高中數(shù)學(xué)-平面向量基本定理教學(xué)設(shè)計

平面向量基本定理教學(xué)設(shè)計

數(shù)學(xué)課程標準解讀中提出：數(shù)學(xué)學(xué)科是基礎(chǔ)教育階段最為重要的

學(xué)科之一，通過基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學(xué)教育，無論接受教育的人將來從

事的工作是否與數(shù)學(xué)有關(guān)，終極培養(yǎng)目標都可描述為：會用數(shù)學(xué)眼光

觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達世界。這“三

會”就是高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心

素養(yǎng)為目標，設(shè)計了本節(jié)課。

【學(xué)習(xí)目標】

知識與能力目標

理解平面向量基本定理及其意義，并能運用平面向量基本定理解

決簡單平面幾何問題。

過程與方法目標

經(jīng)歷平面向量基本定理的探索與證明過程，感悟數(shù)學(xué)抽象，邏輯推

理，由特殊到一般等數(shù)學(xué)思想的作用，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)。

情感態(tài)度與價值觀目標

在學(xué)習(xí)中注重培養(yǎng)學(xué)生合作交流的意識及積極探索勇于發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)

品質(zhì)。

【教學(xué)重點】

平面向量基本定理的理解、定理的應(yīng)用。

【教學(xué)難點】

平面向量基本定理的理解及其推導(dǎo)。

【教學(xué)過程】

(-)創(chuàng)設(shè)問題引入新課

情境:我們知道，世界上的所有旋律都是由7個基本音符譜成的，

那么平面內(nèi)的所有向量能否由幾個基本向量來表示呢？

【設(shè)計意圖】通過類比的方法引入新課，激發(fā)學(xué)生的求知欲，并暗

含平面向量基本定理的本質(zhì)。

復(fù)習(xí)1：共線向量基本定理：

復(fù)習(xí)2：向量求和的平行四邊形法則？

提出問題：反之呢？如圖的向量能否用向量L＞表示呢？接

著讓學(xué)生拿出方格紙，通過作圖的方法探究下面問題

總結(jié)：三個向量苦I可以用Z或表示，并且

可以統(tǒng)一寫成人1+4】

【設(shè)計意圖】課程標準解讀中曾指出：數(shù)學(xué)眼光是什么呢？主要表

現(xiàn)為數(shù)學(xué)抽象，而與數(shù)學(xué)抽象關(guān)系密切的是直觀想象，直觀想象是實

現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的思維基礎(chǔ)。因此在設(shè)計問題時，先把問題直觀化，讓同

學(xué)們通過在方格紙上作圖，直觀感受向量的分解。

接著提出以下問題:

【師生活動】師生共同用PPT展示向量a的分解過程，并在展示過程

中進一步提出小問題：（1）為何要把向量平移使其共起點？（2）利

用什么知識對向量a進行分解？（3）為什么"=豆+方豆=41

呢？學(xué)生回答問題。

【設(shè)計意圖】通過問題的設(shè)計，把學(xué)生的直觀想象上升為抽象思維,

并通過小問題的提問引領(lǐng)學(xué)生體會如何用已學(xué)知識來研究未知知識,

幫學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，搭建“最近發(fā)展區(qū)”。

【師生活動】經(jīng)過上面的推導(dǎo)，師生共同歸納定理，給出定理，并提

問：對于定理，大家還有什么疑惑嗎？

【設(shè)計意圖】通過問題的設(shè)計，激發(fā)學(xué)生的質(zhì)疑精神，在學(xué)生大膽的

質(zhì)疑中，提高學(xué)生“發(fā)現(xiàn)問題的能力和提出問題的能力”。

（二）合作探究深度認識

【師生活動】設(shè)計以下三個問題，通過小組討論，學(xué)生展示，教師點

二、合作探究深度認識

問題1：若T與向量->或向量一共線時，如何表示呢？

aele2

若17如何表示呢？

問題2:______

（1）若e?77^線能否表示出任意:?

