七年級數(shù)學(xué)下冊-第04講 認識三角形（5大考點+5種題型+強化訓(xùn)練）（解析版）

第04講認識三角形了解三角形的概念；了解三角形的穩(wěn)定性；理解三角形的分類；理解三角形及與三角形有關(guān)的線段的概念；掌握并證明三角形兩邊的和大于第三邊；掌握三角形面積的方法一．三角形的概念（1）三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．組成三角形的線段叫做三角形的邊．相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點．相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角．（2）按邊的相等關(guān)系分類：不等邊三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等邊三角形）．二．三角形的角平分線、中線和高（1）從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．（2）三角形一個內(nèi)角的平分線與這個內(nèi)角的對邊交于一點，則這個內(nèi)角的頂點與所交的點間的線段叫做三角形的角平分線．（3）三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．（4）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段．（5）銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部，它們的交點是直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所在直線相交于三角形外一點．三．三角形的面積（1）三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即S△＝×底×高．（2）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．四．三角形的穩(wěn)定性當三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性．這一特性主要應(yīng)用在實際生活中．五．三角形三邊關(guān)系（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．（2）在運用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形．（3）三角形的兩邊差小于第三邊．（4）在涉及三角形的邊長或周長的計算時，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗，這是一個隱藏的定時炸彈，容易忽略．一．三角形的概念（共4小題）1．（2023春?江都區(qū)月考）圖中的三角形被木板遮住了一部分，這個三角形是A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．以上都有可能【分析】三角形按角分類，可以分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形．有一個角是直角的三角形是直角三角形；有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形；三個角都是銳角的三角形是銳角三角形．【解答】解：從圖中，只能看到一個角是銳角，其它的兩個角中，可以都是銳角或有一個鈍角或有一個直角．故選：．【點評】此題考查了三角形的分類．2．（2023春?建鄴區(qū)期中）如圖，圖中以為邊的三角形的個數(shù)為4．【分析】根據(jù)三角形的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：以為公共邊的三角形有，，，，以為公共邊的三角形的個數(shù)是4個．故答案為：4．【點評】此題考查了學(xué)生對三角形的認識．注意要審清題意，按題目要求解題．3．（2023春?建鄴區(qū)校級期中）如圖，以為邊的三角形的個數(shù)是4個．【分析】根據(jù)三角形的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：以為公共邊的三角形有，，，，以為公共邊的三角形的個數(shù)是4個．故答案為：4．【點評】此題考查了學(xué)生對三角形的認識．注意要審清題意，按題目要求解題是關(guān)鍵．4．（2023春?秦淮區(qū)校級月考）如圖，平面內(nèi)有五個點，以其中任意三個點為頂點畫三角形，最多可以畫10個三角形．【分析】根據(jù)題意畫出圖形即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖所示，以，為頂點，得，，，以，為頂點，得，，以，為頂點，得，以，為頂點，得，，以，為頂點，得，以，為頂點，得，故以其中任意三個點為頂點畫三角形，最多可以畫10個三角形，故答案為：10．【點評】本題考查了三角形，正確的畫出圖形是解題的關(guān)鍵．二．三角形的角平分線、中線和高（共6小題）5．（2023春?錫山區(qū)校級月考）下列各組圖形中，是的高的圖形是A． B． C． D．【分析】根據(jù)過三角形的頂點向?qū)呑鞔咕€，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線解答．