黑龍江省哈爾濱市第三十二中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末檢測(cè)試題含解析

黑龍江省哈爾濱市第三十二中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．對(duì)于函數(shù)f(x)=2sinxcosx，下列選項(xiàng)中正確的是()A．f(x)在（，）上是遞增的 B．f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．f(x)的最小正周期為 D．f(x)的最大值為22．在ΔABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若3asinC=A．π6 B．π3 C．2π3．已知某路段最高限速60km/h，電子監(jiān)控測(cè)得連續(xù)6輛汽車(chē)的速度用莖葉圖表示如圖所示（單位：km/h），若從中任抽取2輛汽車(chē)，則恰好有1輛汽車(chē)超速的概率為（）A． B． C． D．4．在等差數(shù)列中，，則等于()A．5 B．6 C．7 D．85．已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)，則（）A． B． C． D．6．已知隨機(jī)事件中，與互斥，與對(duì)立，且，則（）A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.97．在下列區(qū)間中，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．8．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a﹣b＝ccosB﹣ccosA，則△ABC的形狀為（）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形9．甲、乙兩名選手參加歌手大賽時(shí)，5名評(píng)委打的分?jǐn)?shù)用如圖所示的莖葉圖表示，s1，s2分別表示甲、乙選手分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，則s1與s2的關(guān)系是()．A．s1＞s2 B．s1＝s2 C．s1＜s2 D．不確定10．已知，，點(diǎn)在內(nèi)，且，設(shè)，則等于（）A． B．3 C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量，，若與的夾角是銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．12．已知向量a=1,2，b=2,-2，c=13．設(shè)滿(mǎn)足不等式組，則的最小值為_(kāi)____.14．若直線(xiàn)與圓相交于，兩點(diǎn)，且（其中為原點(diǎn)），則的值為_(kāi)_______．15．已知函數(shù)分別由下表給出：123211123321則當(dāng)時(shí)，_____________.16．已知、的取值如表所示：01342.24.34.86.7從散點(diǎn)圖分析，與線(xiàn)性相關(guān)，且，則______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．某學(xué)校高一年級(jí)學(xué)生某次身體素質(zhì)體能測(cè)試的原始成績(jī)采用百分制，已知所有這些學(xué)生的原始成績(jī)均分布在內(nèi)，發(fā)布成績(jī)使用等級(jí)制.各等級(jí)劃分標(biāo)準(zhǔn)見(jiàn)下表.規(guī)定：三級(jí)為合格等級(jí)，D為不合格等級(jí).為了解該校高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況，從中抽取了名學(xué)生的原始成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì).按照的分組作出頻率分布直方圖如圖1所示，樣本中分?jǐn)?shù)在80分及以上的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖2所示.（I）求和頻率分布直方圖中的的值，并估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生成績(jī)是合格等級(jí)的概率；（II）在選取的樣本中，從兩個(gè)等級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，求至少有一名學(xué)生是等級(jí)的概率．18．銳角三角形的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求A；（2）若，，求面積.19．已知平面向量（1）若，求；（2）若，求與夾角的余弦值.20．設(shè)數(shù)列,，已知，，（1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,對(duì)任意.（i）求證：；（ii)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．已知向量，滿(mǎn)足，，且.（1）求;（2）在中，若，，求.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

解:,是周期為的奇函數(shù),

對(duì)于A(yíng),在上是遞減的,錯(cuò)誤;

對(duì)于B,是奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),正確;

對(duì)于C,是周期為,錯(cuò)誤;

對(duì)于D,的最大值為1,錯(cuò)誤;

所以B選項(xiàng)是正確的.2、A【解析】

根據(jù)正弦定理asinA=csinC將題干等式化為3sinAsin【詳解】∵3asinC=3ccosA，所以3sinAsin【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用正弦定理求三角形內(nèi)角，屬于基礎(chǔ)題。3、A【解析】

求出基本事件的總數(shù)，以及滿(mǎn)足題意的基本事件數(shù)目，即可求解概率.【詳解】解：由題意任抽取2輛汽車(chē)，其速度分別為：，共15個(gè)基本事件，其中恰好有1輛汽車(chē)超速的有，，共8個(gè)基本事件，則恰好有1輛汽車(chē)超速的概率為：，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率的求法，屬于基本知識(shí)的考查.4、C【解析】

由數(shù)列為等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，有，代入求解即可.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，又，則，又，則，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.5、C【解析】

利用三角函數(shù)定義即可求得：，，再利用余弦的二倍角公式得解.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊過(guò)點(diǎn)，所以點(diǎn)到原點(diǎn)的距離所以，所以故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)定義及余弦的二倍角公式，考查計(jì)算能力，屬于較易題．6、C【解析】

由對(duì)立事件概率關(guān)系得到B發(fā)生的概率，再由互斥事件的概率計(jì)算公式求P(A+B).【詳解】因?yàn)?，事件B與C對(duì)立，所以，又，A與B互斥，所以，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查互斥事件的概率，能利用對(duì)立事件概率之和為1進(jìn)行計(jì)算，屬于基本題.7、B【解析】

由函數(shù)的解析式，再根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的存在定理可得函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間．【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間即函數(shù)與的交點(diǎn)所在區(qū)間.由函數(shù)與在定義域上只有一個(gè)交點(diǎn)，如圖.函數(shù)在定義域上只有一個(gè)零點(diǎn).又，所以.所以的零點(diǎn)在上故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查求函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間，函數(shù)零點(diǎn)的存在定理，屬于基礎(chǔ)題．8、D【解析】

