新教材高中數(shù)學(xué)第4章概率與統(tǒng)計(jì)一元線性回歸模型導(dǎo)學(xué)案新人教B版選擇性必修第二冊(cè)

4.3.1一元線性回歸模型

13凰喝闞皆因（教師獨(dú)具內(nèi)容）

課程標(biāo)準(zhǔn)：結(jié)合具體實(shí)例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，

了解最小二乘原理.

教學(xué)重點(diǎn)：掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)方法.

教學(xué)難點(diǎn)：1.了解相關(guān)關(guān)系、線性相關(guān)、回歸直線的概念.2.針對(duì)實(shí)際問(wèn)題，會(huì)用一元線

性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè).

核心概念掌握

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書

HEXINGAINIANZH,

】知識(shí)］

知識(shí)點(diǎn)一相關(guān)關(guān)系

1.變量間的常見(jiàn)關(guān)系

（1）變量之間的關(guān)系具有C1確定性,當(dāng)一個(gè)變量確定后，另一個(gè)變量就C2確定了.

（2）變量之間確實(shí)有因一定的關(guān)系,但沒(méi)有達(dá)到可以互相決定的程度，它們之間的關(guān)系帶

有一定的隨機(jī)性.

2.正相關(guān)與負(fù)相關(guān)

（1）正相關(guān)：一個(gè)變量增大，另一個(gè)變量大體上圓也增大.

（2）負(fù)相關(guān)：一個(gè)變量增大，另一個(gè)變量大體上四減少.

知識(shí)點(diǎn)二回歸直線方程

（1）回歸直線方程：一般地，已知變量x與y的〃對(duì)數(shù)據(jù)（必，匕），/=1,2,3,…，n,

任意給定一個(gè)一次函數(shù)y=6x+a,對(duì)每一個(gè)已知的小，由直線方程可以得到一個(gè)估計(jì)值力=

bx；+a,如果一次函數(shù)y=8x+a能使殘差平方和即（%一%尸+（姓一㈤----1_（%一獷=￡

/=1

加一切）2取得最小值，貝獨(dú)=bx+a稱為y關(guān)于x的01回歸直線方程,對(duì)應(yīng)的直線稱為外回歸

直線.

（2）回歸方程的最小二乘法推導(dǎo)過(guò)程：對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（劉，必），（如

_，，一

2（可一為（%一歹）

，=】___________________

_了）2

度），…，（x〃，％）,存在回歸直線方程而且Z?=03/=I=

'Exjyi—nxy

t=l__________________

'f,a=國(guó)亍-6稱為回歸系數(shù)，也就是回歸直線方程的蟹匡

知識(shí)點(diǎn)三回歸直線方程的性質(zhì)

1.回歸直線一定過(guò)點(diǎn)位(二，7).

2.一次函數(shù)y=6x+a的單調(diào)性是由026的符號(hào)決定的，函數(shù)遞增的充要條件是03力0,這

說(shuō)明：y與x正相關(guān)的充要條件是四核0；y與x負(fù)相關(guān)的充要條件是團(tuán)僅0.

3.當(dāng)x增大一個(gè)單位時(shí)，y增大四底單位，這就是回歸系數(shù)6的實(shí)際意義.

知識(shí)點(diǎn)四相關(guān)系數(shù)

￡(弓一看)(y?一夕)

i=1

K=L-"

J?(肛—二)2)(％—JO」

1.計(jì)算公式：v-=11=1

i—nxy

_____________i_=_\__________________________

AJ(SJC--nx2)(Sj?--ny2)

2.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

(Dlrlwi,且「與X正相關(guān)的充要條件是皿力0,y與X負(fù)相關(guān)的充要條件是LZ0.

(2)越小，說(shuō)明兩個(gè)變量之間的朋線性相關(guān)性越弱,也就是得出的回歸直線方程越?jīng)]

有價(jià)值，即方程越不能反映真實(shí)的情況；|力越大，說(shuō)明兩個(gè)變量之間的能線性相關(guān)性越強(qiáng),

也就是得出的回歸直線方程越有價(jià)值.

(3)6|=1的充要條件是成對(duì)數(shù)據(jù)構(gòu)成的點(diǎn)都在回歸直線上.

