北京市西城區(qū)2024屆高三年級(jí)下冊(cè)4月統(tǒng)一測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

西城區(qū)高三統(tǒng)一測(cè)試試卷

數(shù)學(xué)試題

本試卷共6頁(yè)，150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答

無(wú)效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

1.已知全集。=R,集合A=卬<3}，3={乂-2WxW2},則Ai”=（）

A.（2,3）B.（i2）u（2,3）C.[2,3）D.（-<x）,-2]o[2,3）

【答案】B

【解析】

【分析】利用補(bǔ)集和交集運(yùn)算求解即可.

【詳解】因?yàn)榧?={可—所以=2或x>2},

又集合A={x|x<3},所以AI{小<—2或2<x<3}=（—2）u（2,3）.

故選：B

2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（0,+。）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=x2+xB.y=cosx

C.y=2*D.y=log2|%|

【答案】D

【解析】

【分析】利用奇偶函數(shù)的判斷方法及基本函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷，即可得出結(jié)果.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)無(wú)=1時(shí)，y=l+l=2,當(dāng)x=—1時(shí)，y=l—1=0,即/（—I）//Q）,所以選

項(xiàng)A不滿足題意，

對(duì)于選項(xiàng)B,因丁=?。┛谠趨^(qū)間（0,+。）上不單調(diào)，所以選項(xiàng)B不滿足題意，

對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)閥=2工圖象不關(guān)于，軸對(duì)稱(chēng)，所以選項(xiàng)C不滿足題意，

對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)閥=log2|x|的定義域?yàn)椋èD”,0）U（0,+8）,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

【分析】運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求得-2〈尤<0的最小值，再結(jié)合幕函數(shù)的單調(diào)性，由題意列出不等式,

求解即可.

【詳解】當(dāng)—2<x<0時(shí)，/口）=/+工=（工+：]—故當(dāng)x=-g時(shí)，/（%）有最小值為一：；

0<xvc時(shí)，/（工）=一6單調(diào)遞減，所以一五

由題意/（X）存在最小值，則-正2-4，解得0<cW°,即C的最大值為

41616

故選：A

8.在等比數(shù)列｛。,｝中，ano>0.貝『%>%+i”是“4+1>4+3”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)與充分條件與必要條件的定義判斷即可的.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛?！埃墓葹閝/0,

當(dāng)。語(yǔ)>火^時(shí)，即有%o>""”。，又%>。,故q<l且q#0,

當(dāng)q<-l時(shí)，有％故不能得到〃他+1>〃陽(yáng)+3，

即‘七%>40+1”不是”"/7（）+1>"徇+3”的充分條件；

當(dāng)，徇+1>"為+3時(shí)，即有。%+3=/%%+]<。%+1,即42Vl且gw0,

則。為+1=4?。他，當(dāng)9￡（一1,0）時(shí)，由〃的>。，故%+1<。，故他+1,

當(dāng).￡（0,1）時(shí)，a%+i=q,a%va%,亦可得。為>〃他+”

故“。為>"徇+1”是"〃他+]>〃陽(yáng)+3”的必要條件；

綜上所述，“〃為>”是““Wo+1>〃陽(yáng)+3”的必要不充分條件.

故選：B.

9.關(guān)于函數(shù)/（x）=sinjv+cos2x,給出下列三個(gè)命題:

①/（九）是周期函數(shù)；

②曲線y=/(%)關(guān)于直線x=］對(duì)稱(chēng)；

③〃九)在區(qū)間［0,271)上恰有3個(gè)零點(diǎn).

其中真命題個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】選項(xiàng)①，根據(jù)條件得到/(x+2兀)=/(%),即可判斷出①的正誤；選項(xiàng)②，根據(jù)條件得出

/(7T-%)=/(%),根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸的定義，即可得出②的正誤；選項(xiàng)③，令/(元)=0,直接求出X的值，即

可得出③的正誤，從而得出結(jié)果.

【詳解】對(duì)于①，因?yàn)?(x)=sinx+cos2x,所以

/(%+271)=sin(x+271)+cos2(x+2TI)=sin%+cos2x=f(x),故丁=2兀，所以選項(xiàng)①正確，

對(duì)于②，因?yàn)橛?一%)=sin(兀一x)+COS2(TI-x)=sinx+cos2x=f(x),

TT

由對(duì)稱(chēng)軸的定義知，x為函數(shù)/(X)的一條對(duì)稱(chēng)軸，所以選項(xiàng)②正確，

對(duì)于③，因?yàn)?(X)=sinx+cos2x=—2sin2;r+sinx+l,令f(x)=0,得到一2sin2x+sinx+l=0，

解得sinx=-g或sinx=l,又xe[0,2ji),由sinx=-g,得至ljx=7或x=,

71

由sinx=l,得到x=］,所以選項(xiàng)③正確，

故選：D.

