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[區(qū)級聯(lián)考]上海市青浦區(qū)2023-2024學(xué)年十校聯(lián)考最后數(shù)學(xué)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題(每小題只有一個正確答案,每小題3分,滿分30分)1.為了解某小區(qū)小孩暑期的學(xué)習(xí)情況,王老師隨機調(diào)查了該小區(qū)8個小孩某天的學(xué)習(xí)時間,結(jié)果如下(單位:小時):1.5,1.5,3,4,2,5,2.5,4.5,關(guān)于這組數(shù)據(jù),下列結(jié)論錯誤的是()A.極差是3.5 B.眾數(shù)是1.5 C.中位數(shù)是3 D.平均數(shù)是32.如圖,在⊙O中,弦BC=1,點A是圓上一點,且∠BAC=30°,則的長是()A.π B. C. D.3.的化簡結(jié)果為A.3 B. C. D.94.若二次函數(shù)y=-x2+bx+c與x軸有兩個交點(m,0),(m-6,0),該函數(shù)圖像向下平移n個單位長度時與x軸有且只有一個交點,則n的值是()A.3 B.6 C.9 D.365.比較4,,的大小,正確的是()A.4<< B.4<<C.<4< D.<<46.某種圓形合金板材的成本y(元)與它的面積(cm2)成正比,設(shè)半徑為xcm,當(dāng)x=3時,y=18,那么當(dāng)半徑為6cm時,成本為()A.18元 B.36元 C.54元 D.72元7.在解方程-1=時,兩邊同時乘6,去分母后,正確的是()A.3x-1-6=2(3x+1) B.(x-1)-1=2(x+1)C.3(x-1)-1=2(3x+1) D.3(x-1)-6=2(3x+1)8.下列四個幾何體中,主視圖與左視圖相同的幾何體有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個9.如圖,在△ABC中,AB=AC,AD和CE是高,∠ACE=45°,點F是AC的中點,AD與FE,CE分別交于點G、H,∠BCE=∠CAD,有下列結(jié)論:①圖中存在兩個等腰直角三角形;②△AHE≌△CBE;③BC?AD=AE2;④S△ABC=4S△ADF.其中正確的個數(shù)有()A.1 B.2 C.3 D.410.如圖,由兩個相同的正方體和一個圓錐體組成一個立體圖形,其俯視圖是A. B. C. D.二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11.已知點A,B的坐標(biāo)分別為(﹣2,3)、(1,﹣2),將線段AB平移,得到線段A′B′,其中點A與點A′對應(yīng),點B與點B′對應(yīng),若點A′的坐標(biāo)為(2,﹣3),則點B′的坐標(biāo)為________.12.已知,大正方形的邊長為4厘米,小正方形的邊長為2厘米,起始狀態(tài)如圖所示,大正方形固定不動,把小正方形向右平移,當(dāng)兩個正方形重疊部分的面積為2平方厘米時,小正方形平移的距離為_____厘米.13.若,,則的值為________.14.已知,,,是成比例的線段,其中,,,則_______.15.已知一次函數(shù)y=ax+b,且2a+b=1,則該一次函數(shù)圖象必經(jīng)過點_____.16.已知點M(1,2)在反比例函數(shù)y=k17.如圖,在△ABC中,DE∥BC,,則=_____.三、解答題(共7小題,滿分69分)18.(10分)解分式方程:.19.(5分)問題探究(1)如圖①,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,如果BC邊上存在點P,使△APD為等腰三角形,那么請畫出滿足條件的一個等腰三角形△APD,并求出此時BP的長;(2)如圖②,在△ABC中,∠ABC=60°,BC=12,AD是BC邊上的高,E、F分別為邊AB、AC的中點,當(dāng)AD=6時,BC邊上存在一點Q,使∠EQF=90°,求此時BQ的長;問題解決(3)有一山莊,它的平面圖為如圖③的五邊形ABCDE,山莊保衛(wèi)人員想在線段CD上選一點M安裝監(jiān)控裝置,用來監(jiān)視邊AB,現(xiàn)只要使∠AMB大約為60°,就可以讓監(jiān)控裝置的效果達(dá)到最佳,已知∠A=∠E=∠D=90°,AB=270m,AE=400m,ED=285m,CD=340m,問在線段CD上是否存在點M,使∠AMB=60°?若存在,請求出符合條件的DM的長,若不存在,請說明理由.20.