高中數(shù)學-平面向量基本定理教學設計

平面向量基本定理教學設計

數(shù)學課程標準解讀中提出：數(shù)學學科是基礎教育階段最為重要的

學科之一，通過基礎教育階段的數(shù)學教育，無論接受教育的人將來從

事的工作是否與數(shù)學有關，終極培養(yǎng)目標都可描述為：會用數(shù)學眼光

觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界。這“三

會”就是高中階段的數(shù)學學科核心素養(yǎng)。以發(fā)展學生的數(shù)學學科核心

素養(yǎng)為目標，設計了本節(jié)課。

【學習目標】

知識與能力目標

理解平面向量基本定理及其意義，并能運用平面向量基本定理解

決簡單平面幾何問題。

過程與方法目標

經(jīng)歷平面向量基本定理的探索與證明過程，感悟數(shù)學抽象，邏輯推

理，由特殊到一般等數(shù)學思想的作用，培養(yǎng)學生的學科素養(yǎng)。

情感態(tài)度與價值觀目標

在學習中注重培養(yǎng)學生合作交流的意識及積極探索勇于發(fā)現(xiàn)的學習

品質(zhì)。

【教學重點】

平面向量基本定理的理解、定理的應用。

【教學難點】

平面向量基本定理的理解及其推導。

【教學過程】

(-)創(chuàng)設問題引入新課

情境:我們知道，世界上的所有旋律都是由7個基本音符譜成的，

那么平面內(nèi)的所有向量能否由幾個基本向量來表示呢？

【設計意圖】通過類比的方法引入新課，激發(fā)學生的求知欲，并暗

含平面向量基本定理的本質(zhì)。

復習1：共線向量基本定理：

復習2：向量求和的平行四邊形法則？

提出問題：反之呢？如圖的向量能否用向量L＞表示呢？接

著讓學生拿出方格紙，通過作圖的方法探究下面問題

總結：三個向量苦I可以用Z或表示，并且

可以統(tǒng)一寫成人1+4】

【設計意圖】課程標準解讀中曾指出：數(shù)學眼光是什么呢？主要表

現(xiàn)為數(shù)學抽象，而與數(shù)學抽象關系密切的是直觀想象，直觀想象是實

現(xiàn)數(shù)學抽象的思維基礎。因此在設計問題時，先把問題直觀化，讓同

學們通過在方格紙上作圖，直觀感受向量的分解。

接著提出以下問題:

【師生活動】師生共同用PPT展示向量a的分解過程，并在展示過程

中進一步提出小問題：（1）為何要把向量平移使其共起點？（2）利

用什么知識對向量a進行分解？（3）為什么"=豆+方豆=41

呢？學生回答問題。

【設計意圖】通過問題的設計，把學生的直觀想象上升為抽象思維,

并通過小問題的提問引領學生體會如何用已學知識來研究未知知識,

幫學生構建知識網(wǎng)絡，搭建“最近發(fā)展區(qū)”。

【師生活動】經(jīng)過上面的推導，師生共同歸納定理，給出定理，并提

問：對于定理，大家還有什么疑惑嗎？

【設計意圖】通過問題的設計，激發(fā)學生的質(zhì)疑精神，在學生大膽的

質(zhì)疑中，提高學生“發(fā)現(xiàn)問題的能力和提出問題的能力”。

（二）合作探究深度認識

【師生活動】設計以下三個問題，通過小組討論，學生展示，教師點

二、合作探究深度認識

問題1：若T與向量->或向量一共線時，如何表示呢？

aele2

若17如何表示呢？

問題2:______

（1）若e?77^線能否表示出任意:?