10.德國(guó)心理學(xué)家艾?賓浩斯研究發(fā)現(xiàn)，人類(lèi)大腦對(duì)事物的遺忘是有規(guī)律的，他依據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制出“遺忘

曲線“遺忘曲線''中記憶率y隨時(shí)間/(小時(shí))變化的趨勢(shì)可由函數(shù)y=1-0.6產(chǎn)27近似描述，則記憶率為

50%時(shí)經(jīng)過(guò)的時(shí)間約為()(參考數(shù)據(jù)：lg2a0.30,lg3a0.48)

A.2小時(shí)B.0.8小時(shí)C.0.5小時(shí)D.0.2小時(shí)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題設(shè)得到9=產(chǎn)27,兩邊取對(duì)數(shù)求解，即可得出結(jié)果.

6

【詳解】根據(jù)題意得!=1-0.6產(chǎn)27,整理得到2=產(chǎn)27,兩邊取以I。為底的對(duì)數(shù)，

得到lg』=0.271gt,即1-lg3-21g2=0.273,Xlg2?0.30,lg3?0.48,

6

88

所以lg'=一萬(wàn)，得到t=icT萬(wàn)q0.5，

故選：c.

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.若復(fù)數(shù)z滿足(l+2i)z=3+i,則目=

【答案】V2

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法公式計(jì)算z=l-i，再計(jì)算模長(zhǎng)即可.

、3+i(3+i)(l-2i)5-5i.,-----「

【詳解】(l+2i)z=3+i,則2=；1—―=y:~.\/~=-Z-=1—i，故[z|=Ji?+F=歷.

1+21(1+21)(1-21)511

故答案為：V2.

12.已知。，乃e(0,兀).使tan(o+/7)<tan(o—/?)成立的一組名尸的值為a=；〃=

jrjr

【答案】①.一②.一(答案不唯一)

33

【解析】

【分析】任取一組。，力?0,兀)，驗(yàn)證是否滿足tan(o+〃)<tan(a-/7)即可得.

【詳解】取]=/=此時(shí)tan(o+〃)=tang<0,tan(a-/7)=tan0=0,

故tan(cr+/7)<,符合要求.

TTTT

故答案為：-(答案不唯一).

33

2

13.雙曲線〃：％2—q_=1的漸近線方程為；若M與圓O:必+V=/&〉0)交于A,B,C,。

四點(diǎn)，且這四個(gè)點(diǎn)恰為正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，則廠=.

【答案】①.y=土瓜②.也

【解析】

【分析】結(jié)合雙曲線漸近線的定義與正方形的性質(zhì)計(jì)算即可得.

【詳解】由-匯=1,故其漸近線方程為＞=±且％=±3%；

31

23

令由題意可得|時(shí)=詞，即有機(jī)2-絲=1,解得"/=一,

32

故r2=+〃2=2m2=3,即r=石.

故答案為：y=+y/3x；班.

14.在數(shù)列｛4｝中，弭=工a?=—3.數(shù)列也｝滿足優(yōu)=%+1-4(*^).若也｝是公差為1的等差

數(shù)列，貝1也｝的通項(xiàng)公式為2=，4的最小值為.

【答案】①.n-6②.-13

【解析】

【分析】求出等差數(shù)列他/的首項(xiàng)，直接求出他“｝的通項(xiàng)公式即可，利用數(shù)列｛4｝的單調(diào)性得最小項(xiàng)為

每，利用累加法即可求解.

【詳解】由題意偽=%—。1=-5,又等差數(shù)列他“｝的公差為1,所以2=—5+(〃-1＞1=〃—6；

故4+1="一6,所以當(dāng)時(shí)，a?+1-a?＜0,當(dāng)〃＞6時(shí)，an+1-an＞0,

所以〉。2＞。3＞。4＞。5〉&=%＜。8＜。9＜…，顯然an的最小值是?6.

又?！?1—4="-6'所以4=%+(。2—4)+(03—。2)+(。4—%)+(%—%)+(06一%)

=2+(-5)+(-4)+(-3)+(-2)+(-1)=一13,即a,,的最小值是一13.