(8分)如圖①,在正方形ABCD中,△AEF的頂點E,F(xiàn)分別在BC,CD邊上,高AG與正方形的邊長相等,求∠EAF的度數(shù).如圖②,在Rt△ABD中,∠BAD=90°,AB=AD,點M,N是BD邊上的任意兩點,且∠MAN=45°,將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADH位置,連接NH,試判斷MN2,ND2,DH2之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.在圖①中,若EG=4,GF=6,求正方形ABCD的邊長.21.(10分)如圖,某游樂園有一個滑梯高度AB,高度AC為3米,傾斜角度為58°.為了改善滑梯AB的安全性能,把傾斜角由58°減至30°,調(diào)整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米?(精確到0.1米)(參考數(shù)據(jù):sin58°=0.85,cos58°=0.53,tan58°=1.60)22.(10分)如圖1,在正方形ABCD中,E是邊BC的中點,F(xiàn)是CD上一點,已知∠AEF=90°.(1)求證:;(2)平行四邊形ABCD中,E是邊BC上一點,F(xiàn)是邊CD上一點,∠AFE=∠ADC,∠AEF=90°.①如圖2,若∠AFE=45°,求的值;②如圖3,若AB=BC,EC=3CF,直接寫出cos∠AFE的值.23.(12分)如圖,AB是⊙O的直徑,BE是弦,點D是弦BE上一點,連接OD并延長交⊙O于點C,連接BC,過點D作FD⊥OC交⊙O的切線EF于點F.(1)求證:∠CBE=∠F;(2)若⊙O的半徑是2,點D是OC中點,∠CBE=15°,求線段EF的長.24.(14分)已知:如圖,∠ABC,射線BC上一點D,求作:等腰△PBD,使線段BD為等腰△PBD的底邊,點P在∠ABC內(nèi)部,且點P到∠ABC兩邊的距離相等.
參考答案一、選擇題(每小題只有一個正確答案,每小題3分,滿分30分)1、C【解析】
由極差、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的定義對四個選項一一判斷即可.【詳解】A.極差為5﹣1.5=3.5,此選項正確;B.1.5個數(shù)最多,為2個,眾數(shù)是1.5,此選項正確;C.將式子由小到大排列為:1.5,1.5,2,2.5,3,4,4.5,5,中位數(shù)為×(2.5+3)=2.75,此選項錯誤;D.平均數(shù)為:×(1.5+1.5+2+2.5+3+4+4.5+5)=3,此選項正確.故選C.【點睛】本題主要考查平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、極差的概念,其中在求中位數(shù)的時候一定要將給出的數(shù)據(jù)按從大到小或者從小到大的順序排列起來再進(jìn)行求解.2、B【解析】
連接OB,OC.首先證明△OBC是等邊三角形,再利用弧長公式計算即可.【詳解】解:連接OB,OC.∵∠BOC=2∠BAC=60°,∵OB=OC,∴△OBC是等邊三角形,∴OB=OC=BC=1,∴的長=,故選B.【點睛】考查弧長公式,等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線,屬于中考??碱}型.3、A【解析】試題分析:根據(jù)二次根式的計算化簡可得:.故選A.考點:二次根式的化簡4、C【解析】
設(shè)交點式為y=-(x-m)(x-m+6),在把它配成頂點式得到y(tǒng)=-[x-(m-3)]2+1,則拋物線的頂點坐標(biāo)為(m-3,1),然后利用拋物線的平移可確定n的值.【詳解】設(shè)拋物線解析式為y=-(x-m)(x-m+6),∵y=-[x2-2(m-3)x+(m-3)2-1]=-[x-(m-3)]2+1,∴拋物線的頂點坐標(biāo)為(m-3,1),∴該函數(shù)圖象向下平移1個單位長度時頂點落在x軸上,即拋物線與x軸有且只有一個交點,即n=1.故選C.【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點:把求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)與x軸的交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).5、C【解析】
根據(jù)4=<且4=>進(jìn)行比較【詳解】解:易得:4=<且4=>,所以<4<故選C.【點睛】本題主要考查開平方開立方運算。6、D【解析】
