安徽省合肥市重點(diǎn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)考試題含解析

Page20一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1.若直線的傾斜角滿意，且，則其斜率滿意（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】依據(jù)傾斜角和斜率關(guān)系可求斜率的范圍.【詳解】斜率，因?yàn)椋?，故或，即或，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查傾斜角與斜率的關(guān)系，一般地，假如直線的傾斜角為，則當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，當(dāng)時(shí)，斜率.2.直線過點(diǎn)且與直線垂直，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出直線的斜率，然后利用點(diǎn)斜式可寫出直線的方程，化為一般式可得出答案.【詳解】直線的斜率為，則直線的斜率為，因此，直線的方程為，即.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查垂線方程的求解，一般要求出直線的斜率，也可以利用垂直直線系方程來求解，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.3.已知，，是不共面的三個(gè)向量，則能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的一組向量是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】C【解析】【分析】利用空間向量的基底的定義，逐項(xiàng)推斷作答.【詳解】向量是不共面的三個(gè)向量，對(duì)于A，，則向量共面，A不能構(gòu)成空間基底；對(duì)于B，，則向量共面，B不能構(gòu)成空間基底；對(duì)于D，，則向量共面，D不能構(gòu)成空間基底；對(duì)于C，假定向量共面，則存在不全為0的實(shí)數(shù)，使得，整理得，而向量不共面，則有，明顯不成立，所以向量不共面，能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，C能構(gòu)成空間基底.故選：C4.在平行六面體中，向量是（）A.有相同起點(diǎn)的向量 B.等長的向量C.共面對(duì)量 D.不共面對(duì)量【答案】C【解析】【分析】依據(jù)空間向量的概念和共面定理推斷.詳解】如圖所示：向量明顯不是有相同起點(diǎn)的向量，A不正確；由該平行六面體不是正方體可知，這三個(gè)向量不是等長的向量，B不正確.又因?yàn)?，所以共面，C正確，D不正確.故選：C5.如圖，一座圓弧形拱橋，當(dāng)水面在如圖所示的位置時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬12米，當(dāng)水面下降1米后，水面寬度為A14米 B.15米 C.米 D.米【答案】D【解析】【詳解】以圓拱拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過拱頂頂點(diǎn)的豎直直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)圓心為C，水面所在弦的端點(diǎn)為A，B，則由已知可得：A（6，﹣2），設(shè)圓的半徑為r，則C（0，﹣r），即圓的方程為x2+（y+r）2＝r2，將A的坐標(biāo)代入圓的方程可得r＝10，所以圓的方程是：x2+（y+10）2＝100則當(dāng)水面下降1米后可設(shè)A′的坐標(biāo)為（x0，﹣3）（x0＞0）代入圓的方程可得x0，所以當(dāng)水面下降1米后，水面寬為2米．故選：D．6.已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，若點(diǎn)F是側(cè)面CD1的中心，且則m，n的值分別為()A.，－ B.－，－ C.－， D.，【答案】A【解析】【分析】干脆利用向量的線性運(yùn)算化簡(jiǎn)得,比較系數(shù)得.【詳解】由于，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的線性運(yùn)算和空間向量的基本定理，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問的駕馭水平和分析推理實(shí)力.7.四棱錐中，，則這個(gè)四棱錐的高為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出平面的法向量，計(jì)算法向量與的夾角得出與平面的夾角，從而可求出到平面的距離．【詳解】解：設(shè)平面的法向量為，，，則，，令可得，，即，2，，，設(shè)與平面所成角為，則，于是到平面的距離為，即四棱錐的高為．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8.已知⊙M：，直線：，為上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作⊙M的切線，切點(diǎn)為，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可推斷直線與圓相離，依據(jù)圓的學(xué)問可知，四點(diǎn)共圓，且，依據(jù)可知，當(dāng)直線時(shí)，最小，求出以為直徑的圓的方程，依據(jù)圓系的學(xué)問即可求出直線的方程．【詳解】圓的方程可化為，點(diǎn)到直線的距離為，所以直線與圓相離．依圓的學(xué)問可知，四點(diǎn)四點(diǎn)共圓，且，所以，而，當(dāng)直線時(shí)，，，此時(shí)最小．∴即，由解得，．所以以為直徑的圓的方程為，即，兩圓的方程相減可得：，即為直線的方程．故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化實(shí)力和數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的是（）A.直線必過定點(diǎn)B.直線在y軸上的截距為C.直線的傾斜角為D.