知識(shí)點(diǎn)五非線性回歸

y與A■不是線性相關(guān)關(guān)系，但可以通過(guò)變量替換后，借助線性相關(guān)的內(nèi)容求出方程，

則v與x的關(guān)系稱為61非線性相關(guān)關(guān)系,所得方程稱為62非線性回歸方程,簡(jiǎn)稱63回歸方程.

，新知I

1.變量之間的關(guān)系具有確定性，可以用函數(shù)表示，則變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系.

2.利用回歸直線方程可以進(jìn)行預(yù)測(cè)估計(jì)總體，但是只有當(dāng)散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí);求出的

回歸方程才有實(shí)際意義，否則就毫無(wú)意義.因此，對(duì)一組數(shù)據(jù)作線性回歸分析時(shí)，應(yīng)先看其

散點(diǎn)圖是否成線性，若成線性，再按求回歸方程的步驟求解.

±1評(píng)價(jià)自測(cè)

1.判一判(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打"X")

(1)已知變量X的值，可由回歸方程y=6x+a得到變量y的精確值.()

(2)回歸方程尸6x+a必經(jīng)過(guò)點(diǎn)(7,7).()

(3)由一組數(shù)據(jù)(小，為)，(如㈤，…，⑸，％)得到的回歸直線方程y=0+a至少經(jīng)過(guò)

(X1,%),(X2,/2)>,?,?(x?,%)中的一個(gè)點(diǎn).()

(4)|r|Wl,且越接近1,兩變量的線性相關(guān)程度越大：行|越接近0,兩變量的線性

相關(guān)程度越小.()

答案⑴X(2)J(3)X(4)J

2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上)

(1)從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為

(2)下列各組變量是相關(guān)關(guān)系的是.

①電壓〃與電流/；②圓面積S與半徑/?；③糧食產(chǎn)量與施肥量；④廣告費(fèi)支出與商品銷

售額.

(3)工人工資y(元)依勞動(dòng)生產(chǎn)率x(千元)變化的線性回歸方程為y=50+80x,則勞動(dòng)生

產(chǎn)率提高1000元時(shí)，工資提高一元.

答案(1)正相關(guān)(2)③④(3)80

核心素養(yǎng).形成

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P()5??

HEXINSUYANGXI

題型一相關(guān)關(guān)系的判斷

例1在下列兩個(gè)變量的關(guān)系中，哪些是相關(guān)關(guān)系？

(1)正方形邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系；

(2)作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系；

(3)人的身高與年齡之間的關(guān)系；

(4)降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系.

［解］兩變量之間的關(guān)系有兩種：函數(shù)關(guān)系與帶有隨機(jī)性的相關(guān)關(guān)系.

(1)正方形邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系.

(2)作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系不是嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，但是具有相關(guān)性，因而是相

關(guān)關(guān)系.

(3)人的身高與年齡之間的關(guān)系既不是函數(shù)關(guān)系，也不是相關(guān)關(guān)系，因?yàn)槿说哪挲g達(dá)到一

定時(shí)期身高就不發(fā)生明顯變化了，因而它們不具備相關(guān)關(guān)系.

(4)降雪量與交通事故的發(fā)生率之間具有相關(guān)關(guān)系.

綜上，(2)(4)中的兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系.

點(diǎn)睛

(1)函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是

一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，可能是伴隨關(guān)系.

(2)準(zhǔn)確理解變量間的相關(guān)關(guān)系是解答本例的關(guān)鍵.要準(zhǔn)確區(qū)分兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系和

函數(shù)關(guān)系，事實(shí)上，現(xiàn)實(shí)生活中相關(guān)關(guān)系是處處存在的，從某種意義上講，函數(shù)關(guān)系可以看

作一種理想的關(guān)系模型，而相關(guān)關(guān)系是一種普遍的關(guān)系.兩者區(qū)別的關(guān)鍵點(diǎn)：是“確定性”

還是“不確定性”.

[跟蹤訓(xùn)練1](1)已知變量x和y近似滿足關(guān)系式尸一0.lx+1,變量y與z正相關(guān).則

下列結(jié)論中正確的是()

A.x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)

B.x與y正相關(guān)，*與z正相關(guān)

C.x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)

D.x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)

(2)下列兩個(gè)變量中具有相關(guān)關(guān)系的是(填寫相應(yīng)的序號(hào)).

