人教版八年級數(shù)學(xué)上冊專題03全等模型-手拉手模型(原卷版+解析)

專題03全等模型-手拉手模型全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋轉(zhuǎn)）模型）進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.手拉手模型（三角形）【模型解讀】將兩個三角形繞著公共頂點（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個三角形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等。公共頂點A記為“頭”，每個三角形另兩個頂點逆時針順序數(shù)的第一個頂點記為“左手”，第二個頂點記為“右手”。對應(yīng)操作：左手拉左手（即連結(jié)BD），右手拉右手（即連結(jié)CE），得?！境Ｒ娔Ｐ图白C法】（等邊）（等腰直角）（等腰）例1．（2022·北京東城·九年級期末）如圖，在等邊三角形ABC中，點P為△ABC內(nèi)一點，連接AP，BP，CP，將線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接．（1）用等式表示與CP的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）當(dāng)∠BPC＝120°時，①直接寫出的度數(shù)為；②若M為BC的中點，連接PM，請用等式表示PM與AP的數(shù)量關(guān)系，并證明．例2．（2022·黑龍江·中考真題）和都是等邊三角形．(1)將繞點A旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時，連接BD，CE并延長相交于點P（點P與點A重合），有（或）成立；請證明．(2)將繞點A旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時，連接BD，CE相交于點P，連接PA，猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明；(3)將繞點A旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時，連接BD，CE相交于點P，連接PA，猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不需要證明．例3．（2023·黑龍江哈爾濱·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，將繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60°到的位置，連接，則的度數(shù)為（

）A．15° B．20° C．30° D．45°例4．（2022·青?！ぶ锌颊骖}）兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若和是頂角相等的等腰三角形，BC，DE分別是底邊.求證：；(2)解決問題：如圖2，若和均為等腰直角三角形，，點A，D，E在同一條直線上，CM為中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

圖1

圖2例5．（2022秋·江蘇·八年級期中）點為外一點，，．(1)如圖1，，，求證：；(2)如圖2，若，，，求證：；模型2.手拉手模型（正多邊形型）【模型解讀】將兩個多邊形繞著公共頂點（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個多邊形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等?！境Ｒ娔Ｐ图白C法】如圖，在任意△ABC中，分別以AB、AC為邊作正方形ABDE、ACFG，連接EC、BG，則△AEC≌△ABG.例1．（2022·廣東廣州市·八年級期中）如圖，兩個正方形ABCD與DEFG，連結(jié)AG，CE，二者相交于點H．（1）證明：△ADG≌△CDE；（2）請說明AG和CE的位置和數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（3）連結(jié)AE和CG，請問△ADE的面積和△CDG的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．例2．（2023·河南鶴壁市八年級月考）（1）作圖發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知，小涵同學(xué)以、為邊向外作等邊和等邊，連接，．這時他發(fā)現(xiàn)與的數(shù)量關(guān)系是．（2）拓展探究：如圖2，已知，小涵同學(xué)以、為邊向外作正方形和正方形，連接，，試判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．例3．（2023·福建福州市·九年級月考）如圖，和均為等邊三角形，連接BE、CD．（1）請判斷：線段BE與CD的大小關(guān)系是；（2）觀察圖，當(dāng)和分別繞點A旋轉(zhuǎn)時，BE、CD之間的大小關(guān)系是否會改變?（3）觀察如圖和4，若四邊形ABCD、DEFG都是正方形,猜想類似的結(jié)論是___________,在如圖中證明你的猜想.（4）這些結(jié)論可否推廣到任意正多邊形（不必證明）,如圖,BB1與EE1的關(guān)系是;它們分別在哪兩個全等三角形中;請在如圖中標(biāo)出較小的正六邊形AB1C1D1E1F1的另五個頂點，連接圖中哪兩個頂點,能構(gòu)造出兩個全等三角形？例4．（2023·江蘇無錫·八年級校考階段練習(xí)）如圖1，圖2，圖3，在中，分別以為邊，向外作正三角形，正四邊形，正五邊形，相交于點．（正多邊形的各邊相等，各個內(nèi)角也相等）①如圖1，求證：△ABE≌△ADC；②探究：如圖1，∠BOD=；③如圖2，∠BOD=；④如圖3，∠BOD=．課后專項訓(xùn)練1．（2022·天津·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，若M是BC邊上任意一點，將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ACN，點M的對應(yīng)點為點N，連接MN，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，為等邊三角形，以為邊向外作，使，再以點C為旋轉(zhuǎn)中心把旋轉(zhuǎn)到，則給出下列結(jié)論：①D，A，E三點共線；②平分；③；④．其中正確的有（

