山東省德州市平原中英文實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析_第1頁
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山東省德州市平原中英文實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.一個長方體共一頂點(diǎn)的三條棱長分別是,這個長方體它的八個頂點(diǎn)都在同一個球面上,這個球的表面積是()A.12π B.18π C.36π D.6π2.已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上,,則球的表面積為()A. B. C. D.3.一個幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何的體積為()立方單位.A. B.C. D.4.三棱錐中,平面且是邊長為的等邊三角形,則該三棱錐外接球的表面積為()A. B. C. D.5.已知,且為第二象限角,則()A. B. C. D.6.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,且,則()A.10 B.7 C.12 D.37.在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取一個實(shí)數(shù)a,使得關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根的概率為()A. B. C. D.8.設(shè)變量、滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最大值為()A.2 B.3 C.4 D.99.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某個幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.10.一元二次不等式的解集為()A. B.C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù).當(dāng)時,,關(guān)于的方程,有且僅有5個不同實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.12.給出以下四個結(jié)論:①平行于同一直線的兩條直線互相平行;②垂直于同一平面的兩個平面互相平行;③若,是兩個平面;,是異面直線;且,,,,則;④若三棱錐中,,,則點(diǎn)在平面內(nèi)的射影是的垂心;其中錯誤結(jié)論的序號為__________.(要求填上所有錯誤結(jié)論的序號)13.已知點(diǎn)和點(diǎn),點(diǎn)在軸上,若的值最小,則點(diǎn)的坐標(biāo)為______.14.已知變量,滿足,則的最小值為________.15.當(dāng)函數(shù)取得最大值時,=__________.16.的值為________.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知,,分別為三個內(nèi)角,,的對邊,.(1)求角的大小;(2)若,的面積為,求邊,.18.2019年,我國施行個人所得稅專項(xiàng)附加扣除辦法,涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除.某單位老、中、青員工分別有人,現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從該單位上述員工中抽取人調(diào)查專項(xiàng)附加扣除的享受情況.(Ⅰ)應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人?(Ⅱ)抽取的25人中,享受至少兩項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除的員工有6人,分別記為.享受情況如下表,其中“”表示享受,“×”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪.員工項(xiàng)目ABCDEF子女教育○○×○×○繼續(xù)教育××○×○○大病醫(yī)療×××○××住房貸款利息○○××○○住房租金××○×××贍養(yǎng)老人○○×××○(i)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果;(ii)設(shè)為事件“抽取的2人享受的專項(xiàng)附加扣除至少有一項(xiàng)相同”,求事件發(fā)生的概率.19.如圖,三棱柱中,側(cè)面為菱形,的中點(diǎn)為,且平面.(1)證明:;(2)若,,,試畫出二面角的平面角,并求它的余弦值.20.已知函數(shù)(1)求的值;(2)求的最大值和最小值.21.已知點(diǎn),求的邊上的中線所在的直線方程.

參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

先求長方體的對角線的長度,就是球的直徑,然后求出它的表面積.【詳解】長方體的體對角線的長是,所以球的半徑是:,所以該球的表面積是,故選A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)長方體的外接球的表面積問題,在解題的過程中,首先要明確長方體的外接球的球心應(yīng)在長方體的中心處,即長方體的體對角線是其外接球的直徑,從而求得結(jié)果.2、A【解析】設(shè)外接圓半徑為,三棱錐外接球半徑為,∵,∴,∴,∴,∴,由題意知,平面,則將三棱錐補(bǔ)成三棱柱可得,,∴,故選A.點(diǎn)睛:空間幾何體與球接、切問題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時,一般過球心及接、切點(diǎn)作截面,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題,再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解.(2)若球面上四點(diǎn)構(gòu)成的三條線段兩兩互相垂直,且,一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個球內(nèi)接長方體,利用求解.3、D【解析】由三視圖可知幾何體是由一個四棱錐和半個圓柱組合而成的,所以所求的體積為,故選D.4、C【解析】根據(jù)已知中底面是邊長為的正三角形,,平面,可得此三棱錐外接球,即為以為底面以為高的正三棱柱的外接球

