專題07數(shù)列(新高考地區(qū)專用)-2021屆高三《新題速遞·數(shù)學(xué)》11月刊(適用于高考復(fù)習(xí))(解析版)

專題03常用邏輯用語姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)1．（2020·安徽月考）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，則（）A．62 B．63 C．64 D．65【答案】D【解析】由，，可知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列.所以，，所以.故選：D2．（2020·安徽月考）等差數(shù)列的公差為，當(dāng)首項(xiàng)與變化時(shí)，是一個(gè)定值，則下各項(xiàng)中一定為定值的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，，而定值，所以一定為定?故選：B．3．（2020·安徽月考）若，，，成等差數(shù)列，，，，，也成等差數(shù)列，其中，則（）A． B． C． D．3【答案】B【解析】因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中，，所以，，即.故選：B．4．（2020·渝中·重慶巴蜀中學(xué)月考）設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)的和為，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】，，，故，因?yàn)樵诘缺葦?shù)列中，，故,故“”是“”的充要條件.故選：C．5．（2020·江西二模（理））在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則，將某些整數(shù)染成紅色．先染1；再染3個(gè)偶數(shù)2，4，6；再染6后面最鄰近的5個(gè)連續(xù)奇數(shù)7，9，11，13，15；再染15后面最鄰近的7個(gè)連續(xù)偶數(shù)16，18，20，22，24，26，28；再染此后最鄰近的9個(gè)連續(xù)奇數(shù)29，31，…，45；按此規(guī)則一直染下去，得到一紅色子數(shù)列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，則在這個(gè)紅色子數(shù)列中，由1開始的第2019個(gè)數(shù)是（）A．3972 B．3974 C．3991 D．3993【答案】D【解析】第1此染色的數(shù)為1=1，共染色1個(gè)，第2次染色的最后一個(gè)數(shù)為6=2，共染色3個(gè)，第3次染色的最后一個(gè)數(shù)為15=3，共染色5個(gè)，第4次染色的最后一個(gè)數(shù)為28=4，共染色7個(gè)，第5次染色的最后一個(gè)數(shù)為45=5，共染色9個(gè)，…∴第n次染色的最后一個(gè)數(shù)為n，共染色2n-1個(gè)，經(jīng)過n次染色后被染色的數(shù)共有1+3+5+…+（2n-1）=n2個(gè)，而2019，∴第2019個(gè)數(shù)是在第45次染色時(shí)被染色的，第45次染色的最后一個(gè)數(shù)為45，且相鄰兩個(gè)數(shù)相差2，∴2019＝45＝3993．故選D．6．（2020·甘肅城關(guān)·蘭州一中月考（文））《周髀算經(jīng)》是我國古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，其書中記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣晷長損益相同（晷是按照日影測定時(shí)刻的儀器，晷長即為所測影子的長度），夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降是連續(xù)的九個(gè)節(jié)氣，其晷長依次成等差數(shù)列，經(jīng)記錄測算，這九個(gè)節(jié)氣的所有晷長之和為49.5尺，夏至、大暑、處暑三個(gè)節(jié)氣晷長之和為10.5尺，則立秋的晷長為（）A．1.5尺 B．2.5尺 C．3.5尺 D．4.5尺【答案】D【解析】∵夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降是連續(xù)的九個(gè)節(jié)氣，其晷長依次成等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公差為d，根據(jù)題意，∴立秋的晷長為.故選：D7．（2020·天津?yàn)I海新·高三其他）《九章算術(shù)》中有如下問題：今有蒲生一日，長四尺，莞生一日，長一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.意思是：今有蒲第一天長高四尺，莞第一天長高一尺，以后蒲每天長高前一天的一半，莞每天長高前一天的兩倍.請問第幾天，莞的長度是蒲的長度的4倍（）A．4天 B．5天 C．6天 D．7天【答案】B【解析】由題意，蒲第一天長高四尺，以后蒲每天長高前一天的一半，所以蒲生長構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，又由莞第一天長高一尺，每天長高前一天的兩倍，則莞生長構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，又因?yàn)?，即，解?故選：B.8．（2020·河北正定中學(xué)高三月考）已知衡量病毒傳播能力的最重要指標(biāo)叫做傳播指數(shù)．它指的是，在自然情況下（沒有外力介入，同時(shí)所有人都沒有免疫力），一個(gè)感染到某種傳染病的人，會(huì)把疾病傳染給多少人的平均數(shù)它的簡單計(jì)算公式是：確診病例增長率×系列間隔，其中系列間隔是指在一個(gè)傳播鏈中，兩例連續(xù)病例的間隔時(shí)間（單位：天）．根據(jù)統(tǒng)計(jì)，確診病例的平均增長率為40%，兩例連續(xù)病例的間隔時(shí)間的平均數(shù)5天，根據(jù)以上數(shù)據(jù)計(jì)算，若甲得這種傳染病，則6輪傳播后由甲引起的得病的總?cè)藬?shù)約為（）A．