設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kπx2,由待定系數(shù)法就可以求出解析式,再求出x=6時y的值即可得.【詳解】解:根據(jù)題意設(shè)y=kπx2,∵當(dāng)x=3時,y=18,∴18=kπ?9,則k=,∴y=kπx2=?π?x2=2x2,當(dāng)x=6時,y=2×36=72,故選:D.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,解答時求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵.7、D【解析】解:,∴3(x﹣1)﹣6=2(3x+1),故選D.點睛:本題考查了等式的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是正確理解等式的性質(zhì),本題屬于基礎(chǔ)題型.8、D【解析】解:①正方體的主視圖與左視圖都是正方形;②球的主視圖與左視圖都是圓;③圓錐主視圖與左視圖都是三角形;④圓柱的主視圖和左視圖都是長方形;故選D.9、C【解析】
①圖中有3個等腰直角三角形,故結(jié)論錯誤;②根據(jù)ASA證明即可,結(jié)論正確;③利用面積法證明即可,結(jié)論正確;④利用三角形的中線的性質(zhì)即可證明,結(jié)論正確.【詳解】∵CE⊥AB,∠ACE=45°,∴△ACE是等腰直角三角形,∵AF=CF,∴EF=AF=CF,∴△AEF,△EFC都是等腰直角三角形,∴圖中共有3個等腰直角三角形,故①錯誤,∵∠AHE+∠EAH=90°,∠DHC+∠BCE=90°,∠AHE=∠DHC,∴∠EAH=∠BCE,∵AE=EC,∠AEH=∠CEB=90°,∴△AHE≌△CBE,故②正確,∵S△ABC=BC?AD=AB?CE,AB=AC=AE,AE=CE,∴BC?AD=CE2,故③正確,∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=DC,∴S△ABC=2S△ADC,∵AF=FC,∴S△ADC=2S△ADF,∴S△ABC=4S△ADF.故選C.【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積等知識,解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題,屬于中考選擇題中的壓軸題.10、D【解析】
由圓錐的俯視圖可快速得出答案.【詳解】找到從上面看所得到的圖形即可,注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在俯視圖中,從幾何體的上面看:可以得到兩個正方形,右邊的正方形里面有一個內(nèi)接圓.故選D.【點睛】本題考查立體圖形的三視圖,熟記基本立體圖的三視圖是解題的關(guān)鍵.二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11、(5,﹣8)【解析】
各對應(yīng)點之間的關(guān)系是橫坐標(biāo)加4,縱坐標(biāo)減6,那么讓點B的橫坐標(biāo)加4,縱坐標(biāo)減6即為點B′的坐標(biāo).【詳解】由A(-2,3)的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)為(2,-13),坐標(biāo)的變化規(guī)律可知:各對應(yīng)點之間的關(guān)系是橫坐標(biāo)加4,縱坐標(biāo)減6,∴點B′的橫坐標(biāo)為1+4=5;縱坐標(biāo)為-2-6=-8;即所求點B′的坐標(biāo)為(5,-8).故答案為(5,-8)【點睛】此題主要考查了坐標(biāo)與圖形的變化-平移,解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)已知對應(yīng)點找到各對應(yīng)點之間的變化規(guī)律.12、1或5.【解析】
小正方形的高不變,根據(jù)面積即可求出小正方形平移的距離.【詳解】解:當(dāng)兩個正方形重疊部分的面積為2平方厘米時,重疊部分寬為2÷2=1,①如圖,小正方形平移距離為1厘米;②如圖,小正方形平移距離為4+1=5厘米.故答案為1或5,【點睛】此題考查了平移的性質(zhì),要明確,平移前后圖形的形狀和面積不變.畫出圖形即可直觀解答.13、-.【解析】分析:已知第一個等式左邊利用平方差公式化簡,將a﹣b的值代入即可求出a+b的值.詳解:∵a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)=,a﹣b=,∴a+b=.故答案為.點睛:本題考查了平方差公式,熟練掌握平方差公式是解答本題的關(guān)鍵.14、【解析】