①正方體的棱長(zhǎng)和體積；②單產(chǎn)為常數(shù)時(shí)，土地面積和總產(chǎn)量；③日照時(shí)間與水稻的畝

產(chǎn)量.

(3)下列命題：

①任何兩個(gè)變量都具有相關(guān)關(guān)系；

②圓的周長(zhǎng)與該圓的半徑具有相關(guān)關(guān)系；

③某商品的需求量與該商品的價(jià)格是一種非確定性關(guān)系；

④根據(jù)散點(diǎn)圖求得的回歸直線方程可能是沒(méi)有意義的；

⑤兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系可以通過(guò)回歸直線，把非確定性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為確定性問(wèn)題進(jìn)行研

究.

其中正確的命題為.

答案(1)C⑵③(3)③④⑤

解析(1)由y=-0.lx+1,知x與y負(fù)相關(guān)，即y隨片的增大而減小，又y與z正相

關(guān)，所以z隨y的增大而增大，減小而減小，所以z隨*的增大而減小，x與z負(fù)相關(guān).

(2)正方體的棱長(zhǎng)x和體積/存在著函數(shù)關(guān)系眸，單產(chǎn)為常數(shù)a公斤/畝，土地面積

x(畝)和總產(chǎn)量y(公斤)之間也存在著函數(shù)關(guān)系了=ax；日照時(shí)間長(zhǎng)，則水稻的畝產(chǎn)量高，這

只是相關(guān)關(guān)系，應(yīng)填③.

(3)兩個(gè)變量不一定是相關(guān)關(guān)系，也可能是確定性關(guān)系，故①錯(cuò)誤；圓的周長(zhǎng)與該圓的半

徑具有函數(shù)關(guān)系，故②錯(cuò)誤；③④⑤都正確.

題型二線性回歸方程

例2某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得下表數(shù)據(jù):

X681012

y2356

(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(要求：點(diǎn)要描粗)

(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程x+a；

(3)試根據(jù)求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)記憶力為9的同學(xué)的判斷力.

n

ILxty-nxy__

a

(相關(guān)公式：b~~彳-----——，~y-bx)

國(guó)舅一〃x

［解］⑴如圖:

4

(2)由表中數(shù)據(jù)得/E=1x,y,=6X2+8X3+10X5+12X6=158,

-6+8+10+12

x=-------------=9

4

-2+3+5+6

y=4=4,

2H=62+82+10,+12=344,

…158-4X9X4

所以"=344-4X92=°-7,

a—y—bx—4—0.7X9=—2.3,

故線性回歸方程為尸0.7*—2.3.

(3)由(2)中線性回歸方程可知，當(dāng)x=9時(shí)，y=0.7X9—2.3=4,故預(yù)測(cè)記憶力為9

的同學(xué)的判斷力約為4.

點(diǎn)睛

求線性回歸方程的步驟

(1)畫出散點(diǎn)圖.從直觀上分析數(shù)據(jù)間是否存在線性相關(guān)關(guān)系.

(2)計(jì)算7,￡懇等相關(guān)數(shù)據(jù).

(3)代入公式求出y=6x+a中參數(shù)6,a的值.

(4)寫出回歸方程并對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出估計(jì).

［跟蹤訓(xùn)練2］某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此作了四

次試驗(yàn)，得到的數(shù)據(jù)如下：

零件的個(gè)數(shù)x(個(gè))2345

加工的時(shí)間y(小時(shí))2.5344.5

(1)在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;

(2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程x+a,并在坐標(biāo)系中畫出回歸直線;

(3)試預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要多少時(shí)間？

?田一nxy

注：b=a=y—bx.

2^x2-n-x2

7=1

解(1)散點(diǎn)圖如圖.

零件個(gè)數(shù)/個(gè)

(2)由表中數(shù)據(jù)得i>,%=52.5,

x=3.5,y=3.5,Z舅=54,

/=1

=52.5-4X3.5X3.5

所以。

54-4X3.5一

所以a=y~bx=1.05.

所以y=0.7x+1.05.

回歸直線如圖中所示.

(3)將x=10代入回歸直線方程，得y=0.7X10+1.05=8.05,

所以預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件大約需要8.05小時(shí).