）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2022·貴州遵義·八年級期末）在中，，且E為邊的中點，連接，以為邊向上作等邊三角形，連接，則的長為_______．4．（2023春·廣東廣州·八年級廣州市真光中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，C為線段上一動點（不與點A、E重合），在同側(cè)分別作正和正，與交于點O，與交于點，與交于點，連接．以下五個結(jié)論：①；②；③；④；⑤．恒成立的結(jié)論有______．（把你認(rèn)為正確的序號都填上）5．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，是一個銳角三角形，分別以、為邊向外作等邊三角形、，連接、交于點，連接．(1)求證：≌；(2)求的度數(shù)；(3)求證：平分．6．（2022秋·河北保定·八年級?？计谥校┰谥?，，點D是直線上一點，連接，以為邊向右作，使得，，連接CE．(1)①如圖1，求證：；②當(dāng)點D在邊上時，請直接寫出，，的面積（，，）所滿足的關(guān)系；(2)當(dāng)點D在的延長線上時，試探究，，的面積（，，）所滿足的關(guān)系，并說明理由．7．（2023·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期中）（1）如圖1，與均是頂角為40°的等腰三角形，BC、DE分別是底邊，求證：；（2）如圖2，和均為等邊三角形，點A、D、E在同一直線上，連接BE．填空：的度數(shù)為______；線段BE與AD之間的數(shù)量關(guān)系是______．8．（2022·陜西·九年級專題練習(xí)）閱讀下面的例題及點撥，并解決問題：例題：如圖①，在等邊△ABC中，M是BC邊上一點（不含端點B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分線上一點，且AM=MN．求證：∠AMN=60°．點撥：如圖②，作∠CBE=60°，BE與NC的延長線相交于點E，得等邊△BEC，連接EM．易證：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，則EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，進(jìn)一步可得∠1=∠2=∠5，又因為∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°．問題：如圖③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1邊上一點（不含端點B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分線上一點，且A1M1=M1N1．求證：∠A1M1N1=90°．9．（2022秋·貴州黔東南·八年級?？计谀┤鐖D，將圖1的正方形紙片沿對角線剪開，得到圖2的兩張三角形紙片，再將這兩張三角形紙片擺成圖3所示的圖形，使得點B（E）重合．(1)求證：△ABD≌△CBF；(2)猜測AD與CF的位置關(guān)系，并說明理由；(3)若∠ABF=120°請判斷△BGH的形狀，并說明理由．10．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，和均為等腰直角三角形，，連接，，點、、在同一條直線上，則的度數(shù)為__________，線段、之間的數(shù)量關(guān)系__________；（2）拓展探究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，連接，，點、、不在一條直線上，請判斷線段、之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．（3）解決問題：如圖3，和均為等腰三角形，，則直線和的夾角為__________．（請用含的式子表示）11．（2022秋·湖南懷化·八年級統(tǒng)考期末）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，△ABC與△ADE是等邊三角形，且點B、D，E在同一直線上，連接CE，求的度數(shù)，并確定線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系．拓展探究：如圖②，△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，，且點B，D，E在同一直線上，于F，連接CE，求的度數(shù)，并確定線段AF，BF，CE之間的數(shù)量關(guān)系．12．（2022·綿陽市·八年級專題練習(xí)）已知∠MBN＝60°，等邊△BEF與∠MBN頂點B重合，將等邊△BEF繞頂點B順時針旋轉(zhuǎn)，邊EF所在直線與∠MBN的BN邊相交于點C，并在BM邊上截取AB＝BC，連接AE．(1)將等邊△BEF旋轉(zhuǎn)至如圖①所示位置時，求證：CE＝BE+AE；(2)將等邊△BEF順時針旋轉(zhuǎn)至如圖②、圖③位置時，請分別直接寫出AE，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；(3)在（1）和（2）的條件下，若BF＝4，AE＝1，則CE＝．13．（2023春·廣東揭陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，以的邊、分別向外作等腰直角與等腰直角，，連接和相交于點O，交于點F，交于點G．(1)試說明：；(2)試說明：；(3)試說明：點A到邊，所在直線的距離相等．

14．（2023·廣東深圳·八年級?？计谥校┰谥校?，點是直線上一點（不與、重合），把線路繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)至（即），使得，連接、．(1)如圖1，點在線段上，如果，則__________度．(2)如圖2，當(dāng)點在線段上，如果，則__________度．(3)如圖3，設(shè)，，當(dāng)點在線段上移動時，，的數(shù)量關(guān)系是什么？請說明理由．(4)設(shè)，，當(dāng)點在直線上移動時，請直接寫出，的數(shù)量關(guān)系，不用證明．

15．（2022·山西八年級月考）綜合與實踐特例研究：將矩形和按如圖1放置，已知，連接．如圖1，當(dāng)點在上時，線段與之間的數(shù)量關(guān)系是__；直線與直線之間的位置關(guān)系是_；拓廣探索：圖2是由圖1中的矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到的，請?zhí)剿骶€段與之間的數(shù)量關(guān)系和直線與直線之間的位置關(guān)系，并說明理由．16．（2022·福建八年級期中）如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．解答下列問題(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①當(dāng)點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為．②當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°點D在線段BC上運動．試探究：當(dāng)△ABC滿足一個什么條件時，CF⊥BC（點C、F重合除外）？并說明理由．17．（2022·遼寧沈陽·九年級?？计谥校?）如圖①，若在等邊△ABC的邊AB上任取一點E（點E不與B重合），以EC為邊在△ABC同側(cè)作等邊△CEN，連接AN．求證：ANBC且AN＝BE；（2）如圖②，若把（1）中的“等邊△ABC”改成正方形ABCD，同樣在邊AB上任取一點E（點E不與B重合），以EC為邊在正方形ABCD同則作正方形CEMN，連接DN，請你判斷圖中是否有與（1）中類似的結(jié)論．若有，直接寫出結(jié)論；若沒有，請說明理由；18．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖所示，△ABC和△ADE都是等邊三角形，且點B、A、E在同一直線上，連接BD交AC于M，連接CE交AD于N，連接MN．(1)求證：BD=CE；(2)求證：△ABM≌△ACN；(3)求證：△AMN是等邊三角形．

19．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）已知在中，，過點B引一條射線，D是上一點【問題解決】(1)如圖1，若，射線在內(nèi)部，，求證：，小明同學(xué)展示的做法是：在上取一點E使得，通過已知的條件，從而求得的度數(shù)，請你幫助小明寫出證明過程；【類比探究】(2)如圖2，已知．①當(dāng)射線在內(nèi)，求的度數(shù)②當(dāng)射線在下方，如圖3所示，請問的度數(shù)會變化嗎?若不變，請說明理由，若改變，請求出的度數(shù)；20．（2022秋·浙江杭州·八年級?？茧A段練習(xí)）在中，且．(1)如圖（1），若分別平分，交于點C、B，連接．請你判斷是否相等，并說明理由；(2)的位置保持不變，將（1）中的繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至圖（2）的位置，相交于O，請你判斷線段與的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)在（2）的條件下，若，試求四邊形的面積．