【解答】解：的高是過頂點與垂直的線段，只有選項符合．故選：．【點評】本題考查了三角形的高線，是基礎(chǔ)題，熟記概念是解題的關(guān)鍵．6．（2023春?秦淮區(qū)期中）如圖，，，，，垂足分別為點、點、點，中邊上的高是A． B． C． D．【分析】從三角形的一個頂點向它的對邊引垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的高．根據(jù)此概念求解即可．【解答】解：中，畫邊上的高，是線段．故選：．【點評】本題考查了三角形的高線的定義，是基礎(chǔ)題，準確識圖并熟記高線的定義是解題的關(guān)鍵．7．（2023春?秦淮區(qū)期中）如圖，已知為的中線，，，的周長為，則的周長為23．【分析】根據(jù)三角形中線的定義可得，再表示出和的周長的差就是、的差，然后計算即可．【解答】解：是邊上的中線，，和周長的差，的周長為，比長，周長為：．故答案為23．【點評】本題主要考查了三角形的中線的定義，把三角形的周長的差轉(zhuǎn)化為已知兩邊、的長度的差是解題的關(guān)鍵．8．（2023春?吳江區(qū)期中）如圖，是的高，是的角平分線，是中點，，．（1）求的度數(shù)；（2）若與的周長差為3，，則10．【分析】（1）根據(jù)三角形的高的概念得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)角平分線的定義求出，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計算即可；（2）根據(jù)三角形的中線的概念得到，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．【解答】解：（1）是的高，，，，是的角平分線，，，；（2）是中點，，與的周長差為3，，，，，故答案為：10．【點評】本題考查的是三角形的三角形的角平分線、中線和高，從三角形的一個頂點向?qū)呑鞔咕€，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高；三角形一個內(nèi)角的平分線與這個內(nèi)角的對邊交于一點，則這個內(nèi)角的頂點與所交的點間的線段叫做三角形的角平分線；三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．9．（2023春?盱眙縣期中）如圖，已知是的邊上的中線，若，的周長比的周長多1，則5．【分析】根據(jù)三角形中線的概念得到，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．【解答】解：是的邊上的中線，，的周長比的周長多1，，即，，，故答案為：5．【點評】本題考查的是三角形的中線的概念，三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．10．（2023春?高新區(qū)期中）如圖，在中，于，平分．（1）若，，求的度數(shù)（2）若，則．（3）若，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和互余進行計算；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線定義得出的度數(shù)等于與差的一半解答即可；（3）根據(jù)（2）中所得解答即可．【解答】解：（1）由已知可得，，，；（2），，平分，，，，而，，，，，故答案為：；（3），．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是根據(jù)三角形內(nèi)角和是和三角形外角性質(zhì)解答．三．三角形的面積（共8小題）11．（2023春?海州區(qū)期中）如圖，中，是邊上的中線，是中邊上的中線，若的面積是24，則的面積是A．4 B．6 C．8 D．10【分析】根據(jù)三角形的中線的性質(zhì)，得的面積是的面積的一半，的面積是的面積的一半，由此即可解決問題；【解答】解：是的中線，．是的中線，．故選：．【點評】本題考查三角形的面積，三角形的中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的中線把三角形的面積分成了相等的兩部分．12．（2023春?泗洪縣期中）如圖，中，點是上一點，，點是的中點，若的面積，則A．1 B．2 C．3 D．4【分析】本題需先分別求出，再根據(jù)即可求出結(jié)果．【解答】解：，，點是的中點，，，，，，．故選：．【點評】本題主要考查了三角形的面積計算，在解題時要能根據(jù)已知條件求出三角形的面積并對要求的兩個三角形的面積之差進行變化是本題的關(guān)鍵．13．（2023春?儀征市月考）如圖，在中，，，，分別是邊，上的高，且，則的長為．【分析】根據(jù)三角形面積公式得到，然后把，，代入計算即可．【解答】解：，分別是邊，上的高，，．故答案為：．【點評】本題考查了三角形的面積：三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即底高．14．（2023春?興化市月考）如圖，中，、分別是，的中點，的面積是16，則陰影部分的面積是4．【分析】根據(jù)三角形中線將三角形分成面積相等的兩部分可知：是陰影部分的面積的2倍，的面積是的面積的2倍，由此可解．【解答】解：點、分別是，的中點，，，，故答案為：4．