如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積,則四條線段叫成比例線段.根據(jù)定義ad=cb,將a,b及c的值代入即可求得d.【詳解】已知a,b,c,d是成比例線段,根據(jù)比例線段的定義得:ad=cb,代入a=3,b=2,c=6,解得:d=4,則d=4cm.故答案為:4【點睛】本題主要考查比例線段的定義.要注意考慮問題要全面.15、(2,1)【解析】∵一次函數(shù)y=ax+b,∴當(dāng)x=2,y=2a+b,又2a+b=1,∴當(dāng)x=2,y=1,即該圖象一定經(jīng)過點(2,1).故答案為(2,1).16、-2【解析】k==1×(-2)=-217、【解析】
先利用平行條件證明三角形的相似,再利用相似三角形面積比等于相似比的平方,即可解題.【詳解】解:∵DE∥BC,,∴,由平行條件易證△ADE△ABC,∴S△ADE:S△ABC=1:9,∴=.【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì),中等難度,熟記相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題關(guān)鍵.三、解答題(共7小題,滿分69分)18、.【解析】試題分析:方程最簡公分母為,方程兩邊同乘將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解,要注意檢驗.試題解析:方程兩邊同乘,得:,整理解得:,經(jīng)檢驗:是原方程的解.考點:解分式方程.19、(1)1;2-;;(1)4+;(4)(200-25-40)米.【解析】
(1)由于△PAD是等腰三角形,底邊不定,需三種情況討論,運用三角形全等、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識即可解決問題.(1)以EF為直徑作⊙O,易證⊙O與BC相切,從而得到符合條件的點Q唯一,然后通過添加輔助線,借助于正方形、特殊角的三角函數(shù)值等知識即可求出BQ長.(4)要滿足∠AMB=40°,可構(gòu)造以AB為邊的等邊三角形的外接圓,該圓與線段CD的交點就是滿足條件的點,然后借助于等邊三角形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識,就可算出符合條件的DM長.【詳解】(1)①作AD的垂直平分線交BC于點P,如圖①,則PA=PD.∴△PAD是等腰三角形.∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=DC,∠B=∠C=90°.∵PA=PD,AB=DC,∴Rt△ABP≌Rt△DCP(HL).∴BP=CP.∵BC=2,∴BP=CP=1.②以點D為圓心,AD為半徑畫弧,交BC于點P′,如圖①,則DA=DP′.∴△P′AD是等腰三角形.∵四邊形ABCD是矩形,∴AD=BC,AB=DC,∠C=90°.∵AB=4,BC=2,∴DC=4,DP′=2.∴CP′==.∴BP′=2-.③點A為圓心,AD為半徑畫弧,交BC于點P″,如圖①,則AD=AP″.∴△P″AD是等腰三角形.同理可得:BP″=.綜上所述:在等腰三角形△ADP中,若PA=PD,則BP=1;若DP=DA,則BP=2-;若AP=AD,則BP=.(1)∵E、F分別為邊AB、AC的中點,∴EF∥BC,EF=BC.∵BC=11,∴EF=4.以EF為直徑作⊙O,過點O作OQ⊥BC,垂足為Q,連接EQ、FQ,如圖②.∵AD⊥BC,AD=4,∴EF與BC之間的距離為4.∴OQ=4∴OQ=OE=4.∴⊙O與BC相切,切點為Q.∵EF為⊙O的直徑,∴∠EQF=90°.過點E作EG⊥BC,垂足為G,如圖②.∵EG⊥BC,OQ⊥BC,∴EG∥OQ.∵EO∥GQ,EG∥OQ,∠EGQ=90°,OE=OQ,∴四邊形OEGQ是正方形.∴GQ=EO=4,EG=OQ=4.∵∠B=40°,∠EGB=90°,EG=4,∴BG=.∴BQ=GQ+BG=4+.∴當(dāng)∠EQF=90°時,BQ的長為4+.(4)在線段CD上存在點M,使∠AMB=40°.理由如下:以AB為邊,在AB的右側(cè)作等邊三角形ABG,作GP⊥AB,垂足為P,作AK⊥BG,垂足為K.設(shè)GP與AK交于點O,以點O為圓心,OA為半徑作⊙O,過點O作OH⊥CD,垂足為H,如圖③.則⊙O是△ABG的外接圓,∵△ABG是等邊三角形,GP⊥AB,∴AP=PB=AB.∵AB=170,∴AP=145.∵ED=185,∴OH=185-145=6.∵△ABG是等邊三角形,AK⊥BG,∴∠BAK=∠GAK=40°.