題型三相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用

例3要分析學(xué)生初中升學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)對(duì)高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響，在高一年級(jí)學(xué)生中

隨機(jī)抽取10名學(xué)生，分析他們?nèi)雽W(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)和高一年級(jí)期末數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)缦卤硭荆?/p>

學(xué)生編號(hào)12345678910

入學(xué)數(shù)學(xué)成63674588817152995876

績(jī)X

高一期末數(shù)

65785282928973985675

學(xué)成績(jī)y

(1)畫出散點(diǎn)圖；

(2)計(jì)算入學(xué)成績(jī)x與高一期末成績(jī)y的相關(guān)系數(shù)；

(3)對(duì)變量x與y進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，如果x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求出一元線性回

歸方程.

［解］(1)以入學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)x為自變量，高一期末數(shù)學(xué)成績(jī)y為因變量，作散點(diǎn)圖如圖所

示.可以看出，這兩組變量有比較好的線性相關(guān)關(guān)系.

高一期末數(shù)學(xué)成績(jī)

95.

85°

75.,?

65.

55,?

451.........................................—?

5565758595入學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)力

,—1

(2)因?yàn)閤=—X(63+674---卜76)=70,

—1

y=—X(65+78+…+75)=76,

10

所以Z(%—X)(匕-P)=1894,

z=i

X(%—x”=2474,Z(必一y”=2056.

2=12=1

因此求得相關(guān)系數(shù)為

10

2(巧一忑)(%—50

—O840.

(3)由(2)知2^0.84,這說(shuō)明數(shù)學(xué)入學(xué)成績(jī)與高一期末數(shù)學(xué)成績(jī)存在很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)

系.

設(shè)線性回歸方程為y=6x+a,在兩組變量具有顯著的線性關(guān)系的情況下,

10

2（肛一Z）（y-歹）

i=1

~1O

S-T）2

b=J=1^0.766,

a=y~bx=22.38.

因此，所求的線性回歸方程是y=0.766x+22.38.

點(diǎn)睛

判定兩個(gè)變量正、負(fù)相關(guān)性的方法

(1)畫散點(diǎn)圖：點(diǎn)的分布從左下角到右上角，兩個(gè)變量正相關(guān)；點(diǎn)的分布從左上角到右下

角，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).

(2)相關(guān)系數(shù)：r>0時(shí)，正相關(guān)；r<0時(shí)，負(fù)相關(guān).

(3)線性回歸方程：力0時(shí)，正相關(guān)；伙0時(shí)，負(fù)相關(guān).

［跟蹤訓(xùn)練3］對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較,

正確的是()

35

30

25

20

15

10

5

0510152025303505101520253035

相關(guān)系數(shù)為小相關(guān)系數(shù)為「2

35

30

25

20

15

10

551________________1J

05101520253035051（）1520253035

相關(guān)系數(shù)為/"3相關(guān)系數(shù)為q

A.r2<r\<0<r3<riB.ri<Z2<0<ri<n

C.ri<Z2<0<23<riD.22<ri<0<ri<n

答案A

解析由相關(guān)系數(shù)的定義以及散點(diǎn)圖可知r2<n<0<r3<r1.故選A.

題型四非線性回歸方程

例4某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）

對(duì)年銷售量y（單位：t）和年利潤(rùn)z（單位：千元）的影響.對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)%和年銷售量

匕（？=1,2,…，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

年銷伸量"

620?

600

5

8()

560

540

20

5(x)

580

4

0343638404244464850525456年宣傳費(fèi)/千元

/

88

S(W,-w)?

88X（《一彳）?

S(X；—X)2S(W?—w)2?=1

Xy而i=l

t-1（y—少）(y—5)

46.65636.8289.81.61469108.8

表中

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a+6x與尸c+班哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)

＞的回歸方程類型；（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；

（3）已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)（2）的結(jié)果回答下列問(wèn)題:

①年宣傳費(fèi)x=49時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？

②年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（M,H），（如㈤，…，（u〃，%）,其回歸直線-￡〃的斜率和

X（%—U）（Vj—V）

?）2

截距的最小二乘估計(jì)分別為￡=，=-1,a=7-j3~U.