專題03全等模型-手拉手模型全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋轉(zhuǎn)）模型）進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.手拉手模型（三角形）【模型解讀】將兩個三角形繞著公共頂點（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個三角形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等。公共頂點A記為“頭”，每個三角形另兩個頂點逆時針順序數(shù)的第一個頂點記為“左手”，第二個頂點記為“右手”。對應(yīng)操作：左手拉左手（即連結(jié)BD），右手拉右手（即連結(jié)CE），得?！境Ｒ娔Ｐ图白C法】（等邊）（等腰直角）（等腰）例1．（2022·北京東城·九年級期末）如圖，在等邊三角形ABC中，點P為△ABC內(nèi)一點，連接AP，BP，CP，將線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接．（1）用等式表示與CP的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）當(dāng)∠BPC＝120°時，①直接寫出的度數(shù)為；②若M為BC的中點，連接PM，請用等式表示PM與AP的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1），理由見解析；（2）①60°；②PM＝，見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得AB＝AC，∠BAC＝60°，再由由旋轉(zhuǎn)可知：從而得到，可證得，即可求解；（2）①由∠BPC＝120°，可得∠PBC＋∠PCB＝60°．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得∠BAC＝60°，從而得到∠ABC＋∠ACB＝120°，進(jìn)而得到∠ABP＋∠ACP＝60°．再由，可得，即可求解；②延長PM到N，使得NM＝PM，連接BN．可先證得△PCM≌△NBM．從而得到CP＝BN，∠PCM＝∠NBM．進(jìn)而得到．根據(jù)①可得，可證得，從而得到．再由為等邊三角形，可得．從而得到，即可求解．【詳解】解：（1）．理由如下：在等邊三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，由旋轉(zhuǎn)可知：

∴即在和△ACP中∴．∴．（2）①∵∠BPC＝120°，∴∠PBC＋∠PCB＝60°．∵在等邊三角形ABC中，∠BAC＝60°，∴∠ABC＋∠ACB＝120°，∴∠ABP＋∠ACP＝60°．∵．∴，∴∠ABP＋∠ABP＇＝60°．即；②PM＝．理由如下：如圖，延長PM到N，使得NM＝PM，連接BN．∵M(jìn)為BC的中點，∴BM＝CM．在△PCM和△NBM中∴△PCM≌△NBM（SAS）．∴CP＝BN，∠PCM＝∠NBM．∴．∵∠BPC＝120°，∴∠PBC＋∠PCB＝60°．∴∠PBC＋∠NBM＝60°．即∠NBP＝60°．∵∠ABC＋∠ACB＝120°，∴∠ABP＋∠ACP＝60°．∴∠ABP＋∠ABP＇＝60°．即．∴．在△PNB和中∴（SAS）．∴．∵

∴為等邊三角形，∴．∴，∴PM＝．【點睛】本題主要考查了等邊三角形判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)，熟練掌握等邊三角形判定和性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)定理，圖形的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·黑龍江·中考真題）和都是等邊三角形．(1)將繞點A旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時，連接BD，CE并延長相交于點P（點P與點A重合），有（或）成立；請證明．(2)將繞點A旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時，連接BD，CE相交于點P，連接PA，猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明；(3)將繞點A旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時，連接BD，CE相交于點P，連接PA，猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不需要證明．【答案】(1)證明見解析(2)圖②結(jié)論：，證明見解析(3)圖③結(jié)論：【分析】（1）由△ABC是等邊三角形，得AB=AC，再因為點P與點A重合，所以PB=AB，PC=AC，PA=0，即可得出結(jié)論；（2）在BP上截取，連接AF，證明（SAS），得，再證明（SAS），得，，然后證明是等邊三角形，得，即可得出結(jié)論；（3）在CP上截取，連接AF，證明（SAS），得，再證明（SAS），得出，，然后證明是等邊三角形，得，即可得出結(jié)論：．(1)證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∵點P與點A重合，∴PB=AB，PC=AC，PA=0，∴或；(2)解：圖②結(jié)論：證明：在BP上截取，連接AF，∵和都是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴（SAS），∴，∵AC=AB，CP=BF，

∴（SAS），∴，，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴；(3)解：圖③結(jié)論：，理由：在CP上截取，連接AF，∵和都是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴（SAS），∴，∵AB=AC，BP=CF，∴（SAS），

∴，，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，即．【點睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·黑龍江哈爾濱·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，將繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60°到的位置，連接，則的度數(shù)為（

）A．15° B．20° C．30° D．45°【答案】C【分析】連接，證明為等邊三角形，然后進(jìn)一步證明≌△，得到，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖所示，連接，由題意得：，，∴為等邊三角形，∴，；在與中，∴≌△（SSS），∴，故選：C．【點睛】該題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用等幾何知識點問題．解題的關(guān)鍵是作輔助線；靈活運用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、全等三角形的判定來分析、解答．例4．（2022·青?！ぶ锌颊骖}）兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若和是頂角相等的等腰三角形，BC，DE分別是底邊.求證：；(2)解決問題：如圖2，若和均為等腰直角三角形，，點A，D，E在同一條直線上，CM為中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

