高中數(shù)學(xué)必修1-5知識(shí)點(diǎn)

高一數(shù)學(xué)必修1知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

集合

（1）元素與集合的關(guān)系：屬于（€）和不屬于（任）

⑵集合中元素的特性：確定性、互異性、無序性

集合與元素V

⑶集合的分類：按集合中元素的個(gè)數(shù)多少分為：有限集、無限集、空集

(4)集合的表示方法：列舉法、描述法（自然語言描述、特征性質(zhì)描述）、圖示法、區(qū)間法

子集：若xeA=>xeB,則A[8,即A是8的子集。

1、若集合A中有〃個(gè)元素，則集合冊(cè)子集有2"個(gè)，真子集有（2"-1）個(gè)。

2、任何一個(gè)集合是它本身的子集，即AqA

注

關(guān)系<3、對(duì)于集合A,B,C,如果A=8,且BqC,那么A=C.

4、空集是任何集合的（真）子集。

集合真子集：若AqB且AwB（即至少存在與eB但毛任⑷,則A是B的真子集。

集合相等：A=8且A28oA=B

集合與集合定義：Ar^B-[x/xeAS.X&B}

交集

性質(zhì)：Ar\A=A,Ac0=0,Ac8=BcA,Ac8但A,AcB=B,AcBA(~\B=A

定義：AuB={x/xeA或xe8}

并集

性質(zhì)：AuA=A,Au0=A,AUB=B<JA,AuBoA,AuBoB,AcB<4>=B

運(yùn)算

Card(AuB)=Card(A)+Card(B)-Card(AnB)

定義：0A={x/xeU且xeA}=A

補(bǔ)集性質(zhì)：(CuA)cA=0,(CuA)uA=U,CV{CVA)=A,QCAnB)=

Cu(AuB)=(CM)c(C*)

函數(shù)

映射定義：設(shè)A,B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素X,

在集合8中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)-8為從集合A到集合B的一個(gè)映射

傳統(tǒng)定義：如果在某變化中有兩個(gè)變量占>,并且對(duì)于x在某個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，

按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系九y都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)。那么y就是x的函數(shù)。記作y=/(x).

(近代定義：函數(shù)是從一個(gè)數(shù)集到另一個(gè)數(shù)集的映射。

定義域

函數(shù)及其表示〈函數(shù)的三要素《值域

對(duì)應(yīng)法則

解析法

函數(shù)的表示方法《列表法

、圖象法

V.

［傳統(tǒng)定義：在區(qū)間［。,可上，若°=也<初助,如/(M)</(X2),則/'(x)在［a,可上遞增,［a,可是

的峭忸J遞增區(qū)間；如/(可)>/(硬)，則/(x)在ja,可上遞減,［a,可是的遞減區(qū)間。

甲胴任導(dǎo)數(shù)定義：在區(qū)間可上，若〃x)>0,貝葉(x)在［a,可上遞增，口可是遞增區(qū)間；如〃x)<0

則/Xx)在卜，句上遞減,［。⑸是的遞減區(qū)間。

最大值：設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足：(1)對(duì)于任意的xe/,都有

曷消J(2)存在叼€/,使得/。則稱M是函數(shù)y=/(x)的最大值

函數(shù)的基本性質(zhì)'(Q)=M

取但［最小值：設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)N滿足：(1)對(duì)于任意的xe/,都有七N；

(2)存在叼口，使得/'(Q)=N。則稱N是函數(shù)y=/(x)的最小值

f(l)/(-x)=-/(x),xe定義域D,則/(x)叫做奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

奇偶性《(2)/(-x)=/(x),xe定義域D,貝曠(x)叫做偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。

奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)球

周期性：在函數(shù)/'(x)的定義域上恒有/(x+T)=/(x)(TM的常數(shù))則/(x)叫做周期函數(shù)，T為周期；

T的最小正值叫做f(x)的最小正周期，簡(jiǎn)稱周期

(1)描點(diǎn)連線法：列表、描點(diǎn)、連線

向左平移a個(gè)單位：y1=y,%i-a=x=>y=f(x+a)

向右平移。個(gè)單位：yi=y,%i+tz=x=>y=f(x-a)

平移變換

向上平移匕個(gè)單位：x\=x,y1+b=y^>y-b=f(x)