若直線l沿x軸向左平移3個(gè)單位長度，再沿y軸向上平移1個(gè)單位長度后，回到原來的位置，則該直線l的斜率為【答案】AC【解析】【分析】干脆利用直線的方程，直線的傾斜角和斜率之間的關(guān)系逐項(xiàng)推斷即可得結(jié)論．【詳解】對(duì)于A：直線，整理得，所以該直線經(jīng)過點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B：直線，令，解得，故直線在y軸上的截距為2，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：直線，所以直線的斜率，所以，由于故，故C正確；對(duì)于D：直線l沿x軸向左平移3個(gè)單位長度，再沿y軸向上平移1個(gè)單位長度后，回到原來的位置，則，所以直線的斜率為，故D不正確．故選：AC.10.已知，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.為鈍角 D.在方向上投影向量為【答案】BD【解析】【分析】利用向量垂直，平行的坐標(biāo)關(guān)系推斷A，B，依據(jù)向量夾角公式推斷C，依據(jù)投影向量和投影數(shù)量的關(guān)系計(jì)算求解推斷D.【詳解】因?yàn)?，所以，不垂直，A錯(cuò)，因?yàn)?，所以，B對(duì)，因?yàn)椋?，所以不是鈍角，C錯(cuò)，因?yàn)樵诜较蛏系耐队跋蛄浚珼對(duì)，故選：BD.11.圓C：，直線，點(diǎn)P在圓C上，點(diǎn)Q在直線l上，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線l與圓C相交B.的最小值是1C.若P到直線l的距離為2，則點(diǎn)P有2個(gè)D.從Q點(diǎn)向圓C引切線，則切線段的最小值是3【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A:求出圓心到直線的距離，即可推斷直線與圓相離；對(duì)于B:利用幾何法求出的最小值，即可推斷；對(duì)于C:設(shè)直線m與l平行，且m到l的距離為2.求出m的方程，推斷出直線m與圓C相交，有兩個(gè)交點(diǎn)，即可推斷；對(duì)于D:依據(jù)圖形知,過Q作QR與圓C相切于R，連結(jié)CR.要使切線長最小，只需最小.利用幾何法求出切線段的最小值，即可推斷.【詳解】對(duì)于A:由圓C：，得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心到直線的距離，所以直線與圓相離.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B:圓心到直線的距離,所以的最小值為.故B正確;對(duì)于C:設(shè)直線m與l平行，且m到l的距離為2.則可設(shè).由，解得：或.當(dāng)時(shí)，直線，圓心到直線的距離,所以直線m與圓C相交，有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為1.當(dāng)時(shí)，直線，圓心到直線的距離,所以直線m與圓C相離，不合題意.綜上所述，圓上到直線l的距離為1的點(diǎn)有且只有2個(gè).故C正確.對(duì)于D:依據(jù)圖形知,過Q作QR與圓C相切于R，連結(jié)CR.則切線長.要使切線長最小，只需最小.點(diǎn)Q到圓心C的最小值為圓心到直線的距離d=5,由勾股定理得切線長的最小值為,故D正確.故選：BCD12.如圖，在棱長為1的正方體中（）A.AC與的夾角為B.三棱錐外接球的體積為C.與平面所成角的正切值D.點(diǎn)D到平面的距離為【答案】BCD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法逐項(xiàng)推斷即得．【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，對(duì)于A，，則，即，所以AC與的夾角為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，三棱錐外接球與正方體的外接球相同，又正方體的外接球的直徑等于體對(duì)角線的長，所以三棱錐外接球的半徑為，所以三棱錐外接球的體積為，故B正確；對(duì)于C，設(shè)平面的法向量為，，所以，令，得到，，則，因?yàn)?，設(shè)與平面所成角為，則，則，故C正確；因?yàn)?，設(shè)點(diǎn)D到平面的距離為d，則，故D正確．故選：三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若實(shí)數(shù)x、y滿意x2＋y2＋4x－2y－4＝0，則的最大值是____.【答案】＋3【解析】【詳解】將方程x2＋y2＋4x－2y－4＝0化為，表示以為圓心，半徑為3的圓，表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離，簡(jiǎn)潔推斷原點(diǎn)（0,0）在圓內(nèi)，且原點(diǎn)與圓心之間的距離為，所以的最大值為．點(diǎn)睛：本題主要考查圓內(nèi)的點(diǎn)與圓上的點(diǎn)之間的距離最大值問題，屬于中檔題．本題留意數(shù)形結(jié)合，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題求解．14.如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，若，且，則的長為_________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：因?yàn)?，所以，即，故?5.已知矩形，，，沿對(duì)角線將折起，若二面角的大小為，則，兩點(diǎn)之間的距離為______.【答案】【解析】【分析】過分別作由題意可求得由二面角的大小為，得到再利用可求得結(jié)果.【詳解】過分別作則二面角的大小為,,則,即兩點(diǎn)間的距離為.故答案為：.16.