【點評】本題考查根據(jù)三角形中線求面積，掌握“三角形中線將三角形分成面積相等的兩部分”是解題的關(guān)鍵．15．（2023春?灌南縣期中）如圖，在中，為邊上的高，點為邊上的一點，連接．（1）當為邊上的中線時，若，的面積為24，求的長；（2）當為的平分線時，若，，求的度數(shù)．【分析】（1）先根據(jù)三角形面積公式計算出，然后根據(jù)為邊上的中線得到的長；（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算出，再利用角平分線的定義得到，接著計算出，然后計算即可．【解答】解：（1）為邊上的高，的面積為24，，，為邊上的中線，；（2），，，為的平分線，，，，，．【點評】本題考查了三角形的面積：三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即底高．16．（2023春?工業(yè)園區(qū)校級月考）已知：如圖所示，中，、分別在邊、上，，，求的值．【分析】先利用線段之比得出面積之比，得到和，再求出，則可得出答案．【解答】解：連接，，，設(shè)，則，又，，設(shè)，則，又，，，．故答案為：．【點評】本題考查了三角形的面積，利用三角形的邊長之比轉(zhuǎn)換成面積之比是解題的關(guān)鍵．17．（2023春?靖江市校級月考）如圖，中，，，，，和交于點，．（1）求的度數(shù)；（2）若，求的長．【分析】（1）根據(jù)，求出即可．（2）利用面積法求解即可．【解答】解：（1），，，，，，．（2），，，，，，．【點評】本題考查三角形的面積，三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用面積法求高，屬于中考?？碱}型．18．（2023春?工業(yè)園區(qū)校級月考）如圖，在三角形中，，，是的中點，點在邊上，三角形與四邊形的周長相等．（1）求線段的長；（2）圖中共有8條線段；（3）若圖中所有線段長度的和是，求的值；（4）若四邊形的面積為，則點到直線的距離為．（用的代數(shù)式表示）【分析】（1）根據(jù)線段中點的概念得到，根據(jù)三角形的周長公式、四邊形的周長公式計算即可；（2）根據(jù)線段的概念寫出圖中線段；（3）根據(jù)題意列式計算求出的值，進而求出的值；（4）連接，根據(jù)面積之比等于同高的底邊之比，得出，再根據(jù)三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，設(shè)，則，求出用表示三角形的面積，再根據(jù)三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，求出點到直線的距離【解答】解：（1）是的中點，，與四邊形的周長相等，，，，，，；（2）圖中線段有：、、、、、、、共8條，故答案為：8；（3）圖中所有線段長度的和是，，，；（4）如圖所示連接，，，，，是的中點，，，設(shè)，則，，，，，設(shè)點到直線的距離為，，，故答案為：．【點評】本題考查的是三角形的中線、三角形的周長計算，正確寫出圖中線段的條數(shù)是解題的關(guān)鍵．四．三角形的穩(wěn)定性（共3小題）19．（2023秋?興化市月考）如圖，生活中都把自行車的幾根梁做成三角形的支架，這是利用三角形的A．全等形 B．穩(wěn)定性 C．靈活性 D．對稱性【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性解答．【解答】解：生活中都把自行車的幾根梁做成三角形的支架，這是因為三角形具有穩(wěn)定性．故選：．【點評】本題考查三角形穩(wěn)定性的實際應(yīng)用．三角形的穩(wěn)定性在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如鋼架橋、房屋架梁等，因此要使一些圖形具有穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，往往通過連接輔助線轉(zhuǎn)化為三角形而獲得．20．（2023春?睢寧縣期中）下列圖形中，具有穩(wěn)定性的是A． B． C． D．【分析】直接根據(jù)三角形的穩(wěn)定性解答即可．【解答】解：、、選項中都有四邊形，只有選項中只有三角形，根據(jù)四邊形的不穩(wěn)定性和三角形的穩(wěn)定性可知：選項的圖形具有穩(wěn)定性．故選：．【點評】本題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，掌握組成的所有的圖形都是三角形，則具有穩(wěn)定性是解答本題的關(guān)鍵．21．（2023春?儀征市期中）如圖，在上網(wǎng)課時把平板放在三角形支架上用到的數(shù)學(xué)道理是A．三角形的穩(wěn)定性 B．對頂角相等 C．垂線段最短 D．兩點之間線段最短【分析】利用三角形的穩(wěn)定性直接回答即可．【解答】解：把平板電腦放在一個支架上面，就可以非常方便的使用它上網(wǎng)課，這樣做的數(shù)學(xué)道理是三角形具有穩(wěn)定性，故選：．【點評】考查了三角形的穩(wěn)定性，解題的關(guān)鍵是從圖形中抽象出三角形模型，難度不大．五．三角形三邊關(guān)系（共9小題）22．（2023春?吳江區(qū)期中）已知一個三角形的周長為偶數(shù)，其中兩條邊長分別等于和，則第三邊的長可能是A． B． C． D．