圖1

圖2【答案】(1)見解析(2)；【分析】（1）先判斷出∠BAD=∠CAE，進(jìn)而利用SAS判斷出△BAD≌△CAE，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法判斷出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出結(jié)論．【解析】(1)證明：∵和是頂角相等的等腰三角形，∴，，，∴，∴．在和中，，∴，∴．(2)解：，，理由如下：由（1）的方法得，，∴，，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴．∵，，∴．∵，∴，∴．∴．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形，等邊三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)，判斷出△ACD≌△BCE是解本題的關(guān)鍵．例5．（2022秋·江蘇·八年級期中）點為外一點，，．(1)如圖1，，，求證：；(2)如圖2，若，，，求證：；【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)證明，可得；（2）延長交AE于F，連，根據(jù)證明，則，，結(jié)論得證；【詳解】（1）證明：，，又，，，．（2）如圖1，延長交于，連，，．，，．，，，，，，；【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)等知識，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵，模型2.手拉手模型（正多邊形型）【模型解讀】將兩個多邊形繞著公共頂點（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個多邊形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等。【常見模型及證法】如圖，在任意△ABC中，分別以AB、AC為邊作正方形ABDE、ACFG，連接EC、BG，則△AEC≌△ABG.例1．（2022·廣東廣州市·八年級期中）如圖，兩個正方形ABCD與DEFG，連結(jié)AG，CE，二者相交于點H．（1）證明：△ADG≌△CDE；（2）請說明AG和CE的位置和數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（3）連結(jié)AE和CG，請問△ADE的面積和△CDG的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【答案】(1)答案見解析；(2)AG=CE，AG⊥CE；(3)△ADE的面積=△CDG的面積【分析】（1）利用SAS證明△ADG≌△CDE；（2）利用△ADG≌△CDE得到AG=CE，∠DAG=∠DCE，利用∠DAG+∠AMD=90°得到∠DCE+∠CMG=90°，即可推出AG⊥CE；（3）△ADE的面積=△CDG的面積，作GP⊥CD于P，EN⊥AD交AD的延長線于N，證明△DPG≌△DNE，得到PG=EN，再利用三角形的面積公式分別表示出△ADE的面積，△CDG的面積，即可得到結(jié)論△ADE的面積=△CDG的面積.【詳解】（1）∵四邊形ABCD與DEFG都是正方形，∴AD=CD，DG=DE，∠ADC=∠EDG=90°，∴∠ADC+∠CDG=∠EDG+∠CDG，∴∠ADG=∠CDE，∴△ADG≌△CDE（SAS），（2）AG=CE，AG⊥CE，∵△ADG≌△CDE，∴AG=CE，∠DAG=∠DCE，∵∠DAG+∠AMD=90°，∠AMD=∠CMG，∴∠DCE+∠CMG=90°，∴∠CHA=90°，∴AG⊥CE；（3）△ADE的面積=△CDG的面積，作GP⊥CD于P，EN⊥AD交AD的延長線于N，則∠DPG=∠DNE=90°，∵∠GDE=90°，∴∠EDN+∠GDN=90°，∵∠PDG+∠GDN=90°，∴∠EDN=∠PDG，∵DE=DG，∴△DPG≌△DNE，∴PG=EN，∵△ADE的面積=，△CDG的面積=，∴△ADE的面積=△CDG的面積.【點睛】此題考查正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，利用三角形面積公式求解，根據(jù)圖形得到三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵.例2．（2023·河南鶴壁市八年級月考）（1）作圖發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知，小涵同學(xué)以、為邊向外作等邊和等邊，連接，．這時他發(fā)現(xiàn)與的數(shù)量關(guān)系是．（2）拓展探究：如圖2，已知，小涵同學(xué)以、為邊向外作正方形和正方形，連接，，試判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）BE=CD；（2）BE=CD，理由見解析；【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)得出，然后有，再利用SAS即可證明，則有；（2）利用正方形的性質(zhì)得出，然后有，再利用SAS即可證明，則有；【詳解】（1）如圖1所示：和都是等邊三角形，，，即，在和中，，．（2），四邊形和均為正方形，，，，，在和中，，，例3．（2023·福建福州市·九年級月考）如圖，和均為等邊三角形，連接BE、CD．（1）請判斷：線段BE與CD的大小關(guān)系是；（2）觀察圖，當(dāng)和分別繞點A旋轉(zhuǎn)時，BE、CD之間的大小關(guān)系是否會改變?（3）觀察如圖和4，若四邊形ABCD、DEFG都是正方形,猜想類似的結(jié)論是___________,在如圖中證明你的猜想.（4）這些結(jié)論可否推廣到任意正多邊形（不必證明）,如圖,BB1與EE1的關(guān)系是;它們分別在哪兩個全等三角形中;請在如圖中標(biāo)出較小的正六邊形AB1C1D1E1F1的另五個頂點，連接圖中哪兩個頂點,能構(gòu)造出兩個全等三角形？【答案】(1)BE=CD（2）線段BE與CD的大小關(guān)系不會改變（3）AE＝CG，證明見解析（4）這些結(jié)論可以推廣到任意正多邊形.如圖5，BB1=EE1，它們分別在△AE1E和△AB1B中，如圖6，連接FF1，可證△AB1B≌△AF1F．圖形見解析.【分析】本題是變式拓展題，圖形由簡單到復(fù)雜，需要從簡單圖形中探討解題方法，并借鑒用到復(fù)雜圖形中；證明三角形全等時，用旋轉(zhuǎn)變換尋找三角形全等的條件．【詳解】（1）線段BE與CD的大小關(guān)系是BE=CD；（2）線段BE與CD的大小關(guān)系不會改變；

（3）AE=CG．證明：如圖4，正方形ABCD與正方形DEFG中，∵AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°，

又∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE，∴△ADE≌△CDG，∴AE=CG．

（4）這些結(jié)論可以推廣到任意正多邊形．

如圖5，BB1=EE1，它們分別在△AE1E和△AB1B中，如圖6，連接FF1，可證△AB1B≌△AF1F．【點睛】本題綜合考查全等三角形、等邊三角形和多邊形有關(guān)知識．注意對三角形全等的證明方法的發(fā)散．例4．（2023·江蘇無錫·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖1，圖2，圖3，在中，分別以為邊，向外作正三角形，正四邊形，正五邊形，相交于點．（正多邊形的各邊相等，各個內(nèi)角也相等）①如圖1，求證：△ABE≌△ADC；②探究：如圖1，∠BOD=；③如圖2，∠BOD=；④如圖3，∠BOD=．【答案】①見解析；②60°；③90°；④108°【分析】①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以得出△ABE≌△ADC．②③④根據(jù)△ABE≌△ADC可得∠CDA=∠EBA，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得∠BOD=∠BAD，從而求解．【詳解】解：①證明：如圖，∵△ABD和△AEC是等邊三角，∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠ABD=∠ADB=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE．在△ABE和△ADC中，，∴△ABE≌△ADC（SAS）；②，，∵∠AFD=∠OFB，∴∠BOD=∠BAD=60°；③如圖，四邊形和四邊形是正方形，，，，，，即，在和中，，，，∵∠AHB=∠OHD，∴∠BOD=∠BAD=90°；④如圖，五邊形和五邊形是正五邊形，，，，，，，在和中，，，，∵∠AMB=∠OMD，∴∠BOD=∠BAD=（5-2）×180°÷5=108°．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運用，正方形的性質(zhì)的運用，正五邊形的性質(zhì)的運用及正邊形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時根據(jù)正多邊形的性質(zhì)證明三角形全等是關(guān)鍵．課后專項訓(xùn)練1．（2022·天津·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，若M是BC邊上任意一點，將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ACN，點M的對應(yīng)點為點N，連接MN，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對每個選項逐一判斷即可．【詳解】解：∵將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ACN，∴△ABM≌△ACN，∴AB=AC，AM=AN，∴AB不一定等于AN，故選項A不符合題意；∵△ABM≌△ACN，∴∠ACN=∠B，而∠CAB不一定等于∠B，∴∠ACN不一定等于∠CAB，∴AB與CN不一定平行，故選項B不符合題意；∵△ABM≌△ACN，∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B，∴∠BAC=∠MAN，∵AM=AN，AB=AC，∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且頂角相等，∴∠B=∠AMN，∴∠AMN=∠ACN，故選項C符合題意；∵AM=AN，而AC不一定平分∠MAN，∴AC與MN不一定垂直，故選項D不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)．旋轉(zhuǎn)變換是全等變換，利用旋轉(zhuǎn)不變性是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，為等邊三角形，以為邊向外作，使，再以點C為旋轉(zhuǎn)中心把旋轉(zhuǎn)到，則給出下列結(jié)論：①D，A，E三點共線；②平分；③；④．其中正確的有（