故答案為：n-6,-13

15.如圖，正方形ABCD和矩形所在的平面互相垂直.點(diǎn)尸在正方形ABCD及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。

在矩形AB￡F及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng).設(shè)AB=2,AF=1,給出下列四個(gè)結(jié)論：

二

0E

①存在點(diǎn)P,。，使PQ=3；

②存在點(diǎn)P,Q，使CQ//EP；

③到直線AD和EF的距離相等的點(diǎn)P有無(wú)數(shù)個(gè)；

④若以工夫石，則四面體？AQE體積的最大值為;.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①③④

【解析】

【分析】建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后，借助空間向量研究位置關(guān)系，結(jié)合距離公式、三棱錐體積公式逐項(xiàng)

判斷即可得.

【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-EBD,

則有A（0,0,0）、F（1,0,0）,8（0,2,0）、0（0,0,2）、C（0,2,2）,￡（1,2,0）,

設(shè)？（0,北〃），Q（s/,0）,其中0W私〃/W2,0<5<1,

對(duì)①：PQ=^s,t-m,-ri）,則+n?,

當(dāng)s=l,t=n=2,機(jī)=0時(shí)，有Jl+4+4=3,

故存在點(diǎn)P,Q,使PQ=3,故①正確；

對(duì)②：CQ=（s,%—2,—2）,￡P(guān)=（―1,切―2,zz）,

若CQ//EP,則有］§（m—2）=一（52）,

sn-2

由。（加0<s<l,故當(dāng)=2時(shí)，s=1,n=2,

此時(shí)有加一2二一。一2）,即根+r=4,BPm=t=2,

此時(shí)。與石重合，尸與。重合，故不存在點(diǎn)R。，使CQ//EF,故②錯(cuò)誤；

對(duì)③：點(diǎn)P到直線A。的距離為加，點(diǎn)P到直線EF的距離為正+“2,

即有加=J12+“2,即加—〃2=1,由

故其軌跡為雙曲線的一部分，即點(diǎn)P有無(wú)數(shù)個(gè)，故③正確；

對(duì)④：AP=（0,m,ri）,EP=（_l,m-2,n）,

由故有加（加一2）+〃2=0,則“2且0』，

又SA°E<]S矩形"江=]*1*2=1,

故匕>-A°E=；*SA2EX〃<gxlxl=g,故④正確.

故答案為：①③④.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第④個(gè)結(jié)論的關(guān)鍵點(diǎn)在于借助四面體的體積公式，分別求出高與底面三角形的最

大值.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.

16.如圖，在三棱柱A3C-4與￡中，側(cè)面4AC￡為正方形，ABJ.AC,AB=AC=2,。為的

中點(diǎn).

（2）若求二面角。一4四一4的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)線線平行證明面面平行；（2）向量法求二面角.

如圖，連接43,設(shè)連接。E.

因?yàn)樵谌庵鵄3C-4與c中，四邊形aABg是平行四邊形，所以E為48的中點(diǎn).

因?yàn)椤榈闹悬c(diǎn)，所以DE//AC.

又因?yàn)?。0平面4月。，。石匚平面公用。，

所以4。平面ABQ.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)锳3,A。，ABJ.AC,

又4CCAC=C,ACU平面A]ACG，ACu平面A/CCI，

所以A3工平面4ACG，又因A&u平面AAC￡,所以A5LA4.

又AA^AC,所以A3,AC,A4兩兩相互垂直.如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,

則A（0,0,0）,4（2,0,2）,0（1,1,0）,C（0,2,0）.

所以做=（2,0,2）,AT）=（1,1,0）.

/、fm-AB,=0[2x+2z=0

設(shè)平面的法間量為沆=（羽y,z）,貝R即1八

m-AD=Q[x+y=0

令1=-1,則y=l,z=l于是沅

因?yàn)锳C，平面AABBi所以AC=（0,2,0）是平面AABB,的一個(gè)法向量.

由題設(shè)，二面角。-4與-4的平面角為鈍角，

所以二面角D-AB.-A,的余弦值為一心.

3

17.在ABC中，atanB=2Z?sinA.

（1）求75的大??；

（2）若a=8,再?gòu)南铝腥齻€(gè)條件中選擇一個(gè)作為己知，使ABC存在，求,ABC的面積.

條件①：邊上中線的長(zhǎng)為收；

2

條件②：cosA=一一；

3

條件③：b=7.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得。分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解

答計(jì)分.