【分析】已知三角形的兩邊長分別為、，根據(jù)在三角形中任意兩邊之和第三邊，任意兩邊之差第三邊；即可求第三邊長的范圍．【解答】解：設(shè)第三邊長為，則由三角形三邊關(guān)系定理得，即．一個三角形的周長為偶數(shù)，或9或11．只有符合題意．故選：．【點評】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟知三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解答此題的關(guān)鍵．23．（2023春?姑蘇區(qū)校級月考）已知三角形的三邊長為3、7、，則的取值范圍是．【分析】已知三角形的三邊長，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“第三邊大于兩邊之差，而小于兩邊之和”，進行求解．【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得，即：．故答案為：．【點評】考查了三角形的三邊關(guān)系，解答此題的關(guān)鍵是熟知三角形的三邊關(guān)系，即任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．24．（2023春?漣水縣期末）若三角形兩邊的長分別為2和7，且第三邊的長為奇數(shù)，則第三邊的長為7．【分析】已知兩邊，則第三邊的長度應(yīng)是大于兩邊的差而小于兩邊的和，這樣就可求出第三邊長的范圍，又知道第三邊長為奇數(shù)，就可以知道第三邊的長度．【解答】解：設(shè)第三邊的長為，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得，即．又第三邊長是奇數(shù)，則．故答案為：7．【點評】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系，實際上就是根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理列出不等式，然后解不等式即可，難度適中．25．（2023春?儀征市期末）三角形兩邊的長分別為1，7，第三邊長是整數(shù)，則第三邊的長為7．【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和第三邊，任意兩邊之差第三邊”，求得第三邊的取值范圍，再進一步根據(jù)第三邊是整數(shù)求解．【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得第三邊，而．又第三條邊長為整數(shù)，則第三邊是7．故答案為：7．【點評】此題主要是考查了三角形的三邊關(guān)系，同時注意整數(shù)這一條件．26．（2023春?邗江區(qū)月考）已知的三邊長是，，．（1）若，，且三角形的周長是小于18的偶數(shù)．求邊的長；（2）化簡．【分析】（1）利用三角形三邊關(guān)系進而得出的取值范圍，進而得出答案；（2）根據(jù)絕對值的定義和三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論．【解答】解：（1），，是的三邊，，，，三角形的周長是小于18的偶數(shù)，，或6；（2）．【點評】此題主要考查了絕對值和三角形三邊關(guān)系，得出的取值范圍是解題關(guān)鍵．27．（2023春?興化市月考）在中，，．（1）若是整數(shù)，求的長；（2）已知是的中線，若的周長為10，求三角形的周長．【分析】（1）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系解答即可；（2）根據(jù)三角形的中線的定義得到，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．【解答】解：（1）由題意得：，，是整數(shù)，；（2）是的中線，的周長為10，，，，的周長．【點評】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系、三角形的中線的定義，掌握三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．28．（2023春?宿城區(qū)校級月考）已知在中，、、的對邊分別為、、．（1）化簡代數(shù)式：．（2）若，邊上的中線把三角形的周長分為10和18兩部分，求腰長．【分析】（1）先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理可得，，從而可得，，再化簡絕對值，然后計算整式的加減法即可得；（2）先根據(jù)三角形中線的定義可得，再分①和②兩種情況，分別求出，的值，從而可得三角形的三邊長，然后看是否符合三角形的三邊關(guān)系定理即可得出答案．【解答】解：（1）由題意得：，，，，．故答案為：；（2）畫出圖形如下：由題意可知，，，，，，是邊上的中線，且，，分以下兩種情況：①當時，即，解得，此時的三邊長分別為，不滿足三角形的三邊關(guān)系定理，舍去；②當時，即，解得，此時的三邊長分別為4，12，12，滿足三角形的三邊關(guān)系定理；綜上，腰長為12．