向下平移匕個(gè)單位：x\=x,y\-b=y^>y+b=f{x}

‘橫坐標(biāo)變換：把各點(diǎn)的橫坐標(biāo).縮短(當(dāng)w>l時(shí))或伸長(zhǎng)(當(dāng)0<w<l時(shí))

到原來的1/wfS(級(jí)坐標(biāo)不變)，即%i=w尤=>y=/(wjr)

伸縮變換縱坐標(biāo)變換：把各點(diǎn)的縱巫標(biāo)力伸長(zhǎng)(A>1)或縮短(0<4<1)主!］原萊的4倍

(橫坐標(biāo)不變)，即yi=y/Any=/(九)

函數(shù)圖象的畫法

(2)變換法-關(guān)于點(diǎn)(%,汨)對(duì)稱:［嘉昌滬{霏視y0-y=f(2x0-X)

關(guān)于直線x=xo對(duì)稱相飛=2和=忙;叼-工交4(2)

對(duì)稱變換<(y-yi(yi-y

關(guān)于直線尸即對(duì)稱：］力；12即斗第2yo-尸2%-產(chǎn)/⑺

關(guān)于直線尸%對(duì)稱:長(zhǎng)(九)

[y-yi

附：

一、函數(shù)的定義域的常用求法：

1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被開方數(shù)大于等于零；3、對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零；4、指數(shù)函

JT

數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1；5、三角函數(shù)正切函數(shù)y=tan%中%。左乃十萬(左wZ)；余切

函數(shù)》=cot%中；6、如果函數(shù)是由實(shí)際意義確定的解析式，應(yīng)依據(jù)自變量的實(shí)際意義確定其取值范圍。

二、函數(shù)的解析式的常用求法：

1、定義法；2、換元法；3、待定系數(shù)法；4、函數(shù)方程法；5、參數(shù)法;6、配方法

三、函數(shù)的值域的常用求法：

1、換元法；2、配方法；3、判別式法；4、幾何法；5、不等式法；6、單調(diào)性法；7、直接法

四、函數(shù)的最值的常用求法：

1、配方法；2、換元法；3、不等式法；4、幾何法；5、單調(diào)性法

五、函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：

1、若/(x),g(x)均為某區(qū)間上的增(減)函數(shù)，則/(x)+g(x)在這個(gè)區(qū)間上也為增(減)函數(shù)

2、若/(%)為增(減)函數(shù),則一/(%)為減(增)函數(shù)

3、若/(%)與g(%)的單調(diào)性相同，則y=/[g(x)]是增函數(shù)；若/(九)與g(九)的單調(diào)性不同，則

V=/!<?(%)]是減函數(shù)。

4、奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。

5、常用函數(shù)的單調(diào)性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作函數(shù)圖象。

六、函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：

1、如果一個(gè)奇函數(shù)在x=0處有定義，則/(0)=0,如果一個(gè)函數(shù))=/(%)既是奇函數(shù)又是偶函

數(shù),則%)=0(反之不成立)

2、兩個(gè)奇(偶)函數(shù)之和(差)為奇(偶)函數(shù)；之積(商)為偶函數(shù)。

3、一?個(gè)奇函數(shù)與一?個(gè)偶函數(shù)的積(商)為奇函數(shù)。

4、兩個(gè)函數(shù)y=/(〃)和〃=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)，只要其中有一個(gè)是偶函數(shù)，那么該復(fù)合函數(shù)就

是偶函數(shù)；當(dāng)兩個(gè)函數(shù)都是奇函數(shù)時(shí)，該復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)。

5、若函數(shù)/(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則/(x)可以表示為

/(X)=(X)+f(-x)]+1[f(x)-f(-x)],該式的特點(diǎn)是：右端為一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的

和。

零點(diǎn)：對(duì)于函數(shù)y=/(%),我們把使/"(%)=。的實(shí)數(shù)%叫做函數(shù)y=/(%)的零點(diǎn)。

定理：如果函數(shù)y=f(%)在區(qū)間［。，切上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有/(。)-f(b)<0,

零點(diǎn)與根的關(guān)系，那么，函數(shù)y=/(%)在區(qū)間［。，加內(nèi)有零點(diǎn)。即存在ce(a,切,使得〃c)=0,這個(gè)c也是方

程〃%)=0的根。(反之不成立)