∵是邊長為的正三角形,∴的外接圓半徑球心到的外接圓圓心的距離故球的半徑故三棱錐外接球的表面積故選C.5、D【解析】

首先根據(jù)題意得到,,再計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?,且為第二象限角,?.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查正切二倍角的計(jì)算,同時考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系,屬于簡單題.6、C【解析】

由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式解得,由,得,由此能求出的值?!驹斀狻拷猓翰顢?shù)列的前n項(xiàng)和為,,,解得,解得,故選:C?!军c(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.7、C【解析】

由關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根,求得,再結(jié)合長度比的幾何概型,即可求解,得到答案.【詳解】由題意,關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根,則滿足,解得,所以在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取一個實(shí)數(shù)a,使得關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根的概率為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何概型的概率的計(jì)算問題,解決此類問題的步驟:求出滿足條件A的基本事件對應(yīng)的“幾何度量”,再求出總的基本事件對應(yīng)的“幾何度量”,然后根據(jù)求解,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

由約束條件作出可行域,化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式,數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo),把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得結(jié)論.【詳解】畫出滿足約束條件的可行域,如圖,畫出可行域,,,,平移直線,由圖可知,直線經(jīng)過時目標(biāo)函數(shù)有最大值,的最大值為9.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃中,利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值,屬于簡單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是實(shí)線還是虛線);(2)找到目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點(diǎn)(在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù),最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解);(3)將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.9、B【解析】根據(jù)三視圖可知幾何體是組合體:上面是半個圓錐(高為圓柱的一半),下面是半個圓柱,其中圓錐底面半徑是,高是,圓柱的底面半徑是,母線長是,所以該幾何體的體積,故選B.【方法點(diǎn)睛】本題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力,屬于難題.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力最常見題型,也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵,不但要注意三視圖的三要素“高平齊,長對正,寬相等”,還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響.10、C【解析】

根據(jù)一元二次不等式的解法,即可求得不等式的解集,得到答案.【詳解】由題意,不等式,即或,解得,即不等式的解集為,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次不等式的解法,其中解答中熟記一元二次不等式的解法是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、.【解析】

令,則原方程為,根據(jù)原方程有且僅有5個不同實(shí)數(shù)根,則有5個不同的解,結(jié)合圖像特征,求出的值或范圍,即為方程解的值或范圍,轉(zhuǎn)化為范圍,即可求解.【詳解】令,則原方程為,當(dāng)時,,且為偶函數(shù),做出圖像,如下圖所示:當(dāng)時,有一個解;當(dāng)或,有兩個解;當(dāng)時,有四個解;當(dāng)或時,無解.,有且僅有5個不同實(shí)數(shù)根,關(guān)于的方程有一個解為,,另一個解為,在區(qū)間上,所以,實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍,考查了分段函數(shù)的應(yīng)用,利用換元法結(jié)合的函數(shù)的奇偶性的對稱性,利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵,屬于難題.12、②【解析】

③①可由課本推論知正確;②可舉反例;④可進(jìn)行證明.【詳解】命題①平行于同一直線的兩條直線互相平行,由課本推論知是正確的;②垂直于同一平面的兩個平面互相平行,是錯誤的,例如正方體的上底面,前面和右側(cè)面,是互相垂直的關(guān)系;③根據(jù)課本推論知結(jié)論正確;④若三棱錐中,,,則點(diǎn)在平面內(nèi)的射影是的垂心這一結(jié)論是正確的;作出B在底面的射影O,連結(jié)AO,DO,則,同理,,進(jìn)而得到O為三角形的垂心.