【點評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理、整式加減的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用、三角形的中線等知識點，較難的是題（2），正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．29．（2023春?灌云縣月考）某市木材市場上木棒規(guī)格與價格如下表：規(guī)格價格（元根）101520253035小明的爺爺要做一個三角形的支架養(yǎng)魚用，現(xiàn)有兩根長度為和的木棒，還需要到該木材市場上購買一根．（1）有幾種規(guī)格的木棒可供小明的爺爺選擇？（2）在能做成三角形支架的情況下，選擇哪一種規(guī)格的木棒最省錢？【分析】（1）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得，再解出不等式可得的取值范圍，進而得到選擇的木棒長度；（2）根據(jù)木棒價格可直接選出答案．【解答】解：（1）設(shè)第三根木棒的長度為，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：，解得，，4，5，6共4種，有4種規(guī)格木棒可供小明的爺爺選擇；（2）根據(jù)木棒的價格可得選最省錢．【點評】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．三角形的兩邊差小于第三邊．30．（2023春?儀征市月考）已知，，是的三邊長，，滿足，且為方程的解，求的周長．【分析】利用絕對值的性質(zhì)以及偶次方的性質(zhì)得出，的值，進而利用三角形三邊關(guān)系得出的值，進而可得出其周長．【解答】解：，，，解得：，，為方程的解，，解得：或2．、、為的三邊長，，不合題意舍去，，的周長．【點評】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系以及絕對值的性質(zhì)和偶次方的性質(zhì)，得出的值是解題關(guān)鍵．一．選擇題（共10小題）1．（2023春?江都區(qū)月考）如圖所示在中，邊上的高線畫法正確的是A． B． C． D．【分析】直接利用高線的概念得出答案．【解答】解：在中，邊上的高線畫法正確的是，故選：．【點評】此題主要考查了三角形高線的作法，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．2．（2023春?邗江區(qū)期末）下列三條線段的長度能構(gòu)成三角形的是A．1，2，3 B．2，2，4 C．2，9，6 D．4，6，9【分析】根據(jù)“三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”對各選項進行進行逐一分析即可．【解答】解：、，不能夠組成三角形，故本選項不符合題意；、，不能組成三角形，故本選項不符合題意；、，不能夠組成三角形，故本選項不符合題意；、，能夠組成三角形，故本選項符合題意．故選：．【點評】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，判斷能否組成三角形的簡便方法是看較小的兩個數(shù)的和是否大于第三個數(shù)．3．（2023春?工業(yè)園區(qū)期中）已知三角形兩邊的長分別為、，第三邊長為整數(shù)，則第三邊的長可以為A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出第三邊的范圍，進而得到答案．【解答】解：設(shè)第三邊的長為，則，即，第三邊的長為整數(shù)，第三邊的長可以為．故選：．【點評】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟記三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．4．（2023春?江寧區(qū)校級月考）已知三條線段的長分別是3，7，，若它們能構(gòu)成三角形，則整數(shù)的最大值是A．11 B．10 C．9 D．7【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定第三邊的取值范圍，進而解答即可．【解答】解：三條線段的長分別是3，7，，它們能構(gòu)成三角形，，，整數(shù)的最大值是9．故選：．【點評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，熟知三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．5．（2023春?亭湖區(qū)期中）如圖，為了估計池塘兩岸，間的距離，在池塘的一側(cè)選取點，測得米，米，那么，間的距離不可能是A．6米 B．8.7米 C．18米 D．27米【分析】連接，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得出不等式，即可得出選項．【解答】解：設(shè)米，米，米，由三角形三邊關(guān)系定理得：，，所以選項不符合，選項、、符合，故選：．【點評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理，能根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得出不等式是解此題的關(guān)鍵．6．（2023春?