［解］（1）由散點(diǎn)圖可以判斷，y=c+外^適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方

程類型.

⑵令尸5,先建立y關(guān)于曠的線性回歸方程.

2(W,一沅)(V,—V)

/=1

〃

寧（〃,.一〃）2

口=臀=68,

由于"=

1.0

c=y—d匹=563—68X6.8=100.6,

所以，關(guān)于『的線性回歸方程為7=100.6+68必

因此y關(guān)于*的回歸方程為y=100.6+68^1

⑶①由⑵知，當(dāng)x=49時(shí)，

年銷售量y的預(yù)報(bào)值產(chǎn)=100.6+68匹=576.6,

年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值z(mì)=576.6X0.2-49=66.32.

②根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值

z—Q.2X(100.6+68-^%)——x+13.6-^+20.12.

所以當(dāng)?shù)?6.8,即x=46.24時(shí)，z取得最大值.

故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大.

點(diǎn)睛

非線性回歸方程的求法

(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖.

(2)根據(jù)散點(diǎn)圖，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù).

(3)作恰當(dāng)變換，將其轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)，求線性回歸方程.

(4)在(3)的基礎(chǔ)上通過(guò)相應(yīng)變換，即可得非線性回歸方程.

［跟蹤訓(xùn)練4］為了研究某種細(xì)菌隨時(shí)間x變化繁殖的個(gè)數(shù)，收集數(shù)據(jù)如下:

天數(shù)x/天123456

繁殖個(gè)數(shù)力個(gè)612254995190

(1)根據(jù)數(shù)據(jù)，作出兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖；

(2)試求細(xì)菌繁殖個(gè)數(shù)與時(shí)間(天數(shù))的回歸方程.

解(D由表中數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖如圖所示.

"個(gè)

叫.

180t

160卜

140L

120I

叫.

80[

60

40[■

2°H：：....

0I23456V天

（2）由散點(diǎn)圖看出樣本點(diǎn)分布在一條指數(shù)函數(shù)y=aec2x的圖像的周圍，其中a和a是

待定系數(shù).于是令z=lny,則z=6x+a（a=lnCi,b=c2）,因此變換后的樣本點(diǎn)應(yīng)該分布

在直線z=6x+a的周圍，因此可以用線性回歸模型來(lái)擬合z與x的關(guān)系，則變換后的樣本數(shù)

據(jù)如下表：

X123456

z1.792.483.223.894.555.25

由表中數(shù)據(jù)得到線性回歸方程z=0.69%+1.115.

因此細(xì)菌繁殖個(gè)數(shù)關(guān)于時(shí)間的回歸方程為y=e0%+L嗎

隨堂水平

-----------------------------------------------------------------------SUITANGSHUIPINGDABIAO--------------------------------------------------------------:-----------

1.工人月工資（力與勞動(dòng)生產(chǎn)率x（千元）變化的回歸方程為y=50+80x,下列判斷正確

的是（）

①勞動(dòng)生產(chǎn)率為1千元時(shí)，工資為130元；②勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1千元時(shí)，則工資提高80

元；③勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1千元時(shí)，則工資提高130元；④當(dāng)月工資為210元時(shí)，勞動(dòng)生產(chǎn)率

為2千元.

A.①②B.①②④C.②④D.①②③④

答案B

解析由回歸方程定義可知①②④正確.

2.對(duì)于指數(shù)曲線y=ae"令u=lny,c=lna,經(jīng)過(guò)非線性化回歸分析后，可轉(zhuǎn)化的

形式為（）

A.u=c+bxB.u—b~\~ex

C.y=c+bxD.y=b+ex

答案A

解析因?yàn)槭琣e",所以In尸Ina+bx,所以u(píng)=c+6x.

3.某單位為了了解用電量y度與氣溫x℃之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與

當(dāng)天氣溫，并制作了對(duì)照表：

氣溫(℃)181310-1

用電量(度)24343864

由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程y=6x+a中6=-2,預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為一4七時(shí);用電量的度數(shù)

約為.

答案68

解析V%=10,y=40,回歸方程過(guò)點(diǎn)(*,y),

A40=—2X10+a.

；.a=60."=—2葉60.

令*=一4,，y=(—2)X(—4)+60=68.