關(guān)系：方程=。有實(shí)數(shù)根o函數(shù)y=/(%)有零點(diǎn)o函數(shù)y=/(%)的圖象與X軸有交點(diǎn)

函數(shù)與方程,(1)確定區(qū)間［a,b］,驗(yàn)證f(a)?f(b)<0,給定精確度￡；

(2)求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)c;

函數(shù)的應(yīng)用

(3)計(jì)算/Xc)；

二分法求方程的近似解《①若/(c)=0,貝k就是函數(shù)的零點(diǎn)；

②茍1(")?/(c)<0,則令人=c(此時(shí)零點(diǎn)%0e(a,b))；

③若〃c)-f(b)<0,則令。=c(此時(shí)零點(diǎn)%0e(c"))；

(4)判斷是否達(dá)到精確度切即若a-匕<￡,則得到零點(diǎn)的近似值a(或A);否則重復(fù)2~4。

r

幾類不同的增長(zhǎng)函數(shù)模型

函數(shù)模型及其應(yīng)用《用已知函數(shù)模型解決問題

建立實(shí)際問題的函數(shù)模型

根式:小，九為根指數(shù)，，為被開

分?jǐn)?shù)指數(shù)塞

指數(shù)的運(yùn)算《c1ros=(a>O,r,s.Q)

指數(shù)函數(shù)V性偵V=c1rs(a>O,尸，sEQ)

=c1rbs(0>O,Z?>O,eO)

定義：般地才巴函數(shù)'=>O且a才1)叫做指數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)

性質(zhì)：見表1

一對(duì)數(shù):x=log,M，為底數(shù)，7V為真數(shù)

loga(以-N)=log^M-Flog^TV;

基本初等函數(shù)

M

log,-=10gqM—log,N;

對(duì)數(shù)的運(yùn)算-

性質(zhì)<

n

對(duì)數(shù)函數(shù)Vlog^M=nlogaM;(a>O,a才1,MAO,TV>O)

換底公式：log.b=1。2,匕(。，c>cK1,Z?>O)

.log。a

對(duì)數(shù)函數(shù):暨地把函數(shù)”國(guó)。xQa>O_@L?X1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)

1小生質(zhì)：見表1

零函數(shù)1氏37暨地，函數(shù)叫做塞函數(shù)，X是自變量，。是常數(shù)

［性質(zhì)：見表2

/

P為奇數(shù)

a.i)/

q為偶數(shù)

---------------1-------

-

A

p為偶數(shù)

(-1.Dy(-1,1)、

為奇數(shù)偶函數(shù)

q--I-1-----1———:—b

(-1,1)

第一象限過定點(diǎn)

減函數(shù)增函數(shù)

性質(zhì)(0,1)

高中數(shù)學(xué)必修2知識(shí)點(diǎn)

一、直線與方程

(1)直線的傾斜角

定義：無軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與X軸平行或重合時(shí)，我們

規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°WaV180°

（2）直線的斜率

①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即

k=tan?o斜率反映直線與軸的傾斜程度。

當(dāng)aw［0°,90°）時(shí)，k>0；當(dāng)￡€（90°,180）時(shí)，左<0；當(dāng)。=90°時(shí)，左不存在。

②過兩點(diǎn)的直線的斜率公式：左二乃一.（/豐0）

X］一七

注意下面四點(diǎn)：（1）當(dāng)王=尤2時(shí)，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；

⑵k與Pi、尸2的順序無關(guān)；（3）以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得；

（4）求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。

（3）直線方程

①點(diǎn)斜式：y—％=左（九一％1）直線斜率左，且過點(diǎn)（再,%）

注意：當(dāng)直線的斜率為0°時(shí)，k=0,直線的方程是y=yi。

當(dāng)直線的斜率為90。時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示.但因/上每一點(diǎn)的橫坐

標(biāo)都等于即，所以它的方程是％=即。

②斜截式：y=kx+b,直線斜率為左直線在y軸上的截距為Z?

③兩點(diǎn)式：———=———（玉力和,產(chǎn)衛(wèi)）直線兩點(diǎn)（再,%）,（%2，%）

%一必%一七一一….