用正弦定理化邊為角，再由誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)變形可得．【詳解】∵a﹣b＝ccosB﹣ccosA，∴，∴,∴，∴或，∴或，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理，考查三角形形狀的判斷．解題關(guān)鍵是誘導(dǎo)公式的應(yīng)用．9、C【解析】

先求均值，再根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差公式求標(biāo)準(zhǔn)差，最后比較大小.【詳解】乙選手分?jǐn)?shù)的平均數(shù)分別為所以標(biāo)準(zhǔn)差分別為因此s1＜s2，選C.【點(diǎn)睛】本題考查標(biāo)準(zhǔn)差，考查基本求解能力.10、B【解析】

先根據(jù),可得,又因?yàn)椋?所以可得:在軸方向上的分量為，在軸方向上的分量為,又根據(jù),可得答案.【詳解】，，

，，

在軸方向上的分量為，

在軸方向上的分量為，

，

，，

兩式相比可得:.故選B.【點(diǎn)睛】.向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行的．若已知有向線(xiàn)段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用及運(yùn)算法則的正確使用．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

先求出與的坐標(biāo)，再根據(jù)與夾角是銳角，則它們的數(shù)量積為正值，且它們不共線(xiàn)，求出實(shí)數(shù)的取值范圍，．【詳解】向量，，，，若與的夾角是銳角，則與不共線(xiàn)，且它們乘積為正值，即，且，求得，且．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用向量的數(shù)量積解決向量夾角有關(guān)的問(wèn)題，以及數(shù)量積的坐標(biāo)表示，向量平行的條件等．條件的等價(jià)轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．12、1【解析】

由兩向量共線(xiàn)的坐標(biāo)關(guān)系計(jì)算即可．【詳解】由題可得2∵c//∴4λ-2=0故答案為1【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及兩向量共線(xiàn)的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．13、-6【解析】作出可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），作直線(xiàn)，當(dāng)向下平移時(shí)，減小，因此當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，為最小值．14、【解析】

首先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，再根據(jù)求出直線(xiàn)的傾斜角，求斜率即可.【詳解】如圖所示直線(xiàn)與圓恒過(guò)定點(diǎn)，不妨設(shè)，因?yàn)椋?，兩種情況討論，可得，.所以斜率.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于簡(jiǎn)單題.15、3【解析】

根據(jù)已知，用換元法，從外層求到里層，即可求解.【詳解】令.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的表示，考查復(fù)合函數(shù)值求參數(shù)，換元法是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

根據(jù)數(shù)據(jù)表求解出，代入回歸直線(xiàn)，求得的值.【詳解】根據(jù)表中數(shù)據(jù)得：，又由回歸方程知回歸方程的斜率為截距本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查利用回歸直線(xiàn)求實(shí)際數(shù)據(jù)，關(guān)鍵在于明確回歸直線(xiàn)恒過(guò)，從而可構(gòu)造出關(guān)于的方程.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（I），；（II）.【解析】試題分析：(I)根據(jù)頻率直方圖的相關(guān)概率易求，依據(jù)樣本估計(jì)總體的思想可得該校高一年級(jí)學(xué)生成績(jī)是合格等級(jí)的概率；（II）記“至少有一名學(xué)生是等級(jí)”事件為，求事件對(duì)立事件的的概率，可得.試題解析：（I）由題意可知，樣本容量因?yàn)槌煽?jī)是合格等級(jí)人數(shù)為：人，抽取的50人中成績(jī)是合格等級(jí)的頻率為，依據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，所以，該校高一年級(jí)學(xué)生成績(jī)是合格等級(jí)的概率為（II）由莖葉圖知，等級(jí)的學(xué)生共有3人，等級(jí)學(xué)生共有人，記等級(jí)的學(xué)生為，等級(jí)學(xué)生為，則從8名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生的所有情況為：共28個(gè)基本事件記“至少有一名學(xué)生是等級(jí)”事件為，則事件的可能結(jié)果為共10種因此考點(diǎn)：1、頻率分布直方圖；2、古典概型.18、（1），（2）【解析】

（1）利用三角函數(shù)的和差公式化簡(jiǎn)已知等式可得，結(jié)合為銳角可得的值．（2）由余弦定理可得，解得的值，根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）∵，∴∵∴可得：∵A，C為銳角，∴，可得：（2）∵∴由余弦定理，可得：，即，解得：或3，因?yàn)闉殇J角三角形，所以需滿(mǎn)足所以所以的面積為【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換及余弦定理，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）（2）【解析】

（1）由題可得，解出，，進(jìn)而得出答案．（2）由題可得，，再由計(jì)算得出答案，【詳解】因?yàn)?，所以，即解得所以?）若，則所以，，，所以【點(diǎn)睛】本題主要考查的向量的模以及數(shù)量積，屬于簡(jiǎn)單題．20、(1)；(2)（i）見(jiàn)證明；（ii)【解析】

（1)計(jì)算可知數(shù)列為等比數(shù)列；（2）（i）要證即證{}恒為0；（ii)由前兩問(wèn)求出再求出，帶入式子，再解不等式.【詳解】(1)，又，是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，；（2）（i），又恒成立，即（ii)由,，兩式相加