故答案為②【點(diǎn)睛】這個題目考查了命題真假的判斷,一般這類題目可以通過課本的性質(zhì)或者結(jié)論進(jìn)行判斷;也可以通過舉反例來解決這個問題.13、【解析】

作出圖形,作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn),由對稱性可知,結(jié)合圖形可知,當(dāng)、、三點(diǎn)共線時,取最小值,并求出直線的方程,與軸方程聯(lián)立,即可求出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】如下圖所示,作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn),由對稱性可知,則,當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時,的值最小,直線的斜率為,直線的方程為,即,聯(lián)立,解得,因此,點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用折線段長的最小值求點(diǎn)的坐標(biāo),涉及兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱性的應(yīng)用,考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于中等題.14、0【解析】

畫出可行域,分析目標(biāo)函數(shù)得,當(dāng)在y軸上截距最小時,即可求出的最小值.【詳解】作出可行域如圖:聯(lián)立得化目標(biāo)函數(shù)為,由圖可知,當(dāng)直線過點(diǎn)時,在y軸上的截距最小,有最小值為,故填.【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃,屬于中檔題.15、【解析】

利用輔助角將函數(shù)利用兩角差的正弦公式進(jìn)行化簡,求得函數(shù)取得最大值時的與的關(guān)系,從而求得,,可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù),其中,,當(dāng)時,函數(shù)取得最大值,此時,∴,,∴故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了兩角差的正弦公式的逆用,著重考查輔助角公式的應(yīng)用與正弦函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.16、【解析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式,結(jié)合根式運(yùn)算,化簡求得表達(dá)式的值.【詳解】依題意,由于,所以故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式,考查根式運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】

(1)利用正弦定理化邊為角,再依據(jù)兩角和的正弦公式以及誘導(dǎo)公式,即可求出,進(jìn)而求得角A的大小:(2)依第一問結(jié)果,先由三角形面積公式求出,再利用余弦定理求出,聯(lián)立即可求解出,的值.【詳解】(1)由及正弦定理得,整理得,,,因?yàn)椋?,所以,,又,所以?(2)因?yàn)榈拿娣e,所以,①由余弦定理得,,所以,②聯(lián)立①②解得,.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正余弦定理解三角形和三角形面積公式的應(yīng)用,涉及利用兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式對三角函數(shù)式的恒等變換.18、(I)6人,9人,10人;(II)(i)見解析;(ii).【解析】

(I)根據(jù)題中所給的老、中、青員工人數(shù),求得人數(shù)比,利用分層抽樣要求每個個體被抽到的概率是相等的,結(jié)合樣本容量求得結(jié)果;(II)(I)根據(jù)6人中隨機(jī)抽取2人,將所有的結(jié)果一一列出;(ii)根據(jù)題意,找出滿足條件的基本事件,利用公式求得概率.【詳解】(I)由已知,老、中、青員工人數(shù)之比為,由于采取分層抽樣的方法從中抽取25位員工,因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人,9人,10人.(II)(i)從已知的6人中隨機(jī)抽取2人的所有可能結(jié)果為,,,,共15種;(ii)由表格知,符合題意的所有可能結(jié)果為,,,,共11種,所以,事件M發(fā)生的概率.【點(diǎn)睛】本小題主要考查隨機(jī)抽樣、用列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)、古典概型即其概率計(jì)算公式等基本知識,考查運(yùn)用概率知識解決簡單實(shí)際問題的能力.19、(1)見證明;(2)二面角圖見解析;【解析】

(1)由菱形的性質(zhì)得出,由平面,得出,再利用直線與平面垂直的判定定理證明平面,于是得出;(2)過點(diǎn)在平面內(nèi)作,垂足為點(diǎn),連接,可證出平面,于是找出二面角的平面角為,并計(jì)算出的三邊邊長,利用銳角三角函數(shù)計(jì)算出,即為所求答案.【詳解】(1)連接,因?yàn)閭?cè)面為菱形,所以,且與相交于點(diǎn).因?yàn)槠矫?,平面,所以.又,所以平面因?yàn)槠矫妫裕?)作,垂足為,連結(jié),因?yàn)椋?,,所以平面,又平面,所?所以是二面角的平面角.因?yàn)?,所以為等邊三角形,又,所以,所?因?yàn)?,所?所以.在中,.【點(diǎn)睛】本題考查直線與直線垂直的證明,二面角的求解,在這些問題的處理中,主要找出一些垂

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