）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】①設(shè)∠1=x度，把∠2=（60-x）度，∠DBC=∠4=（x+60）度，∠3=60°加起來等于180度，即可證明D、A、E三點共線；②根據(jù)△BCD繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，判斷出△CDE為等邊三角形，求出∠BDC=∠E=60°，∠CDA=120°-60°=60°，可知DC平分∠BDA；③由②可知，∠BAC=60°，∠E=60°，從而得到∠E=∠BAC．④由旋轉(zhuǎn)可知AE=BD，又∠DAE=180°，DE=AE+AD．而△CDE為等邊三角形，DC=DE=DB+BA．【詳解】解：如圖，①設(shè)∠1=x度，則∠2=（60-x）度，∠DBC=（x+60）度，故∠4=（x+60）度，∴∠2+∠3+∠4=60-x+60+x+60=180度，∴D、A、E三點共線；故①正確；②∵△BCD繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，∴CD=CE，∠DCE=60°，∴△CDE為等邊三角形，∴∠E=60°，∴∠BDC=∠E=60°，∴∠CDA=120°-60°=60°，∴DC平分∠BDA；故②正確；③∵∠BAC=60°，∠E=60°，∴∠E=∠BAC．故③正確；④由旋轉(zhuǎn)可知AE=BD，又∵∠DAE=180°，∴DE=AE+AD．∵△CDE為等邊三角形，∴DC=DB+DA．故④正確；故選：D．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等相關(guān)知識，要注意旋轉(zhuǎn)不變性，找到變化過程中的不變量．3．（2022·貴州遵義·八年級期末）在中，，且E為邊的中點，連接，以為邊向上作等邊三角形，連接，則的長為_______．【答案】6【分析】延長BC到F，使BF=2BC，得是等邊三角形，再證明得即可解題．【詳解】解：延長BC到F，使BF=2BC，即，∵在中，，∴，，∴是等邊三角形，∴，，又∵在等邊三角形中，，，∴，∴（SAS），∴，又∵，E為邊的中點，∴，∴，∴．故答案為6．【點睛】本題主要考查了等邊三角形性質(zhì)和判定、全等三角形性質(zhì)和判定．解題關(guān)鍵是補全圖形構(gòu)造手拉手全等模型，從而由得．4．（2023春·廣東廣州·八年級廣州市真光中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，C為線段上一動點（不與點A、E重合），在同側(cè)分別作正和正，與交于點O，與交于點，與交于點，連接．以下五個結(jié)論：①；②；③；④；⑤．恒成立的結(jié)論有______．（把你認(rèn)為正確的序號都填上）【答案】①②③⑤【分析】①由于和是等邊三角形，可知，，，從而證出，可推知；②由得，和，，得到，再根據(jù)推出為等邊三角形，又由，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，可知②正確；③同②得：，即可得出結(jié)論；④根據(jù)，，可知，可知④錯誤；⑤利用等邊三角形的性質(zhì)，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，于是，可知⑤正確．【詳解】解：①和為等邊三角形，，，，，在和中，，，，，①正確；②，在和中，，．，，，，②正確；③同②得：，，③正確；④，且，，故④錯誤；⑤，，是等邊三角形，，，，，⑤正確；故答案為：①②③⑤．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．5．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，是一個銳角三角形，分別以、為邊向外作等邊三角形、，連接、交于點，連接．(1)求證：≌；(2)求的度數(shù)；(3)求證：平分．【答案】(1)見解析(2)(3)見解析【分析】（1）由、是等邊三角形，易證，繼而可證；（2）由≌，得到，進(jìn)一步得到，由三角形內(nèi)角和得到答案；（3）作于點于點，證明，由，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：、是等邊三角形，，，即，≌；（2）解：≌，，，；（3）證明：如圖，作于點于點，，，，，，，，平分．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、角平分性的判定知識，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·河北保定·八年級?？计谥校┰谥校cD是直線上一點，連接，以為邊向右作，使得，，連接CE．(1)①如圖1，求證：；②當(dāng)點D在邊上時，請直接寫出，，的面積（，，）所滿足的關(guān)系；(2)當(dāng)點D在的延長線上時，試探究，，的面積（，，）所滿足的關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)①證明見解析；②，理由見解析(2)，理由見解析【分析】（1）①先證明，再利用證即可；②利用全等三角形的性質(zhì)得到，再由即可得到結(jié)論；（2）由已知條件可得證出，，推出，再由，即可得到．【詳解】（1）證明：①∵，∴，即．在和中，?！啵?，理由如下：∵，∴，∵，∴；（2）解：，理由如下：∵，∴，即．在和中，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知全等三角形的判定定理以及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期中）（1）如圖1，與均是頂角為40°的等腰三角形，BC、DE分別是底邊，求證：；（2）如圖2，和均為等邊三角形，點A、D、E在同一直線上，連接BE．填空：的度數(shù)為______；線段BE與AD之間的數(shù)量關(guān)系是______．【答案】（1）見解析；（2）60°；【分析】（1）根據(jù)頂角為40°，可得，進(jìn)而證明即可得證；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，，方法同（1）求得，證明，可得，根據(jù)點A，D，E在同一直線上，即可求得，根據(jù)全等的性質(zhì)即可得，進(jìn)而可得【詳解】（1）證明∵，∴，即．在和中，∴．∴．（2）解：和均為等邊三角形，∴，，．∴，即．在和中，∴，，，∴．∴，．∵點A，D，E在同一直線上，∴．∴．∴．故答案為：，【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．8．（2022·陜西·九年級專題練習(xí)）閱讀下面的例題及點撥，并解決問題：例題：如圖①，在等邊△ABC中，M是BC邊上一點（不含端點B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分線上一點，且AM=MN．求證：∠AMN=60°．點撥：如圖②，作∠CBE=60°，BE與NC的延長線相交于點E，得等邊△BEC，連接EM．易證：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，則EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，進(jìn)一步可得∠1=∠2=∠5，又因為∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°．問題：如圖③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1邊上一點（不含端點B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分線上一點，且A1M1=M1N1．求證：∠A1M1N1=90°．【答案】見解析；【分析】延長A1B1至E，使EB1＝A1B1，連接EM1C、EC1，則EB1＝B1C1，∠EB1M1＝90°＝∠A1B1M1，得出△EB1C1是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠B1EC1＝∠B1C1E＝45°，證出∠B1C1E＋∠M1C1N1＝180°，得出E、C1、N1，三點共線，由SAS證明△A1B1M1≌△EB1M1得出A1M1＝EM1，∠1＝∠2，得出EM1＝M1N1，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠3＝∠4，證出∠1＝∠2＝∠5，得出∠5＋∠6＝90°，即可得出結(jié)論．【詳解】解：延長A1B1至E，使EB1=A1B1，連接EM1、EC1，如圖所示：則EB1=B1C1，∠EB1M1=90°=∠A1B1M1，∴△EB1C1是等腰直角三角形，∴∠B1EC1=∠B1C1E=45°，∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分線上一點，∴∠M1C1N1=90°+45°=135°，∴∠B1C1E+∠M1C1N1=180°，∴E、C1、N1三點共線，在△A1B1M1和△EB1M1中，，∴△A1B1M1≌△EB1M1（SAS），∴A1M1=EM1，∠1=∠2，∵A1M1=M1N1，∴EM1=M1N1，∴∠3=∠4，∵∠2+∠3=45°，∠4+∠5=45°，∴∠1=∠2=∠5，∵∠1+∠6=90°，∴∠5+∠6=90°，∴∠A1M1N1=180°﹣90°=90°．【點睛】此題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識；本題綜合性強，熟練掌握正方形的性質(zhì)，通過作輔助線構(gòu)造三角形全等是解本題的關(guān)鍵．9．（2022秋·貴州黔東南·八年級?？计谀┤鐖D，將圖1的正方形紙片沿對角線剪開，得到圖2的兩張三角形紙片，再將這兩張三角形紙片擺成圖3所示的圖形，使得點B（E）重合．(1)求證：△ABD≌△CBF；(2)猜測AD與CF的位置關(guān)系，并說明理由；(3)若∠ABF=120°請判斷△BGH的形狀，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)AD⊥CF，理由見解析(3)△BGH是等邊三角形，理由見解析【分析】（1）通過正方形的性質(zhì)可以快速得到兩個三角形全等（2）由第一問的手拉手模型得到的三角形全等得到∠ADB=∠CFB，再通過對頂角得到∠BHF=∠PHD，最后通過互余的關(guān)系得出結(jié)論．（3）由第一問的全等得出∠BAD=∠BFC，進(jìn)而得出△ABG≌△FBH，BG=BH，求出∠GBH=60°即可得出結(jié)論．（1）由題意，得