4.某商店經(jīng)營(yíng)一批進(jìn)價(jià)為每件4元的商品，在市場(chǎng)調(diào)查時(shí)發(fā)現(xiàn)，此商品的銷售單價(jià)x

與日銷售量y之間有如下關(guān)系：

X5678

y10873

則x,y之間的線性回歸方程為,線性相關(guān)系數(shù)約為一

答案尸21.3—2.2x-0.9648

解析由表格知x=6.5,y—1,

4

S(jr,—x)(y,—y)

,i=i__________________

S(J?i—下)2

b=i=l=-2.2,

a=y—bx=7-(—2.2)X6.5=21.3,

所以線性回歸方程為y=21.3-2.2x.

—萬(wàn))(y—歹)

￡(々一天尸?j￡(y-y)?

=?-0.9648.

5.假定小麥基本苗數(shù)x與成熟期有效穗y之間存在相關(guān)關(guān)系，今測(cè)得5組數(shù)據(jù)如下:

(1)結(jié)合數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖；

(2)求y與x之間的回歸方程，對(duì)于基本苗數(shù)56.7預(yù)報(bào)有效穗.

解(D散點(diǎn)圖如下：

50

48

46

44

42

40

15253545%

(2)由圖看出，樣本點(diǎn)呈條狀分布，有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用回歸方程刻畫

它們之間的關(guān)系.

設(shè)回歸方程為了=法+@,因?yàn)閤=30.36,y=43.5,

Z'=5101.56,

xy=1320.66,

2為力=6746.76.

2必％—5xy

*2=1

由8=---------------------10?29,

^x—5x2

i=l

a=?.b7^43.5-0.29X30.36^34.70.

故所求的線性回歸方程為y=34.70+0.29%.

當(dāng)x=56.7時(shí)，y=34.70+0.29X56.7=51.143.

估計(jì)成熟期有效穗為51.143.

課后課時(shí),精練

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書PIO3

SHIJING

A級(jí)：“四基”鞏固訓(xùn)練

一、選擇題

1.在如圖所示的四個(gè)散點(diǎn)圖中，兩個(gè)變量具有相關(guān)性的是（）

①②③④

A.①②B.①④C.②③D.②④

答案D

解析由圖可知①中變量間是一次函數(shù)關(guān)系，不是相關(guān)關(guān)系；②中的所有點(diǎn)在一條直線

附近波動(dòng)，是線性相關(guān)的；③中的點(diǎn)雜亂無(wú)章，沒(méi)有什么關(guān)系；④中的所有點(diǎn)在某條曲線附

近波動(dòng)，是非線性相關(guān)的.故兩個(gè)變量具有相關(guān)性的是②④.

2.四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x,y之間的相關(guān)關(guān)系，并求得線性回歸方程,

分別得到以下四個(gè)結(jié)論：

①y與X負(fù)相關(guān)且y=2.347X-6.423；

②y與x負(fù)相關(guān)且產(chǎn)=—3.476x+5.648；

③y與*正相關(guān)且y=5.437x+8.493；

④y與x正相關(guān)且y=-4.326x—4.578.

其中一定不正確的結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

答案B

解析由正、負(fù)相關(guān)性的定義知①④一定不正確.故選B.

3.變量￥與V相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5)；

變量〃與『相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1).乃表示

變量Y與1之間的線性相關(guān)系數(shù)，々表示變量，與〃之間的線性相關(guān)系數(shù)，則()

A.z^<ri<0B.0<z^<ri

C./2<0<riD.r-i=r\

答案c

解析對(duì)于變量才與，而言，，隨X的增大而增大，故變量F與1正相關(guān)，即h>0;對(duì)

于變量〃與/而言，/隨〃的增大而減小，故變量1/與〃負(fù)相關(guān)，叩資<0.故所：0〈八.

4.已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：

X123456

y021334

假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為y=6x+a,若某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組

數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為/=b'x+a',則以下結(jié)論正確的是()

A.b>b',a>a'B.b>b',a<a'

C.b<b',a>a'D.b<b',a<a'

答案C

解析過(guò)(1,0)和(2,2)的直線方程為y'=2*—2,

畫出六點(diǎn)的散點(diǎn)圖，回歸直線的大概位置如圖所示.