243 B．248 C．363 D．1092【答案】D【解析】記第1輪感染人數(shù)為，第2輪感染人數(shù)為，…，第輪感染人數(shù)為，則數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，由題意，即，所以，總?cè)藬?shù)為人.故選：D．二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得0分)9．（2020·福建省福州第一中學(xué)開學(xué)考試）設(shè)數(shù)列滿足，對任意的恒成立，則下列說法正確的是（）A． B．是遞增數(shù)列C． D．【答案】ABD【解析】由，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，即在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，即，即，所以，即，所以，，故A正確；C不正確；由在上為單調(diào)遞增函數(shù)，，所以是遞增數(shù)列，故B正確；,所以因此，故D正確，故選：ABD10．（2020·福建省福州第一中學(xué)開學(xué)考試）設(shè)是無窮數(shù)列，，，則下面給出的四個(gè)判斷中，正確的有（）A．若是等差數(shù)列，則是等差數(shù)列B．若是等差數(shù)列，則是等差數(shù)列C．若是等比數(shù)列，則是等比數(shù)列D．若是等差數(shù)列，則都是等差數(shù)列【答案】AD【解析】對于A，若是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，則，所以是等差數(shù)列，故A正確；對于B，若是等差數(shù)列，設(shè)公差為，，即數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，故B不正確，D正確.對于C，若是等比數(shù)列，設(shè)公比為，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，故不是等比數(shù)列，故C不正確；故選：AD11．（2020·江蘇徐州·高三月考）黃金螺旋線又名等角螺線，是自然界最美的鬼斧神工．在一個(gè)黃金矩形（寬長比約等于0.618）里先以寬為邊長做正方形，然后在剩下小的矩形里以其寬為邊長做正方形，如此循環(huán)下去，再在每個(gè)正方形里畫出一段四分之一圓弧，最后順次連接，就可得到一條“黃金螺旋線”．達(dá)·芬奇的《蒙娜麗莎》，希臘雅典衛(wèi)城的帕特農(nóng)神廟等都符合這個(gè)曲線．現(xiàn)將每一段黃金螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形半徑設(shè)為an(n∈N*)，數(shù)列{an}滿足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3)．再將扇形面積設(shè)為bn(n∈N*)，則（）A．4(b2020－b2019)＝πa2018·a2021 B．a(chǎn)1＋a2＋a3＋…＋a2019＝a2021－1C．a(chǎn)12＋a22＋a32…＋(a2020)2＝2a2019·a2021 D．a(chǎn)2019·a2021－(a2020)2＋a2018·a2020－(a2019)2＝0【答案】ABD【解析】由題意得bn＝an2，則4(b2020－b2019)＝4(a20202－a20192)＝π(a2020＋a2019)(a2020－a2019)＝πa2018·a2021，則選項(xiàng)A正確；又?jǐn)?shù)列{an}滿足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3)，所以an－2＝an－an－1(n≥3)，a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋…＋(a2021－a2020)＝a2021－a2＝a2021－1，則選項(xiàng)B正確；數(shù)列{an}滿足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3)，即an－1＝an－2－an，兩邊同乘an－1，可得an－12＝an－1an－2－an－1an，則a12＋a22＋a32…＋(a2020)2＝a12＋(a2a1－a2a3)＋(a3a2－a3a4)＋…＋(a2020a2019－a2020a2021)＝a12－a2020a2021＝1－a2020a2021，則選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由題意an－1＝an－an－2，則a2019·a2021－(a2020)2＋a2018·a2020－(a2019)2＝a2019·(a2021－a2019)＋a2020·(a2018－a2020)＝a2019·a2020＋a2020·(－a2019)＝0，則選項(xiàng)D正確；故選：ABD.12．（2020·湖北荊州中學(xué)高二月考）將個(gè)數(shù)排成行列的一個(gè)數(shù)陣，如圖：該數(shù)陣第一列的個(gè)數(shù)從上到下構(gòu)成以為公差的等差數(shù)列，每一行的個(gè)數(shù)從左到右構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列（其中）.已知，，記這個(gè)數(shù)的和為.下列結(jié)論正確的有（）……A． B． C． D．【答案】ACD【解析】對于，，，，又，，正確；對于，，，錯(cuò)誤；對于，，，正確；對于，第行個(gè)數(shù)的和，，正確.故選：.三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．（2020·江西零模（理））已知數(shù)列中，，且，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則__________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，即，，所以.故答案為：14．（2020·安徽月考）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：（），則數(shù)列中最大項(xiàng)等于______.