tl=儂|,n\AF2\-\AQ\=\SF2\=\TF2\=\BF2\-\BQ\,

二。與片重合,

.-.|S^|=|A^|-|A^|=2a,:.\MF\=2a,即(x—cp+V=4/__?

IATE,I=2y/2a,(x+c)2+y2=8tz2-----②

Mh4

聯(lián)立①②解得：x=-—,y2=4a2-^,

cc

又因圓心的縱坐標(biāo)為YZQ,

2

7/2/c

-----=4?！?=>e=—=2.

4ca

故答案為：2

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

5

16、-

6

【解析】

試題分析：根據(jù)題意，記白球?yàn)锳,紅球?yàn)锽,黃球?yàn)镚，02,則

一次取出2只球，基本事件為AB、AG、AC2,BQ、BC?、CO?共6種，

其中2只球的顏色不同的是AB、AG、AC2,BCI、BO?共5種;

所以所求的概率是尸=:.

6

考點(diǎn)：古典概型概率

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)證明見(jiàn)解析；(2)8G.

【解析】

(1)要證面面垂直需要先證明線面垂直，即證明出平面4片氏4即可；

(2)求出點(diǎn)A到平面BCG用的距離，然后根據(jù)棱錐的體積公式即可求出四棱錐A-3CG片的體積.

【詳解】

(1)連接4。，由ACqa是平行四邊形及N是AG的中點(diǎn)，

得N也是A。的中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)M是的中點(diǎn)，版以MNIIBC,

因?yàn)樗訠CLAB],

又AB\AB{=A,所以3CL平面4用24,

又BCu平面BCCiB],所以平面BCC[B]±平面A.B.BA.

(2)過(guò)A作A。B〔B交B1B于點(diǎn)O,

因?yàn)槠矫鍮CC&1±平面\B.BA,平面BCQBi平面\B.BA=BXB,

所以49,平面BCCdi，

由\BXBA是菱形及/ABB】=60。，得AABB1為三角形，則AO=2JL

由3CL平面4用氏4,得g5,從而側(cè)面3CG用為矩形，

所以匕-BCG與=^><OAxBCxB1B=^x2y/3x3x4=8y/3.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了面面垂直的證明，求四棱錐的體積，屬于一般題.

18、(1)C:(x-l)2+y2=L(y>0),I:x-sf3y+6=Q(2)最大值g,最小值1

【解析】

x=l+cos(p,,

(1)由曲線。的參數(shù)方程產(chǎn)血詞,得c<W=I，,=而同兩式平方相加求解，根據(jù)直線,的極坐標(biāo)方程

psin18—(_61

=3,展開(kāi)有夕sin，5-—QCOS65=3，再根據(jù)y=〃sin6,x=QCOS。求解.

(2)因?yàn)榍€C是一個(gè)半圓，利用數(shù)形結(jié)合，圓心到直線的距離減半徑即為最小值，最大值點(diǎn)由圖可知.

【詳解】

x=l+cos(p

(1)因?yàn)榍€C的參數(shù)方程為

y=|sin同

所以cos夕==同11同

兩式平方相加得：(x-1)2+y2=L(y>0)

因?yàn)橹本€I的極坐標(biāo)方程為夕sin［，十=3.

所以psind^--pcosd-^=3

所以印刊=3

即％-6y+6=0

(2)如圖所示：

圓心C到直線的距離為：d'=二二=2

2

所以圓上的點(diǎn)到直線的最小值為：d^^d'-r^l

則點(diǎn)M(2,0)到直線的距離為最大值：dmm=-~=\

【點(diǎn)睛】

本題主要考查參數(shù)方程，普通方程及極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化和直線與圓的位置關(guān)系，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解

的能力，屬于中檔題.

19、見(jiàn)解析

【解析】

(1)當(dāng)a=e時(shí)，函數(shù)/(x)=e*—elnx—e,其定義域?yàn)?0,+8),

則尸(x)=e'—￡=丑=，設(shè)/z(x)=xe-e,x>Q,

XX

易知函數(shù)以X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且以1)=0,

所以當(dāng)0<%<1時(shí)，h(x)<0,即尸(x)<0；當(dāng)X>1時(shí),/i(x)>0,即尸(x)>0,

所以函數(shù)/(尤)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(l,y)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/\尤)在％=1處取得極小值，為/⑴=0,無(wú)極大值.

(2)由題可得函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?0,+8),/(無(wú))=/lna-一。初'二…,

xinaxina

設(shè)g(x)=M'ln2a-e,。>1,顯然函數(shù)g(九)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

2

當(dāng)〃〉e時(shí)，g(0)=-e<0,g(X)=a\na-e>09

所以函數(shù)g(x)在(0,1)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)/’(%)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

%

當(dāng)c?=e時(shí)，g(x)=xe-e,g(l)=0,

所以函數(shù)g(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)l<a<e時(shí)，/>1,g(—)=a1"2°-e,因?yàn)镮n.i”"=1nq=」一>1,所以〃扃>e，g(11)>0,

In-a6In2aIn2aInaa>ehra

Xg(l)=aln2a-e<0,所以函數(shù)g(x)在(1,記匕)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，

所以函數(shù)/'(X)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

綜上，函數(shù)/‘(X)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

20、(1)詳見(jiàn)解析；(2)詳見(jiàn)解析.

【解析】

(1)連結(jié)OM.根據(jù)中位線的性質(zhì)證明P5//OM即可.

(2)證明4。，3￡),4(?，叨再證明人。，平面依￡)即可.

【詳解】

解：(1)證明：連結(jié)OM,

O是菱形ABC。對(duì)角線AC、的交點(diǎn)，

,。為的中點(diǎn)，

加是棱PD的中點(diǎn)，

OMu平面AMC,PB<z平面AMC,

.?.尸3//平面，。，

(2)解：在菱形A5C。中,AC_L3D,且。為AC的中點(diǎn),

MA^MC,

：.AC±OM,

OMcBD^O,

..4。，平面必。，

ACu平面AMC,

???平面PBD，平面AMC.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了線面平行與垂直的判定,屬于基礎(chǔ)題.

2249

21、(1)-(2)22.5(3)見(jiàn)解析，——

5200

【解析】

(1)根據(jù)頻數(shù)計(jì)算頻率，得出概率;

(2)根據(jù)優(yōu)惠標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算平均利潤(rùn);

(3)求出各種情況對(duì)應(yīng)的X的值和概率，得出分布列，從而計(jì)算出數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

25+10+52

解：(1)估計(jì)1位會(huì)員至少消費(fèi)兩次的概率p=

1005

(2)第1次消費(fèi)利潤(rùn)60x0.95—30=27；

第2次消費(fèi)利潤(rùn)60x0.90—30=24；

第3次消費(fèi)利潤(rùn)60x0.85—30=21；

第4次消費(fèi)利潤(rùn)60x0.80—30=18；

27+24+21+18”「

這4次消費(fèi)獲得的平均利潤(rùn):---------------------=22.5

4

327+2427+24+21?

(3)1次消費(fèi)利潤(rùn)是27,概率是w；2次消費(fèi)利潤(rùn)是=25.5,概率是3次消費(fèi)利潤(rùn)是---------------=24,

23

1

概率是4次消費(fèi)利潤(rùn)是22.5,概率是

20

39

由題意：X=0,巳,3,3

22

87

P(X=0)=-x-+-x-+—X—+—x

5544101020200

3=2(3,+。+—)=

ax討

544101020

311129

p(X=3)=2(-x—+-x—)=^

510420200

9313

P(X=_)=2x_x——二—

252050

故分布列為:

29

X03

22

879293

P