（2）一平面向量的基底是否唯一？

問題3:

當基底;二給定必平坦內(nèi)的任意

向量a都可以用形如4］+4］的向量來

評表示，這種表示形式是唯一的嗎？

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生通過對三個問題的討論，進一步認識定理，并通

過小組討論的方法訓(xùn)練學(xué)生的合作能力，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)。因為

學(xué)科素養(yǎng)是通過獨立思考或與他人交流，最終自己“悟”出來的。第

3個問題較難，學(xué)生能感知唯一性，但卻不知如何證明。教師給出利

用反證法證明的過程，學(xué)生通過學(xué)習(xí)，感受數(shù)學(xué)“邏輯推理”的魅力,

讓數(shù)學(xué)的嚴謹性得以體現(xiàn)。

（三）實戰(zhàn)演練鞏固新知【師生活動】處理例1,例2

廠如何用向■證\

三、實戰(zhàn)演練鞏固新知三、實戰(zhàn)演練鞏固新知>-明兩直線垂直

366滯不共縱且U=用立前表示六

例3如圖，CD是MBC的中線，CD》民用向量力盤證明△48C是

一解：因為大=1希直角三角形

證明：彼品=T，K=7,則之=~*+

所以+M一向最加法CDaDAbCA

力荔=一力于是茄=［一『

=力+,大一向量數(shù)乘

/項=（1+:）,（「:）

=力+《前-1戰(zhàn)一向量減法

=T2-—2

=（1T）荔+'漏ab

因為CD、48,

總結(jié)：體會向址的加、減、數(shù)乘運算在解腮中的應(yīng)用如何建立向量

所以CD=DA■T的聯(lián)系

因為-2=CD2,-;2=DA2,

ab

所以一?T=0

CACB

因此CA1CB,

于是△48C是直角三角形

小結(jié)：在本題的解答中我們要體會如何把幾的問

及平面向出框不定理忠機的應(yīng)用及推底該如何選擇.

例1學(xué)生利用以前所學(xué)的知識完全可以解決，因此我選擇了學(xué)生板演

的方式完成，師生共同歸納解題方法，并對三點共線結(jié)論進行提煉。

例2較難，選擇讓學(xué)生口頭分析問題，教師引導(dǎo)的方式完成，并師生

共同總結(jié)方法。

【設(shè)計意圖】例1主要考察基底思想的應(yīng)用，例2主要讓學(xué)生體會如

何用向量知識去處理幾何問題。通過三個問題的設(shè)置，一步步引導(dǎo)學(xué)

生去思考如何在本題中運用平面向量基本定理的思想：通過用已知基

底表示未知向量，進而建立未知向量之間的聯(lián)系，使未知向量之間可

以通過向量運算來解決問題。

（四）小試牛刀自我測評

【師生活動】學(xué)生獨立完成下面測試，并給出答案及解題思路

四、小試牛刀自我測評

,7）設(shè)e,.ez是平面向量的一組基底,則下列四組向量中，不能

?作為基底的是（B）.

A.ei+e?和e「ezB.3e「2ez和4e2-6ei

C.ei+2ez和ez+2e】D.e?和e^+e?

2）已知向量a=e1一Ze2,b=2e}+e2>其中4，與不共線，則。+力

與c=6e]-2e2的關(guān)系是（B）

A.不共線B.共線C.相等D.不確定

如圖,在矩形"CD中,若反1="1.求=3c.則比=（A）

AD

A.爐+3?）B.2（5n-3?）

C.1（3?-5*i）D.|（5<2—3?）

【設(shè)計意圖】題目的難度逐步遞增，讓學(xué)生鞏固所學(xué)熟練運用。

（五）總結(jié)反思提高認識

五、總結(jié)反思提高認識

1.平面內(nèi)的所有向量能否由兒個基本向量來表示呢？

2.說說平面向量基本定理與共線向量基本定理有怎樣的

關(guān)系。

3,說說平面向量基本定理的作用。

如果I、；是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量.

那么對于這一平面內(nèi)的任響敬2,行且只rr一對實

軀乙使乙謫+R；

81Glea做我家KT王內(nèi)附（鼻量的一MI%

說明：（"1ME的這舞如曜一的；

G）,同一曲量在透定基現(xiàn)后,4,

⑴網(wǎng)一向量左電揖不期?底時，％小可■幅ntfisre不再倚君?

【師生活動】引導(dǎo)學(xué)生對上面三個問題進行回答

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生明白學(xué)了什么，應(yīng)該掌握什么，如何應(yīng)用所學(xué)知

識？學(xué)生總結(jié)回答第1個問題，呼應(yīng)引入時提出的問題，揭示定理本

質(zhì)。第2個問題讓學(xué)生體會一維到二維的轉(zhuǎn)化。第3個問題引導(dǎo)學(xué)生

體會定理的應(yīng)用，回顧例2讓學(xué)生體會如何用向量知識去處理幾何問

題

（六）布置作業(yè)鞏固提高

六、布置作業(yè)、鞏固提高

【基礎(chǔ)題】

課后練習(xí)第3題

【探窕題】

已知△OAB,若赤=x瓦?+y而,且點P在直線AB上，

則x,y應(yīng)滿足什么條件？

【設(shè)計意圖】分層布置作業(yè)，使不同層次的學(xué)生都能得到鍛煉和提高,

找到各自的發(fā)展區(qū)。

（七）板書設(shè)計再現(xiàn)要點

I板目設(shè)計

【教學(xué)反思】

本節(jié)課以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為目標，通過先直觀想象

再抽象歸納，從形到數(shù)，從具體到抽象，從特殊到一般，層層設(shè)問，

逐步突破難點。在教學(xué)中既重視知識和技能的形成過程，又重視對學(xué)