AB=CB=DB=FB，∠ABC=∠DBF=90°，∴∠ABC+∠CBD=∠DBF+∠CBD，∴∠ABD=∠CBF，∴△ABD≌△CBF．（2）AD⊥CF，理由：∵△ABD≌△CBF，∴∠ADB=∠CFB，又∠DBF=90°，∴∠CFB+∠BHF=90°，又∠BHF=∠PHD，∴∠ADB+∠PHD=90°，即∠APF=90°，∴AD⊥CF．（3）△BGH是等邊三角形．理由：∵△ABD≌△CBF，∴∠BAD=∠BFC，∵AB=FB，∠ABG=∠FBG=90°，∴△ABG≌△FBH，∴BG=BH，又∠GBH=360°-120°-90°-90°=60°，∴△BGH是等邊三角形【點睛】本題考查三角形全等中的手拉手模型的證明與運用，等邊三角形的證明方法等，熟練掌握三角形全等的判定方法及等邊三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．10．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，和均為等腰直角三角形，，連接，，點、、在同一條直線上，則的度數(shù)為__________，線段、之間的數(shù)量關(guān)系__________；（2）拓展探究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，連接，，點、、不在一條直線上，請判斷線段、之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．（3）解決問題：如圖3，和均為等腰三角形，，則直線和的夾角為__________．（請用含的式子表示）【答案】（1）90°，AD=BE；（2）AD=BE，AD⊥BE；（3）【分析】（1）由已知條件可得，，進(jìn)而根據(jù)∠ACB?∠DCB＝∠DCE?∠DCB，可得∠ACD＝∠BCE，證明△ACD≌△BCE（SAS），即可求得AD=BE；∠BEC=∠CDA=135°；（2）延長交于點F，同理可得△ACD≌△BCE，設(shè)∠FAB=α，則∠CAD=∠CBE=45°-α，根據(jù)∠ABE=45°+45°-α=90°-α，進(jìn)而根據(jù)∠AFB=180°-∠FAB-∠ABE=180°-α-(90°-α)=90°，即可求解；（3）延長BE交AD于點G，方法同（2）證明△ACD≌△BCE，進(jìn)而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求得直線和的夾角．【詳解】（1）∵和均為等腰直角三角形，，∴，，∠CDE=45°∴∠CDA=135°∵∠ACB?∠DCB＝∠DCE?∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠BEC=∠ADC＝135°，AD＝BE∴∠AEB=90°故答案為：90°，AD＝BE（2）AD=BE，AD⊥BE，理由如下，同理可得△ACD≌△BCE，則AD=BE，延長交于點F，設(shè)∠FAB=α，則∠CAD=∠CBE=45°-α∴∠ABE=45°+45°-α=90°-α∴∠AFB=180°-∠FAB-∠ABE=180°-α-(90°-α)=90°∴AD⊥BE（3）如圖，延長BE交AD于點G，∵和均為等腰三角形，∴，，∵∠ACB=∠DCE=α，∵∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE=∠CAD∵∴∠CBA=∠CAB=∴∠GAB+∠GBA=，，∴∠AGB=180°-(∠GAB+∠GBA)，即直線和的夾角為．故答案為：．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握旋轉(zhuǎn)模型證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋·湖南懷化·八年級統(tǒng)考期末）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，△ABC與△ADE是等邊三角形，且點B、D，E在同一直線上，連接CE，求的度數(shù)，并確定線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系．拓展探究：如圖②，△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，，且點B，D，E在同一直線上，于F，連接CE，求的度數(shù)，并確定線段AF，BF，CE之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】問題發(fā)現(xiàn)：∠AEB的度數(shù)為60°；線段BD與CE之間的數(shù)量關(guān)系是：BD＝CE，理由見解析；拓展探究：∠BEC＝90°，BF＝CE＋AF，理由見解析【分析】問題發(fā)現(xiàn)：證明△ABD≌△ACE，可得BD＝CE，由點B，D，E在同一直線上，可得∠BEC＝60°；拓展探究：方法同上，證明△ABD≌△ACE（SAS），可得BD＝CE，∠ADB＝∠AEC，由點A，D，E在同一直線上，可得∠ADB＝∠AEC＝135°，進(jìn)而可得∠DAE＝90°，由AD＝AE，AF⊥DE，可得AF＝DF＝EF，即可得出BF＝BD＋DF＝CE＋AF．【詳解】問題發(fā)現(xiàn)：∵△ACB和△ADE均為等邊三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠BDA＝∠CEA，∵點B，D，E在同一直線上，∴∠ADB＝180－60＝120°，∴∠AEC＝120°，∴∠BEC＝∠AEC－∠AED＝120－60＝60°，綜上，可得∠AEB的度數(shù)為60°；線段BD與CE之間的數(shù)量關(guān)系是：BD＝CE．拓展探究：∵△ACB和△DAE均為等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ADE＝∠AED＝45°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC，∵點A，D，E在同一直線上，∴∠ADB＝180－45＝135°，∴∠AEC＝135°，∴∠BEC＝∠AEC－∠AED＝135－45＝90°；∵∠DAE＝90°，AD＝AE，AF⊥DE，∴AF＝DF＝EF，∴DE＝DF＋EF＝2AF，∴BF＝BD＋DF＝CE＋AF．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．12．（2022·綿陽市·八年級專題練習(xí)）已知∠MBN＝60°，等邊△BEF與∠MBN頂點B重合，將等邊△BEF繞頂點B順時針旋轉(zhuǎn)，邊EF所在直線與∠MBN的BN邊相交于點C，并在BM邊上截取AB＝BC，連接AE．(1)將等邊△BEF旋轉(zhuǎn)至如圖①所示位置時，求證：CE＝BE+AE；(2)將等邊△BEF順時針旋轉(zhuǎn)至如圖②、圖③位置時，請分別直接寫出AE，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；(3)在（1）和（2）的條件下，若BF＝4，AE＝1，則CE＝．【答案】(1)見解析(2)圖②結(jié)論為CE＝BE﹣AE，圖③結(jié)論為CE＝AE﹣BE(3)3或5【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和SAS證明△ABE與△CBF全等，利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和SAS證明△ABE與△CBF全等，利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；（3）根據(jù)（1）和（2）的結(jié)論，解答即可．【詳解】（1）證明：∵△BEF為等邊三角形，∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，∴∠EBA+∠ABF＝60°，∵∠MBN＝60°，∴∠CBF+∠ABF＝60°，∴∠EBA＝∠CBF，在△ABE與△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴AE＝CF，∵CE＝EF+CF，∴CE＝BE+AE；（2）解：圖②結(jié)論為CE＝BE﹣AE，圖③結(jié)論為CE＝AE﹣BE，圖②的理由如下：∵△BEF為等邊三角形，∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，∴∠EBA+∠ABF＝60°，∵∠MBN＝60°，∴∠CBF+∠ABF＝60°，∴∠EBA＝∠CBF，在△ABE與△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴AE＝CF，∵CE＝EF﹣CF，∴CE＝BE﹣AE，圖③的理由如下：∵△BEF為等邊三角形，∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，∴∠EBA+∠ABF＝60°，∵∠MBN＝60°，∴∠CBF+∠ABF＝60°，∴∠EBA＝∠CBF，在△ABE與△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴AE＝CF，∵CE＝CF﹣EF，∴CE＝AE﹣BE；（3）：在（1）條件下，CE＝BE+AE＝BF+AE＝4+1＝5；在（2）條件下，CE＝BE﹣AE＝BF﹣AE＝4﹣1＝3，綜上所述，CE＝3或5，故答案為：3或5．【點睛】此題考查幾何變換的綜合題，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和SAS證明△ABE≌△CBF．13．（2023春·廣東揭陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，以的邊、分別向外作等腰直角與等腰直角，，連接和相交于點O，交于點F，交于點G．