工業(yè)園區(qū)期中）如圖，是的中線，，若的周長比的周長大，則的長為A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形中線的特點進行解答即可．【解答】解：為的邊上的中線，，的周長比的周長大，，，，，故選：．【點評】本題考查的是三角形的中線，熟知三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線是解此題的關(guān)鍵．7．（2023春?高港區(qū)月考）如圖，在中，已知點、分別是、邊上的中點，且，則的值為A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形的面積公式，知：等底等高的兩個三角形的面積相等．【解答】解：．故選：．【點評】本題考查的是三角形的面積，充分運用三角形的面積公式以及三角形的中線的性質(zhì)．8．（2023春?姜堰區(qū)期中）小李想做一個三角形的框架，他有兩根長度分別為和的細木條，需要將其中一根木條分為兩段與另一根組成一個三角形．如果不考慮損耗和接頭部分，那么小李應(yīng)該選擇把哪根木條分為兩段？A．的木條 B．的木條 C．兩根都可以 D．兩根都不行【分析】三角形兩邊之和大于第三邊．依此即可求解．【解答】解：三角形兩邊之和大于第三邊，兩根長度分別為和的細木條做一個三角形的框架，可以把的細木條分為兩截．故選：．【點評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，利用了三角形中三邊的關(guān)系求解．9．（2023春?高郵市期中）如圖，在中，是上的一點，，點是的中點，且，則A．2 B．3 C．4 D．5【分析】由得，同理可得，根據(jù)即可得到答案．【解答】解：，，點為中點，，，即，．故選：．【點評】本題考查了三角形的面積計算，同高不等底的三角形面積之比為底之比，熟悉以上性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10．（2023春?姑蘇區(qū)校級期中）如圖，在中，點是邊的中點，，的面積是4，則下列結(jié)論正確的是A． B． C． D．【分析】設(shè)與相交于點，連接，根據(jù)三角形的中線性質(zhì)可得的面積的面積，的面積的面積的面積，從而可得的面積，再根據(jù)已知，可得的面積的面積，從而可得四邊形的面積的面積；然后根據(jù)圖形面積的和差關(guān)系進行計算，即可解答．【解答】解：設(shè)與相交于點，連接，點是邊的中點，的面積是4，的面積的面積，的面積的面積的面積，的面積；，的面積的面積，的面積四邊形的面積，四邊形的面積的面積；的面積的面積的面積的面積，四邊形的面積的面積的面積的面積，；的面積的面積）；故，，都不符合題意；符合題意；故選：．【點評】本題考查了三角形的面積，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共8小題）11．（2023春?丹陽市校級期末）已知三角形三條邊長分別是2、、3，且為奇數(shù)，則3．【分析】首先根據(jù)三角形的三邊之間的關(guān)系得：，由此解得，然后再根據(jù)為奇數(shù)即可求出的值．【解答】解：根據(jù)三角形的三邊之間的關(guān)系得：，，為奇數(shù)，．故答案為：3．【點評】此題主要考查了三角形的三邊之間關(guān)系，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的三邊之間關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．12．（2023春?邗江區(qū)月考）如圖，學(xué)校門口設(shè)置的移動拒馬都用鋼管焊接成三角形，這樣做的數(shù)學(xué)原理是利用了三角形的穩(wěn)定性（選填“穩(wěn)定性”或“不穩(wěn)定性”．【分析】學(xué)校門口設(shè)置的移動拒馬做成三角形的形狀，利用三角形不變形即三角形的穩(wěn)定性，從而可得答案．【解答】解：學(xué)校門口設(shè)置的移動拒馬都用鋼管焊接成三角形，這樣做的數(shù)學(xué)原理是利用了三角形的穩(wěn)定性，故答案為：穩(wěn)定性．【點評】本題考查的是三角形的穩(wěn)定性是實際應(yīng)用，掌握“三角形具有穩(wěn)定性”是解本題的關(guān)鍵．13．（2023春?玄武區(qū)校級期中）如圖，在中，已知，垂足為，，若是的中點，則6．【分析】設(shè)的面積為，根據(jù)三角形面積公式，利用是的中點得到，再利用得到，所以，從而得到的值．【解答】解：設(shè)的面積為，是的中點，，，，，．故答案為：6．【點評】本題考查了三角形的面積，掌握三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即底高，三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分是關(guān)鍵．14．（2023春?天寧區(qū)校級期中）如圖，點在直線外，點、在直線上，點、分別是，的中點，、相交于點．已知，四邊形的面積為6，則的最小值為6．【分析】連接，過點作于點，根據(jù)三角形中線性質(zhì)只需求出，進而求出，即可利用點到到直線的距離垂線段最短求解．【解答】解：如圖，連接，過點作于點，點、分別是、的中點，，，，，，，，，，點到到直線的距離垂線段最短，，的最小值為6．故答案為：6．