（2）一平面向量的基底是否唯一？

問題3:

當基底;二給定必平坦內(nèi)的任意

向量a都可以用形如4］+4］的向量來

評表示，這種表示形式是唯一的嗎？

【設計意圖】讓學生通過對三個問題的討論，進一步認識定理，并通

過小組討論的方法訓練學生的合作能力，培養(yǎng)學生的學科素養(yǎng)。因為

學科素養(yǎng)是通過獨立思考或與他人交流，最終自己“悟”出來的。第

3個問題較難，學生能感知唯一性，但卻不知如何證明。教師給出利

用反證法證明的過程，學生通過學習，感受數(shù)學“邏輯推理”的魅力,

讓數(shù)學的嚴謹性得以體現(xiàn)。

（三）實戰(zhàn)演練鞏固新知【師生活動】處理例1,例2

廠如何用向■證\

三、實戰(zhàn)演練鞏固新知三、實戰(zhàn)演練鞏固新知>-明兩直線垂直

366滯不共縱且U=用立前表示六

例3如圖，CD是MBC的中線，CD》民用向量力盤證明△48C是

一解：因為大=1希直角三角形

證明：彼品=T，K=7,則之=~*+

所以+M一向最加法CDaDAbCA

力荔=一力于是茄=［一『

=力+,大一向量數(shù)乘

/項=（1+:）,（「:）

=力+《前-1戰(zhàn)一向量減法

=T2-—2

=（1T）荔+'漏ab

因為CD、48,

總結：體會向址的加、減、數(shù)乘運算在解腮中的應用如何建立向量

所以CD=DA■T的聯(lián)系

因為-2=CD2,-;2=DA2,

ab

所以一?T=0

CACB

因此CA1CB,

于是△48C是直角三角形

小結：在本題的解答中我們要體會如何把幾的問

及平面向出框不定理忠機的應用及推底該如何選擇.

例1學生利用以前所學的知識完全可以解決，因此我選擇了學生板演

的方式完成，師生共同歸納解題方法，并對三點共線結論進行提煉。

例2較難，選擇讓學生口頭分析問題，教師引導的方式完成，并師生

共同總結方法。

【設計意圖】例1主要考察基底思想的應用，例2主要讓學生體會如

何用向量知識去處理幾何問題。通過三個問題的設置，一步步引導學

生去思考如何在本題中運用平面向量基本定理的思想：通過用已知基

底表示未知向量，進而建立未知向量之間的聯(lián)系，使未知向量之間可

以通過向量運算來解決問題。

（四）小試牛刀自我測評

【師生活動】學生獨立完成下面測試，并給出答案及解題思路

四、小試牛刀自我測評

,7）設e,.ez是平面向量的一組基底,則下列四組向量中，不能

?作為基底的是（B）.

A.ei+e?和e「ezB.3e「2ez和4e2-6ei

C.ei+2ez和ez+2e】D.e?和e^+e?

2）已知向量a=e1一Ze2,b=2e}+e2>其中4，與不共線，則。+力

與c=6e]-2e2的關系是（B）

A.不共線B.共線C.相等D.不確定

如圖,在矩形"CD中,若反1="1.求=3c.則比=（A）

AD

A.爐+3?）B.2（5n-3?）

C.1（3?-5*i）D.|（5<2—3?）

【設計意圖】題目的難度逐步遞增，讓學生鞏固所學熟練運用。

（五）總結反思提高認識

五、總結反思提高認識

1.平面內(nèi)的所有向量能否由兒個基本向量來表示呢？

2.說說平面向量基本定理與共線向量基本定理有怎樣的

關系。

3,說說平面向量基本定理的作用。

如果I、；是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量.

那么對于這一平面內(nèi)的任響敬2,行且只rr一對實

軀乙使乙謫+R；

81Glea做我家KT王內(nèi)附（鼻量的一MI%

說明：（"1ME的這舞如曜一的；

G）,同一曲量在透定基現(xiàn)后,4,

⑴網(wǎng)一向量左電揖不期?底時，％小可■幅ntfisre不再倚君?

【師生活動】引導學生對上面三個問題進行回答

【設計意圖】讓學生明白學了什么，應該掌握什么，如何應用所學知

識？學生總結回答第1個問題，呼應引入時提出的問題，揭示定理本

質(zhì)。第2個問題讓學生體會一維到二維的轉化。第3個問題引導學生

體會定理的應用，回顧例2讓學生體會如何用向量知識去處理幾何問

題

（六）布置作業(yè)鞏固提高

六、布置作業(yè)、鞏固提高

【基礎題】

課后練習第3題

【探窕題】

已知△OAB,若赤=x瓦?+y而,且點P在直線AB上，

則x,y應滿足什么條件？

【設計意圖】分層布置作業(yè)，使不同層次的學生都能得到鍛煉和提高,

找到各自的發(fā)展區(qū)。

（七）板書設計再現(xiàn)要點

I板目設計

【教學反思】

本節(jié)課以培養(yǎng)學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)為目標，通過先直觀想象