兀

【答案】（1）NB=—

3

（2）答案見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）借助正弦定理計(jì)算即可得；

（2）選條件①或③：借助余弦定理與面積公式計(jì)算即可得；不可選條件②，不存在這樣的一ABC.

【小問(wèn)1詳解】

由atanB=2Z?sinA,得asinB=2Z?sinAcosB,

在，ABC中，由正弦定理得sinAsinB=2sinAsinBcosB,

因?yàn)閟inA>0,sinB>0,所以cosB=—,

2

兀

又0<4<兀，所以NB=—；

3

【小問(wèn)2詳解】

選條件①：邊上中線的長(zhǎng)為庖：

設(shè)邊中點(diǎn)為連接AM,則AM=J^T,3M=4,

在,ABM中，由余弦定理得AM2=AB~+BM~-2AB-BM-cosB，

SP21=AB2+16-8AB-cos-,

3

整理得AB?—4AB—5=0，解得AB=5或AB=—1（舍）,

所以ABC的面積為-ABBC-sinB=-x5x8sin—=10A/3,

223

選條件③：b=7：

在.ABC中，由余弦定理得步=儲(chǔ)+02一2accos5,BP72=82+c2-16c-cos|,

整理得_8C+15=0，解得c=3或c=5,

當(dāng)。二3時(shí)，ABC的面積為S=—acsinB=—x8x3sin—=6A/3.

223

當(dāng)c=5時(shí)，ABC的面積為=；acsinB=gx8x5sin；=10j3.

不可選條件②，理由如下:

2=旦,

若cosA=—故A為鈍角，則sinA二

一W

8V3

X

n,,asin3212V1524322

則］=.“=—*=u，>q2,即b>a,

sinAJ555

T

其與A為鈍角矛盾，故不存在這樣的

18.10米氣步槍是國(guó)際射擊聯(lián)合會(huì)的比賽項(xiàng)目之一，資格賽比賽規(guī)則如下：每位選手采用立姿射擊60發(fā)子

彈，總環(huán)數(shù)排名前8的選手進(jìn)入決賽.三位選手甲、乙、丙的資格賽成績(jī)?nèi)缦?

環(huán)數(shù)6環(huán)7環(huán)8環(huán)9環(huán)10環(huán)

甲的射出頻數(shù)11102424

乙的射出頻數(shù)32103015

丙的射出頻數(shù)24101826

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的射擊成績(jī)相互獨(dú)立.

(1)若丙進(jìn)入決賽，試判斷甲是否進(jìn)入決賽，說(shuō)明理由；

(2)若甲、乙各射擊2次，估計(jì)這4次射擊中出現(xiàn)2個(gè)“9環(huán)”和2個(gè)“10環(huán)”的概率；

(3)甲、乙、丙各射擊10次，用X，(i=l,2,3)分別表示甲、乙、丙10次射擊中大于。環(huán)的次數(shù)，其中

ae{6,7,8,9}.寫(xiě)出一個(gè)。的值，使0”3)>0(乂2)>0(乂).(結(jié)論不要求證明)

【答案】(1)甲進(jìn)入決賽，理由見(jiàn)解析

⑵且

100

(3)a=7或8

【解析】

【分析】(1)分別計(jì)算出甲和丙射擊成績(jī)的總環(huán)數(shù)，進(jìn)行比較即可判斷.

(2)先根據(jù)題中數(shù)據(jù)，用頻率估計(jì)概率分別得出甲、乙命中9環(huán)的概率和甲、乙命中10環(huán)的概率；再根

據(jù)互斥事件的概率加法公式和相互獨(dú)立事件的概率公式即可求解.

(3)根據(jù)題意可知X;.(z=l,2,3)服從二項(xiàng)分布，利用二項(xiàng)分布求出每一個(gè)。對(duì)應(yīng)的

即可解答.

【小問(wèn)1詳解】

甲進(jìn)入決賽，理由如下：

丙射擊成績(jī)的總環(huán)數(shù)為2x6+4x7+10x8+18x9+26x10=542,

甲射擊成績(jī)的總環(huán)數(shù)為1x6+1x7+10x8+24x9+24x10=549.

因?yàn)?49>542,

所以用樣本來(lái)估計(jì)總體可得甲進(jìn)入決賽.