④截矩式：-+^=1

ab

其中直線,與x軸交于點(diǎn)（a,0），與y軸交于點(diǎn)（0,/?），即/與x軸、y軸的截距分別為a,b。

⑤一般式：Ax+By+C=0（A,8不全為0）

注意：①各式的適用范圍②特殊的方程如：

平行于x軸的直線：y=b（b為常數(shù)）；平行于y軸的直線：x—a（a為常數(shù)）；

（5）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線

（-）平行直線系

平行于已知直線&尤+穌y+C（）=0（A，穌是不全為0的常數(shù)）的直線系：AQX+B^+C=0（C

為常數(shù)）

（二）過定點(diǎn)的直線系

（i）斜率為左的直線系：y-y0=^（x-x0）,直線過定點(diǎn)（七,%））；

（ii）過兩條直線［：A%+與丁+q=o,4：+G=。的交點(diǎn)的直線系方程為

（4%+用、+。1）+/1（&￥+32丁+。2）=0（九為參數(shù)），其中直線乙不在直線系中。

（6）兩直線平行與垂直

當(dāng)乙：y=左1%+4,4：y=%時(shí)，

/1〃/,Ok\=k2,bx712；，2O匕左2=—1

注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否。

（7）兩條直線的交點(diǎn)

Zj:Axx+B{y+Cx=04:&工+4丫+孰=0相交

交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組（Ax+gy+G=°的一組解。

^A2X+B2y+C*2—0

方程組無解O4〃，2；方程組有無數(shù)解OI］與12重合

（8）兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)4石,%）,5G：2,%）是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，

則IAB|={(--士了+⑴一%，

(9)點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)P?,%)到直線/,:AX+3Y+C=0的距離］」Ax+電［C］

VA2+B2

(10)兩平行直線距離公式

在任一直線上任取一點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解。

二、圓的方程

1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為圓的半徑。

2、圓的方程

(1)標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-/?)?=/,圓心(a,。)，半徑為r；

(2)一般方程無2+/+6+4+尸=0

當(dāng)。2+62—4/>0時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為仁半徑為

I2'2j2

當(dāng)。2+石2-4/=0時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)。2+石2-4/<。時(shí)，方程不表示任何圖形。

(3)求圓方程的方法：

一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，

需求出a,b,r;若利用一般方程，需要求出D,E,F;

另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點(diǎn)，以此來確定圓心的位置。

3、直線與圓的位置關(guān)系：

直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：

⑴設(shè)直線/:4無+為+。=0,圓C:(x—a)2+(y—bp=/,圓心C(a,。)到/的距離為、劭+C|.

7A2+B2

則有d>7,=/與C相離；d=ro/與C相切；d<ro/與C相交

(2)設(shè)直線/:Ax+3y+C=0,圓C:(x—a)?+(y—=/,先將方程聯(lián)立消元，得到一個(gè)一元二次方

程之后，令其中的判別式為A,則有

A<0o/與C相離；A=0o/與C相切；△^^。/與^^相交

注：如果圓心的位置在原點(diǎn)，可使用公式工q+>%=廠2去解直線與圓相切的問題，其中(％0，)0)表示切

點(diǎn)坐標(biāo)，r表示半徑。

(3)過圓上一點(diǎn)的切線方程：

①圓了2+丫2=產(chǎn)，圓上一點(diǎn)為(xo,yo),則過此點(diǎn)的切線方程為JC環(huán)+yy0=r？(課本命題).

②圓行-療+供匕/二巴圓上一點(diǎn)為(尤0,y",則過此點(diǎn)的切線方程為的-aWx-a)+(yo-勿僅-勿=r2(課本命題的推

廣).

4、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和(差)，與圓心距(d)之間的大小比較來確定。

2222

設(shè)圓Q:(x-Oj)+(y—々I=/，C2:(x—a2)+(_y—Z?2)=R

兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的喜(差)，Z圓心距(d)之間的大小比較來確定。

當(dāng)+r時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線四條；

當(dāng)4=氏+廠時(shí)兩圓外切，連心線過切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；

當(dāng)R-r<d<R+r時(shí)兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；

當(dāng)4=R一r時(shí)，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點(diǎn)，只有一條公切線；

當(dāng)—r時(shí)，兩圓內(nèi)含；當(dāng)d=0時(shí)，為同心圓。

三、立體幾何初步

1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

底面

（1）棱柱：定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，

由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱A3CDE-A'B,C'DZ’或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱

幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于

底面的截面是與底面全等的多邊形。

（2）棱錐

定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一■個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐P-AB'C'DZ'

幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高

的比的平方。

（3）棱臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái)P-AB'C'DE'

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)

（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形。

（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是一個(gè)圓；②母線交于圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。

（6）圓臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個(gè)圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開圖是一個(gè)弓形。

（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。

2、空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、

俯視圖（從上向下）

注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長(zhǎng)度;

俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度;

側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和寬度。

3、空間幾何體的直觀圖——斜二測(cè)畫法

斜二測(cè)畫法特點(diǎn)：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長(zhǎng)度不變；

②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長(zhǎng)度為原來的一半。

4、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積

（1）幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。

（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長(zhǎng)，h為高，h為斜高，1為母線）

S直棱柱側(cè)面積=chS圓柱側(cè)=2切力S正棱錐側(cè)面積=5c/z

正棱臺(tái)惻而積=—圓臺(tái)側(cè)面積（）

S（c,+c2）h'S=r+R7d

S圓柱表=2同廠+/）S圓爛=加（廠+/）S圓臺(tái)表=%（7，~+r/+R/+R-）

（3）柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式

監(jiān)=Sh唳柱=Sh=71rlh咻=；Sh%,徘=

1

K=-(S+

（4）球體的表面積和體積公式：V球=d乃尺3；S球面=4"7?2

4、空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系

（1）平面

①平面的概念：A.描述性說明；B.平面是無限伸展的；

②平面的表示：通常用希臘字母a、B、Y表示，如平面a（通常寫在一個(gè)銳角內(nèi)）；

也可以用兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來表示，如平面BC。

③點(diǎn)與平面的關(guān)系：點(diǎn)A在平面a內(nèi)，記作Aea；點(diǎn)A不在平面a內(nèi)，記作Awa

點(diǎn)與直線的關(guān)系：點(diǎn)A的直線/上，記作：AGZ;點(diǎn)A在直線/外，記作

直線與平面的關(guān)系：直線/在平面a內(nèi)，記作/<=a；直線/不在平面a內(nèi)，記作a。

（2）公理1:如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。

（即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過直線）

應(yīng)用：檢驗(yàn)桌面是否平；判斷直線是否在平面內(nèi)

用符號(hào)語言表示公理1:AwI,Bwl,Aca,BeanIua

（3）公理2:經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

推論：一直線和直線外一點(diǎn)確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。

公理2及其推論作用：①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)②它是證明平面重合的依據(jù)

（4）公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線

符號(hào)：平面a和B相交，交線是a,記作a（~lB=a。

符號(hào)語言：PeAB^AB=l,Pcl

公理3的作用：

①它是判定兩個(gè)平面相交的方法。

②它說明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過公共點(diǎn)。

③它可以判斷點(diǎn)在直線上，即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù)。

（5）公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行

（6）空間直線與直線之間的位置關(guān)系

①異面直線定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線

②異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。

③異面直線判定：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線

?異面直線所成角：直線a、6是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)。，分別引直線a，〃處b'Z/b,則把直線

優(yōu)和加所成的銳角（或直角）叫做異面直線。和6所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是（0°,90°],

若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。

說明：（1）判定空間直線是異面直線方法：①根據(jù)異面直線的定義；②異面直線的判定定理

（2）在異面直線所成角定義中，空間一點(diǎn)。是任取的，而和點(diǎn)0的位置無關(guān)。

②求異面直線所成角步驟：

A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位

置上。B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來求角

（7）等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補(bǔ)。

（8）空間直線與平面之間的位置關(guān)系

直線在平面內(nèi)---有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn).

直線不在平面內(nèi)便交一一只有一個(gè)公共點(diǎn).

（或直線在平面外）j平行一一沒有公共點(diǎn).