再抽象歸納，從形到數(shù)，從具體到抽象，從特殊到一般，層層設問，

逐步突破難點。在教學中既重視知識和技能的形成過程，又重視對學

生學習方法的指導，探究能力的訓練，質(zhì)疑及創(chuàng)新精神的培養(yǎng)，并且

通過學生之間的合作交流，激發(fā)了學生學習的激情與興趣。

平面向量基本定理學情分析

前兩節(jié)學生已經(jīng)學習了向量的概念和向量的運算，對向量的幾何

表示及幾何運算有了初步的認知。同時共線向量的基本定理使學生認

識到只要由一個非零向量和一個參數(shù)就可表示所有與之共線的向量,

這些都是學生學習平面向量基本定理的知識基礎。對于平面向量基本

定理其實學生在以前的學習中已經(jīng)在使用，只是沒有專門的提出。例

如物理中力的合成與分解，向量線性運算中用兩個已知向量來表示未

知向量等。但相當一部分同學只是依葫蘆畫瓢，并不知道這樣做的依

據(jù)是什么，為什么這樣做。但學了本節(jié)課內(nèi)容后，教師就可以依據(jù)定

理讓學生理解基底的作用及意義。

在以前的教學中，我們會發(fā)現(xiàn)學生對于平面向量基本定理的學習

經(jīng)常停留在機械的記憶上，并不能領會定理的實質(zhì)：因為平面中的任

一向量都能用兩基底表示，因此我們就可以建立任意兩未知向量之間

的聯(lián)系，例如本節(jié)課的例2；再比如若選擇與坐標軸同向的兩單位向

量為基底，就可以建立向量的坐標表示，通過向量的坐標運算來解決

一些問題。而對于定理本質(zhì)的把握，需要老師在學習中一步步深入,

不斷引導學生去探索，去思考，去總結。通過對定理本質(zhì)的把握，不

斷提高學生的數(shù)學學科素養(yǎng)，這是一個長期的過程，但我們必須堅持

去做。

平面向量基本定理效果分析

課前我通過認真鉆研課標、教材，調(diào)研學情，整體設計好本節(jié)的

重點、難點，本節(jié)課從學生日常生活情境入手，通過學生的操作感知

歸納總結，從形到數(shù)，從直觀到抽象，從特殊到一般，層層設問，逐

步突破難點。通過這樣的思路組織教學，合理安排教學內(nèi)容，選擇了

適合的教學方法，從而做到胸有成竹，應對課堂上的變化，有效地完

成教學目標。

課堂上考慮到學生實際認知水平，對定理的推導過程中，盡量把

問題具體化，符合學生的認知。在教學中既重視知識和技能的形成過

程，又重視對學生學習方法的指導，探究能力的訓練，創(chuàng)新精神的培

養(yǎng)，并且通過學生之間的合作交流，激發(fā)了學生學習的激情與興趣。

在教學過程中，我大膽引導學生主動參與、親身實踐、獨立思考、

合作探究，凡是學生能夠探索出來的，教師決不替代，凡是學生能夠

獨立發(fā)現(xiàn)的絕不暗示，讓學生從生活、活動、思索、合作交流中學習，

為學生提供獨立發(fā)展的空間，培養(yǎng)收集、獲取有價值的信息能力，從

而提高課堂的有效性。

平面向量基本定理課后反思

數(shù)學課程標準解讀中提出：數(shù)學學科是基礎教育階段最為重要的

學科之一，通過基礎教育階段的數(shù)學教育，無論接受教育的人將來從

事的工作是否與數(shù)學有關，終極培養(yǎng)目標都可描述為：會用數(shù)學眼光

觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界。這“三

會”就是高中階段的數(shù)學學科核心素養(yǎng)。

課標還指出學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，是在教師的啟

發(fā)和引導下，學生通過自己的獨立思考或與他人交流，最終自己“悟”