【小問(wèn)2詳解】

根據(jù)題中數(shù)據(jù)：

242

“甲命中9環(huán)”的概率可估計(jì)為一=—；

605

242

“甲命中10環(huán)”概率可估計(jì)為一=—；

605

301

“乙命中9環(huán)”的概率可估計(jì)為一=-；

602

“乙命中10環(huán)”的概率可估計(jì)為竺=」.

604

所以這4次射擊中出現(xiàn)2個(gè)“9環(huán)”和2個(gè)“10環(huán)”的概率可估計(jì)為:

【小問(wèn)3詳解】

〃=7或8.

根據(jù)題中數(shù)據(jù)：

當(dāng)a=6時(shí)，

59

在每次射擊中，甲擊中大于6環(huán)的的概率為p=而；

57

在每次射擊中，乙擊中大于6環(huán)的的概率為p=而；

58

在每次射擊中，丙擊中大于6環(huán)的的概率為p=而；

由題意可知：X]~JB[10,工],X2~B[IO,:],X3-

k60/\607\60

此時(shí)。（Xj=10x”義工=鄴"

v1760603600

D（X3）=10x哭x2=3,

v3760603600

不滿足D（X3）＞D（X2）＞O（X］）.

當(dāng)a=7時(shí)，

co

在每次射擊中，甲擊中大于7環(huán)的的概率為p=0；

在每次射擊中，乙擊中大于7環(huán)的的概率為°=||；

54

在每次射擊中，丙擊中大于7環(huán)的的概率為p=.；

由題意可知：X]?5(10,二],X2~5flO,——,X3?二

I6Q)\60J'I60

…八/、7\5821160D（X）=10X^XAZZ^

止匕時(shí)D（X,）=10x—x—=------2=

'"60603600V2760603600

D（X3）=10X^XA=3240,

V3760603600

滿足￡＞（*3）＞0（乂2）＞。（乂）.

當(dāng)H=8時(shí)，

48

在每次射擊中，甲擊中大于8環(huán)的的概率為〃二=；

45

在每次射擊中，乙擊中大于8環(huán)的的概率為p=—

44

在每次射擊中，丙擊中大于8環(huán)的的概率為p=而

C48、（45、（'八44）

由題意可知:X]?510,而；x2?弋

4845

此時(shí)。（125760156750

Xj=10x*:x__—_____D（X9）=10X—X——

60—3600'v276060—3600’

7040

D（X）=10x—x—

'376060—3600，

滿足O（X3）＞O（X2）＞O（Xj.

當(dāng)a=9時(shí),

_24

在每次射擊中，甲擊中大于9環(huán)的的概率為°：

~60；

在每次射擊中，乙擊中大于環(huán)的的概率為°：

9~60；

_26

在每次射擊中，丙擊中大于環(huán)的的概率為°：

9~60；

?"10,

由題意可知：x?607X3嗚）

S2436864015456750

此時(shí)。（Xj—10xx—,D（X?）=10xX——

'606036006060—3600’

n/vAin26348840

v3760603600

不滿足D（X3）＞D（X2）＞D（XJ）.

所以a=7或8.

22

19.已知橢圓G:＞方=l（a＞6＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)為A（—2,0）,離心率為3.

（1）求橢圓G的方程；

（2）設(shè)。為原點(diǎn).直線/與橢圓G交于兩點(diǎn)（C。不是橢圓頂點(diǎn)），/與直線x=2交于點(diǎn)E,

直線分別與直線0E交于點(diǎn)求證：=

22

【答案】（1）—+^=1

43

（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）結(jié)合題意，列出方程組計(jì)算即可得;

（2）設(shè)直線/為>=履+租，聯(lián)立橢圓方程可得與橫坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，借助C、。兩點(diǎn)坐標(biāo)可表示出與、

XN，計(jì)算可得—0,即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

"2卜=2

由題意可得]$==,解得|匕=』,

a2

a2-b2=c2r=1

22

所以橢圓G的方程為'+上=1；

43

【小問(wèn)2詳解】

由題意可知直線/的斜率存在，設(shè)其方程為>=履+加.