三種位置關(guān)系的符號(hào)表示：auaaAa=Aa〃a

（9）平面與平面之間的位置關(guān)系：平行——沒有公共點(diǎn)；a〃B

相交---有一條公共直線。aA0=b

5、空間中的平行問題

（1）直線與平面平行的判定及其性質(zhì)

線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行，則該直線與此平面平行。

線線平行=>線面平行

線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，

那么這條直線和交線平行。線面平行n線線平行

（2）平面與平面平行的判定及其性質(zhì)

兩個(gè)平面平行的判定定理

（1）如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行

（線面平行T面面平行），

（2）如果在兩個(gè)平面內(nèi)，各有兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行。

（線線平行T面面平行），

（3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，

兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理

（1）如果兩個(gè)平面平行，那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行。（面面平行T線面平行）

（2）如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行T線線平行）

7、空間中的垂直問題

（1）線線、面面、線面垂直的定義

①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。

②線面垂直：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個(gè)平面垂直。

③平面和平面垂直：如果兩個(gè)平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形）是

直二面角（平面角是直角），就說這兩個(gè)平面垂直。

（2）垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理

①線面垂直判定定理和性質(zhì)定理

判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個(gè)平面。

性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。

②面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理

判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。

性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面。

9、空間角問題

（1）直線與直線所成的角

①兩平行直線所成的角：規(guī)定為0。。

②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。

③兩條異面直線所成的角：過空間任意一點(diǎn)O,分別作與兩條異面直線a,方平行的直線優(yōu),b',形成兩

條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。

（2）直線和平面所成的角

①平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為0°。②平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為90°。

③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的重逋，叫做這條直線和這個(gè)平

面所成的角。

求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：士作，二證，三計(jì)算”。

在“作角”時(shí)依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點(diǎn)到面面金線,

在解題時(shí)，注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)主要信息：（1）斜線上一點(diǎn)到面的垂線；（2）過斜線上的一點(diǎn)或過斜線的

平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。

（3）二面角和二面角的平面角

①二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這

兩個(gè)半平面叫做二面魚的面。

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射

線所成的角叫二面角的平面角。一,?

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面垂直；反過來，如果兩個(gè)平面垂直，那么所

成的二面角為直二面角

④求二面角的方法

定義法：在棱上選擇有關(guān)點(diǎn)，過這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角

垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，過兩垂線作平面與兩個(gè)面的交線所成的角為二面角的平面

角fA,

7、空間直角坐標(biāo)系R/：

（1）定義：如圖，—是單位正方體.以A為原點(diǎn)，

分別以0D,0A,0B的方向?yàn)檎较?，建立三條數(shù)軸x軸.y軸.z軸。....LA---

這時(shí)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz./

1）0叫做坐標(biāo)原點(diǎn)2）x軸，y軸，z軸叫做坐標(biāo)軸.3）過每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)面。

（2）右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直時(shí)，可能形成的位置。大拇指指向?yàn)閤軸正方向，

食指指向?yàn)閥軸正向，中指指向則為z軸正向，這樣也可以決定三軸間的相位置。

（3）任意點(diǎn)坐標(biāo)表示：空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組（羽y,z）來表示，有序?qū)崝?shù)組（羽y,z）叫做點(diǎn)

M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A/（x,y,z）（x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)

M的豎坐標(biāo)）

（4）空間兩點(diǎn)距離坐標(biāo)公式：d=J（A：2—占）2+（%—%）2+屹2—々1）2

高一數(shù)學(xué)必修3公式總結(jié)以及例題

§1算旅初步

O秦九韶算法：通過一次式的反復(fù)計(jì)算逐步得出高次多項(xiàng)式的值，對(duì)于一個(gè)n次多項(xiàng)式，

只要作n次乘法和n次加法即可。表達(dá)式如下：

na

anx+q_i龍J+...++an_x)x+)%+???)%+?)%+i

例題：秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式3x6+4x5+5x4+6A:3+7x2+8x+1,當(dāng)x=0.4時(shí)，

需要做幾次加法和乘法五算？答案：6,6

即：(((((3x+4)x+5)x+6)x+7)x+8)x+1

?理解算法的含義：一般而言，對(duì)于一類問題的機(jī)械的、統(tǒng)一的求解方法稱為算法，其意義具有廣泛

的含義，如：廣播操圖解是廣播操的算法，歌譜是一首歌的算法，空調(diào)說明書是空調(diào)使用的算法…

(algorithm)

1.描述算法有三種方式：自然語言，流程圖，程序設(shè)計(jì)語言(本書指?jìng)未a).