出來的，是一種逐漸養(yǎng)成的思維習慣和思想方法。因此，在教學活動

中，以學生為主體，充分調(diào)動學生的思維，把握數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)非常

重要?；谝陨峡紤]，我對本節(jié)課的內(nèi)容作出如下反思：

感覺本節(jié)課比較成功的地方一是在教學過程中，我設計了多個活

動環(huán)節(jié)，突出學生的主體地位，創(chuàng)造機會讓不同程度的學生發(fā)表自己

的觀點，調(diào)動學生學習積極性;二是在對定理的探究中，先通過引入，

激發(fā)學生興趣，把學生帶入課堂，在通過利用方格紙作圖，讓問題直

觀化，接著通過問題的設計，把學生的直觀想象上升到抽象思維，進

而得出定理。在此探究過程中讓學生體會了如何用數(shù)學的眼光去看待

問題，著重培養(yǎng)了學生的直觀想象與數(shù)學抽象素養(yǎng)。三是對于例題的

處理比較到位。例1讓學生體會到基底思想的本質(zhì)就是利用以前所學

向量的加，減，數(shù)乘運算完成的，讓學生體會到如何用已學知識來解

決未知知識，并幫學生構建了知識網(wǎng)絡，搭建了思維“最近發(fā)展區(qū)”。

例2問題的處理讓學生體會了定理的應用，如何在定理的引導下去解

決幾何問題。

不足之處是我應該在學生的自主探究方面可以再放開些，引導學

生讓學生的數(shù)學思維更加的活躍，探索新知的欲望更強烈些。例如在

得出定理后我曾提出問題：對于這個結論，大家還有疑問嗎？歡迎大

家提出來。我的本意是想讓學生在三個關鍵詞（任一、不共線、有且

只有一對）上去進行質(zhì)疑，通過對問題的解決加深對定理的認識。但

因為我給學生的時間比較短，學生都沒有提出疑問。如此，我只能拋

出我準備的三個問題讓學生通過小組討論的方式去思考。但課后，我

想在此問題的處理上，我可以讓學生通過小組討論的方式去進行質(zhì)疑,

畢竟思維的火花是在碰撞中產(chǎn)生的，我沒有給學生思維碰撞的機會，

又怎能產(chǎn)生我所期待的思維閃光呢！若學生小組討論時還提不出疑問,

我完全還可以提醒學生對三個關鍵詞進行思考，引導學生提出問題。

并且新課標現(xiàn)在把“兩能”擴展為“四能”，增加了“發(fā)現(xiàn)問題的能

力和提出問題的能力”，這些是為了滿足培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的需要。在

以后的課堂上可以更放開些，大膽的讓學生去思、去想、去做，培養(yǎng)

學生的創(chuàng)新能力。

平面向量基本定理教材分析

本節(jié)是普通高中2019人教A版必修第二冊第6章第3節(jié)的第1課

時。

本節(jié)內(nèi)容是“平面向量基本定理”，其核心是平面向量的基本定理,

并涉及到向量的基底、向量共線、向量加、減、數(shù)乘、數(shù)量積運算及

向量垂直等內(nèi)容。

平面向量的基本定理是在共線向量基本定理的基礎上，由一維直

線向二維平面推廣的結果。在本節(jié)課之前，主要研究向量的線性運算，

重點體現(xiàn)向量的幾何特征，而本節(jié)課之后，主要研究向量的坐標運算，

體現(xiàn)了向量的代數(shù)形態(tài)。本節(jié)課內(nèi)容由前面的向量運算得出平面向量

基本定理，平面向量的正交分解是平面向量基本定理的簡單應用，同

時為平面向量的坐標表示奠定基礎，所以本節(jié)課內(nèi)容是在整個向量內(nèi)

容中有承前啟后的作用。

在高中數(shù)學中，向量作為一種工具，一種語言，更多起到了溝

通代數(shù)與幾何的作用。平面向量的基本定理通過一組基底，就可以將

平面內(nèi)的任一向量都能統(tǒng)一地用這組基底進行線性表示，從而將向量

的運算歸結為其系數(shù)之間的運算，這就為向量的坐標建立提供了有力

的依據(jù)，因為有了向量的坐標表示才有了向量的坐標運算。如此