左+5卜，

y=kx+m（、、、,

由「，、，得（4左-+3）x?+8hnx+4"—12=0,

3x2+4/=121）

由A=48（4K—毋+3）>0,得療<4k2+3,

設(shè)，%），則%+々=一拱&，石々=4d

/1ID/1rvI

直線AC的方程為y=」3（x+2）,

X]i-/

聯(lián)立直線AC和OE得3G+2）=八引"

4%4（村+間

mXy+4kmXy+4k，

4（Ax+m）

同理可得標(biāo)二2

rwc2+4左

（句+m）（mx+4左）+（優(yōu)+加）+4左）

所以1M+%N=4X2

（mxj+4^）（mx2+4左）

因?yàn)椋ǚ?m）（mx2+4^）+{kx2+m）[mx^+4左）

=2km\:逮2+(4左之+加2)(%,+x2)+8km

2kMdnt?—12)8hn^4k2+m2^8初i(4左？+3)

一442+34/+3+-4左2+3--，

所以X“+XN=。，即點(diǎn)M和點(diǎn)N關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱(chēng)，

所以|aw|=|Qv|.

段=1

N

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：

(1)設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(七,%),(X2,%)；

(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于X(或y)的一元二次方程，注意△的判斷;

(3)列出韋達(dá)定理；

(4)將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為石+%2、占%2(或%+%、％為)的形式；

(5)代入韋達(dá)定理求解.

20.已知函數(shù)“X)=x+ln(ox)+Lxe*.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求曲線丁=/(尤)在點(diǎn)(1"(功處切線的斜率；

(2)當(dāng)4=-1時(shí)，討論〃龍)的單調(diào)性；

(3)若集合2—1｝有且只有一個(gè)元素，求°的值.

【答案】(1)2e+2

(2)單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,-1)；單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,0)

、1

(3)a=—

e

【解析】

【分析】(1)根據(jù)條件，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求出結(jié)果；

(2)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到/'(x)=(l+x)]—ej,由函數(shù)/(x)定義域知J—e、<0,再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單

調(diào)性間的關(guān)系，即可求出結(jié)果；

(1e"、

(3)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到_f(x)=(l+x)L，再分a>0和兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)

性間的關(guān)系，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合條件，即可求出結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)a=l時(shí)，f[x^=x+lav+xex,

所以/''(x)=l+L+(l+x)eX，得到/'(l)=2e+2,

X

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,7。))處切線的斜率為2e+2.

【小問(wèn)2詳解】

當(dāng)。=一1時(shí)，/(x)=x+ln(—x)—xe",易知/(X)的定義域?yàn)?一“,0),

又廣(%)=1+!—(1+》卜￡=(l+x)「—e],

因?yàn)閤e(—8,0),所以L-e*<0,

所以時(shí)，>0,xe(—l,0)時(shí)，/(x)<0

所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,-1)；單調(diào)遞減區(qū)間為(T,0),

【小問(wèn)3詳解】

1(1e"、

因?yàn)?'(x)=x+ln(or)+—xe*,所以/''(x)=(1+x)—+一，

CLIX〃,

易知awO,當(dāng)a>0時(shí)，/(力的定義域?yàn)?0,+"),

所以/々x)>。恒成立，故/(九)在(0,+。)上單調(diào)遞增，

又〉0,所以a>0不合題意，

aa

當(dāng)a<0時(shí)，的定義域?yàn)?—8,0),此時(shí)上+^<0,

xa

所以xe分,一1)時(shí)，y^x)>o,xe(-i,o)時(shí)，f\x)<o,

故/(力的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,-1),單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,0),

所以/'(X)max="T)=T+山.

111PY-I-1

設(shè)g(x)=-l+In(-x)---(x<0),貝!lg'(x)=一+―，，

exxexex

當(dāng)xej-oo,［時(shí)，

所以g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為1巴Tj；單調(diào)遞增區(qū)間為1-

所以g(x)min=g[']=T，

Ie；

所以集合{%1/(%)>-1}有且只有一個(gè)元素時(shí)a=-1.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問(wèn)題，一般有三個(gè)方法:

一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，通過(guò)對(duì)具體函數(shù)的研

究確定含參式子滿足的條件；

二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類(lèi)討論；

三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，通過(guò)兩個(gè)函數(shù)圖像確定條件.

21.對(duì)正整數(shù)機(jī)23,,設(shè)數(shù)列Aq,%,.、見(jiàn)9e{0,l}(i=l,2,,〃).5是加行九列的數(shù)陣，力表

示B中第i行第/列的數(shù)，Z?..e{0,l}(z=l,2,,m;j=l,2,,〃)，且8同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①每行

恰有三個(gè)1；②每列至少有一個(gè)1；③任意兩行不相同.記集合+40=0或

3』=1,2,，加}中元素的個(gè)數(shù)為K.

111000、

(1)若A:1,1,1,0,0,0,3=101100,求K的值；