【點評】本題主要考查了三角形的面積，三角形中線的性質(zhì)、點到直線的距離垂線段最短，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．15．（2023春?儀征市期中）如圖，是的中線，是的中線，于點．若，，則長為3．【分析】由，，推出，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出答案．【解答】解：是的中線，，是的中線，，，，，即，解得：，故答案為：3．【點評】本題考查了三角形的面積、三角形的中線的性質(zhì)等知識，理解三角形高的定義，熟練掌握三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵．16．（2023春?亭湖區(qū)校級期末）某花店打算制作一批有兩邊長分別是7分米，3分米，第三邊長為奇數(shù)（單位：分米）的不同規(guī)格的三角形木框．要制作滿足上述條件的三角形木框共有3種．【分析】根據(jù)在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，確定第三邊的取值范圍，從而確定符合條件的三角形的個數(shù)．【解答】解：設(shè)第三邊長為分米，則三角形的第三邊滿足：，即．因為第三邊長為奇數(shù)，所以第三邊可以為5分米、7分米或9分米．故要制作滿足上述條件的三角形木框共有3種．故答案為：3．【點評】本題主要考查三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，注意熟練運用在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．17．（2023春?鹽都區(qū)期中）如圖，點是的邊上任意一點，點、分別是線段、的中點，且的面積為60，則的面積15．【分析】根據(jù)三角形的中線平分面積，得到，，進而得到，又因為，即可求出的面積．【解答】解：點是線段的中點，，，，分別是線段的中點，，故答案為：15．【點評】本題考查三角形中線的性質(zhì)．熟練掌握三角形的中線平分三角形的面積是解題的關(guān)鍵．18．（2023春?江陰市期中）如圖，在中，，，，點是的中點，動點從點出發(fā)，以每秒的速度沿運動．若設(shè)點運動的時間是，那么當2或時，的面積等于8．【分析】分點在線段上和點在線段上兩種情況考慮，根據(jù)三角形的面積公式分別列出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：，點是的中點，，當點在線段上，如圖1所示，，，，解得：；當點在線段上，如圖2所示，，，，解得：．故答案為：2或．【點評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)的運用，三角形的面積公式的運用，以及解一元一次方程，和分類討論的數(shù)學(xué)思想，解答時靈活運用三角形的面積公式求解是關(guān)鍵．三．解答題（共8小題）19．（2023春?工業(yè)園區(qū)校級月考）（1）如圖，是的中線，與的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？（2）你能把1個三角形分成面積相等的4個三角形嗎？試畫出相應(yīng)的圖形．【分析】（1）與屬于等底，同高，所以面積相等．（2）三角形的中線把三角形分成面積相等的兩個三角形，先分成兩個面積相等的三角形，進而繼續(xù)即可．剩下方法可根據(jù)此基本圖形進行變形．【解答】解：（1）．理由如下：為中點，．又為三角形頂點，和等底同高．．．（2）分割方法如圖提示（虛線為分割線）【點評】本題考查了三角形的面積．用到的知識點為：等底，同高的三角形的面積相等以及這個知識的應(yīng)用．20．（2023春?惠山區(qū)期中）已知，，是三角形的三邊長，化簡．【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，結(jié)合絕對值的定義進行化簡．【解答】解：，，是三角形的三邊長，，又，，，，．【點評】解題的關(guān)鍵是根據(jù)“三角形兩邊之差小于第三邊”．21．（2022春?泗陽縣月考）如圖，在中，為邊上的高，點為邊上的一點，連接．（1）當為邊上的中線時，若，的面積為30，求的長；（2）當為的角平分線時，若，，求的度數(shù)．【分析】（1）利用三角形中線定義及三角形面積求出長；（2）利用三角形內(nèi)角和先求，再用外角性質(zhì)和直角三角形性質(zhì)求出．【解答】解：（1）為邊上的中線，，為邊上的高，，．（2），為的角平分線，，，，，【點評】本題靈活考查了用三角形中線求三角形面積、三角形外角性質(zhì)、直角三角形性質(zhì)，掌握這幾種知識點的熟練應(yīng)用是解決此題的關(guān)鍵．22．（2022春?阜寧縣期中）已知，如圖，，，于．（1）與相等嗎？為什么？（2）試說明是的高．【分析】（1）根據(jù)同位角相等，兩直線平行得到，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等證明結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的概念證明即可．【解答】解：（1），理由如下：，，；（2），，，，，，即是的高．【點評】本題考查的是平行線的判定和性質(zhì)、三角形的高的概念，掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