生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，探究能力的訓(xùn)練，質(zhì)疑及創(chuàng)新精神的培養(yǎng)，并且

通過學(xué)生之間的合作交流，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的激情與興趣。

平面向量基本定理學(xué)情分析

前兩節(jié)學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的概念和向量的運算，對向量的幾何

表示及幾何運算有了初步的認知。同時共線向量的基本定理使學(xué)生認

識到只要由一個非零向量和一個參數(shù)就可表示所有與之共線的向量,

這些都是學(xué)生學(xué)習(xí)平面向量基本定理的知識基礎(chǔ)。對于平面向量基本

定理其實學(xué)生在以前的學(xué)習(xí)中已經(jīng)在使用，只是沒有專門的提出。例

如物理中力的合成與分解，向量線性運算中用兩個已知向量來表示未

知向量等。但相當一部分同學(xué)只是依葫蘆畫瓢，并不知道這樣做的依

據(jù)是什么，為什么這樣做。但學(xué)了本節(jié)課內(nèi)容后，教師就可以依據(jù)定

理讓學(xué)生理解基底的作用及意義。

在以前的教學(xué)中，我們會發(fā)現(xiàn)學(xué)生對于平面向量基本定理的學(xué)習(xí)

經(jīng)常停留在機械的記憶上，并不能領(lǐng)會定理的實質(zhì)：因為平面中的任

一向量都能用兩基底表示，因此我們就可以建立任意兩未知向量之間

的聯(lián)系，例如本節(jié)課的例2；再比如若選擇與坐標軸同向的兩單位向

量為基底，就可以建立向量的坐標表示，通過向量的坐標運算來解決

一些問題。而對于定理本質(zhì)的把握，需要老師在學(xué)習(xí)中一步步深入,

不斷引導(dǎo)學(xué)生去探索，去思考，去總結(jié)。通過對定理本質(zhì)的把握，不

斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，這是一個長期的過程，但我們必須堅持

去做。

平面向量基本定理效果分析

課前我通過認真鉆研課標、教材，調(diào)研學(xué)情，整體設(shè)計好本節(jié)的

重點、難點，本節(jié)課從學(xué)生日常生活情境入手，通過學(xué)生的操作感知

歸納總結(jié)，從形到數(shù)，從直觀到抽象，從特殊到一般，層層設(shè)問，逐

步突破難點。通過這樣的思路組織教學(xué)，合理安排教學(xué)內(nèi)容，選擇了

適合的教學(xué)方法，從而做到胸有成竹，應(yīng)對課堂上的變化，有效地完

成教學(xué)目標。

課堂上考慮到學(xué)生實際認知水平，對定理的推導(dǎo)過程中，盡量把

問題具體化，符合學(xué)生的認知。在教學(xué)中既重視知識和技能的形成過

程，又重視對學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，探究能力的訓(xùn)練，創(chuàng)新精神的培

養(yǎng)，并且通過學(xué)生之間的合作交流，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的激情與興趣。

在教學(xué)過程中，我大膽引導(dǎo)學(xué)生主動參與、親身實踐、獨立思考、

合作探究，凡是學(xué)生能夠探索出來的，教師決不替代，凡是學(xué)生能夠

獨立發(fā)現(xiàn)的絕不暗示，讓學(xué)生從生活、活動、思索、合作交流中學(xué)習(xí)，

為學(xué)生提供獨立發(fā)展的空間，培養(yǎng)收集、獲取有價值的信息能力，從

而提高課堂的有效性。

平面向量基本定理課后反思

數(shù)學(xué)課程標準解讀中提出：數(shù)學(xué)學(xué)科是基礎(chǔ)教育階段最為重要的

學(xué)科之一，通過基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學(xué)教育，無論接受教育的人將來從

事的工作是否與數(shù)學(xué)有關(guān)，終極培養(yǎng)目標都可描述為：會用數(shù)學(xué)眼光

觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達世界。這“三

會”就是高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

課標還指出學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，是在教師的啟

發(fā)和引導(dǎo)下，學(xué)生通過自己的獨立思考或與他人交流，最終自己“悟”