顯然，b'>b,a>a',故選C.

5.(多選)某廠節(jié)能降耗改造后在生產(chǎn)力產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x(單位：噸)與相應(yīng)的生

產(chǎn)能耗y(單位：噸)的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線

性回歸方程為y=0.7x+0.35,則下列結(jié)論中正確的是（）

X3456

y2.5t44.5

A.回歸直線一定過(guò)點(diǎn)（4.5,3.5）

B.產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗與產(chǎn)量正相關(guān)

C.1的取值必定是3.15

D.1產(chǎn)品每多生產(chǎn)1噸，則相應(yīng)的生產(chǎn)能耗增加約0.7噸

答案ABD

_1—

解析（3+4+5+6）=4.5,則y=0.7X4.5+0.35=3.5,所以回歸直線一定

過(guò)點(diǎn)（4.5,3.5）,故A正確；因?yàn)?.7>0,所以產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗與產(chǎn)量正相關(guān)，故B正確；因

_1

為y=[X（2.5+C+4+4.5）=3.5,所以t=3,故C錯(cuò)誤；4產(chǎn)品每多生產(chǎn)1噸，則相應(yīng)的

生產(chǎn)能耗約增加0.7噸，故D正確.故選ABD.

二、填空題

6.調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x（單位：萬(wàn)元）和年飲食支出y（單位：萬(wàn)元），調(diào)查

顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對(duì)x的回歸直線方程:

y=0.254x+0.321.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬(wàn)元，年飲食支出平均增加

萬(wàn)元.

答案0.254

解析年飲食支出平均增加0.254X1=0.254萬(wàn)元.

7.某商場(chǎng)為了了解某品牌羽絨服的月銷售量y（件）與月平均氣溫x（℃）之間的關(guān)系，隨

機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4個(gè)月的銷售量與當(dāng)月平均氣溫，數(shù)據(jù)如下表：

月平均氣溫x（℃）171382

月銷售量y（件）24334055

由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程尸6x+a中的6七一2.氣象部門預(yù)測(cè)下個(gè)月的平均氣溫

約為6°C,據(jù)此估計(jì)，該商場(chǎng)下個(gè)月該品牌羽絨服的銷售量的件數(shù)約為_(kāi)______.

答案46

解析由表格得（二，，）為（10,38）,又（7,?。┰诨貧w直線y=6x+a上，且。、一2,

得38=—2X10+a,a=58,所以y=—2x+58,

當(dāng)x=6時(shí)，尸-2X6+58=46.

8.某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y（萬(wàn)元）有如下幾組樣本數(shù)據(jù):

使用年限X23456

維修費(fèi)用y2.23.85.56.57.0

根據(jù)相關(guān)性檢驗(yàn)，這組樣本數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系，通過(guò)線性回歸分析，求得其回歸直

線的斜率為L(zhǎng)23,則這組樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程是

答案尸L23x+0.08

解析...;=2+3+：+5+6=4

-2.2+3.8+5.5+6.5+7

片5=5

：.a^y~bx=5—1.23X4=0.08.

...線性回歸方程為y=l.23x+0.08.

三、解答題

9.在一次抽樣檢查中，抽得5個(gè)樣本點(diǎn)，數(shù)據(jù)如下表:

X0.250.5121

y1612521

試建立y關(guān)于x的回歸方程.

解作出散點(diǎn)圖，如圖所示，由散點(diǎn)圖可以看出，圖像近似反比例函數(shù)在第一象限的部

分，因此，令〃=：，由已知數(shù)據(jù)，可得變換后的樣本數(shù)據(jù)：

以點(diǎn)

可缺

此有

因產(chǎn)

，生

近時(shí)

附小

的每

線.

直點(diǎn)

條缺

一,有

5會(huì)

A%5在2

2布1些

.13

50分.一

〃1.

4點(diǎn)2有果

5.本5=.件結(jié)

02-8,

3樣4518物

E=/.驗(yàn)

的0.產(chǎn)

3,^0試

21后5+生

522_uu其

換3其

1.,b1.為

變48，

y??2y9-..列

21，=4轉(zhuǎn)下

64208642_y=0

O出0My3+運(yùn)，

64208642U=1

看1為1度變

615E=/a4-

4以