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：隨意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知的頂點(diǎn)，，其歐拉線方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以是_________【答案】或【解析】【分析】設(shè)，依題意可確定的外心為，可得出一個(gè)關(guān)系式，求出重心坐標(biāo)，代入歐拉直線方程，又可得出另一個(gè)關(guān)系式，解方程組，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)的垂直平分線為，的外心為歐拉線方程為與直線的交點(diǎn)為，∴①由，，重心為，代入歐拉線方程，得②由①②可得或.故答案：或.【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查圓的性質(zhì)和三角形的外心與重心，考查邏輯思維實(shí)力和計(jì)算實(shí)力，屬于較難題.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知空間向量，，．（1）若，求；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用空間向量共線定理，列式求解x的值，由向量模的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可；（2）利用向量垂直的坐標(biāo)表示，求出x的值，從而得到，由空間向量的夾角公式求解即可．【詳解】解：（1）空間向量，，，因?yàn)?，所以存在?shí)數(shù)k，使得，所以，解得，則．（2）因?yàn)?，則，解得，所以，故．18.已知ABC的頂點(diǎn)，AB邊上的中線CM所在直線方程為，AC的邊上的高BH所在直線方程為．（1）求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求直線BC的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，利用點(diǎn)C在AB邊上的中線CM上和直線AC與高線BH垂直求解；（2）設(shè)，利用點(diǎn)B在BH上和AB的中點(diǎn)M在直線CM上求解；【小問1詳解】解：設(shè)，∵AB邊上的中線CM所在直線方程為，AC邊上的高BH所在直線方程為．∴，解得．∴．【小問2詳解】設(shè)，則，解得．∴．∴．∴直線BC的方程為，即為．19.已知以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切．（1）求圓C的方程；（2）過點(diǎn)的作圓C的切線，求切線方程．【答案】（1）；（2）和．【解析】【分析】（1）由點(diǎn)到直線距離公式得圓半徑后可得圓方程；（2）分類探討，檢驗(yàn)斜率不存在的直線是否為切線，斜率存在時(shí)設(shè)出切線方程，由圓心到切線的距離等于半徑得結(jié)論．【小問1詳解】由題意，圓半徑不，所以圓方程為；【小問2詳解】易知過點(diǎn)斜率不存在的直線是圓的切線，再設(shè)斜率存在的切線方程為，即，，解得，直線方程為，即．所以切線方程是和．20.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，E為棱PD的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）求直線AE與平面PBD所成角的正弦值【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)線面垂直的性質(zhì)與判定，證明平面即可；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解線面夾角即可.【小問1詳解】因?yàn)榈酌?，平面，?又為正方形，故.又，平面，故平面.又平面，故.【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，.，，.設(shè)平面的法向量，則，即，設(shè)則.設(shè)直線AE與平面PBD所成角為，則.21.如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，，，，為棱上一點(diǎn)，，過，，三點(diǎn)作平面交于點(diǎn).（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，確定各點(diǎn)坐標(biāo)，依據(jù)得到，確定平面的法向量，再利用點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算得到答案.（2）確定平面與平面的法向量，再依據(jù)向量的夾角公式計(jì)算即可.【小問1詳解】如圖所示：取為中點(diǎn)，為菱形，，則，故，，，以，，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，則，即，故，解得，故，設(shè)平面的法向量為，則，取，得到，點(diǎn)到平面的距離為.【小問2詳解】設(shè)平面的法向量為，則，取，得到；設(shè)平面的法向量為，則，取，得到；平面與平面夾角為銳角，余弦值為.22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的圓心在直線x＋y－3＝0上，圓C經(jīng)過點(diǎn)A(0，4)，且與直線3x－4y＋16＝0相切．（1）求圓C的方程；（2）設(shè)直線l交圓C于P，Q兩點(diǎn)，若直線AP，AQ的斜率之積為2，求證：直線l過一個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）(x－3)2＋y2＝25；（2）證明見解析，定點(diǎn)為.【解析】【分析】（1）由圓心在直線上，可設(shè)圓心坐標(biāo)C(a，3－a)，由圓心到切線的距離等于半徑列方程解得后可得圓方程；（2）分類探討，直線斜率不存在時(shí)，設(shè)，，x0≠0，由已知求出x0，但此直線與圓無交點(diǎn)，不合題意；直線l的斜率存在．設(shè)直線l的方程y＝kx＋t(t≠4)，，，把已知用坐標(biāo)表示出來，記為①式，由直線與圓相交，直線方程與圓方程聯(lián)立，消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得，代入①式，得出的關(guān)系式，代入直線方程整理可得直線過定點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）因?yàn)閳A心C在直線x＋y－3＝0上，所以設(shè)C(a，3－a)，因?yàn)閳AC經(jīng)過點(diǎn)A(0，4)