【答案】【解析】因?yàn)?，得時(shí)，，兩式相減得:，即：，令，又∵，∴數(shù)列是首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，則，所以，，，所以，故數(shù)列中且最大，故答案為:.15．（2020·四川成都·月考（理））已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，若命題“，”為真，則實(shí)數(shù)的最大值為______.【答案】24【解析】由是等比數(shù)列，，則，，由對恒成立，則恒成立，令，則，由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，則,故答案為：2416．（2020·貴州遵義·其他（理））已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前32項(xiàng)之和為__________.【答案】528【解析】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，兩式相減得，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，兩式相加得，所以.故答案為：528四、解答題(本大題共6小題，共70分)17．（2020·河北秦皇島·期末）已知數(shù)列中，，其前項(xiàng)和記為，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題意得，，兩式相減得，又∵，，∴，∴是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，∴.（2）由（1）可知?jiǎng)t所以，；18．（2020·安徽月考）已知數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）請判斷是否存在正整數(shù)，，（），使得，，，成等差數(shù)列？若存在，求出，，的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）不存在，答案見解析.【解析】（1）由題意有，，可得數(shù)列為公比為3的等比數(shù)列又由，所以，可得故數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）作差得得，得（3）由正整數(shù)，，滿足，得，可得，必有故不存在正整數(shù)，，（），使得，，成等差數(shù)列.19．（2020·湖北宜昌·月考）設(shè)，正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，___________．請?jiān)冖?，，成等比?shù)列；②，，成等差數(shù)列；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面題干中，并解答下面問題．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，記數(shù)列前n項(xiàng)和為，求．【答案】（1）答案不唯一，見解析；（2）.【解析】選①，（1）由得：，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．由，，成等比數(shù)列可得，即，解得．∴．選②，（1）由，得，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．由，，成等差數(shù)列，得，解得，∴．選③，（1）同理，由，得，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，由得，解得，∴．（2）由（1）得，，數(shù)列前n項(xiàng)和為，故為所求．20．（2020·廣西其他（理））已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前2020項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題知，，，，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，即.因?yàn)?，?shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為4，所以通項(xiàng)公式為.（2），，，.21．（2020·北京二模）已知有限數(shù)列{an}，從數(shù)列{an}中選取第i1項(xiàng)、第i2項(xiàng)、……、第im項(xiàng)（i1＜i2＜…＜im），順次排列構(gòu)成數(shù)列{ak}，其中bk＝ak，1≤k≤m，則稱新數(shù)列{bk}為{an}的長度為m的子列．規(guī)定：數(shù)列{an}的任意一項(xiàng)都是{an}的長度為1的子列．若數(shù)列{an}的每一子列的所有項(xiàng)的和都不相同，則稱數(shù)列{an}為完全數(shù)列．設(shè)數(shù)列{an}滿足an＝n，1≤n≤25，n∈N*．（Ⅰ）判斷下面數(shù)列{an}的兩個(gè)子列是否為完全數(shù)列，并說明由；數(shù)列（1）：3，5，7，9，11；數(shù)列（2）：2，4，8，16．（Ⅱ）數(shù)列{an}的子列{ak}長度為m，且{bk}為完全數(shù)列，證明：m的最大值為6；（Ⅲ）數(shù)列{an}的子列{ak}長度m＝5，且{bk}為完全數(shù)列，求的最大值．【答案】（Ⅰ）數(shù)列（1）不是{an}的完全數(shù)列；數(shù)列（2）是{an}的完全數(shù)列；理由見解析（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）數(shù)列（1）不是{an}的完全數(shù)列；數(shù)列（2）是{an}的完全數(shù)列．理由如下：數(shù)列（1）：3，5，7，9，11中，因?yàn)?+9＝5+7＝12，所以數(shù)列（1）不是{an}的完全數(shù)列；數(shù)列（2）：2，4，8，16中，所有項(xiàng)的和都不相等，數(shù)列（2）是{an}的完全數(shù)列．（Ⅱ）