(1)試說明：；(2)試說明：；(3)試說明：點A到邊，所在直線的距離相等．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，，，進(jìn)一步利用證明即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，利用三角形內(nèi)角和以及對頂角相等得到，可得，即可證明；（3）設(shè)點A到邊，所在直線的距離分別為，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，利用三角形面積公式可得，即可證明．【詳解】（1）解：證明：和都是等腰直角三角形，，，又，，即，在和中，，；（2）∵，，，又，，，，即．（3）設(shè)點A到邊，所在直線的距離分別為，，∵，∴，即，∵，∴，即點A到邊，所在直線的距離相等．【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．14．（2023·廣東深圳·八年級校考期中）在中，，點是直線上一點（不與、重合），把線路繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)至（即），使得，連接、．(1)如圖1，點在線段上，如果，則__________度．

(2)如圖2，當(dāng)點在線段上，如果，則__________度．

(3)如圖3，設(shè)，，當(dāng)點在線段上移動時，，的數(shù)量關(guān)系是什么？請說明理由．

(4)設(shè)，，當(dāng)點在直線上移動時，請直接寫出，的數(shù)量關(guān)系，不用證明．【答案】(1)90(2)120(3)(4)或【分析】（1）由“”可證，得，可求的度數(shù)；（2）由“”可證，得，可求的度數(shù)；（3）由“”可證得出，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；（4）由“”可證得出，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案為：90；（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案為：120；（3），理由如下：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴；（4）如圖4，當(dāng)點D在的延長線上時，，

證明方法同（3）；如圖5，當(dāng)點D在的延長線上時，，

理由如下：∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴．綜上，或．【點睛】此題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識，本題綜合性強，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．15．（2022·山西八年級月考）綜合與實踐特例研究：將矩形和按如圖1放置，已知，連接．如圖1，當(dāng)點在上時，線段與之間的數(shù)量關(guān)系是__；直線與直線之間的位置關(guān)系是_；拓廣探索：圖2是由圖1中的矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到的，請?zhí)剿骶€段與之間的數(shù)量關(guān)系和直線與直線之間的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）；（2），理由見解析【分析】，延長交于點G先證△FBC≌△EDC（SAS），可知，由∠DCE=90o，可得∠DEC+∠CDE=90o，可推出∠FDG+∠GFD=90o即可，先下結(jié)論，，再證明，證法與（1）類似，延長交于點交于點．由四邊形為矩形且AD=CD可得，可推出．由知．由可用等量代換得由三角形內(nèi)角和得即可．【詳解】解：，延長交于點G，∵四邊形為矩形，且AD=DC，∴BC=CD，=90o，由旋轉(zhuǎn)的FC=EC，∴△FBC≌△EDC（SAS），，∵∠DCE=90o，∴∠DEC+∠CDE=90o，∴∠FDG+∠GFD=90o∠FGD=90o，，理由如下：如答圖，延長交于點交于點，，四邊形為矩形，，，，，矩形為正方形．，在和中，．．．．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)中兩線段的數(shù)量與位置關(guān)系問題，關(guān)鍵是把兩線段置于兩個三角形中利用全等解決問題，會利用旋轉(zhuǎn)找全等條件，會計算角的和差，和證垂直的方法．16．（2022·福建八年級期中）如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．解答下列問題(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①當(dāng)點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為．②當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°點D在線段BC上運動．試探究：當(dāng)△ABC滿足一個什么條件時，CF⊥BC（點C、F重合除外）？并說明理由．【答案】(1)①垂直，相等；②成立，理由見解析(2)∠ACB＝45°【分析】（1）①證明△DAB≌△FAC，即可得到CF⊥BD，CF＝BD．②當(dāng)點D在BC的延長線上時①的結(jié)論仍成立．由正方形ADEF的性質(zhì)可推出△DAB≌△FAC，所以CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．結(jié)合∠BAC＝90°，AB＝AC，得到∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90度．即CF⊥BD．（2）當(dāng)∠ACB＝45°時，過點A作AG⊥AC交CB或CB的延長線于點G，則∠GAC＝90°，可推出∠ACB＝∠AGC，所以AC＝AG，由（1）①可知CF⊥BD．（1）①CF⊥BD，CF＝BD∵∠FAD＝∠BAC＝90°∴∠BAD＝∠CAF在△BAD與△CAF中，∵∴△BAD≌△CAF（SAS）∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD，∵∴∠BCF＝90°∴CF⊥BD；故答案為：垂直，相等；②成立，理由如下：∵∠FAD＝∠BAC＝90°∴∠BAD＝∠CAF在△BAD與△CAF中，∵，∴△BAD≌△CAF（SAS）∴CF＝BD，∠ACF＝∠ACB＝45°，∴∠BCF＝90°，∴CF⊥BD；（2）當(dāng)∠ACB＝45°時可得CF⊥BC，理由如下：過點A作AC的垂線與CB所在直線交于G∵∠ACB＝45°∴AG＝AC，∠AGC＝∠ACG＝45°∵AG＝AC，AD＝AF，∵∠GAD＝∠GAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∠FAC＝∠FAD﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∴∠GAD＝∠FAC，∴△GAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF＝∠AGD＝45°，∴∠GCF＝∠GCA+∠ACF＝90°，∴CF⊥BC．【點睛】本題考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．17．（2022·遼寧沈陽·九年級校考期中）（1）如圖①，若在等邊△ABC的邊AB上任取一點E（點E不與B重合），以EC為邊在△ABC同側(cè)作等邊△CEN，連接AN．求證：ANBC且AN＝BE；（2）如圖②，若把（1）中的“等邊△ABC”改成正方形ABCD，同樣在邊AB上任取一點E（點E不與