2.算法的特征：

①有限性：算法執(zhí)行的步驟總是有限的，不能無休止的進(jìn)行下去

②確定性：算法的每一步操作內(nèi)容和順序必須含義確切，而且必須有輸出，輸出可以是一個(gè)或多

個(gè)。沒有輸出的算法是無意義的。

③可行性：算法的每一步都必須是可執(zhí)行的，即每一步都可以通過手工或者機(jī)器在一定時(shí)間內(nèi)可

以完成，在時(shí)間上有一個(gè)合理的限度

3.算法含有兩大要素：①操作：算術(shù)運(yùn)算，邏輯運(yùn)算，函數(shù)運(yùn)算，關(guān)系運(yùn)算等②控制結(jié)構(gòu)：順序

結(jié)構(gòu)，選擇結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)

?流程圖：(flowchart):是用一些規(guī)定的圖形、連線及簡(jiǎn)單的文字說明表示算法及程序結(jié)構(gòu)的一種

圖形程序，它直觀、清晰、易懂，便于檢查及修改。

注意：1.畫流程圖的時(shí)候一定要清晰，用鉛筆和直尺畫，要養(yǎng)成有開始和結(jié)束的好習(xí)慣

2.拿不準(zhǔn)的時(shí)候可以先根據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)畫出大致的流程，反過來再檢查，比如：遇到判斷框時(shí)，往

往臨界的范圍或者條件不好確定，就先給出一個(gè)臨界條件，畫好大致流程，然后檢查這個(gè)條件是否正

確，再考慮是否取等號(hào)的問題，這時(shí)候也就可以有幾種書寫方法了。

3.在輸出結(jié)果時(shí)，如果有多個(gè)輸出，一定要用流程線把所有的輸出總結(jié)到一起，一起終結(jié)到結(jié)束

框。

I.順序結(jié)構(gòu)(sequencestructure):是一^中最簡(jiǎn)單最基本的結(jié)構(gòu)它不存在條件判斷、控制轉(zhuǎn)移和重

復(fù)執(zhí)行的操作，一個(gè)順序結(jié)構(gòu)的各部分是按照語句出現(xiàn)的先后順序執(zhí)行的。

II.選擇結(jié)構(gòu)(selectionstructure):或者稱為分支結(jié)構(gòu)。其中的判斷框，書寫時(shí)主要是注意臨界條件

的確定。它有一個(gè)入口，兩個(gè)出口，執(zhí)行時(shí)只能執(zhí)行一個(gè)語句，不能同時(shí)執(zhí)行，其中的A,B兩語句

可以有一個(gè)為空，既不執(zhí)行任何操作，只是表明在某條件成立時(shí)，執(zhí)行某語句，至于不成立時(shí)，不

執(zhí)行該語句，也不執(zhí)行其它語句。

III.循環(huán)結(jié)構(gòu)(cyclestructure):它用來解決現(xiàn)實(shí)生活中的重復(fù)操作問題，分直到型(until)和當(dāng)型(while)

兩種結(jié)構(gòu)(見上圖)。當(dāng)事先不知道是否至少執(zhí)行一次循環(huán)體時(shí)(即不知道循環(huán)次數(shù)時(shí))用當(dāng)型循環(huán)。

?基本算法語句：本書中指的是偽代碼(pseudocode),且是使用BASIC語言編寫的,

是介于自然語言和機(jī)器語言之間的文字和符號(hào)，是表達(dá)算法的簡(jiǎn)單而實(shí)用的好方法。

偽代碼沒有統(tǒng)一的格式，只要書寫清楚，易于理解即可，但也要注意符號(hào)要相對(duì)統(tǒng)一，

避免引起混淆。如：賦值語句中可以用％,也可以用x―y；表示兩變量相乘時(shí)

可以用也可以用“X”

I.賦值語句(assignmentstatement):用<—表示，如：x—y,表示將y的值賦給x,其中x

是一個(gè)變量，y是一個(gè)與x同類型的變量或者表達(dá)式.

一般格式：”變量一表達(dá)式”，有時(shí)在偽代碼的書寫時(shí)也可以用“x=y”，但此時(shí)的“=”

不是數(shù)學(xué)運(yùn)算中的等號(hào)，而應(yīng)理解為一個(gè)賦值號(hào)。

注：1.賦值號(hào)左邊只能是變量，不能是常數(shù)或者表達(dá)式，右邊可以是常數(shù)或者表達(dá)式。“=”具有

計(jì)算功能。如：3=a,b+6=a，都是錯(cuò)誤的，而2=3*5-1,a=2a+3

都是正確的。2.一個(gè)賦值語句一次只能給一個(gè)變量賦值。