出來的，是一種逐漸養(yǎng)成的思維習(xí)慣和思想方法。因此，在教學(xué)活動

中，以學(xué)生為主體，充分調(diào)動學(xué)生的思維，把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)非常

重要?；谝陨峡紤]，我對本節(jié)課的內(nèi)容作出如下反思：

感覺本節(jié)課比較成功的地方一是在教學(xué)過程中，我設(shè)計了多個活

動環(huán)節(jié)，突出學(xué)生的主體地位，創(chuàng)造機會讓不同程度的學(xué)生發(fā)表自己

的觀點，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性;二是在對定理的探究中，先通過引入，

激發(fā)學(xué)生興趣，把學(xué)生帶入課堂，在通過利用方格紙作圖，讓問題直

觀化，接著通過問題的設(shè)計，把學(xué)生的直觀想象上升到抽象思維，進

而得出定理。在此探究過程中讓學(xué)生體會了如何用數(shù)學(xué)的眼光去看待

問題，著重培養(yǎng)了學(xué)生的直觀想象與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。三是對于例題的

處理比較到位。例1讓學(xué)生體會到基底思想的本質(zhì)就是利用以前所學(xué)

向量的加，減，數(shù)乘運算完成的，讓學(xué)生體會到如何用已學(xué)知識來解

決未知知識，并幫學(xué)生構(gòu)建了知識網(wǎng)絡(luò)，搭建了思維“最近發(fā)展區(qū)”。

例2問題的處理讓學(xué)生體會了定理的應(yīng)用，如何在定理的引導(dǎo)下去解

決幾何問題。

不足之處是我應(yīng)該在學(xué)生的自主探究方面可以再放開些，引導(dǎo)學(xué)

生讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維更加的活躍，探索新知的欲望更強烈些。例如在

得出定理后我曾提出問題：對于這個結(jié)論，大家還有疑問嗎？歡迎大

家提出來。我的本意是想讓學(xué)生在三個關(guān)鍵詞（任一、不共線、有且

只有一對）上去進行質(zhì)疑，通過對問題的解決加深對定理的認識。但

因為我給學(xué)生的時間比較短，學(xué)生都沒有提出疑問。如此，我只能拋

出我準備的三個問題讓學(xué)生通過小組討論的方式去思考。但課后，我

想在此問題的處理上，我可以讓學(xué)生通過小組討論的方式去進行質(zhì)疑,

畢竟思維的火花是在碰撞中產(chǎn)生的，我沒有給學(xué)生思維碰撞的機會，

又怎能產(chǎn)生我所期待的思維閃光呢！若學(xué)生小組討論時還提不出疑問,

我完全還可以提醒學(xué)生對三個關(guān)鍵詞進行思考，引導(dǎo)學(xué)生提出問題。

并且新課標現(xiàn)在把“兩能”擴展為“四能”，增加了“發(fā)現(xiàn)問題的能

力和提出問題的能力”，這些是為了滿足培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的需要。在

以后的課堂上可以更放開些，大膽的讓學(xué)生去思、去想、去做，培養(yǎng)

學(xué)生的創(chuàng)新能力。

平面向量基本定理教材分析

本節(jié)是普通高中2019人教A版必修第二冊第6章第3節(jié)的第1課

時。

本節(jié)內(nèi)容是“平面向量基本定理”，其核心是平面向量的基本定理,

并涉及到向量的基底、向量共線、向量加、減、數(shù)乘、數(shù)量積運算及

向量垂直等內(nèi)容。

平面向量的基本定理是在共線向量基本定理的基礎(chǔ)上，由一維直

線向二維平面推廣的結(jié)果。在本節(jié)課之前，主要研究向量的線性運算，

重點體現(xiàn)向量的幾何特征，而本節(jié)課之后，主要研究向量的坐標運算，

體現(xiàn)了向量的代數(shù)形態(tài)。本節(jié)課內(nèi)容由前面的向量運算得出平面向量

基本定理，平面向量的正交分解是平面向量基本定理的簡單應(yīng)用，同

時為平面向量的坐標表示奠定基礎(chǔ)，所以本節(jié)課內(nèi)容是在整個向量內(nèi)

容中有承前啟后的作用。

在高中數(shù)學(xué)中，向量作為一種工具，一種語言，更多起到了溝

通代數(shù)與幾何的作用。平面向量的基本定理通過一組基底，就可以將

平面內(nèi)的任一向量都能統(tǒng)一地用這組基底進行線性表示，從而將向量

的運算歸結(jié)為其系數(shù)之間的運算，這就為向量的坐標建立提供了有力

的依據(jù)，因為有了向量的坐標表示才有了向量的坐標運算。如此