∴OP=AP?tan40°=145×=25.∴OA=1OP=90.∴OH<OA.∴⊙O與CD相交,設(shè)交點為M,連接MA、MB,如圖③.∴∠AMB=∠AGB=40°,OM=OA=90..∵OH⊥CD,OH=6,OM=90,∴HM==40.∵AE=200,OP=25,∴DH=200-25.若點M在點H的左邊,則DM=DH+HM=200-25+40.∵200-25+40>420,∴DM>CD.∴點M不在線段CD上,應(yīng)舍去.若點M在點H的右邊,則DM=DH-HM=200-25-40.∵200-25-40<420,∴DM<CD.∴點M在線段CD上.綜上所述:在線段CD上存在唯一的點M,使∠AMB=40°,此時DM的長為(200-25-40)米.【點睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、圓周角定理、三角形的中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、特殊角的三角函數(shù)值等知識,考查了操作、探究等能力,綜合性非常強.而構(gòu)造等邊三角形及其外接圓是解決本題的關(guān)鍵.20、(1)45°.(1)MN1=ND1+DH1.理由見解析;(3)11.【解析】
(1)先根據(jù)AG⊥EF得出△ABE和△AGE是直角三角形,再根據(jù)HL定理得出△ABE≌△AGE,故可得出∠BAE=∠GAE,同理可得出∠GAF=∠DAF,由此可得出結(jié)論;(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠BAM=∠DAH,再根據(jù)SAS定理得出△AMN≌△AHN,故可得出MN=HN.再由∠BAD=90°,AB=AD可知∠ABD=∠ADB=45°,根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論;(3)設(shè)正方形ABCD的邊長為x,則CE=x-4,CF=x-2,再根據(jù)勾股定理即可得出x的值.【詳解】解:(1)在正方形ABCD中,∠B=∠D=90°,∵AG⊥EF,∴△ABE和△AGE是直角三角形.在Rt△ABE和Rt△AGE中,,∴△ABE≌△AGE(HL),∴∠BAE=∠GAE.同理,∠GAF=∠DAF.∴∠EAF=∠EAG+∠FAG=∠BAD=45°.(1)MN1=ND1+DH1.由旋轉(zhuǎn)可知:∠BAM=∠DAH,∵∠BAM+∠DAN=45°,∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°.∴∠HAN=∠MAN.在△AMN與△AHN中,,∴△AMN≌△AHN(SAS),∴MN=HN.∵∠BAD=90°,AB=AD,∴∠ABD=∠ADB=45°.∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°.∴NH1=ND1+DH1.∴MN1=ND1+DH1.(3)由(1)知,BE=EG=4,DF=FG=2.設(shè)正方形ABCD的邊長為x,則CE=x-4,CF=x-2.∵CE1+CF1=EF1,∴(x-4)1+(x-2)1=101.解這個方程,得x1=11,x1=-1(不合題意,舍去).∴正方形ABCD的邊長為11.【點睛】本題考查的是幾何變換綜合題,涉及到三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識,難度適中.21、調(diào)整后的滑梯AD比原滑梯AB增加2.5米【解析】試題分析:Rt△ABD中,根據(jù)30°的角所對的直角邊是斜邊的一半得到AD的長,然后在Rt△ABC中,求得AB的長后用即可求得增加的長度.試題解析:Rt△ABD中,∵AC=3米,∴AD=2AC=6(m)∵在Rt△ABC中,∴AD?AB=6?3.53≈2.5(m).∴調(diào)整后的滑梯AD比原滑梯AB增加2.5米.22、(1)見解析;(2)①;②cos∠AFE=【解析】
(1)用特殊值法,設(shè),則,證,可求出CF,DF的長,即可求出結(jié)論;(2)①如圖2,過F作交AD于點G,證和是等腰直角三角形,證,求出的值,即可寫出的值;②如圖3,作交AD于點T,作于H,證,設(shè)CF=2,則CE=6,可設(shè)AT=x,則TF=3x,,,分別用含x的代數(shù)式表示出∠AFE和∠D的余弦值,列出方程,求出x的值,即可求出結(jié)論.【詳解】(1)設(shè)BE=EC=2,則AB=BC=4,∵,∴,∵,∴∠FEC=∠EAB,又∴,∴,∴,即,∴CF=1,則,∴;(
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